AbdellatifKbida Chap13:Primitivesetcalculint´egral

Chap 13 : Primitives et calcul int´ egral

Abdellatif Kbida

Lyc´ ee A. Varoquaux

Définition

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R .

On appelle primitive de f sur I une fonction F d´erivable sur I telle que pour tout x de I , F ^′ (x) = f(x).

Exemple

Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = x ² − 2x + 3.

La fonction F d´efinie sur R par F (x) = 1

3 x ³ − x ² + 3x est une primitive de f .

En effet F est d´erivable sur R et pour tout x, F ^′ (x) = f(x).

Définition

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R .

On appelle primitive de f sur I une fonction F d´erivable sur I telle que pour tout x de I , F ^′ (x) = f(x).

Exemple

Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = x ² − 2x + 3.

La fonction F d´efinie sur R par F (x) = 1

3 x ³ − x ² + 3x est une primitive de f .

En effet F est d´erivable sur R et pour tout x, F ^′ (x) = f(x).

Définition

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R .

On appelle primitive de f sur I une fonction F d´erivable sur I telle que pour tout x de I , F ^′ (x) = f(x).

Exemple

Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = x ² − 2x + 3.

La fonction F d´efinie sur R par F (x) = 1

3 x ³ − x ² + 3x est une primitive de f .

En effet F est d´erivable sur R et pour tout x, F ^′ (x) = f(x).

Définition

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R .

On appelle primitive de f sur I une fonction F d´erivable sur I telle que pour tout x de I , F ^′ (x) = f(x).

Exemple

Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = x ² − 2x + 3.

La fonction F d´efinie sur R par F (x) = 1

3 x ³ − x ² + 3x est une primitive de f .

En effet F est d´erivable sur R et pour tout x, F ^′ (x) = f(x).

Définition

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R .

On appelle primitive de f sur I une fonction F d´erivable sur I telle que pour tout x de I , F ^′ (x) = f(x).

Exemple

Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = x ² − 2x + 3.

La fonction F d´efinie sur R par F (x) = 1

3 x ³ − x ² + 3x est une primitive de f .

En effet F est d´erivable sur R et pour tout x, F ^′ (x) = f(x).

Définition

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R .

On appelle primitive de f sur I une fonction F d´erivable sur I telle que pour tout x de I , F ^′ (x) = f(x).

Exemple

Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = x ² − 2x + 3.

La fonction F d´efinie sur R par F (x) = 1

3 x ³ − x ² + 3x est une primitive de f .

En effet F est d´erivable sur R et pour tout x, F ^′ (x) = f(x).

Définition

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R .

On appelle primitive de f sur I une fonction F d´erivable sur I telle que pour tout x de I , F ^′ (x) = f(x).

Exemple

Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = x ² − 2x + 3.

La fonction F d´efinie sur R par F (x) = 1

3 x ³ − x ² + 3x est une primitive de f .

En effet F est d´erivable sur R et pour tout x, F ^′ (x) = f(x).

Définition

Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R .

On appelle primitive de f sur I une fonction F d´erivable sur I telle que pour tout x de I , F ^′ (x) = f(x).

Exemple

Soit f la fonction d´efinie sur R par f (x) = x ² − 2x + 3.

La fonction F d´efinie sur R par F (x) = 1

3 x ³ − x ² + 3x est une primitive de f .

En effet F est d´erivable sur R et pour tout x, F ^′ (x) = f(x).

Théorème (Admis)

Si f est une fonction continue sur un intervalle I , alors f admet des primitives sur I.

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R et F une primitive de f sur I .

• Pour tout r´ eel k, la fonction x 7→ F(x) + k est aussi une primitive de f sur I .

• Si G est une primitive de f sur I, alors il existe un

r´ eel k tel que : pour tout x de I , G(x) = F(x) + k.

Théorème (Admis)

Si f est une fonction continue sur un intervalle I , alors f admet des primitives sur I.

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R et F une primitive de f sur I .

• Pour tout r´ eel k, la fonction x 7→ F(x) + k est aussi une primitive de f sur I .

• Si G est une primitive de f sur I, alors il existe un

r´ eel k tel que : pour tout x de I , G(x) = F(x) + k.

Théorème (Admis)

Si f est une fonction continue sur un intervalle I , alors f admet des primitives sur I.

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R et F une primitive de f sur I .

• Pour tout r´ eel k, la fonction x 7→ F(x) + k est aussi une primitive de f sur I .

• Si G est une primitive de f sur I, alors il existe un

r´ eel k tel que : pour tout x de I , G(x) = F(x) + k.

Théorème (Admis)

Si f est une fonction continue sur un intervalle I , alors f admet des primitives sur I.

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R et F une primitive de f sur I .

• Pour tout r´ eel k, la fonction x 7→ F(x) + k est aussi une primitive de f sur I .

• Si G est une primitive de f sur I, alors il existe un

r´ eel k tel que : pour tout x de I , G(x) = F(x) + k.

Théorème (Admis)

Si f est une fonction continue sur un intervalle I , alors f admet des primitives sur I.

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R et F une primitive de f sur I .

• Pour tout r´ eel k, la fonction x 7→ F(x) + k est aussi une primitive de f sur I .

• Si G est une primitive de f sur I, alors il existe un

r´ eel k tel que : pour tout x de I , G(x) = F(x) + k.

Théorème (Admis)

Si f est une fonction continue sur un intervalle I , alors f admet des primitives sur I.

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R et F une primitive de f sur I .

• Pour tout r´ eel k, la fonction x 7→ F(x) + k est aussi une primitive de f sur I .

• Si G est une primitive de f sur I, alors il existe un

r´ eel k tel que : pour tout x de I , G(x) = F(x) + k.

Théorème (Admis)

Si f est une fonction continue sur un intervalle I , alors f admet des primitives sur I.

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R et F une primitive de f sur I .

• Pour tout r´ eel k, la fonction x 7→ F(x) + k est aussi une primitive de f sur I .

• Si G est une primitive de f sur I, alors il existe un

r´ eel k tel que : pour tout x de I , G(x) = F(x) + k.

Théorème (Admis)

Si f est une fonction continue sur un intervalle I , alors f admet des primitives sur I.

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R et F une primitive de f sur I .

• Pour tout r´ eel k, la fonction x 7→ F(x) + k est aussi une primitive de f sur I .

• Si G est une primitive de f sur I, alors il existe un

r´ eel k tel que : pour tout x de I , G(x) = F(x) + k.

Remarque : si f admet une primitive sur I, alors elle admet une infinit´e de primitives. On dit que deux primitives de f sur I diff´erent d’une constante.

Théorème

Soit f une fonction admettant des primitives sur I .

Etant donn´ ´ e deux r´ eels x ₀ et y ₀ , avec x ₀ appartenant ` a I , il

existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x ₀ ) = y ₀ .

Remarque : si f admet une primitive sur I, alors elle admet une infinit´e de primitives. On dit que deux primitives de f sur I diff´erent d’une constante.

Théorème

Soit f une fonction admettant des primitives sur I .

Etant donn´ ´ e deux r´ eels x ₀ et y ₀ , avec x ₀ appartenant ` a I , il

existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x ₀ ) = y ₀ .

Remarque : si f admet une primitive sur I, alors elle admet une infinit´e de primitives. On dit que deux primitives de f sur I diff´erent d’une constante.

Théorème

Soit f une fonction admettant des primitives sur I .

Etant donn´ ´ e deux r´ eels x ₀ et y ₀ , avec x ₀ appartenant ` a I , il

existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x ₀ ) = y ₀ .

Remarque : si f admet une primitive sur I, alors elle admet une infinit´e de primitives. On dit que deux primitives de f sur I diff´erent d’une constante.

Théorème

Soit f une fonction admettant des primitives sur I .

Etant donn´ ´ e deux r´ eels x ₀ et y ₀ , avec x ₀ appartenant ` a I , il

existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x ₀ ) = y ₀ .

Remarque : si f admet une primitive sur I, alors elle admet une infinit´e de primitives. On dit que deux primitives de f sur I diff´erent d’une constante.

Théorème

Soit f une fonction admettant des primitives sur I .

Etant donn´ ´ e deux r´ eels x ₀ et y ₀ , avec x ₀ appartenant ` a I , il

existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x ₀ ) = y ₀ .

Remarque : si f admet une primitive sur I, alors elle admet une infinit´e de primitives. On dit que deux primitives de f sur I diff´erent d’une constante.

Théorème

Soit f une fonction admettant des primitives sur I .

Etant donn´ ´ e deux r´ eels x ₀ et y ₀ , avec x ₀ appartenant ` a I , il

existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x ₀ ) = y ₀ .

Remarque : si f admet une primitive sur I, alors elle admet une infinit´e de primitives. On dit que deux primitives de f sur I diff´erent d’une constante.

Théorème

Soit f une fonction admettant des primitives sur I .

Etant donn´ ´ e deux r´ eels x ₀ et y ₀ , avec x ₀ appartenant ` a I , il

existe une unique primitive G de f sur I telle que G(x ₀ ) = y ₀ .

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

k d´esigne un r´eel quelconque.

f d´efinie par F primitive de f I

f (x) = a F(x) = ax + k R

f(x) = x ⁿ avec n ∈ N F (x) = _{n +1} ¹ x ^{n +1} + k R f (x) = x ¹

avec n ∈ N n > 1 F (x) = − ₍ n −1) ¹ x

+ k R ^∗

f (x) = x ¹ F (x) = ln x + k ]0; + ∞ [ f (x) = √ ¹ x F (x) = 2 √ x + k ]0; + ∞ [

f (x) = cos x F(x) = sin x + k R

f (x) = sin x F (x) = − cos x + k R

f(x) = 1 + tan ² x = _cos ¹

x F (x) = tan x + k R \ { ^π ₂ + nπ }

Théorème

Soit u et v deux fonctions d´ efinies sur un intervalle I de R admettant les fonctions U et V comme primitives sur I.

• La fonction U + V est une primitive de la fonction u + v sur I.

• Pour tout r´ eel λ, la fonction λU est une primitive

de la fonction λu sur I.

Théorème

Soit u et v deux fonctions d´ efinies sur un intervalle I de R admettant les fonctions U et V comme primitives sur I.

• La fonction U + V est une primitive de la fonction u + v sur I.

• Pour tout r´ eel λ, la fonction λU est une primitive

de la fonction λu sur I.

Théorème

Soit u et v deux fonctions d´ efinies sur un intervalle I de R admettant les fonctions U et V comme primitives sur I.

• La fonction U + V est une primitive de la fonction u + v sur I.

• Pour tout r´ eel λ, la fonction λU est une primitive

de la fonction λu sur I.

Théorème

Soit u et v deux fonctions d´ efinies sur un intervalle I de R admettant les fonctions U et V comme primitives sur I.

• La fonction U + V est une primitive de la fonction u + v sur I.

• Pour tout r´ eel λ, la fonction λU est une primitive

de la fonction λu sur I.

Formes de r´ ef´ erence k d´esigne un r´eel quelconque.

1

La fonction u ^′ u ⁿ (n ∈ N ^∗ ) a pour primitives sur I les fonctions 1

n + 1 u ^{n +1} + k

2

Si u ne s’annule pas sur I, la fonction u ^′

u ⁿ avec n > 1 a pour primitives sur I les fonctions − 1

n − 1 × 1 u ^{n − 1} + k.

3

Si la fonction u est strictement positive sur I , alors la fonction u ^′

√ u a pour primitives sur I les fonctions 2 √

u + k.

Formes de r´ ef´ erence k d´esigne un r´eel quelconque.

1

La fonction u ^′ u ⁿ (n ∈ N ^∗ ) a pour primitives sur I les fonctions 1

n + 1 u ^{n +1} + k

2

Si u ne s’annule pas sur I, la fonction u ^′

u ⁿ avec n > 1 a pour primitives sur I les fonctions − 1

n − 1 × 1 u ^{n − 1} + k.

3

Si la fonction u est strictement positive sur I , alors la fonction u ^′

√ u a pour primitives sur I les fonctions 2 √

u + k.

Formes de r´ ef´ erence k d´esigne un r´eel quelconque.

1

La fonction u ^′ u ⁿ (n ∈ N ^∗ ) a pour primitives sur I les fonctions 1

n + 1 u ^{n +1} + k

2

Si u ne s’annule pas sur I, la fonction u ^′

u ⁿ avec n > 1 a pour primitives sur I les fonctions − 1

n − 1 × 1 u ^{n − 1} + k.

3

Si la fonction u est strictement positive sur I , alors la fonction u ^′

√ u a pour primitives sur I les fonctions 2 √

u + k.

Formes de r´ ef´ erence k d´esigne un r´eel quelconque.

1

La fonction u ^′ u ⁿ (n ∈ N ^∗ ) a pour primitives sur I les fonctions 1

n + 1 u ^{n +1} + k

2

Si u ne s’annule pas sur I, la fonction u ^′

u ⁿ avec n > 1 a pour primitives sur I les fonctions − 1

n − 1 × 1 u ^{n − 1} + k.

3

Si la fonction u est strictement positive sur I , alors la fonction u ^′

√ u a pour primitives sur I les fonctions 2 √

u + k.

Formes de r´ ef´ erence k d´esigne un r´eel quelconque.

1

La fonction u ^′ u ⁿ (n ∈ N ^∗ ) a pour primitives sur I les fonctions 1

n + 1 u ^{n +1} + k

2

Si u ne s’annule pas sur I, la fonction u ^′

u ⁿ avec n > 1 a pour primitives sur I les fonctions − 1

n − 1 × 1 u ^{n − 1} + k.

3

Si la fonction u est strictement positive sur I , alors la fonction u ^′

√ u a pour primitives sur I les fonctions 2 √

u + k.

Formes de r´ ef´ erence k d´esigne un r´eel quelconque.

1

La fonction u ^′ u ⁿ (n ∈ N ^∗ ) a pour primitives sur I les fonctions 1

n + 1 u ^{n +1} + k

2

Si u ne s’annule pas sur I, la fonction u ^′

u ⁿ avec n > 1 a pour primitives sur I les fonctions − 1

n − 1 × 1 u ^{n − 1} + k.

3

Si la fonction u est strictement positive sur I , alors la fonction u ^′

√ u a pour primitives sur I les fonctions 2 √

u + k.

4

Les fonctions u ^′ cos u et u ^′ sin u ont respectivement pour primitives sur I les fonctions sin u + k et − cos u + k.

5

La fonction u ^′ e ^u a pour primitives sur I les fonctions e ^u + k.

6

Si la fonction u est strictement positive sur I , alors la fonction u ^′

u a pour primitives sur I les fonctions ln u + k.

4

Les fonctions u ^′ cos u et u ^′ sin u ont respectivement pour primitives sur I les fonctions sin u + k et − cos u + k.

5

La fonction u ^′ e ^u a pour primitives sur I les fonctions e ^u + k.

6

Si la fonction u est strictement positive sur I , alors la fonction u ^′

u a pour primitives sur I les fonctions ln u + k.

4

Les fonctions u ^′ cos u et u ^′ sin u ont respectivement pour primitives sur I les fonctions sin u + k et − cos u + k.

5

La fonction u ^′ e ^u a pour primitives sur I les fonctions e ^u + k.

6

Si la fonction u est strictement positive sur I , alors la fonction u ^′

u a pour primitives sur I les fonctions ln u + k.

a. Formule de la moyenne

On a vu dans le chapitre calcul int´egral qu’´etant donn´ee une fonction f continue sur [a; b] la valeur moyenne de f sur [a; b]

est :

µ = 1 b − a

Z b a

f (t) dt

la fonction f est continue sur [a; b], elle est born´ee, donc il existe deux r´eels m et M tels que pour tout x ∈ [a; b]

m 6 f(x) 6 M ce qui implique

Z b a

m dx 6 Z b

a

f(x) dx 6 Z b

a

M dx

a. Formule de la moyenne

On a vu dans le chapitre calcul int´egral qu’´etant donn´ee une fonction f continue sur [a; b] la valeur moyenne de f sur [a; b]

est :

µ = 1 b − a

Z b a

f (t) dt

la fonction f est continue sur [a; b], elle est born´ee, donc il existe deux r´eels m et M tels que pour tout x ∈ [a; b]

m 6 f(x) 6 M ce qui implique

Z b a

m dx 6 Z b

a

f(x) dx 6 Z b

a

M dx

a. Formule de la moyenne

On a vu dans le chapitre calcul int´egral qu’´etant donn´ee une fonction f continue sur [a; b] la valeur moyenne de f sur [a; b]

est :

µ = 1 b − a

Z b a

f (t) dt

la fonction f est continue sur [a; b], elle est born´ee, donc il existe deux r´eels m et M tels que pour tout x ∈ [a; b]

m 6 f(x) 6 M ce qui implique

Z b a

m dx 6 Z b

a

f(x) dx 6 Z b

a

M dx

a. Formule de la moyenne

On a vu dans le chapitre calcul int´egral qu’´etant donn´ee une fonction f continue sur [a; b] la valeur moyenne de f sur [a; b]

est :

µ = 1 b − a

Z b a

f (t) dt

la fonction f est continue sur [a; b], elle est born´ee, donc il existe deux r´eels m et M tels que pour tout x ∈ [a; b]

m 6 f(x) 6 M ce qui implique

Z b a

m dx 6 Z b

a

f(x) dx 6 Z b

a

M dx

a. Formule de la moyenne

On a vu dans le chapitre calcul int´egral qu’´etant donn´ee une fonction f continue sur [a; b] la valeur moyenne de f sur [a; b]

est :

µ = 1 b − a

Z b a

f (t) dt

la fonction f est continue sur [a; b], elle est born´ee, donc il existe deux r´eels m et M tels que pour tout x ∈ [a; b]

m 6 f(x) 6 M ce qui implique

Z b a

m dx 6 Z b

a

f(x) dx 6 Z b

a

M dx

a. Formule de la moyenne

On a vu dans le chapitre calcul int´egral qu’´etant donn´ee une fonction f continue sur [a; b] la valeur moyenne de f sur [a; b]

est :

µ = 1 b − a

Z b a

f (t) dt

la fonction f est continue sur [a; b], elle est born´ee, donc il existe deux r´eels m et M tels que pour tout x ∈ [a; b]

m 6 f(x) 6 M ce qui implique

Z b a

m dx 6 Z b

a

f(x) dx 6 Z b

a

M dx

a. Formule de la moyenne

On a vu dans le chapitre calcul int´egral qu’´etant donn´ee une fonction f continue sur [a; b] la valeur moyenne de f sur [a; b]

est :

µ = 1 b − a

Z b a

f (t) dt

la fonction f est continue sur [a; b], elle est born´ee, donc il existe deux r´eels m et M tels que pour tout x ∈ [a; b]

m 6 f(x) 6 M ce qui implique

Z b a

m dx 6 Z b

a

f(x) dx 6 Z b

a

M dx

m(b − a) 6

a

f (x) dx 6 M (b − a) et finalement m 6 1

b − a Z ^b

a

f (x) dx 6 M

donc µ la valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de f sur l’intervalle [a; b]

or f est continue il existe donc un r´eel x ₀ de [a; b] tel que f (x ₀ ) = µ.

Théorème (Formule de la moyenne)

Soit f une fonction continue sur [a; b] il existe un r´ eel x ₀ de [a; b] tel que

f (x ₀ ) = µ = 1 b − a

Z ^b

a

f (t) dt

m(b − a) 6

a

f (x) dx 6 M (b − a) et finalement m 6 1

b − a Z ^b

a

f (x) dx 6 M

donc µ la valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de f sur l’intervalle [a; b]

or f est continue il existe donc un r´eel x ₀ de [a; b] tel que f (x ₀ ) = µ.

Théorème (Formule de la moyenne)

Soit f une fonction continue sur [a; b] il existe un r´ eel x ₀ de [a; b] tel que

f (x ₀ ) = µ = 1 b − a

Z ^b

a

f (t) dt

m(b − a) 6

a

f (x) dx 6 M (b − a) et finalement m 6 1

b − a Z ^b

a

f (x) dx 6 M

donc µ la valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de f sur l’intervalle [a; b]

or f est continue il existe donc un r´eel x ₀ de [a; b] tel que f (x ₀ ) = µ.

Théorème (Formule de la moyenne)

Soit f une fonction continue sur [a; b] il existe un r´ eel x ₀ de [a; b] tel que

f (x ₀ ) = µ = 1 b − a

Z ^b

a

f (t) dt

m(b − a) 6

a

f (x) dx 6 M (b − a) et finalement m 6 1

b − a Z ^b

a

f (x) dx 6 M

donc µ la valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de f sur l’intervalle [a; b]

or f est continue il existe donc un r´eel x ₀ de [a; b] tel que f (x ₀ ) = µ.

Théorème (Formule de la moyenne)

Soit f une fonction continue sur [a; b] il existe un r´ eel x ₀ de [a; b] tel que

f (x ₀ ) = µ = 1 b − a

Z ^b

a

f (t) dt

m(b − a) 6

a

f (x) dx 6 M (b − a) et finalement m 6 1

b − a Z ^b

a

f (x) dx 6 M

donc µ la valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de f sur l’intervalle [a; b]

or f est continue il existe donc un r´eel x ₀ de [a; b] tel que f (x ₀ ) = µ.

Théorème (Formule de la moyenne)

Soit f une fonction continue sur [a; b] il existe un r´ eel x ₀ de [a; b] tel que

f (x ₀ ) = µ = 1 b − a

Z ^b

a

f (t) dt

m(b − a) 6

a

f (x) dx 6 M (b − a) et finalement m 6 1

b − a Z ^b

a

f (x) dx 6 M

donc µ la valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de f sur l’intervalle [a; b]

or f est continue il existe donc un r´eel x ₀ de [a; b] tel que f (x ₀ ) = µ.

Théorème (Formule de la moyenne)

Soit f une fonction continue sur [a; b] il existe un r´ eel x ₀ de [a; b] tel que

f (x ₀ ) = µ = 1 b − a

Z ^b

a

f (t) dt

m(b − a) 6

a

f (x) dx 6 M (b − a) et finalement m 6 1

b − a Z ^b

a

f (x) dx 6 M

donc µ la valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de f sur l’intervalle [a; b]

or f est continue il existe donc un r´eel x ₀ de [a; b] tel que f (x ₀ ) = µ.

Théorème (Formule de la moyenne)

Soit f une fonction continue sur [a; b] il existe un r´ eel x ₀ de [a; b] tel que

f (x ₀ ) = µ = 1 b − a

Z ^b

a

f (t) dt

m(b − a) 6

a

f (x) dx 6 M (b − a) et finalement m 6 1

b − a Z ^b

a

f (x) dx 6 M

donc µ la valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de f sur l’intervalle [a; b]

or f est continue il existe donc un r´eel x ₀ de [a; b] tel que f (x ₀ ) = µ.

Théorème (Formule de la moyenne)

Soit f une fonction continue sur [a; b] il existe un r´ eel x ₀ de [a; b] tel que

f (x ₀ ) = µ = 1 b − a

Z ^b

a

f (t) dt

b. Int´ egrale fonction de sa borne sup´ erieure

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], on d´efinit sur [a; b] une fonction A telle que

A [a; b] → R t 7−→

Z ^t

a

f (x) dx

b. Int´ egrale fonction de sa borne sup´ erieure

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], on d´efinit sur [a; b] une fonction A telle que

A [a; b] → R t 7−→

Z ^t

a

f (x) dx

b. Int´ egrale fonction de sa borne sup´ erieure

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], on d´efinit sur [a; b] une fonction A telle que

A [a; b] → R t 7−→

Z ^t

a

f (x) dx