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114 p 86. Un ensemble de barycentres.

A, B et C sont trois points non alignés de l’espace et k est un réel de l’intervalle [−1 ; +1].

On note G_k le barycentre des points pondérés (A, k² + 1), (B, k) et (C, −k).

1. Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire les points G₁ et G₋₁.

G₁ est le barycentre de (A, 2), (B, 1) et (C, −1), il existe car 2 + 1 – 1 ≠ 0

2−1 ≠ 0 donc il existe un point H barycentre de (A, 2) et (C, −1) ; il est défini par AH^→ = − AC^→ G₁ est alors le barycentre de (H, 1) et (B,1) soit le milieu de [HB].

ou G₁ est le barycentre de (A, 2), (B, 1) et (C, −1) ⇔ 2AG1

→ + BG^→₁ − CG^→₁ = o^→

⇔ 2AG1

→ + BG^→₁ + G^→₁C = o^→

⇔ 2AG1

→ + BC^→ = o^→ ⇔ AG1

→ = (−1/2) BC^→

G₋₁ est le barycentre de (A, 2), (B, −1) et (C, 1), il existe car 2 – 1 + 1 ≠ 0

2−1 ≠ 0 donc il existe un point K barycentre de (A, 2) et (B, −1) ; il est défini par AK^→ = − AB^→ G₋₁ est alors le barycentre de (K, 1) et (C,1) soit le milieu de [KC].

ou G₋₁ est le barycentre de (A, 2), (B, −1) et (C, 1) ⇔ 2AG-1

→ − BG^→_-1 + CG^→_-1 = o^→

⇔ 2AG-1

→ + G_-1^→B + CG^→_-1 = o^→

⇔ 2AG-1

→ + CB^→ = o^→ ⇔ AG-1

→ = (1/2) BC^→

2. a. Démontrer que pour tout réel k de l’intervalle [−1 ; +1], on a l’égalité AG^→→→→_k = -k

k² + 1 BC^→→→→ .

G_k est le barycentre des points pondérés (A, k² + 1), (B, k) et (C, −k) il est donc défini par (k² + 1)G^→_kA + k G^→_kB − k G^→_kC = o^→

or (k² + 1) G^→_kA + k G^→_kB − k G^→_kC = o^→

⇔ (k² + 1) G^→kA + k(G^→_kB − G^→_kC ) = o^→

⇔ (k² + 1) G^→_kA + k CB^→ = o^→

⇔ AGk

→ = -k

k² + 1 BC^→ on obtient bien l’égalité souhaitée.

b. Dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur [−1 ; +1] par f(x) = -x x² + 1 .

f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine [−1 ; +1]

f’(x) = -(x² + 1) + x(2x)

(x² + 1)² = x² - 1

(x² + 1)² = (x - 1)(x + 1) (x² + 1)²

f’(x) a le signe du trinôme (x – 1)(x + 1) qui est négatif ou nul dans [−1 ; +1]

donc f décroît dans cet intervalle.

c. En déduire l’ensemble des points G_k quand k décrit l’intervalle [−1 ; +1].

l’égalité AG^→_k = -k

k² + 1 BC^→ nous indique que :

AG^→_k et BC^→ sont colinéaires donc que G_k se déplace sur la parallèle (D) à (BC) passant par A.

G_k a pour abscisse x_k = -k

k² + 1 dans le repère (A ; BC^→ ) de la droite (D).

l’étude de f (avec x à la place de k …) nous indique que −1/2 ≤ x_k≤ 1/2 or x_k = −1/2 quand k = 1 et x_k = 1/2 quand k = −1

donc G_k décrit le segment [G₁G₋₁] quand k décrit l’intervalle [−1 ; +1].

A

B

C

H

G₁ K

G-₁