PH-415 PHYSIQUE DES CAPTEURS

PH-415

PHYSIQUE DES CAPTEURS

Pierre Lemaître-Auger ESISAR - INPG

Septembre 2014

INTRODUCTION

«Que de connaissances doit maîtriser celui ou celle qui développe un système de mesure, depuis les

disciplines fondamentales jusqu’au disciplines appliquées qui permettent la mise en œuvre réelle

du système»

Bernard Decomps

3

0.1 Un peu d’histoire ...

La mesure débute avec l’homme

Corde à 13 nœuds :

90° 30° 60°

Temps :

Chaleur :

4

0.1 … et de contexte

Le besoin de comprendre

Lois scientifiques

Quantification

Instruments de mesure

Echelle de mesure

3 1

0 2

5

0.1 … et de contexte (2)

Le besoin de contrôler

Industrialisation

Procédé industriel

Mesure

Décision

Action

Systèmes complexes

6

0.2 Définition du capteur

Qu’entend-on par capteur ?

Un instrument de mesure qui assure une fonction de conversion d’un paramètre physique vers

un signal électrique.

Pour le cours :

Scan 1

0.3 Importance économique des

capteurs (1)

Marché européen du capteur*

* Selon des données de 2008

Marché mondial:

36 milliards € Europe : 28%

0.3 Importance économique des

capteurs (2)

Importance des familles de capteurs*

Marché mondial du capteur: 36 milliards € Europe : 28%

Les prévisions économiques: 6% d’augmentation/année 2008-2011

Europe représente 20% du marché global de l’électronique Croissance prévue : 3% 2008-2011

Europe et le monde*

9

Extrait de : Sensors technoloy and devices, Ljubisa Ristic

0.3 Importance économique des capteurs (3)

Instrumentation - air conditionné, - système antivol,

- système de guidage, ...

Sécurité - airbag,

- pression des pneus, - freins abs, ...

Moteur

- injection d’air pressurisé,

- contrôle des gaz d’échappement, - qualité de l’huile,

- transmission automatique ...

Stabilisation du châssis - anti-dérapage,

- suspension active, ...

Les capteurs et l’industrie automobile

10

0.4 La mesure

Utilité actuelle de la mesure

Qualité d’un produit ou d’un échange commercial : travail d’ingénieur Outil d’investigation scientifique et industrielle : travail R&D

• description des phénomènes

• garantie de qualité

• garantie de quantité

• pérennisation des connaissances à long terme déduction

vérification de lois

{

Aspect légal :

normes à respecter

11

0.5 Objectifs du cours

 Etre capable de mettre en œuvre des capteurs industriels.

 Etre capable d'estimer les ordres de grandeurs des diverses quantités rencontrées lors d’une telle mise en œuvre.

 Savoir mettre en œuvre les circuits électroniques les plus adaptés aux capteurs passifs afin de minimiser les grandeurs d’influence.

 Etre capable de relier un capteur à un circuit électronique en préservant au mieux l’intégrité du signal.

 Connaître les principes physiques utilisés pour transformer un phénomène physique en un signal électrique et être capable de choisir le plus adapté à une situation particulière.

12

0.6 Contenu du cours

 Introduction

 Caractéristiques générales

 Capteurs de température

 Capteurs de position et de déplacement

 Grandeurs diverses

 Contraintes

 Pression et vide

 Humidité

 Débit

13

0.7 Bibliographie

Jacob FRADEN Georges ASCH

CHAPITRE 1

Caractéristiques générales

15

Plan du chapitre 1

 1.1 Capteur : réponse et définitions

 1.2 Mise en œuvre d’un capteur : chaîne de mesure

 1.3 Que peut-on mesurer ?

 1.4 Caractéristiques statiques

 1.5 Erreurs de mesure

 1.6 Protection contre les couplages électriques et magnétiques

 1.7 Etalonnage d’un capteur

 1.8 Caractéristiques dynamiques

 1.9 Conditionnement des signaux

 1.10 Transmission des signaux

16

1.1 Capteur : réponse et définitions (1)

Grandeur physique à mesurer

(Mesurande)

Signal électrique de sortie

x ^CAPTEUR s

Perturbations

x

( )

s = f x x ,

17

1.1 Capteur : réponse et définitions (2)

Capteur

x Transducteur 1 ^x

Transducteur 2 s

Transducteur : partie intégrante d’un capteur qui modifie une

quantité physique (déplacement, énergie,...) en une seconde quantité physique.

Membrane Jauge de contrainte Exemple :

Pression Tension

électrique

18

1.1 Capteur : réponse et définitions (3)

Corps d’épreuve

X X

^CAPTEUR s

Exemple (projet industriel ESISAR de 98) : mesure de puissance

Capteur

Torsion Jauge de contrainte Puissance

Corps d’épreuve

Corps d’épreuve

19

1.1 Capteur : réponse et définitions (4)

Capteurs actifs

Capteurs passifs

1

s

4

Circuit d’excitation

s

Ce sont des générateurs : modifient directement l’énergie physique à mesurer en énergie électrique.

Ex. : effet thermoélectrique, piézo-électrique, ...

Ex. : jauges de contraintes, résistance de platine ...

Ce sont des impédances variables dont l’un des paramètres est sensible au

mesurande.

1.2 Mise en œuvre d’un capteur :

chaîne de mesure (2)

Exemples types de chaîne de mesure, capteur actif

Capteur

Actuateur

Un capteur ne s’utilise bien évidemment pas seul. On le place dans un circuit électronique. Le tout se nomme chaîne de

mesure.

A / D Ordinateur

(CPU)

Interface

Capteur

Actuateur

Ordinateur (CPU)

Interface A / D

Liaison numérique

Liaison analogique

1.2 Mise en œuvre d’un capteur :

chaîne de mesure (2)

Exemples types de chaîne de mesure, capteur passif

Capteur

Actuateur

A / D Ordinateur

(CPU)

Interface + excitation

Capteur

Actuateur

Ordinateur (CPU)

A / D Liaison numérique

Liaison analogique Interface

+ excitation

Ces exemples ne sont pas exhaustifs.

22

1.3 Que peut-on mesurer ? (1)

• Les grandeurs mesurables

• relation d’équivalence

• relation d’ordre total (>, =, <, ...)

• opération interne : addition

• opération externe : x par un scalaire

Masse Longueur Angles, ...

Exemples

On ne peut pas tout mesurer directement. On distingue 3 types de grandeurs physiques :

Ici, pas de soucis, vous trouverez un capteur qui convient si vous cherchez.

23

1.3 Que peut-on mesurer ? (2)

• Les grandeurs repérables

• Les indicateurs

• relation d’équivalence

• relation d’ordre total (>, =, <, ...)

• opération interne : addition

• opération externe : x par un scalaire

Les échelles de dureté L’échelle de Richter

Intelligence

Degré de fatigue Taux de pollution

Exemples

Ici, un peu de remue-méninge est nécessaire. On doit définir une stratégie peut mesurer indirectement ces deux types de grandeur. A la fin, ce sont toujours des grandeurs mesurables

que l’on mesure !

• relation d’équivalence

• relation d’ordre total (>, =, <, ...)

• opération interne : addition

• opération externe : x par un scalaire

24

1.4 Caractéristiques statiques (1)

1.4.1 Courbe de réponse

x s

x

s

s = + a b ln x s = ae

s = a

+ a x

+ a x

s a x

i n

=

∑

s = + a bx

Variation de la tension (ou du courant) de sortie en fonction du

mesurande

Linéaire

Puissance

Logarithmique Exponentielle

25

1.4 Caractéristiques statiques (2)

1.4.2 Sensibilité

m s

i

x

x x_i

=

=

∂

∂

x s

x

s

Pente de la tangente de la courbe de réponse à la valeur x_i du mesurande

26

1.4 Caractéristiques statiques (3)

1.4.3 Résolution

1.4.4 Seuil

x s

x

s

∆x

∆s

Résolution à x = 0

Plus petit incrément ∆x_i du mesurande qui provoque, au voisinage de x_i une variation de sortie détectable

27

1.4 Caractéristiques statiques (4)

1.4.5 Etendue de mesure

«Span» ou «Input Full Scale (FS)»

Plage du mesurande que peut traiter un capteur

x s

x

x

s

s

FSO = s

− s

FS = x

− x

Linéaire :

FS x

=  x

  

  20 log

min

Non linéaire :

«Full scale output»

28

1.4 Caractéristiques statiques (5)

Etendue de mesure

Zone de non-destruction Zone de non-détérioration

1.4.6 Zones d’utilisation d’un capteur

plage de mesure exploitable

étalonnage correct, résultats faux

1 + 1 = 3

capteur encore bon, étalonnage à refaire

s

29

1.5 Erreurs de mesure (1)

1.5.1 Idée générale

Normalement, on doit donner le résultat d’une mesure (x) accompagnée d’une incertitude (∆x ou en %). Cette incertitude, c’est l’erreur de mesure.

100 y x

x ⋅

∆ =

L’incertitude de mesure peut provenir de plusieurs éléments :

Erreur du capteur Erreurs intrinsèques à la chaîne de mesure : bruit électronique

et couplage de bruit externe Erreurs liées à la mise

en œuvre du capteur

Capteur Ordinateur

(CPU)

Interface Liaison analogique A / D

x = x

± ∆x

x = x

± y%

30

1.5 Erreurs de mesure (2)

1.5.2 Erreur du capteur : gabarit de réponse (I)

Tolérances de fabrication, Variations des matériaux, Erreurs de conception, Travail humain, ...

s

≠

Gabarit Vraie réponse

Inconnue

Réponse théorique

Courbe donnée par le constructeur

31

1.5 Erreurs de mesure (3)

1.5.2 Erreur du capteur : gabarit de réponse (II)

Spécification de l’erreur :

x s

s_mes

x_mes x

δ

∆

∆ ≥ δ

- ∆

- % FS : ∆ / ( x

-x

) * 100%

- ∆s

∆s

Véritable erreur.

Inconnue ! Erreur nominale

du capteur

32

1.5 Erreurs de mesure (4)

1.5.2 Erreur du capteur : gabarit de réponse (III) Exemple :

Précision de la mesure :

x (mm) s (mV)

9 9,5

9,5

± 0,5 mm

± 5 % du FS

± 0,5 mV

10 Capteur de position

Span : 10 mm

Courbe de réponse : s = m⋅x avec m = 1 mV/mm

33

1.5 Erreurs de mesure (5)

1.5.3 Erreurs du capteur – Erreur de calibration

Erreur tolérée par le constructeur lors de la calibration à l’usine.

Erreur est systématique, mais pas nécessairement uniforme.

x s

x₁ s₂

x₂ Vrai réponse

Calibration

Points de calibration s₁

δs

δx

s = mx+b

s = m’x+b’

34

1.5 Erreurs de mesure (6)

1.5.3 Erreurs du capteur – Erreur d’hystérésis

Déviation de la courbe théorique selon le sens du mesurande Erreur non uniforme.

x s

s₂

x Vrai réponse

s₁

2δs 2δx

Courbe théorique

Causes physiques :

• friction;

• changement structurel des matériaux.

35

1.5 Erreurs de mesure (7)

1.5.3 Erreurs du capteur – Erreur de non linéarité (I)

Intervient lorsque la réponse réelle du capteur est non linéaire mais que la réponse constructeur est considérée linéaire.

Il y a plusieurs façon de linéariser une courbe.

Erreur systématique et non uniforme.

1^ère : moindre carré

x s

x

Vrai réponse Courbe théorique

δx s_mes

δs Exemple :

Thermomètre Température ext.

-40 à +40

Minimisation de l’erreur sur toute la plage de mesure.

36

1.5 Erreurs de mesure (8)

2^ième : région d’intérêt : tangente en un point

1.5.3 Erreurs du capteur – Erreurs de non linéarité (II)

x s

x_int Vrai réponse

Courbe théorique

δx s_mes

δs

x

Intéressante lorsque l’on recherche une bonne précision dans une région particulière et « assez petite »

Exemple :

Thermomètre Corps humain

37°C

37

1.5 Erreurs de mesure (9)

1.5.3 Erreurs du capteur – Erreurs de non linéarité (III)

3^ème : extrémités

x s

x

Vrai réponse Courbe théorique

δx s_mes

s_théo

δs Exemple :

Thermomètre Etude de H₂O 0°C et 100°C

Beaucoup moins classique. Intérêt : minimiser l’erreur près des deux extrémités

38

1.5 Erreurs de mesure (10)

1.5.3 Erreurs du capteur – Erreurs de répétitivité

Incapacité du capteur à donner la même valeur de sortie pour une même valeur du mesurande (les autres conditions étant les mêmes)

• charges électrostatiques

• micro-déformations

plastiques des matériaux, ...

Causes physiques : Erreur aléatoire et non uniforme.

x

s

39

1.5 Erreurs de mesure (11)

1.5.3 Erreurs du capteur – «Partie morte» (Dead band)

Insensibilité du capteur dans une région spécifique, généralement pour x = 0.

Erreur systématique et non uniforme.

x s

δx

Exemple : potentiomètre

40

1.5 Erreurs de mesure (12)

1.5.4 Erreurs liées à la mise en œuvre – Erreur de finesse

Une erreur de finesse est commise lorsque la présence du capteur modifie la quantité à mesurer !

Exemple :

Capteur de température à contact dont la dimension est aussi ou plus importante que celle de l’objet considéré.

C’est l’utilisateur qui doit l’évaluer (ou la faire évaluer par des experts) pour son application particulière.

Heureusement, on ne la rencontre pas toujours.

Objet

Instrument

Chaleur

41

1.5 Erreurs de mesure (13)

• Dérive temporelle lente : Drift

Faible et lente modification des caractéristiques nominales d’un capteur dans le temps.

Devrait être inclue dans les erreurs statiques, ∆

1.5.4 Erreurs liées à la mise en œuvre – Drift

Temps

s

Ce type de variations est souvent dû à des petites fluctuations des caractéristiques des composants électroniques causées par de

faibles variations de température.

42

1.5 Erreurs de mesure (14)

L’ensemble de la chaîne de mesure est soumis à des erreurs aléatoires.

1.5.5 Bruit – Types de bruit

On distingue 2 types de bruit selon sa provenance :

• bruit intrinsèque : provient des divers éléments de la chaîne de mesure

• bruit extrinsèque : provient de sources extérieures à la chaine de mesure.

Ces erreurs aléatoires se manifestent par du bruit sur le signal électrique mesuré.

Amplitude et signe sont aléatoires dans le temps.

43

1.5 Erreurs de mesure (15)

1.5.5 Bruit – Bruits intrinsèques (I)

Etudions l’expérience suivante :

On observe que la tension fluctue autour d’une valeur moyenne

T e m p s

T e n s i o n ( V )

V

∆V

V = T ¹ ∫

Vdt

T

( ∆V ) ( )

T

V V

2 2

0

= 1 ∫ −

Valeur RMS de la fluctuation :

R(T)

V

Enceinte contrôlée, T, P, humidité constantes

Pile (V_s)

R₁

44

1.5 Erreurs de mesure (16)

• Bruit thermique ou bruit de Johnson :

Ce phénomène s’explique par la nature discrète du courant. Les porteurs de charge sont en effet des particules discrètes.

f₁

f₀

f₂ f₃ f₄

conducteur

électron

i = 0 (∆i)² = 0

Certains électrons vont osciller à la fréquence f , f , f , ...

1.5.5 Bruit – Bruits intrinsèques (II)

Sur une frontière quelconque nous aurons donc un courant instantané non nul.

45

1.5 Erreurs de mesure (17)

• Bruit thermique ou bruit de Johnson (suite) :

On montre, par la physique statistique, que la distribution spectrale du courant vaut :

(en A²s)

C’est le carré du courant instantané dans la résistance R à la fréquence f. On voit qu’il est le même pour toutes les fréquences.

Constante de Boltzmann : k_B = 1.381 x 10^-23 J/K

σ

k T

≈ 4 R

1.5.5 Bruit – Bruits intrinsèques (III)

( ) ^{∆ i}

^df ( ^{f f} ) ^{∆ f}

f

i i

2

2 1

1

= ∫

^σ = ^σ − = ^σ

Le carré du courant instantané total, soit la variance du courant, est donc :

46

1.5 Erreurs de mesure (18)

• Bruit thermique ou bruit de Johnson (suite) : où : - f₁ est la fréquence de coupure basse du circuit

- f₂ la fréquence de coupure haute du circuit.

- ∆f est la bande passante du circuit.

( ) ∆ i k T ∆ R

f

2

= 4 i k T

R f

J

= 2

∆

Toute résistance électrique, quelle que soit sa nature, se comporte comme une générateur de courant de moyenne i = 0, mais de valeur

1.5.5 Bruit – Bruits intrinsèques (IV)

En pratique, on trouve souvent une valeur en A / √Hz

47

1.5 Erreurs de mesure (19)

• Bruit de grenaille (shot noise) ou bruit de Schottky :

Il existe une autre source de bruit liée à la nature discrète des

porteurs de charge dans le cas de barrière de potentiel (jonction pn, diodes, transistors, ...) : c’est le bruit de grenaille.

Celui-ci résulte de l’injection aléatoire de porteurs de charge dans la zone de déplétion.

Par un calcul similaire à celui du bruit thermique, on montre que :

( ) ∆ i

= 2 eI f ∆ i

= 2 eI f ∆

électron

p n

région intrinsèque

1.5.5 Bruit – Bruits intrinsèques (V)

48

1.5 Erreurs de mesure (20)

A cause des phénomènes que nous venons de voir, toutes les

sources électroniques produiront du bruit dans la chaîne de mesure :

V

= V

+ e

I

= I

+ i

En conclusion, tous les éléments de la chaîne de mesure vont contribuer à l’apparition de bruits sur la mesure !

Exemple : source de courant pour diodes

Range : 0 - 200 mA Resolution : 0.1 mA

Noise : < 1 µA rms, 10 MHz bandwith Drift : < 100 ppm/°C

1.5.5 Bruit – Bruits des sources

49

1.5 Erreurs de mesure (21)

1.5.6 Erreurs aléatoires et loi normale (I)

Dans la très grande majorité des cas, la répartition des mesures en présence d’erreurs aléatoires obéit à une distribution normale,

représentée par une gaussienne :

( )

1

2 2

2

πσ exp− −σ2

 



x x

x : moyenne

σ : écart-type définit par :

( )

σ =

−

−

∑

n

i n

2

1

50

1.5 Erreurs de mesure (22)

1.5.6 Erreurs aléatoires et loi normale (II)

Distribution

x x σ

La loi normale permet de localiser :

- la valeur la plus probable : la mesure

- ainsi que l’intervalle de confiance désiré : l’incertitude

Confiance Incertitude

68 % ± σ

95 % ± 2σ

99,7 % ± 3 σ

51

1.5 Erreurs de mesure (23)

1.5.7 Evaluation de plusieurs incertitudes de mesure

Que faire lorsque que l’on a plusieurs erreurs différentes ? 1° Si une formule mathématique existe :

On utilise le calcul variationnel :

(

,

,

... )

y = f x x x

1 2 3

1 2 3

f f f ...

y x x x

x x x

∂ ∂ ∂

∆ = ∆ + ∆ + ∆ +

∂ ∂ ∂

On se trouve ainsi à « additionner » les erreurs.

52

1.5 Erreurs de mesure (24)

1.5.7 Evaluation de plusieurs incertitudes de mesure

Bruit du capteur 0,1 °C Bruit de l’amplificateur 0,05 °C Vieillissement du capteur 0,25 °C

2 2 2

1 2 3

x x x x

∆ = ∆ + ∆ + ∆ RSS :

2° Si plusieurs causes indépendantes sont spécifiées séparément et qu’aucune formule n’existe, on utilise la formule « RSS » :

RSS : Root Sum Square Exemple :

53

1.5 Erreurs de mesure (25)

1.5.8 Fidélité d’un capteur

Qualité d’un capteur pour lequel les incertitudes sont faibles.

Distribution

x

Fidèle Non fidèle

Distribution

x

54

1.5 Erreurs de mesure (26)

Distribution

x

Juste Non juste

Distribution

x 1.5.9 Justesse d’un capteur

Qualité d’un capteur pour lequel la moyenne des mesures est proche de la valeur exacte (valeur vraie).

x

x

x ≈

55

1.5 Erreurs de mesure (27)

1.5.10 Précision d’un capteur

Un capteur sera considéré précis s’il est fidèle et juste à la fois.

Distribution

x

Distribution

x x

Distribution

x PRECIS

NON PRECIS

x

x =

x =

1.6 Protection contre les couplages

électriques et magnétiques (1)

1.6.1 Champs électriques (I)

• Couplage des champs ou charges électriques au circuit de mesure

R_c

Z_d V_s

V_L

Z R

V_s

e

C_p

C_p

1.6 Protection contre les couplages

électriques et magnétiques (2)

1.6.1 Champs électriques (II)

• Protection contre les champs électriques

V_L

C₁

R_c

Z_d V_s

Z_d R_c

V_s

e_s

C₁ C₂

C₂

1.6 Protection contre les couplages

électriques et magnétiques (3)

1.6.1 Champs électriques (III)

• Règles de blindage électrique :

1° Le blindage doit être relié au potentiel de référence du circuit de mesure, au plus près du capteur.

R

R

Blindage

Potentiel de référence

2° Si le câble comporte des sections, on relie les segments adjacents ensemble et le premier au potentiel de référence du circuit de mesure.

Blindage

R

R

1.6 Protection contre les couplages

électriques et magnétiques (4)

1.6.1 Champs électriques (IV)

• Règles de blindage électrique (suite) :

3° Si le capteur lui-même est blindé, on relie ce blindage à celui du câble comme suit :

4° On utilise un blindage pour chaque signal relié au «système de contrôle»

Capteur 1

Capteur 3

Système de contrôle

Capteur 2

R

R

Potentiel de référence Blindage Blindage

1.6 Protection contre les couplages

électriques et magnétiques (5)

1.6.2 Champs magnétiques (I)

• Interaction entre champ magnétique et chaîne de mesure :

R_c

R_d

B B

n

R

R

m

( )

e d B nA

m

= −   dt ⋅

Loi de Faraday : (en V)

B : vecteur d’induction magnétique (champ magnétique) en T

1.6 Protection contre les couplages

électriques et magnétiques (6)

1.6.2 Champs magnétiques (II)

• Protection contre les champs magnétiques

2° Diminuer la surface A : utilisation de paires torsadées

δ = π µσ 1 f

conductivité (Ω^-1 cm^-1) σ = 1 / ρ (ρ : résistivité) f : fréquence

perméabilité du matériau µ = µ_r µ₀ (µ₀ = 4π x 10 ^-7 Hm^-1)

1° Positionner le câble de telle sorte que A soit

perpendiculaire au champ B. Impossible en pratique !!!

3° Utiliser un blindage métallique :

B

x x

B

B B x

= −







0 exp

δ profondeur de peau

1.6 Protection contre les couplages

électriques et magnétiques (7)

1.6.2 Champs magnétiques (III)

• Protection contre les champs magnétiques 3° Utiliser un blindage métallique (suite) :

Profondeurs de peau pour divers métaux (en mm) :

100 Hz 1 kHz 100 kHz 1MHz

cuivre 6.6 2.1 0.2 0.08

aluminium 8.5 2.7 0.3 0.08 acier 0.66 0.20 0.02 0.008

Conclusion : un blindage métallique peut convenir à haute fréquence mais pas du tout à basse fréquence.

63

1.7 Etalonnage d’un capteur (1)

1.7.1 Direct et indirect

Direct : on soumet le capteur à une valeur connue du mesurande que l’on nomme étalon de mesure.

Précision sur le mesurande >> précision capteur

Indirect : on utilise un capteur de référence et on soumet les deux aux mêmes conditions de mesure de préférence simultanément.

Plus facile mais généralement moins précis

64

1.7 Etalonnage d’un capteur (2)

1.7.2 Simple

Un seul paramètre de calibration !

Vraie réponse Réponse théorique

x s

x s

2 points 3 points

65

1.7 Etalonnage d’un capteur (3)

1.7.3 Multiple

• Tenir compte de toutes les grandeurs d’influence : Exemple : capteur de pression

On établit une première courbe de réponse à T=T₁, une seconde à T = T₂, ...

• Tenir compte de propriétés des matériaux soumis à la mesure : Exemple : capteur électromagnétique de niveau (Société Krohne) On donne la réponse du capteur pour tous les fluides rencontrés.

• Tenir compte de la succession des valeurs lors de l’étalonnage Exemple : dans le cas d’hystérésis et si l’on désire une meilleure précision, on peut procéder à une calibration dans le sens positif et à une seconde dans le sens négatif.

66

1.8 Caractéristiques dynamiques (1)

1.8.1 Généralités (I)

Temps

Mesurande

Temps

Capteur

Inerties mécanique, thermique, électrique…

+

R, L, C de la chaîne de mesure Capteur ne suit pas le mesurande Réponse temporelle typique à un échelon :

Exemple :

Causes :

67

1.8 Caractéristiques dynamiques (2)

1.8.2 Réponse fréquentielle

x = x

+ x

cos(ωt) s = s

+ s

cos(ωt + ψ)

Mesurande Petit signal

Lien entre x et s : équation différentielle 1

ordre 2

ordre

s₁ : amplitude du signal électrique ψ : phase du signal électrique

0 1

1

1 x ,

m s

x

=    

 

Sensibilité dynamique :

(Note : valable en petit signal)

68

1.8 Caractéristiques dynamiques (3)

1.8.2 Réponse fréquentielle, 1

ordre (I)

A ds

( )

dt + Bs = x t

( ) ^{( )}

s t = s e

x t ( ) = x e

i As e ω

+ Bs e

= x

s x

B f

f_c

1

1

2

1

=

+  



ψ = − 

  arctg f f



f B

= 2π

Equation différentielle :

Excitation : Solution :

Equation différentielle

Fréquence de coupure :

Amplitude : Phase :

69

1.8 Caractéristiques dynamiques (4)

1.8.2 Réponse fréquentielle, 1

ordre (II)

Amplitude :

Phase :

f / f _c 0 . 0 1 0 . 1 0 1 . 0 0 1 0 . 0 0 1 0 0 . 0 0

S 1/ ( x 1 * B

) (

e n d

B )

- 5 0 - 4 0 - 3 0 - 2 0 - 1 0 0

f / f _c 0 . 0 1 0 . 1 0 1 . 0 0 1 0 . 0 0 1 0 0 . 0 0

Ψ ( ° )

- 1 0 0 - 8 0 - 6 0 - 4 0 - 2 0 0

70

1.8 Caractéristiques dynamiques (5)

1.8.2 Réponse fréquentielle, 1

ordre (III)

V i

C i₁

i₂

R R

Exemple :

Flux optique, φ

V_b

ψ ψ

+ η η

= ω φ

+ η

= η φ

+

= φ

⋅ η

=

i i

dét dét

2 1 dét

1 Ve C Ve

i

R V 1 dt

dV C

i i

Mesurande i Signal s

η_dét : sensibilité du détecteur Constante A

Constante B Notation complexe :

i = η φ

71

1.8 Caractéristiques dynamiques (6)

1.8.2 Réponse fréquentielle, 2

ordre (I)

A d s ( )

dt B ds

dt Cs x t

2

2

+ + =

( ) ^{( )}

s t = s e

x t ( ) = x e

− ω

As e

+ i Bs e ω

+ Cs e

= x

Equation différentielle :

Excitation : Solution :

Equation différentielle

Terme d’amortissement

72

1.8 Caractéristiques dynamiques (7)

1.8.2 Réponse fréquentielle, 2

ordre (II)

ψ η

= −

− 

 

































 arctg

f f

f f 2

0 1

0 2

s x

C f

f f

f

1

1

0

2 2

2

0 2

1 4

=

−  

 

 

 + 

  η 

f C

0

A

1

= 2

π

Fréquence propre du système non amorti : (B = 0)

Amplitude : Phase :

η = ⋅ B C A

Coefficient d’amortissement :

2

73

1.8 Caractéristiques dynamiques (8)

1.8.2 Réponse fréquentielle, 2

ordre (III)

Amplitude :

Phase :

f / f ₀ 0 . 0 1 0 . 1 0 1 . 0 0 1 0 . 0 0 1 0 0 . 0 0

S 1/ ( x 1 / C

) ( e n d B )

- 8 0 - 6 0 - 4 0 - 2 0 0

η = 1/√2 η = 1

η = 2 η = 0,4 η = 0,1

f / f ₀ 0 . 0 1 0 . 1 0 1 . 0 0 1 0 . 0 0 1 0 0 . 0 0

Ψ ( ° )

- 1 8 0 - 1 5 0 - 1 2 0 - 9 0 - 6 0 - 3 0 0

η = 1/√2 η = 1

η = 2 η = 0,4 η = 0,1

74

1.8 Caractéristiques dynamiques (9)

1.8.2 Réponse fréquentielle, 2

ordre (IV)

Modèle physique

M

h h₀

Force

rappel Frottement

visqueux

h : position de la masse sismique, h₀ : position du boîtier,

x : déplacement masse

2

2 2

0

2 2 2

2 2

0

m F

d h

d h d x dx

M M b kx

dt dt dt dt

d h d x b dx k

a x

γ =

 

=  −  = − −

 

 

= = − − 

∑

Mesurande pas un signal

électrique x

Exemple : accéléromètre

h = h₀ - x

75

1.8 Caractéristiques dynamiques (10)

1.8.3 Réponse fréquentielle (I)

Mesurande

Sortie

Passe-bas Passe-haut Passe-bande

2^ème ordre 1^er ordre

Résonnant

76

1.8 Caractéristiques dynamiques (11)

1.8.3 Réponse fréquentielle (II)

Quelques définitions :

Temps X

100 % 90 %

10 %

t

Temps de montée : temps pour que le signal passe de 10 % à 90 % de sa valeur maximale pour une excitation en échelon. t_m

Temps de réponse : temps pour que le signal atteigne ε % de sa valeur maximale.

ε % doit être indiqué. t_r

80%

77

1.8 Caractéristiques dynamiques (12)

1.8.3 Réponse fréquentielle, 1

ordre

A ds

dt + Bs = x

Equation différentielle :

Solution :

s x

B

= −  − t









  

 

0

1 exp

τ

τ = A B

Condition initiale :

s(t = 0) = 0

x

= x

Constante de temps :

f B

c

= A

2 π τ

= π 1 2 f

;

78

1.8 Caractéristiques dynamiques (13)

1.8.3 Réponse fréquentielle, 2

ordre (I)

A d s

dt B ds

dt Cs x

2

2

+ + =

Equation différentielle :

x

= x

( )

s t = 0 = 0 ds

dt

=

0

0

Conditions initiales :

ω

= C A

2 paramètres :

79

1.8 Caractéristiques dynamiques (14)

1.8.3 Réponse fréquentielle, 2

ordre (II)

η

Amortissement critique Faible amortissement

( ) ( ) (

( ) )

0 2

0

2 0

2

1 exp sin 1 1

arcsin 1 x t

s t t

C

ηω η ω

η

η

 −

=  − − +

 −



− 

( ) ( ( ) ( ) )

s t x

C t t

= ⁰ 1− +1 ω₀ exp − ω₀

( ) ( )

( )

2 0 2

2 0

2

2 2 0

1

s t x 1 exp 1 t

C 2 1

+ 1exp 1 t

2 1

 η + η −  

=  − η −  −η + η − ω 

η − η −η −  −η − η − ω 

< 1/√2

=1/√2

Amortissement fort

> 1/√2

80

1.8 Caractéristiques dynamiques (15)

1.8.3 Réponse fréquentielle, 2

ordre (III)

Temps de montée le plus court : amortissement faible Dépend du dépassement (ε %) toléré !

ω est un indicateur de la vitesse : ω , t

ω ₀ t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

S 1/ ( x 1 /

C

) ( e n d B )

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 . 0

η = 1/√2 η = 0.4

η = 0.1

η = 4

η = 1

Compromis intéressant 0.6 < η < 0.7

81

1.8 Caractéristiques dynamiques (16)

1.8.4 Synthèse

• Aucun capteur ne peut suivre parfaitement les variations temporelles du mesurande.

• Le constructeur doit donner une indication de la vitesse de réponse :

• Temps de montée

• Temps de réponse à ε %

• Fréquence de coupure (haute ou basse)

• Fréquence d’oscillation et coefficient d’amortissement (2^ième ordre)

• L’utilisateur doit être en mesure de calculer, à partir des données d’un des régimes (t ou f), celles du second.

82

1.9 Conditionnement des signaux (1)

1.9.1 Circuits électriques des capteurs passifs (I)

Capteur passif :

∆x ∆Z

Mesurande

Impédance

Electronique de conditionnement : Comment transformer une variation d’impédance (résistance) en un signal électrique ?

C’est à cette question que nous allons répondre dans cette section.

∆Z

∆V

∆f

83

1.9 Conditionnement des signaux (2)

1.9.1 Circuits électriques des capteurs passifs (II)

Sensibilité totale :

i i

c T

x x c x x

Z

V V

m x ₌ Z x ₌

∂

∂ ∂

= = ⋅

∂ ∂ ∂

Capteur Electronique

• Dans le premier cas :

Les circuits ont-ils une réponse linéaire ?

∆Z

∆V

Si un capteur a une réponse linéaire, il faut que la réponse du circuit soit linéaire pour que la réponse globale le soit

84

1.9 Conditionnement des signaux (3)

1.9.2 Source de courant

V = i R

R

>> R

R

V R

Electronique de

mesure et d’analyse

i

R

: résistance du capteur

sensibilité du capteur

i i

c

T s s capteur

x x x x

R

m V i i m

x

x

∂

= ∂ = = ⋅

∂ ∂

Inconvénient : coût d’une source de courant.

85

1.9 Conditionnement des signaux (4)

1.9.3 Circuit potentiométrique

r

R

R

R

V

V

Electronique de

mesure et d’analyse

( ) ( )

V V R R

R r R R R r R

s

c d

c s e d c s e

= + + + +

V V R

R r R

s

c

c s e

= + +

R

>> R

Pas

linéaire !!

86

1.9 Conditionnement des signaux (5)

1.9.3 Circuit potentiométrique en push-pull (I)

Un circuit push-pull est réalisable uniquement si on peut avoir en même temps une variation positive et négative de x de même grandeur :

r_s R₁

R₂ V_s

∆ R

= m

⋅ ∆ x

∆ R

= m

⋅ (- ∆ x)

On a besoin de 2 capteurs identiques

Exemples : jauges de contraintes Exemple :

capteur de déplacement

87

1.9 Conditionnement des signaux (6)

1.9.3 Circuit potentiométrique en push-pull (II)

R

>> R

r

R

R

R

V

V

Electronique de

mesure et d’analyse

R

= R

+ ∆R

R

= R

- ∆R

( ) ( )

V V R R

R R r R R

s

c

c s c

= +

+ + + −

0

0 0

∆

∆ ∆ ∆ ∆

V V R

R r

s

c s

= 2 ₀ + La réponse est maintenant linéaire.

0

2 0

c s

s

R R

V V

R r

= + ∆

+

V = V + ∆V

88

1.9 Conditionnement des signaux (7)

1.9.3 Circuit potentiométrique en push-pull (III)

Minimisation des grandeurs d’influence (push-pull) (I)

R_c = R₀ + ∆R_c R_c’ = R₀ + ∆R_c’

r

R

R

V

V

V V R R

R R R

s

c

c c

= +

+ + _′

0

2 0

∆

∆ ∆

[

]

0

2

2 2

c c c c

s

c c

R R R R R

V V

R R R

′ ′

′

+ ∆ + ∆ + ∆ − ∆

= + ∆ + ∆

V_s R_c R_c

=  + −

 

′ 

∆ ∆

∆R_c = m∆x + m_p∆x_p

∆R_c’ = m(-∆x) + m_p∆x_p

89

1.9 Conditionnement des signaux (8)

1.9.3 Circuit potentiométrique en push-pull (IV)

Minimisation des grandeurs d’influence (push-pull) (II)

∆ ∆ ∆

∆ ∆

V V R R

R R R

s c c

c c

= −

+ +

′

2 2 ₀ ′

( ) ( )

(

) (

)

s

0 p p p p

m x m x m x m x V V

2 2R m x m x m x m x

∆ + ∆ − − ∆ + ∆

∆ = + ∆ + ∆ + − ∆ + ∆

0 0

2

2 2 2 2

1

s s

p p

p p

V m x V m x

V R m x R m x

R

∆ ∆

∆ = + ∆ = ⋅ + ∆

∆R_c = m∆x + m_p∆x_p

∆R_c’ = m(-∆x) + m_p∆x_p Perturbations

V = V + ∆V

90

1.9 Conditionnement des signaux (9)

1.9.3 Circuit potentiométrique en push-pull (V)

Minimisation des grandeurs d’influence (III)

∆ ∆

V V ∆ R

m x m x

R

s

p p

= 

  

 

+ 

  

  2

1

0

Si m_p∆x_p << R₀, on peut considérer que ce système est quasiment

insensible aux perturbations

En pratique, on choisit R₀ pour que ce soit vrai (à peu près…).

Cependant, plus on augmente R₀, plus la sensibilité diminue