Correction Ex 114 p 161
1. Tracé des courbes.
a)
b) Par lecture graphique, les solutions sont les abscisses des points d’intersection.
On trouve trois solutions qui sont -1,9, 0 et 1,9 (ce sont des valeurs approchées, sauf pour zéro).
2. a) sin(0) = 0 et 0
2 = 0. 0 est donc une solution de cette équation.
b) Supposons que x0 soit solution de l’équation donc x0
2 = sin(x0) donc - x0
2 = - sin(x0) mais la fonction sinus est impaire donc - x0
2 = sin( - x0)
On vient de démontrer que - x0
2 est aussi solution de (E).
c) On suppose x0 > 0.
x0
2 = sin(x0) ≤ 1 car - 1 ≤ sin(x) ≤ 1 pour tout x a r donc x0
2 ≤ 1 c’est-à-dire x0≤ 2.
3. a) h(x) = sin x – x
2 est dérivable sur [0 ; p ].
h’(x) = cos(x) – 1 2 Pour x a [0 ; p
3 ], cos x ≥1
2 donc h’(x) ≥ 0 Pour x a [ p
3 ; p], cos x ≤1
2 donc h’(x) ≤ 0 donc h est croissante sur [0 ; p
3 ] et décroissante sur [ p 3 ; p].
b) h(0) = 0, h(p 3) = 3
2 – 1
2 > 0 et h(p) = - 3 2 Pour x a [ p
3 ; p], la fonction h est décroissante, h(p
3) > 0 et h(p) < 0 donc il existe x0 a [ p
3 ; p] tel que h(x0) = 0.
c) Sur la calculatrice, on s’aperçoit que 1,89 ≤ x0 ≤1.9.
4. L’équation x
2 = sin(x) admet donc trois solutions qui sont - x0, 0 et x0.
