Devoir maison de Math´ematiques n
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Exercice 1
Suite `a une panne technique, un distributeur de boissons ne tient aucun compte de la commande faite par le client. Cette machine distribue soit un expresso, soit du chocolat, soit du th´e en suivant une programmation erron´ee. Chaque boisson peut ˆetre sucr´ee ou non.
• La probabilit´e d’obtenir un expresso est 1 2.
• La probabilit´e d’obtenir un th´e sucr´e est 2 9.
• Si l’on obtient un expresso, la probabilit´e qu’il soit sucr´e est 5 9.
• Si l’on obtient un chocolat, la probabilit´e qu’il soit sucr´e est 1 3.
• La probabilit´e d’obtenir une boisson sucr´ee est 5 9. On pourra consid´erer les ´ev´enements suivants :
– T : ” On a obtenu un th´e ”.
– E : ” On a obtenu un expresso ”.
– C : ” On a obtenu un chocolat ”.
– S : ” La boisson obtenue est sucr´ee ”.
1. Construire un arbre probabiliste mod´elisant la situation.
2. Calculer la probabilit´e d’obtenir un expresso sucr´e.
3. D´emontrer que la probabilit´e d’obtenir un chocolat sucr´e est 1 18. 4. En d´eduire la probabilit´e d’obtenir un chocolat.
5. Une personne obtient une boisson sucr´ee. Quelle est la probabilit´e que cette boisson soit un th´e ?
Exercice 2
On consid`ere deux urnes, la premi`ere contient deux boules noires et une boule blanche et la seconde une boule noire et deux boules blanches. On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne.
On consid`ere les ´ev´enements :
– U1 : ”la boule tir´ee provient de la premi`ere urne”;
– U2 : ”la boule tir´ee provient de la seconde urne”;
– N : ”la boule tir´ee est noire”;
– B : ”la boule tir´ee est blanche”.
1. Construire un arbre repr´esentant cette exp´erience al´eatoire en faisant figurer les probabilit´es associ´ees aux diff´erentes branches.
2. (a) Calculer la probabilit´e que la boule tir´ee soit blanche et provienne de la premi`ere urne.
(b) Calculer la probabilit´e de tirer une boule blanche.
(c) Calculer la probabilit´e que la boule provienne de la premi`ere urne sachant qu’elle est blanche.
3. Les ´ev´enements U1 etN sont-ils ind´ependants ?
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