DES POLYNOMES ET DES SERIES DE LAURENT.
PAR
A L E X A N D R E O S T R O W S K I ,~ Bs
T a b l e d e s m a t i ~ r e s .
Pages
]~ibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 C f f A P I T R E I : Le d i a g r a m m e de N e w t o n et les s6ries n o r m a l e s .
w i. Les p o l y n 6 m e s n o r m a u x . (Nos. i - - 5 , t h g o r b m e s I, II) . . . 115 w z. Le d i a g r a m m e d ' u n e sgrie de L a u r e n t . (Nos. 6 - - 9 , thdorbmes I I I , IV) 118 w 3. La m a j o r a n t e n e w t o n i e n n e , les i n c l i n a i s o n s n u m 6 r i q u e s et les d 6 v i a t i o n s .
(Nos. i o - - i 2 , thgor~me V) . . . 120 w 4. T r a n s f o r m a t i o n s d u d i a g r a m m e et r e l a t i o n s c a r a c t 6 r i s t i q u e s . (Nos.
i 3 - - i 6 , th6orgme VI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
C H A P I T R E I I : Les b o r n e s des r a c i n e s d g p e n d a n t des i n c l i n a i s o n s n u m 6 r i q u e s d u d i a g r a m m e de N e w t o n .
w 5. P r e m i e r th6or6me f o n d a m e n t a l . (Nos. i 7 - - 2 3 , thdor6mes VII, VIII) . 132 w 6. Corollaires d u thdor6me f o n d a m e n t a l . E q u a t i o n s des degr6s z et 3.
(Nos. 2 4 - - z 8 , t h g o r b m e s I X - - X I I ) . . . 143 w 7. E v a l u a t i o n des p r o d u i t s des racines. (Nos. ~ 9 - - 3 i, gh6or6mes X I I I - - X V ) 150 C H A P I T R E I I I : A p p r o x i m a t i o n et 6 v a l u a t i o n des r a c i n e s d 6 p e n d a n t des d 6 v i a t i o n s .
w 8. S 6 p a r a t i o n des r a c i n e s p o u r les c6t6s s i m p l e s d u d i a g r a m m e (deuxi6me thgor6me f o n d a m e n t a l ) . (Nos. 3 2 - - 3 8 , thdor~me XVI) . . : . . . . 157 w 9' S 6 p a r a t i o n s i m u l t a n 6 e de 1 ' e n s e m b l e des r a c i n e s . (Nos. 3 9 - - 4 ~ , th6orbmes
X V I I , X V I I I ) . . . . . . 165
IO.
1 1 .
1 2 .
w i 3
i 4 .
w I5.
C H A P 1 T R E
w i 6 . w w I 8 .
Pages S 6 p a r a t i o n des g r o u p e s de r a c i n e s en f o n c t i o n s des d ~ v i a t i o n s . (Nos.
4 2 - - 4 5 , t h 6 o r ~ m e s X I X - - X X I ) . . . 171 U n e 6 v M u a t i o n d u p r o d u i t des r a c i n e s p o u r M > 9. (Nos. 46, 47, t h 6 o r ~ m e s X X I I , X X I I I ) . . . 177 Le d i a g r a m m e des p r o d u i t s d e p o l y n S m e s et de s6ries de L a u r e n t . (Nos. 4 8 - - 5 I , t h 6 o r 6 m e X X I V ) . . . 181 L a f a c t o r i s a t i o n de p o l y n 6 m e s d a n s ]o cas de g r a n d e s d 6 v i a t i o n s . (Nos. 5 2 - - 5 5 , t h 6 o r 6 m e XXV) . . . 185 La f a c t o r i s a t i o n des s6ries' de L a u r e n t d a n s le cas de g r a n d e s d ~ v i a t i o n s (troisi6me t h 6 o r 6 m e f o n d a m e n t a l ) . (Nos. 5 7 - - 5 2 , t h 6 o r 6 m e s X X V I ,
X X V I I ) . . . 192
C o m p l ~ m e n t s a u t r o i s i 6 m e t h 6 o r 6 m e f o n d a m e n t a l . (Nos. 6 3 - - 6 8 , t h 6 o r 6 m e s X X V I I I , X X I X ) . . . 200 I V : C o n t i n u i t d des r a c i n e s des d q u a t i o n s a l g ~ b r i q u e s . M ~ t h o d e de
Graeffe.
C o n t i n u i t 6 des r a c i n e s des ~ q u a t i o n s a ] g 6 b r i q u e s ( q u a t r i ~ m e t h ~ o r ~ m e f o n d a m e n t a l ) . (Nos. 5 9 - - 7 7 , t h 6 o r ~ m e s X X X - - X X X I I I ) . . . 209 L a m 6 t h o d e de Graeffe. C a l c u l des m o d u l e s des r a c i n e s . (Nos.
7 8 - - 8 6 ) . . . 225
La m 6 t h o d e d e Graeffe. D 6 t e r m i n a t i o n c o m p l 6 t e des r a c i n e s et e x e m p l e s . (Nos. 8 7 - - 9 5 ) . . . 239
B i b l i o g r a p h i e .
E. CARVALLO: ( I ) M d t h o d e p r a t i q u e p o u r l a r 6 s o l u t i o n n u m ~ r i q u e c o m p l e t e des ~qua- t i o n s a l g d b r i q u e s ou t r a n s c e n d a n t e s . - - Th~se de P a r i s i 8 9 o , pp. 1 - - 4 o . G. DANDELIN: (I) R e c h e r c h e s s u r l a r ~ s o l u t i o n des 6 q u a t i o n s n u m 4 r i q u e s . - - N o u v e a u x
m ~ m o i r e s de l ' a c a d 6 m i e r o y a l e des s c i e n c e s et b e l l e s - l e t t r e s de B r u x e l l e s , T. 3, i 8 2 6 , pp. I - - V et i - - 7 i ; en p a r t i c u l i e r s e c o n d s u p p l 6 m e n t , pp. 4 5 - - 6 i . G. DUMAS: (1) S u r les f o n e t i o n s ~ c a r a c t g r e a l g 6 b r i q u e d a n s le voisina.ge d ' u n p o i n t
donn6. - - T h g s e de P a r i s 19o 4.
- - - - : (2) S u r q u e l q u e s cas d ' i r r 6 d u c t i b i l i t 6 des p o l y n 6 m e s i~ coefficients r a t i o n n e l s . - - - J o u r n a l de m a t h 6 m a t i q u e s (6) 2 ( i 9 o 6 ) , pp. I 9 1 - - 2 5 8 .
J. F. ENCKE: (I) A l l g e m e i n e A u f l S s u n g d e r n u m e r i s c h e n G l e i c h u n g e n . - - B e r l i n e r A s t r o n o m i s e h e s J a h r b u e h I 8 4 I , r e p r o d u i t a v e c q u e l q u e s a d d i t i o n s d a n s le J o u r n a l de Crelle i 8 4 i , Vol. 22, pp. 1 9 3 - - 2 4 8 . - - L a r~dae~ion o r i g i n a l e so
t r o u v e r e p r o d u i t e darts les o e u v r e s c o m p l b t e s d ' E n c k e , Vol. i , B e r l i n 1888, p. , 2 5 - - , 8 7 , e t n o s c i t a t i o n s se r a p p o r t e n t ~ ce d e r n i e r e n d r o i t .
C. H. GRAEFFE: (I) Die diuflSsung d e r h 5 h e r e n n u m e r i s c h e n G l e i c h u n g e n , als B e a n t - w o r t u n g e i n e r von d e r k 6 n i g l i c h e n A k a d e m i e d e r W i s s e n s c h a f t e n zu B e r l i n a u f g e s t e l l t e n P r e i s f r a g e . - - Z u r i c h , 8 3 7 ( F r i e d r i c h S c h u l t h e s s ) , pp. I, I I e t 1 - - 4 4 .
E. J. GUMBEL: (I) E i u e D a r s t e l l u n g s t a t i s t i s c h e r R e i h e n d u r c h E u l e r . - J a h r e s - b e r i c h t d e r D e u t s c h e n M a t h e m a t i k e r v e r e i n i g u n g T. 25 ( i 9 1 7 ) , pp. 2 5 1 - - 2 5 4 , en p a r t i c u l i e r pp. 2 5 9 - - 2 5 2 .
J. HADAM&RD: (*) l~tude s u r les p r o p r i 4 t 6 s des f o n c t i o n s e n t i 6 r e s et en p a r t i c u l i e r d ' u n e f o n c t i o n c o n s i d d r d e p a r R i e m a n n . - J o u r n . d. m a t h . (4) I 8 9 3 , PP.
i 7 i - - 2 r 5. - - R S i m p r i m 4 d a n s : J. H a d a m a r d , S e l e c t a , P a r i s , 1935, pp. 5 2 - - 9 3 .
- - - - " (2) S u r les f o n c t i o n s en+i+res. - - C. R. 135 ( , 9 o 2 ) , pp. I 3 O 9 - - + 3 I + .
A. N. KRYLOFI~: (I) Lcr s u r les ealculs a p p r o x i m a t i f s . 3-i~me 4 d i t i o n 1935, M o s e o u (en russe), pp. 1 - - 5 4 1 , en p a r t i c u l i e r pp. , 8 - - 6 8 .
E. LANDAU: (I) Sur quelques t h 4 o r + m e s de M. P e t r o v i t c h r e l a t i f s a u x z6ros des fonc- t i o n s a n a l y t i q u e s . - - Bull. soe. m a t h . d. F r a n c e , T. 33 ( ' 9 ~ PP. 1 - - i , . . . . . (2) U e b e r e i n e A u f g a b e aus d e r F u n k t i o n e n t h e o r i e . - - T 6 h o k u m a t h . J o u r n .
T, 5 ('914), PP- 97 - I I 6 -
N. I. LOBATSCHEWSKIJ: (I) A l g e b r a . - - K a s a n 2834.
W . F. OsGool): (i) L e h r b u c h d e r F u n k t i o n e n t h e o r i e . - - T. I I j , L e i p z i g 1929.
A. OSTROWSKI: (*) U e b e r a l g e b r a i s c h e F u n k t i o n e n y o n D i r i c h l e t s c h e n R e i h e n . - - M a t h . Z e i t s c h r i f t T. 37 (*933), PP. 9 8 - - 1 3 3 9
- - - - : (2) S u r les m o d u l e s des z6ros des f o n c t i o n s e n t i 6 r c s . - - C. R. 2o6 ( , 9 3 8 ) , pp. 1 5 4 I - - I 5 4 3 .
- - - - " (3) S u r l a e o n t i n u i t 6 r e l a t i v e des r a c i n e s d ' 4 q u a t i o n s a l g 4 b r i q u e s . - - C. R.
2o8 ( i 9 3 9 ) , pp. 7 7 7 - - 7 7 9 .
G. POLYA: (i) S u r la m 4 t h o d e de Graeffe. - - (3. R. 156 ( i 9 1 3 ) , pp. 1 1 4 5 - - 1 1 4 7 . - - - - " (2) U e b e r d a s G r a e f f e s c h e V e r f a h r e n . - - Z e i t s c h r . f. M a t h . u. P h y s . , T. 63
(29*5), pp. 2 7 5 - - 2 9 0 .
(3. RuI~GE: (1) P r a x i s d e r G l e i c h u n g e n . - - S e e o n d e 4 d i t i o n , B e r l i n i 9 2 i .
(3. RUNOE u. H. K6NIO: [1) V o r l e s u n g e n tiber n u m e r i s c b e s R e e h n e n . - B e r l i n J 9 2 4 . G. VALIRON: (,) S u r les f o n o t i o n s e n t i ~ r e s d ' o r d r e nu] et d ' o r d r e fini et en p a r t i e u l i e r les f o n c t i o n s ~ c o r r e s p o n d a n e e r 4 g u l i ~ r e . - Th~se de P a r i s , , 9 1 4 , pp. 1 - - 2 4 , . - - R 4 i m p r i m 6 d a n s les A n n a l e s de ]a f a c u l t 4 des s c i e n c e s de T o u l o u s e (3) 5, pp. 1 1 7 - - 2 5 9 .
I n t r o d u c t i o n .
Dans le prdsent m61noire nous nous occupons particuli6rement des propri6t~s des racines des polyn6mes et plus g6ndralement des s6ries de L a u r e n t , qui d6- p e u d e n t en premiSre ligne des modules des coefficients.
Les th6or~mes g6n~raux auquels nous arrivons dans ce ln6moire sont appliqu6s darts les deux derniers w167 du m6moire s la m6thode de Graeffe. C'est l'6tat assez rudimentaire dans lequel la th6orie de cette m6thode gtait rest~e jusqu's aujourd'hui qu i a provoqu6 ces recherches e t a ddtermin6 dans un certain degr6 les points de r u e dont nous nous sommes laiss~s guider.
L'id6e fondamentale de la m6thode de r6solution nuln6rique des gquations alg6briques qu'on appelle a u j o u r d ' h u i (avec raison) la mdthode de Graeffe, a 6t6 formul6e I826 trgs clairenlent et tout g fair explicitement par Dandclin dans le second suppl6ment g~ son m6moire f o n d a m e n t a l sur les 6quations alg6briques i, et quelques ann6es plus tard, 1834 , par Lobatschewski s.
Mais ce n'6tait que Graeffe 3 qui, 1837 , l'a raise au point et en a fair un proc6d6 p r a t i q u e , en ne poursuivant, il est vrai, qu'un seul des points de r u e d6velopp6s par Dandelin ~ l'endroit cit6 et en laissant compl~tement de e6t~ un autre point de r u e - - celui de >>d6composition>, - - , sur lequel Dandelin avait le plus insistg darts son m6moire.
Dans cette forme la m6thode de Graeffe a ~t6 surtout popnlaris6e grace s un m~moire d'Encke, le renom du c61bbre astronome Berlinois a y a n t beancoup contribug ~ faire cette m6thode connue *.
1 DANDELI• (I) pp. 45--61.
LOBATSCHEWSKI (I).
a GRAEFFE (I}. Bien que le titre du m6moire de GRAEFFE indique que ee mdmoire est la solution d'uu probleme pos6 par l'aeaddmie de Berlin en I836 pour le 3 I. I l L 1838 , l'acaddmie 6fair hors d'6tat de prendre en considdration ee mdmoire, p u i s q u ' i l 5tait publi6 avant le terme, eontraire- m e n t aux statuts, et l'aeaddmie n'avait re~u (en d6cembre I836 } de l'auteur q u ' u n exemplaire imprim6. Comme le seule mdmoire jug6 plus ou moins favorablement par l'acaddmie traitait la mdthode de GRAEFFE sans y apporter de progres considdrables, le terme 6tait finalement prolong6 j u s q u ' a u 3 I . I I I . 1839 et puis retir6 ddfinitivement, l~ moiti6 du p r i x de 5 ~ due~tes 6tant aecord6 '~ GRAEFFE, bien qu'il 6tait considdrd comme hors de eoncours. (Cf. Abh~ndlungen der kgl. Ak~- demie der Wissensehaften in Berlin 1838 pp. II--IV; 1839 pp. vii--viii).
ENCKE (I). Toutefois dans son expos6 ENCKE reclame ,,d'avoir compl~t6 la th6orie par ce qui h i avait encore manqu6 pour la solution complete du probl~me,,. A savoir: . . . m i t der Ermit- telung der imagini~ren Wurzeln selbst auf einfachem und strengem Wege, m i t einer Erleichterung
E n I89O E. C a r v a l l o essaye duns sa thgse ~ d ' a p p r o f o n d i r les bases t h 4 o r i q u e s de la m & h o d e en r e p r e n a n t le p o i n t de vue o r i g i n a l de D a n d e l i n ; r a m s il p u r a i t que m S m e le t h 6 o r g m e de c o n v e r g e n c e s e r v a n t de base '2 la m & h o d e de G r a e f f e n ' a 4t5 f o r m u l 4 n e t t e m e n t que p a r P d l y a I 9 I 3 et I915 u.
P a r t o n s d ' u n p o l y n 6 m e
n
( I ) f ( z ) = f o ( Z ) ~ I I ( z - - ~ . ) , o < I g , I < I g , ~ ] < - - . < ]g,~l
et formons p o u r c h a q u e e n t i e r h ~ o la lc-i~nw lran.r de Graeffe de f(z):
n
(2)
f k ( z ) =~ I I ( z - ~ ) = z n - a (k) z n - 1 + a (';) z '~-~ + n--1 n--2 ... "Alors, si l ' o n a p o u r un m . ] ~ l < l ~ , ~ + ~ ] , on a avec /~ --*c~:
a(~/
.--> i t3"
(3) (~m+~... ~~
L a c o n v e r g e n c e & a n b ~r~s rapide, cease r e l a t i o n perme~ de cMculer les m o d u l e s de r o u t e s les ~ en s u p p o s a n t q u e l ' o n c o n n a i t t o u s l e s i n d i c e s m e n q u e s t i o n , ce qui n ' e s t p a s g ~ n ~ r M e m e n t le cas. L'idde ingdnieuse et s i m p l e qui a p e r m i s 's G r a e i f e de t o u r n e r cette difficult~ c o n s i s t e en ceci: On f M t le cMcul avec u n c e r t a i n h o m b r e fixe de chiifres significatifs j u s q u ' g ce que duns le p a s s a g e d ' u n e t r a n s f o r m d e f~(z) "2 la t r a n s f o r m S e s u i v a n t e les coefficients a,~
de certMnes p u i s s a n c e s z ~ de z s o n t r e m p l a c d s c h a q u e fois p a r l e u r carrds. A l o r s il y a lieu de s u p p o s e r que p o u r ces indices m on a I~,~] < I~,~+11. Mais en vSritd t o u t ce q u ' o n puisse dire d a n s ce cas, c'es~ que p o u r les coefficients en
d e s V e r f a h r e n s b e i W u r z e l n , die n a h e z u s a m m e n l i e g e n u n d a u c h bei s e h r h o h e n P 0 t e n z e n sich n i c h t e n t s c h e i d e n d g e n u g t r e n n e n wiirden, u n d m i t d e n M e t h o d e n die W e r t h e s o w e i t d e r W a h r h e i t n ~ h e r zu b r i n g e n , als m a n i m m e r w f i n s c h e n mug.,,
A n o t r e avis ces r e c l a m a t i o n s s o n t e x t r 6 m e m e n t exagdrdes. Loin d ' a v o i r ajoutd q u e l q u e s iddes n o u v e l l e s au procddd de GRAEFFE, ENCKE a m ~ m e omis q u e l q u e s id6es tr~s u t i l e s qui n ' o n t 6td r e p r i s q u e p a r RUbTGE u n d e m i si6cle p l u s t a r d . Si l ' e x p o s 6 d'ENCKtg est p a r f o i s p l u s ddtailld, il m a n q u e g d n ~ r a l e m e n t de Clartd et d'dldgance de celui de GRAEFFE. Les a d d i t i o n s q u i s o n t p e r s o n n e l l e s ~ ENCKE n e se r a p p o r t e n t en vdritd q n ' a u x p o i n t s d ' i m p o r t a n c e p u r e m e n t p r a t i q u e , c o m m e l ' e m p l o i des l o g a r i t h m e s etc.
1 CA~VALLO (I).
2 POLYA (I), (2).
La r e l a t i o n c o r r e s p o n d a n t e ~ (3) e s t d d d u i t e duns POLYA (2) p o u r le cas le p l u s g~n~ral d ' u n e sdrie enti~re, et on y t r o u v e d e u x a u t r e s thdorSmes de c o n v e r g e n c e a p p a r e n t d s h (3). Q u a n t g la m d t h o d e de GRAEFFE p o u r le cas des s5ries enti~res on la t r o u v e ddjh appliqu(ie a u x e x e m p l e s n u m d r i q u e s duns CAI~VALLO (I).
104
question les ressources de cMcul sont 6puis6es. E t puis, ce qui est encore plus grave, on utilise duns cette r~gle implicitement l'hypoth~se que duns le culcul fuit uvee un certain hombre de ehiffres, les erreurs >>d'arrondissement>> ne s'uc- cumulent pus, ce qui est loin d'etre vrui duns le cas le plus g6n~rul. - -
Les recherches expos6es dans le pr6sent m6moire uttaquent le problbme sous les 3 points de rue suivunts:
A.) II s'agit de ddduire les vuleurs des modules des raeines d e f ( z ) en ~tudiant lu suite des ~ransformdes de Graeffe fk (z).
B.) I1 s'agit d'obtenir les valeurs completes des racines e n ~tudiant les f~(z).
C.) Le culcul e x a c t des transform6es fk(z) devenunt tr~s tSt impraticable, il s'ugit d'6tudier l'influence des >>erreurs d'arrondissement>> sur les valeurs up- prochges des racines.
Exuminons d'ubord le probl~me A.). I1 se d6compose en trois probl&mes purtiels suivunts :
A~.) Ddduire les modules des rucines avec une approximation donn6e d'avance de lu suite des f~(z) s a n s e o n n a i t r e les indices m uvec I~ml < IC,~+~I.
A~.) D6terminer les indices m uvee I_~1 < 1 ~ + ~ 1 .
Ay.) Pour les indices m e n question trouver une 6vuluation de lu diff6rence
2 k
(4) V l l - - I 9 9 9 C,
I"
P o u r at~uquer le problbme As.) nous nous posons le problbme suivant:
Supposons que dcrns l'dquation al.qdbrique
F (Z) ~ An z ~ + A , - ~ z '~-1 + ... + Ao = o, A , = I
m o d u l e s des A , . _E,ntre quelles limites varie alors le module I ~ ] de la v-iOme racine de F (z) ?
Si par exemple chaque ~ varie dans une couronne circulMre d'dpMsseur relative bor~6e uniformement il existe n nombres positifs Q~, v = I . . . . , ~, tels une constante 2n ne d~pendunt que de n, chaque ~ reste duns la que pour
c o u r o ~ n e
11 est facile ~ voir qu'Mors, s'il existe un proc~d~ plus ou moins simple permet- tunt de calculer les Q~ en partunt des valeurs des [Az[, le problbme As.) peut
8tre consid6rd eomme r6solu. En effet, en calculant les hombres Q, ~ Q~') pour la k-i~me transform~e de Graeffe f~(z) de f ( z ) on a 5videmment
Z < I I < o
(5) z 7 _< =< z,, ,
2 k
et l'on obtient non seulement la suite 1/Q~ ~) convergeant vers [~*1, mais aussi une gvaluation de la diffdrence
Or, nous allons dgmontrer dans ee mdmoire qu'en effet les ~, varient dans une eouronne eireulaire dont l'~paisseur relative est par exemple < (n + I) ~.
Quant anx nombres Q,, on pent les d6terminer en utilisant le diagramme de Newton du polynSme F(z). - - E t c'est en introduisant le diagramme de Newton dans la th~orie de la m~thode de Graeffe qu'on parvient (t r~soudre les ~robl~mes A~.), A~.), Ay.), B.), C.).
Ce diagramme a 4tg utilis6 par Newton eg surtout par Puiseux dans la thdorie des fonctions alg~briques d'une variable. Plus r4cemment M. G. Dumas 1 a appliqu6 l'id~e de ce diagramme pour formuler quelques thdor~mes de d~com- position dans la thgorie >>formelle>> des fonctions algdbroides et les th6orgmes analogues dans l a th4orie des nombres alg6briques p-adiques. En poursuivant ces id4es de M. Dumas, nous avons g6n6ralisg ses r4sultats pour la th~orie g~n~rale des ~valuations~> (Bewertungen), et en particulier pour les fonctions alg4briques de s4ries de Dirichlet '~. De l'autre c6td M. H a d a m a r d 3 a, d~s 1 8 9 2 ,
appliqu5 le diagramme de Newton g la thgorie de la croissance des fonctions enti~res et en a tir~ quelques consequences sur les z~ros des fonctions entigres qui servaient de base g sa th6orie des fonctions enti&res.
En ce qui concerne ]e present mgmoire, la cons6quence ]a plus importante de la th4orie du diagramme de Newton consiste dans le fair suivant:
1 DU.~IAS (I) et (2) pp. 2 1 4 - - 2 1 7 . Le thdor~me de i~I. DU~IAS s u r , l ' a d d i t i o n des d i a g r a m m e s , est d a n s le c a s spdcial des f o n e t i o n s a l g d b r i q u e s d ' u n e v a r i a b l e n a t u r e l l e m e n t u n e c o n s d q u e n e e i m m 6 d i a t e des t h d o r e m e s de PUISEUX. N d a n m o i n s l'5noncd de M. DUMAS c o n s t i t u e m ~ m e d a n s ces cas u n p r o g r e s t r e s i m p o r t a n t et fdconde p a r le p o i n t de r u e o r i g i n a l d o n t il est l ' e x p r e s s i o n .
OSTROWSKI (I) pp. I 2 I - - I 2 6 . HADAMARD (I).
14--39615. Acta mathematica. 72. Imprim6 le 1 mars 1940.
Supposons, pour simplifier, que A o 4 = o, A, =V o, alors F(z) poss~de sa >>ma.
jorante de Newton~ ~F(Z) uniquement ddterminde, c'est-s un polyn6me
~ (z) - -
~ Y~ z ~
tel que
~.) [A~[< T~, v ~ o , . . . , n ;
T~ = T,+I
3.) si un second polyn6me ~ T$z ~ poss&de les propri6t4s I.) et 2.) on a
v ~ 0
T~<= T~, v = o , . . . , n .
Les nombres R, seront appel4s duns ce qui suit les incli,naisons nurndriques du diagramme de Newton de F(z), respectivement du polyn6me F(z).
Or, o n p e u t p o s e r q ~ = B , .
Plus prdcis4men% nous d6montrons dans le thdor6me V I I - - le premier th6or~me fondamental - - qu'on a pour chaque
o~ ~ oon~,ao,e , - - ( I ) : e~, ~1~ me~"eoro~ ~oor o ~ e ~ On en ,,re , o ~ ~e suite comme borne sup6rieure de 1~]:
B.
I)u reste nous d6montrons l'in6galit6 indiqu6e non seulement pour polynSmes, muis aussi pour les fonetions entigres et mgme pour les s6ries entigres.
Une in4galit6 analogue pour le d'une fonction entiSre:
produit [ ~ 1 . . . ~ [ des premieres v racines
I
1C1...51 > = V + I R ~ . . . R ,
a 4t4 d4duit par M. H a d a m u r d duns le mdmoire cit6 par une ddduction a u t a n t ing4nieuse que compliqu6e 1. Nous devons ~ une communication de M. G: P61ya
I HADAMARD (I) p p . I 9 4 - - 2 o i .
une d6monstration extrSmement simple, bas6e sur la formule de Jensen, d'une in@alit4 un peu plus prdcise:
] / f (, + ' "
[~1...-~,'l ~ i),+1 B1 . . . n , .
Nous tenons ~ exprimer ici notre reconnaissance s M. P61ya pour la permission de reproduire sa belle d6monstration dans notre m6moire.
P o u r poursuivre la discussion du problbme ~nonc6 plus haut, l'introduction des nombres
~ + 1
_ D ~ - - A ~ ~ ~ ~ I , . . .~ ~ I~
es~ indispensable, Nous appelons ces nombres les d g v i a ~ i o n s du diagramme de Newton de
F(z),
respeetivement du polyn6me F(z). Alors on peut annoneer eomme condition suffisante pour [~m[ < [~.~+1 [ l'in~galitgD m > 91.
Cette condition n'est, naturellement, pas ndcessaire, mais si l'on a, pour un polyn6me
f(z),
] ~ ] < I ~ + ~ I, il est facile ~ voir que la condition D m > 9 est s~tisfaite pour les transformdes de Graeffe fk(z) s partir d'un k.Avec ce r6sulta~ le problSme A~.) peu~ 8tre consid6rd comme rdsolu.
Enfin, une solution du problSme Ay.), th4oriquemen~ complSte est contenu dans la relation (5), mais pour le but pratique on emploira plut6t les ~valuations dont nous parlons plus bas en connexion avec le problbme B.)
Quant au problSme B.) - - c e h i de ddtermination
complete
des ~, (c'est&-dire avec leursarguments)-
on trouve d~js dans le mgmoire de Graeffe des m~thodes permettant dans des cas trSs gdn~raux le calcul des arguments des ~, dSs que les ]~, I sont connus.1 Cette c o n d i t i o n a ddj~ ~t6 utilis6e p a r M. H A D A M A I ~ I ) ( 2 ) d a n s la thdorie des f o n c t i o n s enti~res et des sdries de LAURENT p o u r ddduire u n e r e l a t i o n q u i m o n t r e qne s o u s cettc c o n d i t i o n le t e r m e du r a n g m de la s~rie domine s u r u n e c e r t a i n e circonfdrence s u r l ' e n s e m b l e de t o u s les a u t r e s t e r m e s de la s~rie. I1 en d d d u i t u n e m d t h o d e de c o n s t r u c t i o n d ' u n e f o n c t i o n enti~re de g e n r e infini qui ne r e n t r e p a s d a n s les cas d ' e x c e p t i o n q u e c o m p o r t e le t h d o r 6 m e de M. PICARD.
M. YALIRON (I) pp. I 6 - - I 8 r e p r e n d la m d t h o d e de M. HADAMARD et en d 6 d u i t que si pour R m + l
une fonction entibre on a 2)our un m: Dm = ~ > 9 la fonction poss~de exactement m z~ros dans le cercle ] z ] < u I1 r~sulte de ce b e a u r ~ s u l t a t de M. V3,LIRO~ que, les r a c i n e s de la f o n c t i o n d t a n t rangdes d a n s l ' o r d r e des m o d u l e s c r o i s s a n t s , le m o d u l e de la m-i~me racine est dif- fdrent d u m o d u l e de la racine s u i v a n t e . D a n s le cas des p o l y n 6 m e s , c ' e s t e x a c t e m e n t la r e l a t i o n
I~ml < l~+11.
Duns le cas le plus g6n6ral on p e u t r6duire le c~lcul des ~ s celui des ~2J ~"
en u t i l i s a n t u n artifice de Carvallo. II suffit d o n c de calculer routes les racines d ' u n e t r a n s f o r m 6 e
fk(z)
de G r a e f f e ' c o n v e n a b l e m e n t choisie. Or, c'est ici que le p o i n t de r u e de d 6 e o m p o s i t i o n de J[.(z) en p o l y n 6 m e s partiels, dSvelopp6 par D a n d e l i n dans son m 6 m o i r e original, d e v i e n t tr~s i m p o r t a n t .S u p p o s o n s que les ~ racines ~ de
f(z)
s o i e n t routes :4-o e~ se d ~ c o m p o s e n t en un c e r t a i n n o m b r e de groupes:xl, . . . , x~;- y~, . . . , y~; . . . ; z~, . . . , z~;
a + f l + . . . + 7 = n ,
tels que les m o d u l e s de t o u s l e s x ne sont pas trgs diffdrents e n t r e eux t a n d i s qu'ils sont e s s e n t i e l l e m e n t plus p e t i t s que les m o d u l e s des y. De m6me les m o d u l e s des y ne sont pus s e n s i b l e m e n t diff~rents e n t r e eux t a n d i s qu'ils sont e s s e n t i e l l e m e n t plus p e t i t s que les modules des racines du g r o u p e suivant, etc.
2k x~ k des racines du Alors, si k est s u f f i s e m m e n t 61ev6, les puissances
x ~ , . . . ,
p r e m i e r g r o u p e s a t i s f o n t - - avec u n e precision de plus en plus c r o i s s a n t e - - s l'~quaLion
a(o k) - - a~ k) z + ' " + a(a k) ( - I)aZa = 0
f o r m 6 e de l'ensemble des t e r m e s c o r r e s p o n d a n t s de
fk(z).
De m6me les puissances~/c 2 k
y ~ , . . . , y ~ s a t i s f o n t s l ' 6 q u a t i o n
a ~ ") Z c~ - - a(:)+l z a+l J r . . . ~- a(:)+(j( - I)fl 2c~+~ = O ;
eL le fair a n a l o g u e 6rant valable p o u r c h a q u e g r o u p e de racines, les puissances
z~e,..., z~ k
des racines d u d e r n i e r g r o u p e s a t i s f o n t ~ l ' 6 q u a t i o n alkL~ 2'n--7 - - a~ k)--~+l s + . . . ~ a(k)(__ i n )? ~'~' ~- O.D a n d e l i n ~ 6tabliL le f a i r 6nonc6 en s u p p o s a n t que les m o d u l e s des r a c i n e s de c h a q u e g r o u p e sont >>infiniment peLits>> p a r r a p p o r t aux m o d u l e s des racines du g r o u p e suivant. Alors la d d c o m p o s i t i o u a lieu d6j~ p o u r le p o l y n 6 m e
fo(Z).
Sans t e n i r comp~e de cet 6nonc6, les calculateurs, en u t i l i s a n t la m 6 t h o d e de Graeffe, r e t r o u v a i e n t le m6me f a i l p o u r ainsi dire >>exp6rimentalement~ en r e m a r q n a n t que si l ' o n f a i r le calcul avec u u c e r t a i n n o m b r e de chiffres signifieatifs, les t r a n s f o r m g e s fk(z), s p a r t i r d ' u n e v a l e u r de k, se d 6 c o m p o s e n t en >~fragments>> tels que duns le passage a u x t r a n s f o r m 6 e s d ' o r d r e sup6rieur les
J DANDELIN (I) pp. 51--57.
coefficients a p p a r t e n a n t aux f r a g m e n t s diffgrents n ' e x e r c e n t plus a u e u n e influence les uns sur les uutres, de sorte q u ' o n n ' a qu's calculer les t r a n s f o r m 6 e s suivantes p o u r c h a q u e f r a g m e n t ir~d@e~damment.
Or, ces fairs t r o u v e n t une e x p r e s s i o n pr6cise e~ r i g o u r e u s e dans n o t r e troi- slime thdor~me fo~damental, qui p e r m e t de r g s o u d r e c o m p l g t e m e n t le probl~me B.).
Supposons que p o u r le polynSme F(z) deux d6viations Dm, ~D~, m ~'> l, soient ~ 18,7.
Alors s l ' e n s e m b l e des t e r m e s c o r r e s p o n d a n t s de /~(z):
A ~ z ~ = A ~ z ~ Go (z)
c o r r e s p o n d u n f a c t e u r Q ( z ) = z ' ~ - ' + . . , de F ( z ) de degr6 m - - l , tel que les coefficients de la diff6renee Q ( z ) - G O (z) sont tr~s petits p a r r a p p o r t aux coeffici- ents c o r r e s p o n d a n t s de la m a j o r a n t e n e w t o n i e n n e de Go(z):
(6) Q (~) - Go (~) < ~ ~ . o (~)~.
Ici 6 c o n v e r g e vers o si D,,,~ et Dl croissent vers l'infini. On a p. ex.
d <
Si l'on v e u t d d c o m p o s e r F(z) en deux f r a g m e n t s seulement, on p e u t r e m p l a c e r la c o n s t a n t e I8, 7 p a r I3, 5. E n renvoyant, p o u r d ' a u t r e s pr6cisions aux 6noncgs des th6or~mes X X V [ , X X V I [ , relevons s e u l e m e n t que p o u r m - - 1 = I, c'est-s q u a n d il s'agit d'isoler et de calculer u~e seule racine de F(z), la c o n s t a n t e I8, 7 p e u t 5tre remplac6e p a r ]a r a c i n e positive M o : 6:3573Ss 6 2 7 . . . de l ' 6 q u a t i o n
M ~ - - s M ~ - - 8 M - - 4 = o ,
de sorte que si l'on a D m > M o, Dm-1 ~ Mo, il y a u n e et une seule r a c i n e ~o de F ( z ) p o u r laquelle on a p. ex.:
I
Amff[/A~ + I <L
= N a x (Din,Din-l)
C'est u n e p a r t i e de n o t r e deuxi~me thdor~me fondamental (th~or~me XVI).
Ces r6sultats p e u v e n t 8tre pr6cisds encore, si r o u t e s les dSviations de ~'(z) sont s u f f i s a m m e n t grandes. D a n s ce eas il suffit d6j~ que r o u t e s les d~viations 1 La relation A(z)~B(z) exprime suivant POI~CAm:; que A(z) est major6 par B(z), c'est-h-dire que chaque coefficient de A(z) est en module ~< que le coefficient cm'respondant de B(z).
de
tr(z)
sont ~ v~ off les valeurs de v~ sont _--_ 4 et croissent uvec n en conver- g e a n t vers 4,8~o 5 8 . . . 1 .E n r e m p l a g a n t un f a c t e u r Q(z) de
F(z),
en v e r t u de (6), p a r Go(z) on modifie n u t u r e l l e m e n t les racines de Q(z); mais duns ce cas le th6or~me, que les racines d ' u n p o l y n 6 m e sont des f o n c t i o n s c o n t i n u e s de ses coefficients, ne suffit pas p o u r contr61er l'influence de ~ dans lu f o r m u l e (6) sur les v a r i a t i o n s des racines. E n effet, 6 dans (6) est une m c s u r e de l ' e r r e u r r e l a t i v e des coefficients deQ(z)
t a n d i s que d a n s le t h 6 o r b m e cit6 il s ' a g i t des e r r e u r s a b s o l u e s .
D ' a u t r e p a r t seule la c o n s i d 6 r a t i o n des erreurs relatives est c o n f o r m e aux h a b i t u d e s des calculateurs qui se b o r n e n t g 6 n 6 r a l e m e n t s un n o m b r e fixe de chiffres p o u r c h a q u e coefficient sans t e n i r c o m p t e de la g r a n d e u r absolue de ces coefficients.
Or, le th6or~me s u i v a n t sur la c o n t i n u i t 6 des rucines des 6quations alg6briques se r a p p o r t e uux
erreurs relatives:
I1 existe p o u r c h a q u e degr6 k u n e f o n c t i o n V ( ~ ) ~ Vk(~) positive p o u r (~ > o et t c n d a n t vers o avec ~, telle que, si r o n a (6) p o u r d e u x p o l y n 6 m e s
Go(z)
etQ(z)
du degr6 k, on a en d d s i g n a n t leurs racines duns l ' o r d r e c o n v e n a b l e respec:t i v e m e n t p a r x~ et y~:
1
On peut poser par exemple, si 16 k ~ _--< I :
l
isk
(quah~i~me thdor~mefonda~ne~ta(,j.
C'es~ ce dernier th6or~me qui permet 6videmment de r6soudre eompl~tement le probl~me C.) 6none6 plus haut, bien que le module de continui~6 relative donn6 par ~(d)apparait
natureHement trop faible pour les buts pratiques. Or, comme nous montrons all No. 75 sur n i l exemple, assez artificiel, il est vrai, 1'ordre de ~(d) peut ~re en effet atteint.De l'uutre c6t6, en 6radiant duns les Nos. 83--86 la propagation des erreurs des coefficients clans le passage d'une transform6e de Graeffe ~ lu transform6e suivante, nous o b t e n o n s des 6valuations ~ g a l e m e n t trgs d6savantageuses, mais qui ne p e u v e n t pas a p p a r a m m e n t ~tre e s s e n t i e l l e m e n t am61ior6es dans le cas le plus g6n6ral.
1 Le r d s u l t a t c o r r e s p o n d a n t p o u r les sdries enti~res avec 4 , 8 , . . . a u lieu de v n 2 se t r o u v e d6ja chez M. VALIRON, VALIRON ( I ) , p p . I 6 - - I 8 ,
II s'agi~ ici du reste d'un phdnom~ne qui se presente souvent et trbs naturel- lement duns les applications de l'analyse. Dbs qu'on cherche s embrasser tous les cas possibles, les 6valuations des erreurs deviennent pratiquement inutili- sables.
Or, c'est naturellement le thdoricien qui doit changer la manibre de poser la question. Ce qu'il cherche d'ubord, ce sont les )~dvaluations a priori)) dans les- quelles on n'utilise que trbs immddiatement les donndes du probl6me. Ce dont le calculateur a surtout besoin, ce sont les ))dvaluatio~s a posteriori~) duns lesquelles on utilise l e s rdsultats du caleul approximatif, une fois effectud. Et c'est en se plagant ~ ee point de rue qu'on parvient dans la plupart des cas aux r6sultats d'utili~d pratique immddiate.
Du reste ee ne sont que les deux derniers w167 du dernier chapitre du pr6sent m&noire qui sont consacr~s explicitement ~ la m~thode de Graeffe. Tout le reste de ee mdmoire est consacr6 aux th@or~mes gdn@ruux.
Duns cette recherche il n'~tait pus du tout n@essaire d e nous borner aux polynSmes. La plupart des r6sultats des trois premiers chapitres sont valables pour les fonetions enti~res et m@me pour les s~ries entibres et' (saul les r6sultats du second ehapitre) eelles de L a u r e n t et nous les avons d~velopp6s dbs la commen- cement dans route leur g6n6ralit&
Ceei n'alluit naturellement pus sans quelques ineonv~nients. Tout d'abord on a dfi ajouter parfois quelques dgveloppements additionnels, les r~sultats dont il s'agissait ~tant plus faciles 's ddmontrer pour les polynSmes. Duns ce cas, le lecteur qui ne s'int6resse qu'aux polynSmes n'aura qu's laisser de cSt~ ces parties
du m6moire.
D'un autre eSt6, duns la th~orie des fonctions alg~briques et ses g~ndralisations on 6crit g6ndralement un polynbme du degr~ ~ duns la forme suivante: zlo zn +
+ A l z ~-1 + ' + An et construit le diagramme de Newton en faisant correspondre v au terme A ~ z ~-~ comme abscisse. Ceci pr~sente quelques avantages si l'on n ' a faire qu'aux polynbmes, mais n'est pus imm6diatement applicable aux s~ries de puissances. C'est pour ne pus utiliser deux constructions diff6rentes du diagramme, que nous nous sommes born6s '~ une seule construction du diagramme expos6 duns le m~moire. Du reste, si l'on ne consid~re que les polynSmes, il est tr~s
facile d'apporter ?~ nos rgs]alt~ts et d~monstrutions les modifications nScessit6es par l'emploi du diugramme de Newton clans su deuxiSme forme 1.
Enfin, quunt uux m~thodes de d6monstrution, les parties du m6moire qui se rupportent aux polynSmes n'utilisent pus g6n6rulement la th~orie des fonctions, le th6or~me de Rouch6 dont nous fMsons souvent usage duns le chapitre I I I
~tunt une consequence imm6diate du th6orSme classique (et d~montrable alg6- briquement) sur lu eontinuit6 des raeines. Seulement duns les d~monstrations des thgor~mes V I I et XV et celle du th6or~me X X I I I la th6orie des fonctions inter- vient essentiellement. C'est pourquoi nous avons ujout6 uux endroits correspon- dants des d6monstrations purement ulg6briques des th6or~mes V I I et XV, mais avec des constuntes un peu plus fuibles: pour le th6or~me V I I en remplae+unt
1 1
(~)~ (3)~ V ( p + I ) P + ~ pa r
I - par - - I et pour le th6orgme XV en remplagant 1 )p
2p + I. Quant uu th6orgme X X H I , il peut ~tre d5duit, avec des constuntes un peu plus faibles, du troisibme th6orgme fondamentul.
La disposition du p r d s e n t m~moire est lu suivunte: Duns le premier chapitre sont trait6es les d6finitions du diagrumme et de lu m a j o r a n t e newtonienne. En particulier dans le w 2 nons d~veloppons la condition n6cessaire et suffisante pour l'existence du diagramme de Newton d'une s~rie de Laurent. Duns le w 4 de ee ehapitre sont rassembldes diff6rentes propri6tgs du diagramme, des inclinaisons num6riques et des d6viutions dont nous avons "s faire usage duns la suite.
Le ehupitre I I est consacr6 aux d6veloppements duns lequel les inclinaisons num6riques, mais pus les d6viations, jouent un rSle fondamental. Duns le w 5 le premier th6or~me fondumental est ddmontr6 pour le cas le plus g~n6rul des s6ries de puissances et un 6nonc6 un peu plus fuible de ce th6orgme pour le cas des polynSmes par une m6thode purement alg~brique.
Duns le dernier No. de ce w nous d6terminons t o u s l e s cus off duns les relations du premier th6orgme fondumentul le signe d'dgalit6 e s t rulable.
Duns le w 6 diff6rentes bornes pour les modules des racines sont d6duites du premier thgorbme fondameutal. En purticulier, nous d6duisons l'existence
1 D ' a i l l e u r s on p o u r r a i t a u s s i c o n s t r u i r e le d i a g r a m m e e n p r e n a n t l g ] A . ] c o m m e o r d o n n d e et e n v e l o p p a n t ]es p o i n t s r e p r 6 s e n t a t i f s p a r u n e l i g n e b r i s 6 e c o n v e x e d'en haut, ce q u i p r 6 s e n t e r a i t p e u t - 6 t r e q u e l q u e s a v a n t a g e s . D u r e s t e o n o b t i e n t r o u t e s ees d i f f 6 r e n t e s f o r m e s d u d i , ~ g r a m m e de NEWTON d ' u n e q u e l c o n q u e d ' e l l e s p a r s y m 6 t r i e ou b i e n p,~r r a p p o r t h l ' a x e d e s x ou b i e n p a r rap- p o r t ~ u n e p a r a l l e l e h l ' a x e des y.
d ' u n e c o n s t a n t e cn qui est le h o m b r e le plus p e t i t > I avec la propri5ts~ que si d a n s u n e 5 q u a t i o n du d e g r ~ n les a r g u m e n t s des coefficients v a r i e n t arbi- t r a i r e m e n t , les m o d u l e s des coefficients d e m e u r a n t fixes, la v-iSme r a c i n e de ce p o l y n S m e v a r i e d a n s u n e c o u r o n n e c i r c u l a i r e a u t o u r de l ' o r i g i n e d ' d p a i s s e u r rela- t i v e c,~, p o u r c h a q u e v - ~ - - I , . . . , n. N o u s d d m o n t r o n s en p a r t i c u l i e r c~
0,73 (n + 0 2. Q u a n t s la d d t e r m i n a t i o n c o m p l e t e de cn en f o n c t i o n de 7~, n o u s d d t e r m i n o n s s e u l e m e n t c 2 ~ I + ]f2. E n f i n n o u s d~duisons la r e l a t i o n liln c~ ~ 4 . D e l ' a u t r e eSt5 on p e u t se p o s e r le p r o b l S m e de d g t e r m i n e r les m e i l l e u r e s b o r n e s de ~ n o n p a s p o u r u n v donn~, m a i s si le degrd ~ de l ' ~ q u a t i o n r e s t e fixe.
N o u s d o n n o n s u n e discussion c o m p l e t e de ce p r o b l S m e p o u r les c a s n ~ 2 et 3.
L e p r o b l ~ m e de la d d t e r m i n a t i o n c o m p l e t e de ces b o r n e s ainsi que de c~ p o u r n q u e l c o n q u e r e s t e o u v e r t .
A u w s u i v a n t n o u s d d t e r m i n o n s d ' a b o r d u n e b o r n e s u p d r i e u r e e x a c t e p o u r le q u o t i e n t
R~... Rp'
les r a c i n e s ~ de F(z) d t a n t r a n g d e s d a n s l ' o r d r e des m o d u l e s croissantes. Q u a n t 9
s la b o r n e i n f d r i e u r e n o u s r e p r o d u i s o n s la r d c e n t e d d m o n s t r a t i o n de P S l y a de l'in~galitd d ' H a d a m a r d - - P 6 1 y a et d ~ m o n t r o n s p a r u n e m ~ t h o d e p u r e m e n t a l g g b r i q u e que I est u n e telle borne.
2 p -~- I
Le c h a p i t r e I I I est consacr6 a u x t h d o r ~ m e s de dScolnposition d a n s lesquelles i n t e r v i e n n e n t les ddviations.
D a n s le w 8 de ce c h a p i t r e n o u s d d m o n t r o n s le deuxi~me t h d o r ~ m e fon- d a m e n t a l qui p e r m e t d ' i s o l e r une seule r a c i n e de l ' d q u a t i o n si d e u x d d v i a t i o n s consdcutives s o n t s u f f i s e m m e n t g r a n d e s . D a n s l'~noncd de ce t h ~ o r S m e n o u s a v o n s s u r t o u t t e n u s a b a i s s e r les b o r n e s des d~viations a u t a n t que possible. L a ddmon- s t r a t i o n p e u t n a t u r e l l e m e n t ~tre c o n s i d d r a b l e m e n t simplifige si Yon utilise p. ex.
la b o r n e 7 au lieu de M o.
Darts le w 9 n o u s d ~ t e r m i n o n s les b o r n e s c o r r e s p o n d a n t e s v~ sous l ' h y p o t h ~ s e que loutes les ddviations d ' u n p o l y n S m e du degr4 n s o n t _--> v~.
Darts les w167 ~o et ~ n o u s c o n s i d d r o n s le cas off u n e d g v i a t i o n Dp est > 9 . On o b t i e n t d a n s ce cas l ' e x i s t e n c e d ' u n e c o u r o n n e circulaire qui ne c o n t i e n t p a s de racines. E n u t i l i s a n t ce rdsultat, nous o b t e n o n s p o u r le cas off d e u x d ~ v i a t i o n s
15--39615. A c t a mathematica. 72. Imprim4 le 1 mars 1940.
Dq, Dq,,
q > q', sont ~ 9 une couronne circuluire c o n t e n a n t exactement q - - q ' rucines et d6duisons au moyen du th6orbme de ffensen une 6valuation ussez exacte pour le produit des modules de ces racines.Duns le w I2 nous truitons le probl~me de d6terminer u u t a n t que possible le diagramme du produit des deux polyn6mes aux diagrammes connus. A c e problbme se r a p p o r t e n t pour le eus des fonctions ulg~briques d'une variable et celui des nombres ulg6briques p-adiques quelques beaux r6sultuts de M. G. Dumas 1 qui a montr6 qu'on obtient alors le diagrumme du p r o d u i t pour ainsi dire par addition g6om6trique des cSt6s des diagrammes des facteurs, ordonn6s convenable- ment - - c'est-s que duns les cus consid6r6s par M. Dumas les inclinaisons num6riques des fucteurs se r e t r o u v e n t sans modification duns le produit. Le m6me reste encore vrui duns le cus le plus g6n6rul des ,~vuluations>> (Bewertungen) non-archim6diennes ~. Ces r6sultats ne r e s t e n t plus compl~tement exacts duns le cus consid6r6 ici, mais si les inclinuisons num6riques d'un des deux facteurs sont petites par r a p p o r t uux inclinaisons num6riques du second, les inclinaisons num6- riques de ces deux facteurs se multiplient duns le passage au produit par des fac- teurs voisins de un. C'est ce r6sultut qui, pr6cis6 convenablement, est utilis6
h " "
duns lu d6monstration du troisiSme t eoreme f o n d a m e n t a | . Ce th6or~me est d6montr6 duns le w 13 pour le cas d'un polynSme. P a r un passage s lu limite on en d6duit au w 14 le th6or~me correspondant pour le cas le plus g6n6ral des s6ries de Luurent.
Au w suivant nous d6duisons du troisiSme th6or&me f o n d a m e n t a l quelques cons6quences relatives ~ lu d6composition d'une s6rie de L u u r e n t duns un p r o d u i t infini, s'il y u une suite infinie de d6viations _>--I8,7.
Duns ce mgme w nous d6montrons ensuite que si les coefficients de la s6rie de L u u r e n t sont des fonctions r6guligres duns certaines r6gions et si les d6viations eorrespondantes r e s t e n t ~ ~8,7 duns ces r6gions, les coefficients des faeteurs peuvent aussi 6tre choisis de manigre s 6tre r6guliers duns la m6me r6gion.
C'est un r6sultut de tr~s grunde g6n6ralit6, il eontient p. ex. en le g6n6ralisant considgrablement le c615bre >>th6or~me de pr6paration>> de Weierstrass.
Le ehapitre I V est consucr6 ~ l'6tude des questions qui se r a t t a c h e n t ~ la eontinuit6 des raeines des 6quutions ulg6briques. Nous commencons duns le w I6 par pr6ciser le th6or~me connu sur l~ continuit6 des raeines d'un polyn6me du degr6 n e n d6montrunt que ces rucines sutisfont comme fouctions des coefficients
1 Dul~f,~s (I) et (2) pp. 2 1 4 - - 2 I 7.
20STROWSKI (I) p p . I 2 I - - I 2 6 .
9
2 u n e c o n d i t i o n de L i p s c h i t z d ' o r d r e I E n s u i t e n o u s d d m o n t r o n s le quatri~me n
thdor~me fondamental sur la c o n t i n u i t d r e l a t i v e des r a c i n e s d ' u n p o l y n 6 m e eft finissons ce w p a r quelques r e m a r q u e s sur la possibilit~ d ' a m d l i o r e r les ~ v a l u a t i o n s de ce th~orgme. E n p a r t i c u l i e r n o u s t r a i t o n s d a n s le No. 77 e n dgtgil le cas d ' u n e ~ q u a t i o n q u a d r a t i q u e .
D a n s le w I7 n o u s a p p l i q u o n s les r ~ s u l t a t s gSudraux du m g m o i r e s la m 6 t h o d e de G r a e f f e en ce qui c o n c e r n e la d 6 t e r m i n a t i o n des m o d u l e s des racines. L a d e u x i g m e p a t t i e de ce w (Nos. 8 3 - - 8 6 ) est consacr~ ~ l ' ~ u d e de la p r o p a g a t i o n des e r r e u r s d a n s le calcul des t r a n s f o r m ~ e s de Graeffe.
Enfin, d a n s le d e r n i e r w du m d m o i r e n o n s p a s s o n s en r e v u e les diffgrentes mS~hodes qui peuvenfi 5~re utilis~es p o u r le ealcul des a r g u m e n t s , t r a i t o n s a u x Nos. 9 2 - - 9 4 trois e x e m p l e s plus on m o i n s c a r a c t d r i s t i q u e s et finissons d a n s le No. 95 p a r quelques r e m a r q u e s sur la possibilit6 de simplifier l ' g p p l i c a t i o n du proc~d6 de N e w t o n a u x v a l e u r s acquises p a r la m 6 t h o d e de G r a e f f e ~.
C H A P I T R E I. L e d i a g r a m m e d e N e w t o n e t l e s s 6 r i e s n o r m a l e s . w ~. L e s p o l y n b m e s n o r m a u x .
I . U n p o l y n 6 m e
7~
Z a~z v
a u x coefficients r : e l s ~ o est d i t normal, si p o u r v < # , a , > o , a , > o o n a t o u - j o u r s a~ > o (z = ~ § ~, . .., tt - - I ) e t
( I , 2) a~ ~ a~--la~,+l ' ~ I~ . . .~ ~ $ - I ) .
I1 r~sulte de la ddfinition que, si a,o, a ~ , ' s o n t le p r e m i e r resp. le d e r n i e r coeffi- c i e n t de (i, i) diffdrent de o, on a a, > o p o u r n o ~ v =< nl.
P l u s g g n ~ r a l e m e n t u n e s~rie de p u i s s a n c e s
1 Les iddes gdndrales d6veloppdes d a n s le p r d s e n t m e m o i r e o n t 6td e s q u i s s ~ e s d a n s n n e con- fdrence t e n u e le 23 m a r s I938 i~ l'Insti~u~ des hau~es d~udes de Belgique. Q u e l q u e s r ~ s u l t a t s de ce m d m o i r e o n t 6t6 p n b l i d s 1938 e~ I 9 3 9 d a n s les C. R. de l'acaddmie des sciences de Paris. Cf.
OSTaOWSKI (2) et (3).
e o
uux coefficients r6els > o est dire normale, si l ' o n a p o u r chuque r
(I, 4) a~ > a ~ - i a ~ + i
et c h a q u e lois que p o u r v < #, a~ > o, a~ > o, on a aussi a~ > o p o u r x = v + I, . . . , # - - I. Si l ' o n u mSme a~ > a , - l a , + l ehuque fois que a , - i a , a,+~ est positif, nous a p p e l l e r o n s (I, 3) normale au sens dtroit.
2. C h a q u e p o l y n 6 m e
(2, I)
f ( z ) = A 0 q- A i z q- . . . q- A n Z nposs~de u n e infinit6 de p o l y n 6 m e s n o r m a u x c o m m e m a j o r a n t e s .
N o u s allons m o n t r e r q u ' i l y ~ p a r m i les m a j o r ~ n t e s n o r m u l e s de f ( z ) u n e
2, 2)
~ j ( z ) = To + 2~z + . . + :L,z ~d o n t t o n s les coefficients son~ m i n i m u m , c'est-&-dire telle que si le p o l y n S m e (I, I) est u n e m a j o r a n t e norniale q u e l e o n q u e de f(z) on a
(2, 3) a~ > r , (, = o, I, . . . , n).
P o u r c o n s t r u i r e le p o l y n b m e 92f(z) on p e u t u t i l i s e r le procddd s u i v a n t : Sup- p o s o n s que AoA~, #: o, ce q u ' o n p e u t f a i r e s a n s r e s t r e i u d r e la g6ndralitd; ulors c h a q u e t e r m e A~z ~, A~ 4: o, de f(z) c o r r e s p o n d le >)point repr6sentutif>) P~ : x ---- v, y = - l g ] A ~ [ . E n v e l o p p o n s les p o i n t s P~ p a r u n e ligne brisde D c o n v e x e d ' e n bus de s o r t e que I ~ ) chuque s o m m e t de D est situ6 clans u n des P , et que 2 ~ ) t o n s les u u t r e s p o i n t s P~ s o n t situ6s s u r D ou au dessus. E n p u r t i c u l i e r D com- m e n c e an p o i n t P o e t se t e r m i n e uu p o i n t P~. (Voire fig. I au no. Io).
Lu l i g n e D seru appel6e Ie diagra~me de Newton du p o l y n o m e f(z).
3. Soit z~ l ' o r d o n n d e du p o i n t de D c o r r e s p o n d u n t s l ' a b s c i s s e v(o _--< v _--< n).
Soit D* u n e l i g n e c o n v e x e d ' e n bus telle que t o u s les p o i n t s P~ s o n t situ~s s u r D* ou uu dessus. Alors, c o m m e D c o n s i s t e en s e g m e n t s r e c t i l i g n e s . ~ o i g n a n t les p o i n t s P~ e n t r e eux, c h a q u e p o i n t de D sera situ5 sur D* ou a u dessus.
P o s o n s m M n t e n a n t
(~, I) T~=~--x~ At=o (o_--<l'~ ~); T ~ = o (y > . ) ,
alors je dis qu'on a
(3, 2) T~ _--> T , - 1 T , + I (v > o).
E n effet cette relation se r6duit E l'indgalit6 z,, _--< 2 (z,+l + z~-i), oh v i n -- I, qui r6sulte i m m d d i a t e m e n t d u caract~re convexe de la ligne D.
Donc le polyn6me (2, 2) form6 avee ces T, est normal.
4. Soit (I, 1) un polynbme n o r m a l avec aoa,,~=o. Marquons les points reprdsentatifs P~ (0 _--< v ~ n) c o r r e s p o n d a n t aux diff6rents termes de ce polynbme.
Alors la ligne bris6e
(4,~) P~ P ; . . . P : . . . P~
est eonvexe d'en bas, eomme il r6snlte i m m 6 d i a t e m e n t de la relation (I, 2). Doric eette ligne est le d i a g r a m m e de ~ e w t o n D ' e o r r e s p o n d a n t au polynbme (I, I).
Or, supposons que le polynSme (I, I) soit une m a j o r a n t e normale d e f ( z ) . Alors il r6sulte de I A ~ [ ~ a~ que ehacun des points P , est situ6 sur la ligne D ' ou audessas.
Donc, d'aprSs ce que nous avons dit plus hmut, chaque point de D est situ6 sur D ' ou au dessus. Donc en particulier
(4, 2) z~ ~ -- lg a~, T~ =< a~ (v = o, . . . , n)
et nous avons ddmontr6 le th6or~me
I. 17 existe une majorante normale (2, 2) du polynbme (2, 1) telle que, si
(I, I)
est uJ~e majorante ~ormale quelco~que de (2, i), on a (2, 3).Nous appelons le polynSme (2, 2) la majorante newtonien~e de f ( z ) . On a 6videmment ]A0] = T o , ]An[ = Tn.
5. I I . Soient Zl, . . . , Z n les racines du polynbme f ( z ) -- Anz" + .." + Ao, AoA,, @ o
prises avec leurs multiplicitds corre~Tondantes. Alors, si (2, 2) newlonienne de f ( z ) , on a
(5, i) T~ < C~
T. =.
oh
(5,~) ( I (.~ + I .~!) = c,~" + ... + co.
r~Z~
est la majorante
t o n
majorante C. Q. F. D.
normale de f(z) et (5, I) d6eoule imm6diatement
En effet, le polyn6me (5, 2) est normal, ce qui r6sulte des in6galitds de New- C~ ~ C~-~C~+I. Donc le produit du polyn6me (5, 2) p a r
]Anl= Tn
est une du thdor~me I,w 2. Le d i a g r a m m e d'une s~rie de L a u r e n t . 6. Consid&ons m a i n t e n a n t plus ggn&alement t'expression
tao
(6, I) f(z)--- E a,.z".
Le point reprdsentatif d'un terme a~z ~, (a~ # o) de (6, i) est v = lg [kZl. I
De chacun des points P , menons une demi-droite parallSle g la direction des y positifs et d~sig'nons par E o l'ensemble des points de ces demi-droites. Soit E*
l'enveloppante de E0, c'est-g-dire l'ensemble des points de t o u s l e s segments de droite joignant les points de ag o deux g deux et des points limites de ees points.
Soit E l'ensemble des points fronti8res de ag*.
En p r o j e t t a n t l'ensemble E, s'il n'est pus vide, sur l'axe des x on obtient un intervalle J qui peut se r6duire g un seul point, mais peut aussi s'&endre l'infini duns un ou deux sens.
Supposons que J ne se r6duit pus g u n seul point. ]~ chaque point de J correspond un point de E dont l'ordonn6e est minimum. L'ensemble de ces points est une ligne bris4e D convexe d'en bus que nous appelons le diagvamme de Newton de f(z).
7. D est earact6ris6 par les propri6t& suivantes:
I ~ Chaque sommet de D est situ6 duns un des P~.
2 ~ Tous les autres P~ sont situ& sur D ou au dessus.
3 ~ Supposons que D contient une demi-droite L issue d'un point P , = A.
Alors de deux choses une: Ou bien L eontient une infinit6 de points P , ; ou bien, d6signant par B le dernier des points P~ sur L et par L ' la partie de L g partir de B, on rencontrera une infinit6 de points P~ en t o u r n a n t L' autour de B de l'angle s aussi petit que Yon veut. - - (On tourne L' duns le sens posi- tif si L ' va g l'infini g droite; duns le sens n6gatif, si L ' v a g l'infini gauche).
4 ~ Si D se r 4 d u i t ?~ u n e d r o i t e L e o n t e n a n t au moins u n p o i n t P , - - - - A les d e u x demi-droites de D issues de A s a t i s f o n t c h a c u n e ?~ la c o n d i t i o n 3~
5 ~ ) Si D se r4duit s u n e d r o i t e qui ne c o n t i e n t a u e u n p o i n t _P,, il existe mSme une suite partielle des P , d o n t les abscisses c o n v e r g e n t vers + ~c ou - - e t d o n t les distances de D c o n v e r g e n t vers o, t a n d i s que p o u r c h a q u e demi-droite 'contenu dans D et allant vers - - ~ ou + ~ la condition de 3 ~ est satisfaite.
8. I I I . S i une s~rie de Taylor f ( z ) (6, I) poss~de plus d'un terme ~ o (a, = o,
< o) la condition ngcgssaire et suffisante pour qu'elle possOde un diagramme de Newton est que son rayon de convergence soit positifi
Si y - ~ a x + fl, a ~ o est l ' 4 q u a t i o n d ' u n q u e l c o n q u e des Ddmonstration.
cbt4s de D on a
I I
l g ~ a ~ + f l ; _ _ l i m ~ e " ,
done le r a y o n de c o n v e r g e n c e de f ( z ) est ~ e ~ et positif.
S u p p o s o n s d ' a u t r e p a r t que la s4rie de T a y l o r (6, I) air u n r a y o n de con- v e r g e n e e positif, e'est-?~-dire, que p o u r d e u x c o n s t a n t e s positives c, r, convenable- m e n t ehoisies, on air
[ a ~ [ < e r ~ ( ~ = o , I, . . . ) . Alors t o u s l e s points _P, sont situ4s au-dessus de la d r o i t e L
I ~ - - lg c.
y = x lg r
)~ e h a e u n des points P , c o r r e s p o n d u n p o i n t de E avee l'abseisse r, et l'inter- valle J ne se r4duit pas '~ u n seul point.
9. I V . L a condition ndcessaire et sujfisante pour qu'une s~rie de L a u r e n t (6, I) possddant plus d'un terme ~ o possOde un diagramme de Newton, est que pour un z ~ o to~s ses termes soient bombs en module dans leur ensemble.
Ddmonstration. Si (6, I) poss~de u n d i a g r a m m e de 57ewton, soit y = a x + fl la droite c o n t e n a n t u n de c6t4s du d i a g r a m m e . Alors, p u i s q u e a u c u n des P , n ' e s t situ4 au dessous de c e t t e d r o i t e :
1.o.
I__> + I 1_-<
D o n e les t e r m e s de (6, I) sont born4s en m o d u l e p o u r z = - e ~.
1~0
D ' u n a u t r e cbtd, c = e-~ telle q u ' o n a
s'il existe un z ~ o, ]z I - - e ~ et u n e c o n s t a n t e positive
il en r6sulte l e ~],la~l ~ e-~, done I
et a u c u n des points P , n ' e s t situ6 au dessous de la d r o i t e y ~ a x + ft. D o n c E c o n t i e n t au m o i n s d e u x p o i n t s diff6rents: x ~ v, x----v' et le d i a g r a m m e de New-
t o n existe, C . Q . F . D .
E n p a r t i c u l i e r il existe t o u j o u r s u n d i a g r a m m e de N e w t o n p o u r u n e s6rie de L a u r e n t poss6dant plus d ' u n t e r m e ~ o, si cette s5rie poss~de u n e c o u r o n n e de c o n v e r g e n c e .
w 3. La majorante newtonienne, les inclinaisons num6riques et les d6viations.
io. Si (5, i) est u n e s6rie normale, tous les p o i n t s r e p % s e n t a t i f s P , de ses t e r m e s sont situ6s sur la ligne D. - -
Soit a , o le premier coefficient de (6, I) qui est ~ o, s'il existe. D a n s le cas c o n t r a i r e soit n 0 - - - ~ . D e m~me soit n' l'indice du dernier coefficient =4= o de (6, I), s'il existe. Darts le cas c o n t r a i r e soit n ' - - o c . S u p p o s o n s d ' a b o r d que n' > %.
Soit x~(n' ~ v _--> %) l ' o r d o n n 6 e du p o i n t de D c o r r e s p o n d a n t s l'abscisse ~.
Consid6rons le s e g m e n t ( v - - I, v} de l ' a x e des x et le s e g m e n t a~ de D se pro- j e t a n t sur ( ~ - I, ~}. o~ est le ~-i~me segment 616mentaire de D. La diff6rence x , - - x ~ - 1 est l'i~wlinaison logarithmique de a~ et la ~-i~me incliuaison logarith- mique de f ( z ) resp. de D - - le tg de l ' a n g l e e n t r e a~ et l'axe des x. P o s o n s
(~o,~) T ~ = e - ~ (.' _--> ~ >= %), ~ = o ( ~ < . o , ~ > n ' ) ,
(IO, 2) R , : e z ~ - u ' - I - - T , - 1 T,( n ' ~ > n o ) , / L o = o , R . , + ~ = ~ ,
R~+]
(IO, 3 ) D r - -
(no < ~ < -'),
D , , o - - D . , = ~ .R~ sera appel6e la ~-i~me inclinaison num~rique de f ( z ) resp. de D, D~ est Ia ~-i~me d6viation de f(z) resp. de D. (Voir fig. I).
~ , , -- ]K v
Kv.,~
> X
Fig. 1.
I1 r6sulte du c a r a c t b r e eonvexe de D que l'on ~ ~ , + ~ - • ~ x , - ~ - ~ , donc
(IO, 4) / L + I > / L , D , >-- I.
Si D~ > I, v ser~ appel6 u n i n d i c e p r i n c @ a l de D. N o u s c o m p t o n s en o u t r e n 0 a u x indices p r i n c i p a u x de D, s i n o > - - oo, et n', s i n ' < ~ . Les indices p r i n c i p a u x corresponden~ a u x s o m m e t s du d i ~ g r a m m e D . D o n e p o u r un indice p r i n c i p a l v on a
I ~ , l = T , > o .
Si n ' = n o , t o u s l e s T~ s o n t o saul T,~ o = ]a~,,ol , e t n o est l'indice principal.
Si tous les a~ s o n t o, on fMt c h a q u e T~ ~ o.
I1 r4sulte de (IO, 2)
( ~ o , 5) : r ~ + ~ _ 2~ B , , + I . . . B~+~' ~ (~o < ~ < - + ~' < = =
-').
1 t 3 - - 3 9 6 1 5 . Aeta mathematiea. 72. I m p r i m 6 lo 2 m a r s 1 9 4 0 .
I I . E n vertu de (to, 4) l'expression
r
~-oo
est une s4rie normale telle que, si F(z)-- . ~ t~z ~, t~ ~ o est une s6rie n o r m a l e majo- r a n t e de f(z), on a t~ >_-- T,. Nous appellerons (I
I, I)
la majora~#e newto,ienne de f(z). Elle coincide 5videmment avec la m a j o r a n t e n e w t o n i e n n e , d~finie dans lesNos. z, 3, s i f ( z ) est u u polyn6me.
I1 r~sulte de (Io, 4) que, si f ( z ) est une s@ie de T a y l o r ne se r g d u i s a n t pas 's u n polynome, il existe un Q tel que ~
T ~ - I v I
Q
Q est done le r a y o n de convergence de 9~/ et, si Q' est celui de f(z), on a Q' ~ Q.
Or, si un nombre infini de points repr~sentatifs P~ a p p a r t i e n n e n t h D, on a pour une suite partielle des indices v~: I a ~ J -- Ir~, done p a r (I I, 2)
d o n c Q' ~ Q.
D a n s le cas o~ D ne c o n t i e n t q u ' u n nombre fiui des points P~, D c o n t i e n t une d e m b d r o i t e
(L) y : c ~ x + ~, x m % . Done pour ~ ~ %
I T ~ = ( e - ~ ~ e - ~ -
e~ R ~ '
T,~--I
en posant R : e ". I1 eu rdsulte pour v ~ v 0 , R~ I'~ - - R , done R = r Muis d ' u n autre cStd, d'apr~s la propri~t4 3 ~ du No. 7, pour une s@ie partielle des indices v~ les angles des r a y o n s vecteurs c o r r e s p o n d a n t aux points reprdsentatifs P,~ avec la demi-droite L convergent vers o. I1 en rdsulte
--*lg Q,
1 L e s s y m b o l e s l , [ s o n t b l i r e : . . t e n d e n c r o i s s a n t r e s p , d d c r o i s s a n t v e r s . . .
