Montrer que Hessmr est positive en tout point

Première année

Optimisation déterministe et stochastique

UFR Sciences et techniques 2014-2015

1. Soit p∈R. Calculer le gradient et la hessienne de l’application (x, y, z)7→r^p= (x²+y²+z²)^p/2 définie sur R³\ {0}. Montrer que Hessmr est positive en tout point.

2. Soith:R→R, J:Rⁿ→R, Φ :R^m→Rⁿ. Montrer que

∇(h◦J◦Φ)(x) =h⁰◦J ◦Φ(x)^TΦ⁰(x) [(∇J)◦Φ]

Calculer le gradient dex7→ kxk^p en dehors de l’origine, avec préel et k kla norme euclidienne.

Donner une formule analogue pour Hess(h◦J◦Φ).

3. Déterminer pour chacune des fonctions suivantes les points critiques et leurs types

f₂(x, y) =y−4x²+ 3xy−y² f₃(x, y) =x²−4xy+ 2y² f₄(x, y) = 4x−6y+x²−xy+ 2y² f₅(x, y) = 12x−4y−2x²+ 2xy−y² f₆(x, y) =xy+x³+y³ f₇(x, y) =x⁴+x²−6cy+ 3y² f₈(x, y) =x⁴+x²+xy−y² f₉(x, y) =x²−6xy+ 10x−2y−5 f₁₀(x, y) =xy²+x³y−xy f₁₁(x, y) = 3x⁴+ 3x²y−y³ f₁₂(x, y) = (x−1)⁶+ (x−e^y)⁴ f₁₃(x, y) = sinx+ siny+ sin(x+y) f14(x, y) =xe^y+ye^x f15(x, y) = e^xsiny f₁₆=√

x√³

y−x−2y f₁₇= xy

(1 +x²)(1 +y²) f18= x

1 +x²+y² f19=x²y²+x²+y²+ 2axy(a≥0) f20= (x²+y²)^x

4. Soit C le cercle de rayon 1 et ∆ la droite d’équation x+y =L avecL >√

2. Soit J la fonction définie par

J(M, P) =kM −Pk², M ∈C, P ∈∆.

Exprimer la fonction J en fonction des variablesθ, u paramétrantC et L :

C={(cosθ,sinθ), θ∈R}, ∆ ={(L/2 +u, L/2−u), u∈R}.

Étudier les points extrémaux de J et leurs types. En donner une description géométrique.

5. Soitf :x= (x1, . . . , xn)7→x²_n+ (1 +x³_n)Pn−1

i=1 x²_i. Déterminer les points critiques de f : quels sont leur type ? Montrer que0 est un minimum local, mais non global.

6. Trouver les extrema locaux sur]−1/2,1/2[² de la fonctionf donnée parf(x, y) =x²+y²+ cos(x²+y²).

Même question sur [−1/2,1/2]².

7. Trouver les extrema locaux de la fonction définie sur (R^∗+)² définie parf(x, y) =xy/[(1 +x)(1 +y)(x+y)]

8. Trouver les extrema locaux de la fonction définie sur R² définie par f(x, y) = e^xsiny. Même question sur [0,1]×[0,2π].

9. SoitU1, U2 définies surR²++ définie parU1(x, y) = (lnx+lny)² etU2(x, y) =U1(x, y)+e^−x. Les fonctions U1 et U2 sont-elles coercives ? Atteignent-elles leur minimum ? Décrire leurs ensemble de minimum.

10. Soita, b, c∈Rⁿ, U0(x) =kxk²=x²₁+. . .+x²_n six= (x1, . . . , xn)et Ua(x) =U0(x−a).

(1) Montrer que∇U0(x) = 2xet ∇Ua(x) = 2(x−a). (2) Montrer que le problème d’optimisation

x∈minRⁿ

(U0(x−a) +U0(x−b) +U0(x−c)) a une unique solution qui est un minimum strict.

(3) Que dire du problème d’optimisation

x∈minRⁿ

(kx−ak+kx−bk+kx−ck)?

1

11. L’aire du triangle avec des côtés de longueurs`1, `2, `3 est A(`1, `2, `3) =p

p(p−`1)(p−`2)(p−`3) où2p=`1+`2+`3.

Montrer que le problème de maximisation d’aire à périmètre fixé peut se mettre sous la forme maxy∈CB(y)

oùC est compact. En déduire que ce problème admet une solution.

Montrer qu’il est équivalent à un programme avec contrainte d’égalité. Conclure.

12. Soitf :R²→Rdéfinie par

f(x, y) =xy(1−x) +y(1−y), (x, y)∈R². (1) Calculer∇f(x, y) et Hessf(x, y).

(2) Déterminer les points critiques def, discuter leur nature.

(3) Quels sont parmi les points critiques ceux qui réalisent un maximum local de f ? La fonction f admet-elle un maximum global (unique ?), un minimum global (unique ?).

(4) Tracer les courbes de niveau dansR². 13. Étudier les extrema de f sous contraintes g= 0

(1) f(x, y) =x³+y³−xy et g(x, y) =x+y−1 (2) f(x, y) =xy et g(x, y) =x+ 3y−4

(3) f(x, y) =x²+y et g(x, y) = 2x²+y²−3 (4) f(x, y, z) = 2xyz et g(x, y) =x²+y²+z²−3

(5) f(x, y, z) = 2xyz et g(x, y, z) = (x²+y²−1, x+z−1) (6) f(x, y) =x²+y² et x²+xy+y²−3 = 0

14. Chercher les minima et maxima de la la fonctionf(x, y, z) =x²+y²+z² sous les contraintesx²+y²= 1 et x²−x+y²−z²= 1

15. Etudier les maxima et optima de la fonction f(x, y, z) =xyz sous la contrainte x⁻¹+y⁻¹+z⁻¹= 1 16. SoitA matrice symétrique d’ordre n définie positive,b∈Rⁿ et JA,b définie surRⁿ par

JA,b(x) =1

2hAx, xi − hb, xi, x∈Rⁿ.

La fonction JA,b a un minimum unique noté x_∗. Le spectre σ(A) de A est ordonné λ1 ≤λ2 ≤ · · · ≤λn, où les valeurs propres multiples sont répétées suivant leur multiplicité. Le conditionnement κ(A) de A est défini parκ(A) =kAk kA⁻¹k. On notera par h , iA et k kA le produit scalaire et sa norme associée déterminée suivant kxk²_A=hAx, xi.

(1) Exprimerx_∗ en fonction de A et b.

(2) Soit α∈Ret (ek, rk, xk)_k≥0 la suite vérifiant

ek =xk−x_∗, rk =Axk−b, xk+1=xk−αrk. (a) Montrer que Ae_k=r_k, puis donner une relation entre e_k et e₀.

(b) Montrer que la suite xk converge vers x_∗ si et seulement si 0< α <2/λn. Donner le α_∗ qui assure la convergence la meilleure de la suite xk et montrer que pour cet α_∗

kekk ≤

κ(A)−1 κ(A) + 1

^k ke0k.

(3) Soit (ek, rk, xk, αk)k≥0 la suite vérifiant

ek=xk−x_∗, rk =Axk−b αk=hrk, rki/hArk, rki, xk+1=xk−αkrk. On supposera rk non nul pour tout k.

(a) Montrer que

krk+1k²_A−1 =krkk²_A−1− krkk⁴/krkk²_A En déduire que

kr_k+1k_A−1

krkk_A⁻¹ ≤ λ_n−λ₁ λn+λ1

(b) Montrer que

kekkA≤

κ(A)−1 κ(A) + 1

k

ke0kA.

On admettra l’inégalité de Kantorovitch (la première inégalité découle de Cauchy-Schwarz) kxk²≤ kxkAkxkA⁻¹ ≤ λ₁+λ_n

2√ λ1λn

kxk².

(4) Soit (ek, rk, αk, xk, Kx₀,k)_k≥0 la suite vérifiant

e_k=x_k−x_∗, r_k =Ax_k−b α_k=hrk, r_ki/hArk, r_ki, x_k+1=x_k−α_kr_k.

avec Kx₀,k=Vect(r0, Ar0, . . . , A^kr0) le sous-espace de Krylov d’ordrek et d’opérateur A engen- dré par le vecteur x0.

(a) Montrer par récurrence que

xk=x0+AP(A)r0=x∗+ [1 +AP(A)](x0−x∗) avecP polynôme de degré au plus k−1.

(b) Montrer que

kekkA= inf{ke0+AP(A)e0kA, P ∈Rk−1[X]}

oùR^d[X]est l’espace des polynômes de degré au plus d. (c) Montrer que

kekkA=ke0k max

λ∈σ(A)|P(λ)|

et en déduire quexn=x∗. (d) Montrer que

pλ1kvkA≤ kAvk ≤p λnkAvk puis que

krkk ≤p

κ(A)kekkA

ke₀k kr0kA.

(e) Soit Tk le polynôme de Tchebytchev de degrék et QA,k le polynôme défini par

QA,k(x) = Tk

λ_n+λ₁−2λ λ_n−λ1

T_k

λ_n+λ₁ λ_n−λ1

.

Montrer que pourλ∈σ(A)

|QA,k(λ)| ≤2

pκ(A)−1 pκ(A) + 1

!^k

et en déduire que

kekkA≤2

pκ(A)−1 pκ(A) + 1

!^k ke0kA. On rappelle que

Tk(x) =

(cos(karccosx) si|x| ≤1,

1

2[(x+√

x²−1)^k+ (x−√

x²−1)^k] si|x| ≥1.

17. Soit A définie positive d’ordre n, b ∈Rⁿ et J définie sur Rⁿ parJ(x) =hAx, xi/2− hx, bi avecx_∗ son unique point de minimum.

La suite(xk, rk, dk)de la méthode du gradient conjugué est définie à partir de la valeur initiale x0, r0=Ax0−b=A(x0−x_∗), d0=−r0

et, tant querk 6= 0, suivant la récurrence xk+1=xk−hrk, d_ki

kdkkA

dk, rk+1=Axk+1−b, dk+1=−rk+1+hrk+1, d_kiA

kdkk²_A dk. (1) En remarquant que

x_k+1= argmin_α∈R[α7→J(x_k−αd_k)], montrer que le vecteur x_k+1 est le point de minimum deJ sur l’espace

Vk=x0+Vect(d0, d1, . . . , dk).

(2) Montrer par récurrence que

Vk=x0+Vect(r0, Ar0, . . . , A^kr0) En remarquant J(x) =J(x_∗) +kxk−x_∗k²_A/2, en déduire que

xk+1= argmin_P∈Rk[X]k(1 +P(A)A)(x0−x_∗)kA

où Rk[X]désigne l’espace des polynômes de degré au plus k. (3) Montrer que pour S polynôme

kS(A)k= sup

i

|S(λi)|

si (λ_i)est le spectre deA.

(4) Soit τ₁ > τ₂ > . . . τ_r la suite des valeurs propres disctinctes de A et Q_r le polynôme Q_r(X) = hQr

j=1(1−X/τj)−1i

/X. Évaluer max^r_i=1(1 +λiQr(λi))et en déduire que la suite (xk) atteint en au plus rétapes le point de minimum x∗.

18. SoitA surjective. Montrer que l’opérateur P_A=^TA(A^TA)⁻¹Aest bien défini et de norme (euclidienne) 1.

On pourra marquer que PA est un projecteur orthogonal.

19. Soit la fonctionJ définie sur R² suivantJ(x, y) =x⁴+y⁴+ 4xy (1) Prouver que tous ses ensembles de niveau sont compacts.

(2) Déterminer tous ses points critiques, ainsi que leur nature.

(3) On applique l’algorithme du gradient à pas fixe à la minimisation de J.

(a) Prouver que, pour tout point initial M0 = (x0, y0), l’algorithme produit, pour h assez petit, une suite bornée.

(b) Fixons h. Montrer que sikM0k est assez grand, alors la suite (Mk)tend vers +∞.

(c) Montrer que l’itération de M0 = (u0, u0) au pas constant h se réduit à l’étude d’une suite numérique(uk(h)). PourM0= (1,1), calculer les itérés avec le pash= 0.25. Que se passe-t-il avech= 0.5? Faire une étude analogue pourM0= (u0,−u0).

20. Soit `∈ R<sup>n</sup>, A inversible et B deux matrices symétriques d’ordre n et la fonction JA,B,` =KA,`+LB

avecK<sub>A,`</sub>(x) =<sup>1</sup><sub>2</sub>kAxk<sup>2</sup>+h`, xiet L_B(x) = ¹₃kBxk³. (1) Montrer que la fonction J_A,B,` est coercive.

(2) Montrer queK_A,` est indéfiniment différentiable. Calculer son gradient et sa hessienne enx∈Rⁿ. (3) Montrer queL_B est différentiable sur Rⁿ avec

∇xL_B=kBxkB²x

Montrer que L_B est deux fois différentiable à l’origine, avec sa dérivée seconde nulle.

(4) Montrer queLB est indéfiniment différentiable en dehors de la partie {Bx= 0} et que HessxLB(h) =kBxk kBhk²+kBxk⁻¹hBx, Bhi².

Suggestion: On pourra remarquer que

D(kF)(x)[h] =h∇k(x), hiF(x) +k(x)DF(x)(h), h∈Rⁿ

si k : V(⊂ Rⁿ) →R et F : V → Rⁿ. En particulier, vu que ∇(ϕ◦J)(x) = ϕ⁰◦J(x)∇J(x) et Hess(J)[h]' hD(h∇J,·i)(h), hi,

Hess(ϕ◦J)[h] =h∇k(x), hihF(x), hi+k(x) HessJ(x)[h], x∈V, h∈Rⁿ avec k=ϕ⁰◦J.

(5) On suppose que B est inversible. Déduire de ce qui précède l’existence de α tel que JA,B,` soit α-elliptique, puis que que JA,B,` a un unique minimum sur Rⁿ.

(6) Reprendre la question précédente lorsque B n’est pas inversible.

21.

(1) Soit B une matrice d’ordre p×n. Montrer que B est de rang n si et seulement si ^TBB est inversible.

(2) Montrer qu’une matriceA carrée est symétrique définie positive si et seulement si elle se factorise comme A=^THH avec H carrée inversible.

(3) Soit le problème dit des moindres carrésmin_x∈RnkAx−bk² oùb∈R^p et Aest une matrice p×n, (avec en général p≥n).

(a) On suppose que la norme considérée est la norme euclidienne, i. e. kxk² = ^Txx. Calculer le gradient de la fonction J à minimiser. Quel est alors un point candidat pour être minimum ? (b) Calculer la hessienne de J ; conclure.

(c) Reprendre l’expression du minimum lorsque le problème est pondéré c’est à dire kxk est la norme donnée par kxk²=^TxQxavec Qune matrice symétrique définie positive.

22. Soit A à m lignes (supposées ici linéairement indépendantes) et n colonnes, b ∈ R^m et x0 ∈ Rⁿ. La plus courte distanced(x0, EA,b) entre un pointx0 et le sous-espaceEA,b d’équation Ax=b peut s’écrire comme le programme quadratique

Ax=bmin

T(x−x0)(x−x0).

Montrer que le multiplicateur de Lagrange à l’optimum est λ_∗ =−(^TAA)⁻¹(b−Ax₀) et que la solution est x_∗=x₀+^TA(A^TA)⁻¹(b−Ax₀)

Montrer que dans le cas où A est un vecteur ligne, le sous-espaceE_A,b est un hyperplan et que d(x0, EA,b) =kAx0−bk

kAk .

23. Soit U définie par U(x, y, z) = x²+y²+z². Montrer que U restreinte à {x⁴+y⁴+z⁴ = 32} admet (0,2,2) comme extremum, qui n’est pas un minimum (local), ni un maximum.

24. Étudier les extrema de U(x, y) =x²+y sous la contrainte 2x²+y²= 3.

25. Soit J la fonction définie parJ(x, y) =x+y² et D le demi-disque D ={x≥0, x²+y²≤1}. Discuter les extrema deJ surD et ceux de sa restriction J_|∂D à son bord ∂D.

26. Soient ai, bi, ci réels positifs non nuls. Étudier le programme inf

Paixi≤b

Xc_ix⁻¹_i .

27.

(1) En étudiant les extrema de la fonctionU(x) =x1. . . xn sur S={x²₁+. . .+x²_n= 1}, montrer que U(x)≤

1

√n n

, x∈S.

(2) Montrer que pour x∈Rⁿ

|x1. . . xn| ≤ kxk2

√n n

, x∈Rⁿ.

28. Discuter suivanta, b >0 les extrema de la fonctionU(x, y, z) =x³+y³+z³ soumis à la double contrainte x+y+z=a et x²+y²+z²=b².

29. Chercher les minima et maxima de la la fonction U(x, y, z) =x²+y²+z² sous les contraintes x²+y²= 1 et x²−x+y²−z²= 1

30. Soit l’ellipsoïde E ={Pn

j=1a_jx²_j = 1} (tous les a_i sont positifs non nuls). Soit y ∈Rⁿ. Montrer que le point xdeE le plus proche de y vérifie xj =yj/(1 +λaj) avecλvérifiant

n

X

k=1

ak

yk

1 +λak

² .

31. Soitp >1 et la norme kxkp définie surRⁿ par kxk^p_p=P

i|xi|^p. Soitz∈Rⁿ.

(1) Montrer que la fonction t7→ |t|^p est dérivable sur Rde dérivéet7→p|t|^p−1t⁻¹. (2) Soit z∈Rⁿ et ζ= (z_isign(z_i)). Montrer que

max

kxkp≤1hz, xi= max

kξkp≤1hζ, ξi.

puis que

min

kxkp≤1hz, xi=− max

kxkp≤1h−z, xi.

(3) Résoudre les programmes

max

kxkp≤1hz, xi, min

kxkp≤1hz, xi et en déduire l’inégalité de Hölder

|hz, xi| ≤ kxkpkzkq, x, z∈Rⁿ

avec q déterminé parp⁻¹+q⁻¹= 1. L’inégalité précédente est-elle égale pour x, z∈Cⁿ ? (4) Résoudre le programme

kxkmax_p=1hz, xi.

On étudiera la validité de la condition lagrangienne du deuxième ordre au point de maximum.

32. SoitA symétrique. Montrer que le programme max

kxk2=1hAx, xi

a pour solution un vecteur propre deA. Comment interpréter sa valeur propre ?.

33. L’aire du triangle de côtés c1, c2, c3 est donnée par la formule de Héron A(c1, c2, c3) =p

p(p−c1)(p−c2)(p−c3) où2p=c₁+c₂+c₃.

(1)

(2) Exprimer le problème de maximisation d’aire à périmètre2pfixé en le mettant sous la forme maxy∈CB(y)

où C est compact convenablement choisi de même que la fonction B. (3) Montrer que ce problème admet une solution et qu’il est équivalent à

y∈Int(C)max B(y).

(4) Conclure.

34. SoitMn l’espace des endomorphisme de Rⁿ euclidien.

(1) Montrer que(A, B)7→tr(^TAB)définit un produit scalaire sur M_n. Introduit par Frobenius, il sera noté h , iF.

(2) Soit x, y∈ Rⁿ et Px,y l’opérateur de rang1 définit par Px,y(v) =xhy, vi. Montrer que la forme linéaire A ∈ M_n 7→ hy, Axi est représenté dans M_n par l’opérateur P_y,x, i. e. tr(^TAP_y,x) = hy, Axi.

(3) Soit K symétrique définie positive. Étudier le programme min

H=TH,Hx=y

kH−Kk²_F

35. Soit W, K symétriques définies positives d’ordre n, x, y dans Rⁿ avec W y=x. Soit k kW la norme de Frobenius pondérée par W définie par

kAk²_W =kW^1/2AW^1/2k²_F = tr(W^1/2TAW AW^1/2) Étudier le programme

min

H=TH,Hx=y

kH−Kk²_W

36. Montrer poura, b, c positifs r b+c

2a+b+c +

r c+a 2b+c+a+

r a+b

2c+a+b ≤1 + 2

√3

37. SoitA une matrice d’ordre(m, n), b∈R^m,b∈R^m,c∈Rⁿ. Écrire les conditions d’optimum du premier ordre nécessaires pour les deux programmes

x∈minRⁿ

[kAx−bk²+ 2hc, xi], min

y∈R^m TAy=c

ky−bk.

38. Soient (ai, b, cj) positifs non nuls. Résoudre le programme min

Pn i=1aixi≤b

xi≥0 n

X

i=1

c_ix⁻¹_i

39. En écrivant les différentes conditions de Karush-Kuhn-Tucker, résoudre le programme.

inf

x²+y²≤1[y²−2x−x²].

40. Soitb∈Rⁿ de norme 1 et le programme inf

kxk≤1/2 hb,xi≤0

[−ln(1− kxk²) +hb, xi].

Calculer la hessienne de U(x) =−ln(1− kxk²) +hb, xi et en déduire que la fonction U est strictement convexe.

Montrer que le programme a une solution unique (utiliser un argument de convexité) et appliquer les conditions KKT avant de résoudre le programme.

41. Étudier les conditions KKT pour le programme min

x²+y²≤9[x³+y²] 42. Soient u, v∈Rⁿ avecu≤v. Résoudre les programmes

u≤x≤vmin



kxk²+ X

1≤i<j≤n

xixj





min

u≤x≤v



kxk²+ X

1≤i,j≤n

x_ix_j



 sup

u≤x≤v



kxk²+ X

1≤i,j≤n

x_ix_j





43. Soient u, v∈Rⁿ et M réel. Étudier les programmes

x,y∈minRⁿ

kxk²+hx, yi+kyk²+ 2hu, xi+ 2hv, yi min

x,y∈Rⁿ hu,xi+hv,yi≤M

kxk²+hx, yi+kyk²+ 2hu, xi+ 2hv, yi

44.

(1) Résoudre le programme

max

kxkp≤1hz, xi

et en déduire l’inégalité de Hölder, avec q déterminé parp⁻¹+q⁻¹= 1,

|hz, xi| ≤ kxk_pkzk_q, x, z∈Rⁿ. (2) Résoudre le programme

max

kxkp=1hz, xi.

On étudiera la validité de la condition lagrangienne du deuxième ordre au point de maximum.

45. Montrer queC est convexe si et seulement si θ₁x₁+. . .+θ_nx_n ∈C pour tout x₁, . . . , x_n dans C et des réels θ₁, . . . , θ_n positifs tels queθ₁+. . .+θ_n= 1.

46. Déterminer si les parties suivantes sont convexes.

(1) La tranche {x∈Rⁿ, α≤ ha, xi ≤β}. (2) Le rectangle{x∈Rⁿ, α_i ≤x_i≤β_i}.

(3) Le secteur {x∈Rⁿ,ha₁, xi ≤α₁,ha₂, xi ≤α₂}.

(4) PourS partie etx_∗∈Rⁿ, la partie {x∈Rⁿ,kx−x_∗k ≤ kx−sk, s∈S}.

(5) PourS, T parties, la partie AS,T ={x∈Rⁿ, d(x, S)≤d(x, T)} avecd(x, S) = infs∈Skx−sk. (6) La partie{x∈Rⁿ, x+S2⊂S1} siS1, S2 sont deux convexes

47. SoitC une partie convexe d’un Hilbert H et ε >0 Montrer que Cε=

y∈H, d(y, C) = inf

x∈Ckx−yk ≤ε

est un convexe.

48. Soient a, b deux points distincts de E=Rⁿ (ou E Hilbert). Montrer que P ={kx−ak ≤ kx−bk} est convexe, en fait un demi-espace {hv, xi ≤c} où on précisera le vecteur v et le scalairec.

49. Soitxc∈Rⁿ et A une matrice symétrique définie positive d’ordre n. Montrer que l’ellipsoïdeE de centre xc défini par E ={x:hA(x−xc), x−xci ≤1} est convexe.

50. SoitA matrice symétrique d’ordre n, b∈Rⁿ,c réel etC={x∈Rⁿ,hAx, xi+hb, xi+c≤0}. (1) Montrer que C est convexe si A est positive

(2) Soitg∈Rⁿ non nul ethréel. Montrer queC∩ {hg, xi+h= 0} est convexe s’il existe λ réel telle quehAx, xi+λhg, xi² soit positive.

(3) Que dire des réciproques ?

51. Soit A matrice d’ordre (m, n), b∈ R^m, c∈ Rⁿ, d ∈R et f(x) = (Ax+b)/(hc, xi+d) avec domf = {x ∈ Rⁿ,hc, xi+d > 0}. Montrer que si C ⊂ Rⁿ et D ⊂ R^m sont convexes, alors f(C∩domf) et f⁻¹(D)∩domf sont convexes.

52. Montrer que la partie

{(x, y, t)∈R³,exp(x/t)≤y/t, t >0}

est un cône convexe.

53. Si C est un cône de l’espace E muni d’un produit scalaire h , i, son dual C^∗ est la partie de E définie par

C^∗={x∈E,hx, yi ≥0, y∈C}.

(1) Montrer queC^∗ est un cône convexe.

(2) Montrer que C=C^∗ si C ={x= (x_i), x_i ≥0} dans Rⁿ, C ={(u, x)∈R×Rⁿ,kxk ≤u} dans Rⁿ⁺¹ ouC={Xsymétrique positive d’ordre n} avec le produit scalaire hX, Yi= tr(XY).

(3) Soit Sα,β le secteur plan Sα,β={α≤argz≤β}. Déterminer son dual.

54. Montrer que A+B est convexe si A et B le sont.

55. SoitC convexe d’intérieur non vide.

(1) Donner un C avec un bord convexe.

(2) Montrer que siC est compact, alors le bord deC est non convexe.

(3) Si C est fermé montrer qu’il existe z ∈(x, y) dans le bord de C dès que x est intérieur à C et y6∈C.

56. Soitk k1la normek(x, y)k1=|x|+|y|surR². La partie{k(x, y)k1≤ k(x, y)−(a, a)k1} est-elle convexe ? 57. SoitC convexe. Montrer que sonε-voisinageC_ε défini par

Cε={x, d(x, C)≤ε}

est convexe.

58. Montrer que K est convexe. La partieK est alors dite cœur convexe de C. 59. Montrer que la projectionP sur le parallélotopep=Q

[aj, bj]est donnée parP(xi) = (min(max(xi, ai), bi)).

Si A et B sont des convexes fermésresp. deE et F, alors la projection PA×B est égale à P×PB. 60. SoitΣ ={x∈Rⁿ,P

ixi=c0}. Montrer que le projetéy=P x dex surΣ est de coordonnées yi=xi−λavecλ=m⁻¹(−c0+X

i

xi)

61. Un cône convexe d’un espace vectorielE est une partieC telle que siu, v∈C, alorsαu+βv appartienne à C pour toutα, β∈R+.

(1) Montrer qu’un cône convexe est convexe.

(2) Montrer que les parties suivantes sont des cônes convexes.

(a) {x= (x1, . . . , xn), xi≥0, i= 1, . . . , n}, (b) {(x, u)∈R×Rⁿ,kuk ≤x},

(c) l’ensemble des matrices symétriques positives d’ordre n,

(d) l’ensemble des matrices symétriques définies positives d’ordre n, (e) {(x, y, t)∈R³,exp(x/t)≤y/t, t >0}.

(3) Soit Sα,β le secteur plan Sα,β={α≤argz≤β}. Déterminer son dual.

62. PourK partie de E, on note K⁺ son dual positif défini parK⁺={u|hu, ki ≥0, k∈K}. (1) Montrer queK⁺ est un cône convexe fermé.

(2) Montrer que les quatre premiers cônes de l’exercice précédent sont autoduaux, i. e. vérifie K = K⁺, mais pas le pénultième.

63. Montrer que U :t7→U(t) =targsh(t)−√

1 +t² est convexe.

64. Soit C un convexe de Rⁿ, U :C 7→R, x, y∈C. SiU est convexe, alors l’applicationUx,y :t∈(0,1)7→

U(tx+ (1−t)y) est convexe.

65. Soient f1, f2 convexes. Montrer que f1f2 définie par f1f2(x) = infy[f1(y) +f2(x−y)] est convexe.

66. Soit pour U : →R, la fonction Φx,y(t) =U(tx+ (1−t)y)−tU(x)−(1−t)U(y). On suppose U⁰⁰≥0. En calculant la dérivée Φ⁰⁰_x,y, montrer que Φ⁰_x,y est croissante, puis qu’il existe un c tel que φ⁰_x,y(c) = 0 (on remarquera Φx,y(0) = Φx,y(1) = 0 et on appliquera le théorème de Rolle). En déduire que Φx,y est croissante sur [c,1], décroissante sur [0,1]. En résulte Φx,y(t)≥0.

67. Montrer qu’une fonction U définie sur une partie convexe C de Rⁿ est convexe si et seulement si son épigraphe

E_U ={(x, y)∈C×R, y≥U(x)}

est convexe.

68. Montrer que x7→e^−x2 est quasi-concave.

69. SoitC un convexe de Rⁿ.

(a) Montrer que la fonction U définie surC est convexe si et seulement si U(θ₁x₁+. . .+θ_nx_n)≤θ₁U(x₁) +. . .+θ_nU(x_n)

pour tout x1, . . . , xn dansC et des réelsθ1, . . . , θn positifs tels que θ1+. . .+θn = 1.

(b) En déduire pourx₁, x₂, . . . , x_n positifs

" _n Y

i=1

xi

#^1/n

≤ Pn

i=1x_i

n .

(c) Montrer que toute fonction continueV mid-convexe sur le convexe C, i. e. vérifiant V((x+y)/2)≤(V(x) +V(y))/2, x, y ∈C,

est convexe. On pourra utiliser le fait que 2⁻ⁿE[2ⁿα]→αlorsque n→ ∞.

(d) Montrer que (1 +x)ⁿ ≤ 2ⁿ⁻¹(1 +xⁿ) pour x ≥ 0. En déduire que pn : t ∈ R⁺ 7→ tⁿ est mid-convexe, puis que la fonction pn est convexe pour n≥1.

70. Montrer que(x, y)∈R×R+7→x²/y est convexe : est-elle strictement convexe ? En déduire la convexité de x= (x1, . . . , xn)∈R+×Rⁿ⁻¹7→ kxk²/x1, où k kest la norme euclidienne.

71. Montrer que U est log-convexe si et seulement si U((x+y)/2) ≤ p

U(x)U(y). En utilisant √ ab ≤ (a+b)/2, en déduire qu’une fonction log-convexe est convexe.

72. Montrer queU est log-convexe si et seulement si le trinôme U(x)T²−2U((x+y)/2)T+U(y) est positif sur R. En déduire que la somme de deux fonctions log-convexe l’est aussi.

73. Une fonction U à valeurs positives non nulles est dite log-convexe si la fonction lnU est convexe.

(a) Montrer qu’une fonction log-convexe est convexe.

(b) Montrer qu’une fonction U d’une variable réelle est log-convexe si et seulement la fonction x7→

U(x)α^x est convexe pour toutα >0. En déduire que la somme de deux fonctions log-convexes est log-convexe.

(c) Montrer que la fonction W : (s, t) ∈R² 7→ln(e^s+ e^t) est convexe. En déduire à nouveau que la somme de deux fonctions log-convexes est log-convexe.

(d) SoitU deux fois dérivable. Donner une condition différentielle caractérisant la log-convexité de U. 74. Soith∈ C⁰[0,1]. Montrer que la fonction

u∈ C¹[0,1]7→

Z 1 0

u⁰(t)²+u(t)h(t) dt∈R est convexe.

75. Soit X une variable aléatoire sur un espace de probabilités Ωet U une fonction convexe sur R. Montrer que

U(E[X])≤E[U(X)].

(a) siΩest fini ;

(b) si Ωquelconque en intégrant l’inégalité de convexitéU(x)−U(E(X))≥C(x−E(X))où la valeur de C sera précisée.

76. La conjuguée de Fenchel-Nielsen f^∗ de la fonctionf est définie suivant f^∗(λ) = sup

x∈domf

[hλ, xi −f(x)]

Calculer les conjuguées des fonctions suivantes (1) Lh:x∈E7→ hh, xi.

(2) QA:x∈E7→ hAx, xi avecA défini positif.

(3) f1:t7→tlnt,domf2=R⁺. (4) f2:t7→1/t,domf =R⁺. (5) L(x) = ln(Pn

i=1e^xi).

(6) f₃(x) = ch(x).

(7) F_p(x) =kxk^p/pavec p >1.

Réponses1.dom(Lh)^∗ ={h},(Lh)^∗(h) = 0, 2. (QA)^∗(λ) = hA⁻¹(λ), λi/4, 3.(tlnt)^∗(λ) = e^λ−1; 4.

dom(1/t)^∗=R−,(1/t)^∗(λ) =−2√

−λ; 5.domL^∗={λ1+. . .+λn = 1, λi≥0},L^∗(λ) =Pn

i=1λilnλi, 6.dom(ch)^∗=R, (ch)^∗(λ) =λargsh(λ)−√

1 +λ².

77. Soit pour f : R+ → R la fonction sur Rⁿ définie par F(x) = f(kxk²), a∈Rⁿ où on a utilisé la norme euclidienne. Étudier la fonction de Fenchel-Nielsen F en fonction des propriétés de f.

78. Montrer que x∈R7→chxest fortement convexe, mais pas x∈R7→e^x.

79. Montrer que la fonction xy n’est ni concave, ni convexe sur R². Montrer que la fonction xy est quasi- concave sur R²+, mais pas sur R².

80. Soit S₊ⁿ l’ensemble des matrices symétriques définies positives d’ordre n. Montrer que l’application X ∈ S₊ⁿ 7→lndetX⁻¹ est convexe.

81. Soitf définie surRⁿ par

f(x) = max{i, xi6= 0}, x∈Rⁿ\ {0}.

et f(0) = 0. Montrer que f est quasi-convexe.

82. Soient a, b ∈ Rⁿ et f définie par f(x) = kx−ak/kx−bk. Montrer que f est quasi-convexe sur le demi-espace E={kx−ak ≤ kx−bk}.

83. Soitf : (x, y)∈C7→f(x, y) convexe. Montrer que F définie par F(x) = inf_yf(x, y) est convexe.

84. Sif est convexe sur le cône convexe C⊂Rⁿ, montrer que la fonction F : (x, t)∈C×R+7→tf(x/t) est convexe.

85. SoitAopérateur symétrique positif surE,Qla forme quadratique déterminée parA(Q(x) =hAx, xi) et v un vecteur deE. Montrer que la fonctionU(x) =Q(x)/hv, xi est convexe sur le demi-espace {hv, xi>

0}.

86. Soitαk, βk ∈Ret λk ∈Rⁿ pour k= 1, . . . , p. Soient U1 et U2 les fonctions U1(x) = ln

p

X

k=1

e^αkx+βk

!

, x∈R, U2(z) = ln

p

X

k=1

e^hλk,zi+βk

!

, z∈Rⁿ. Montrer que U₁ est convexe sur R et que U₂ est convexe sur Rⁿ.

87. Soient f, g convexes. Les fonctions f+g, f−g, f◦g, f g sont-elles convexes ? 88. Soit a∈Rⁿ. Montrer que l’application x7→p

1 +kxk²− ha, xi est convexe. Quel est son minimum (s’il existe) ?

89. Étudier le domaine de définition deU définie par U(x, y) =xln

x x+y

+yln

y x+y

Montrer que U est convexe sur R²+

90. Montrer queV(x, y) =x²+xy+y²−lnx−lnyest convexe, coercive sur R²+. Est-elle strictement convexe ? Quel est est son minimum ? (s’il existe).

91. Soient a1, . . . , an des réels positifs et 0 < s < r des entiers. Déterminer les optima et maxima de la fonctionP

iaix^2r_i sur la partie {P

ix^2s_i = 1}.

92. Calculer le gradient et la hessienne de x∈U ⊂Rⁿ7→f(kxk²) en fonction des dérivées def. 93. Soit a_n >0, x_n tels que P

n∈Na_n(1 +|x_n|)<+∞. Montrer que la fonction F(x) =P

na_n|x−x_n| est dérivable sauf aux pointsx_n.

94. SoitJ définie par

J(x, y, z) = 3x²+ 3y²+ 3z²−2xy−3x−10y, (x, y, z)∈R³. Étudier les deux programmes

inf

m∈R³

J(m), inf

x+y+z²=0

J(x, y, z)

Avant de calculer les points de minimum, on cherchera à établir leur existence par des arguments simples.

95. SoitA=





3 −1 −1

−1 3 −1

−1 −1 3



,b=^T(1,1,1)et la fonctionJ définie suivant m∈R³7→J(m) =hAm, mi/2− hb, mi. Étudier les programmes

inf

m∈R³J(m), inf

x²+y²+z²≤12 x+3y≥0

J(x, y, z), inf

x+y+z=πJ(x, y, z).

Indication: on pourra remarquer que si un point(x_∗, y_∗, z_∗) est caractérisé de manière unique sous une condition invariante par la transformation cyclique (x, y, z)→ (y, z, x), alors on a nécessairement x_∗ = y_∗=z_∗.

96. SoitU :Rⁿ →Rstrictement convexe avec un minimum. Montrer que U est coercive.

97. Soit E un espace vectoriel de dimension finie doté d’une norme k k. Soit A un sous-ensemble fermé non vide deE. Montrer queA est convexe si et seulement si la fonction distance par rapport à Aest convexe.

On rappelle que cette dernière est définie par d_A(x) = inf_y∈Akx−yk.

98. Étudier la convexité ou la concavité de chacune des fonctions (on précisera le domaine de définition) x²+y²+z²−xy−xz−yz, xlnx+ylny+zlnz, x(x+y²), ln(xy).

99. Soit, pour α réel, la fonction U_α définie par x ∈ Rⁿ++ 7→ U(x₁, . . . , x_n) = (x₁. . . x_n)^α. Étudier la con[vex|cav]ité de U_α.

100. Soit la fonction U définie sur R³ parU(x, y, z) =xyz+yz+xz+xy.

(1) Montrer que le seul point de R³ où le matrice hessienne de U est semi-définie positive est le point (−1,−1,−1).

(2) Montrer queU ne possède aucun minimum local sur R³.

101. Rechercher les rectangles d’aire maximale dans une ellipse. Rechercher les triangles d’aire maximale à périmètre donné.

102. Soient les fonctionsf1, f2, f3 définies sur R² suivant :

f₁(x, y) = 1 +x²+y³, f₂(x, y) =xy, f₃(x, y) =x²+y²+xy+x⁴. (1) Montrer que(0,0) est un point critique pour f1, f2 et f3.

(2) Quelles sont les fonctions convexes surR² parmi f₁, f₂ et f₃?

(3) Pour quelles fonctions (0,0) est-il un minimum local, un minimum global ?

103. Soit la fonction U définie sur R² parU(x, y) =x²+y²+xy. Montrer que U est strictement convexe sur R² et qu’elle possède un unique minimum sur D={(x, y)∈R², x²+y²≤1etx+y≥1}

En écrivant les relations de KKT, déterminer le point où U atteint son minimum surD

104. Soit la fonction U définie sur R² par U(x, y) = (x−1)²+ (y−2)². On note D={(x, y)∈R², y²−x²≤ 1etx≥2}. Montrer que U est strictement convexe sur R² et qu’elle possède un unique minimum surD. En écrivant les relations de KKT, déterminer le point où U atteint son minimum surD.

105. Soit la fonction de R² dans R définie par Ua(x, y) = x²+ay²+xy+x pour un paramètre a ∈R. On cherche à minimiser Ua sur C={(x, y)∈R², x+y≤1}. Pour quelles valeurs deala fonction Ua est-elle convexe surR²? Résoudre le problème posé dans ce cas. Lorsque Ua n’est pas convexe,Ua possède-t-elle un minimum surC?

106. Soit la fonction U définie sur R² parU(x, y) =x²+y²+xy.

Montrer que U est strictement convexe sur R² et qu’elle possède un unique minimum sur D ={(x, y)∈ R², x²+y² ≤1etx+y ≥ 1}. En écrivant les relations de KKT, déterminer le point où U atteint son minimum sur D

107. Soit la fonction f définie sur R² par f(x, y) = x⁴ −y⁴−8x. Montrer que f n’est pas coercive sur R². Déterminer les points critiques de f sur R². f admet-elle des extrema locaux ? Soit A = {(x, y)∈ R², x⁴+y⁴ = 1}. A est-il fermée ? borné ? Calculer les points où f est minimale sur A en utilisant les multiplicateurs de Lagrange. Vérifier le résultat en remplaçanty par sa valeur dans l’expression de f. 108. Soit C le sous-ensemble deR² défini par C={(x, y)∈R²;x²+y²≤1ety≥1−x} et soitf la fonction

de R² dans R définie par f(x, y) = (x+ 1)²+y²+xy. On veut minimiser f(x, y) sur l’ensemble C. Montrer que le problème admet une solution. Cette solution est-elle unique ? Vérifier que les contraintes sont qualifiées. Calculer la ou les solution(s).

109. Soit C le sous-ensemble de R² défini par C ={(x, y, z)∈R³;x²+y²+ 4z² ≤1ety =x²} et soit f la fonction deR² dansRdéfinie parf(x, y, z) =x²+ (y−2)²+z². On veut minimiser U sur l’ensembleC. Montrer que le problème admet une solution. Cette solution est-elle unique ?

110. Soit le programme min_x∈

R² kxk≥1

kxk. Montrer que la suite(1+2^−k)(cosk,sink)a tout point du cercle {kxk= 1} comme point d’adhérence, solution du programme précédent.

111. Soit v : x ∈ E 7→ v(x) = (v1(x), . . . , vm(x)) ∈ R^m. Exprimer les problèmes minx∈Ekv(x)k∞ et minx∈Emaxi=1,...,nvi(x). sous forme de programmes lisses. En est-il de même pourminx∈Emini=1,...,nvi(x)? 112. Soit C={1≥xy,1≥x−y,1≥y−x, x+y≥ −1} et le programmemin_m∈C[(x−3/2)²+ (y−t)⁴]. Pour

quelles valeurs de t le point (1,0) vérifie les conditions KKT ? Si t= 1, montrer que la/es solution(s) est saturée pour la première condition et déterminer ce point de minimum.

113. Résoudre les programmes minx²+y²=1xy et maxx²+y²≤1xy. 114. Soit C le sous-ensemble de R² défini par

C={(x, y)∈R²;−1≤x≤1,−1≤y≤1,|4y−x| ≥1}

et soit U la fonction définie par (x, y) ∈ R² 7→ U(x, y) = x² +y² ∈ R. Montrer que le problème inf_m∈CU(m) admet une solution : cette solution est-elle unique ? La calculer.

115. Soit C le sous-ensemble de R³ défini par

C={(x, y, z)∈R³;x²+y²+z≤1, y+ 2z≤0}

et soit U la fonction définie suivant(x, y, z)∈R³7→U(x, y, z) = (x−2)²+ (y−2)²+ (z−3)²∈R. Montrer que le programme min_m∈CU(m) admet une solution unique. Écrire les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre : sont-elles suffisantes ? Montrer que la solution du problème vérifie x²+ y²+z= 1, y+ 2x <0

116. Soit U définie par (x, y)∈R² 7→U(x, y) =−(x+y−1/2)²−(x−y)² ∈R. Montrer que U admet un minimum sur [−1,1]², qui se trouve sur le bord de [−1,1]² et le calculer.

117. Soit le programme

min

x+y≤1[x²+ay²+xy+x]

Pour quelles valeurs de a ce programme convexe ? Résoudre ce problème lorsque a ≥1/4. On suppose désormais que a < 1/4. Montrer que le programme n’a a pas de solution et qu’il existe cependant un multiplicateur de KKT en (1−1/a,1/a)dès que a >0. Pourquoi est-ce possible ?

118. Soit C une partie convexe fermée de Rⁿ et soit p un réel supérieur strictement à 1. Montrer que, pour x∈Rⁿ il existe un unique point ade C tel que ka−xkp= min_y∈Cky−xkp, ce pointa étant caractérisé par l’inégalité

X

i

(x_i−a_i)^p−1(y_i−a_i)≤0, y∈C.

119. Montrer que la fonctionU : (xi)∈Rⁿ++7→Qn

i=1x_/Pn

i=1xi est log-concave.

120.

(1) SoitK >0. Montrer que la fonctionx∈R⁺7→logx+Kx⁻¹ est coercive. Quel est son minimum ? (2) Soient K, L >0. Montrer que la fonction a, b, c∈R³+7→log(abc) +K(ac)⁻¹+L(bc)⁻¹ n’est pas coercive, mais que la fonction a, b, c∈R²+×(0,1)7→log(abc) +K(ac)⁻¹+L(bc)⁻¹ l’est ; quel est son minimum ?

(3) La fonction

(x, y, r)∈R²+×(−1,1)7→log(xy(1−r²)) +Ax⁻¹+By⁻¹ 1−r² est-elle minorée ? Si oui, quel est son minimum ?

121. Soit U définie surR² par

U(x, y) =x⁴−x³+ 2xy+y²−2y+ 1, (x, y)∈R² (1) Montrer queU est coercive. Analyser ses extrema.

(2) Programmer la méthode du gradient à pas constant pour trouver son (ou un de ses) minimum.

122. Soit fk,λ la densité de la loi de Weibull définie par

f_k,λ(t) = (k/λ)(x/λ)k−1e^−(x/λ)k

En utilisant la méthode de Newton, déterminer le paramètre (k, λ) correspondant au maximum de la vraisemblance

n

Y

i=1

f_k,λ(x_i)

induite par l’échantillon de n observations x1, . . . , xn.

123. Soit U continue et convexe sur le convexe compactC de Rⁿ. Montrer que U atteint son maximum en un point extrémal de C. Atteint-elle son minimum en un point extrémal ? (on pourra considérer la fonction t→t².)

En déduire que l’ensemble des solutions d’un programme linéaire contient un point extrémal.

124. Montrer que le bidual d’un programme linéaire (P) est équivalent au problème (P).

125. Montrer que le dual de

(P) min

Ax≥b x≥0

hc, xi est

(D) max

TAy≤c y≥0

hb, yi

126. Montrer que (2,3) est la valeur optimale de

(D) min

x1+x2≥5 x₁≥1 x₂≥2

2x1+ 3x2

en montrant que la valeur de la fonction objectif pour tout vecteur réalisable est au moins 12 127. Donner un exemple de programme linéaire infaisable, tout autant que son programme dual

128. Résoudre les programmes suivants (1) Espace affine :min_Ax=bhc, xi

(2) demi-espace :min_ha,xihc, xioù a6= 0 (3) : Rectanglemin_l≤x≤uhc, xi

(4) : simplexe de probabilitéminh1,xi=1,x≥0hc, xi (5) minh1,xi≥1,x≥0hc, xi

(6) Pavé avec une pondération globale minh1,xi=α,0≤x≤1hc, xi

(7) Pavé avec une pondération globale minhd,xi=α,0≤x≤1hc, xiavec d >0 et 0α≤ h1, xi

129. Montrer que le programme min_Ax≤bhc, xi, où A est inversible symétrique, a pour optimum −∞ sauf si A⁻¹c≤0 auquel cas l’optimum est hc, A⁻¹bi

130. Exprimer les problèmes d’optimisation suivants comme des programmes linéaires.

(1) minkAx−bk_∞ (2) minkAx−bk1

(3) min_kxk∞≤1kAx−bk1

(4) min_{kAx−bk∞≤1}kxk₁ (5) minkAx−bk1+kxk_∞ 131. Calculer le dual de

max

x₁−x₂≤1

−x1+x2≤−2 x₁,x₂≥0

2x₁−x₂

Quels sont les types de (P)et de son dual ?

132. Soit U :E→Rune fonction convexe et concave. Montrer que U est linéaire.

133. Soit S⁺ (S⁺⁺ resp.) l’espace des matrices positives (définies positives resp.).

(1) Montrer queX ∈S⁺→supλ(X) est convexe (2) Montrer queX ∈S⁺⁺→tr(X⁻¹) est convexe (3) Montrer queX ∈S⁺⁺→det(X⁻¹) est convexe

(4) Soit K ∈ S⁺. Montrer que X ∈ S⁺⁺ → det(1 +KX⁻¹) est convexe (strictement convexe si K∈S⁺⁺).

(5) Soit V : Rⁿ → R invariante sous l’action du groupe des permutations des coordonnées et U : S⁺→Rinduite via U(X) =V(spec(X)). Montrer que U est convexe si et seulement V l’est.

134. Soit U définie surS⁺⁺ parU(X) = logdetX. Montrer que dU_X(h) =−tr(X⁻¹h) HessU_X(h) =−tr(X⁻¹X⁻¹) 135. Soient B, C dans X⁺⁺. montrer que

h(B⁻¹+C⁻¹)⁻¹x, xi= inf

x∈E

[hBx, xi+hC(y−x), y−xi].

136. (Ky Fan) La fonction A∈S⁺⁺→(detA)^1/n est strictement concave.

137.

— SiΩ est un ouvert deRⁿ, montrer que la boule unité deL¹(Ω) n’a pas de point extrémal.

— Montrer que la boule unité de l’espaceC₀^∞(Rⁿ)des fonctions continues s’annulant à l’infini n’a pas de point extrémal.

— Une matrice A d’ordre n et à coefficients positifs ou nuls est dite bistochastique si Pn

i=1aik = Pn

j=1a`j = 1 pour k, ` = 1, . . . , n. Montrer que l’ensemble Bn des matrices bistochastiques d’ordrenest convexe, que toute matrice bistochastique avec un coefficient dans(0,1) n’est pas un point extrémal et que les points extrémaux de Bn sont les matrices de permutation.

138. Soit fk : f → R pour k = 1, . . . , d et f : x ∈ R^d → Pd

k=1fk(xk). Montrer que f^∗(x1, . . . , xd) = Pd

k=1fk(xk).

139. Calculer les transforémes de Fenchel-Nielsen des fonctions suivantes (1) x∈R→ |x|

(2) x∈R→e^x

(3) x→ax+x² si x≥0, 0 sinon (4) ι_R+−ln(x)χ_R+

(5) |x|^p/p

140. Montrer que f⊕g définie par f⊕g(x) = min[f(y) +g(x−y)]est convexe si f et g le sont. La fonction f⊕g est appelée la convolée infimale def et g.

141. Soit C convexe de Rⁿ⁺¹. La fonction fC définie parfC(x1, . . . , xn+1) = infx(xn+1:x= (x1, . . . , xn+1)∈ C)est convexe.

Si f, g sont convexes, quelle est la fonction associée à la sommeepif+ epig? 142. Soient f, g convexes fermées. Montrer que

(f⊕g)^∗=f^∗+g^∗ (f+g)^∗=f^∗⊕g^∗

143. Soit f, g, h convexes. Montrer quef ⊕(g⊕h= (f⊕g)⊕het justifier pourf₁, f₂, . . . , f_k f1⊕f2⊕. . .⊕fk(x) = inf

x1+...+xk=x[f1(x1) +. . .+fk(xk)].

144. Soit ψ la fonction définie par

ψ(x, γ) = sup

y∈C

[hy, xi −γkyk²/2.

La fonctionψ est convexe et fermée.

Si C est borné, ψ est finie surRⁿ tout entier.

Si C=Rⁿ, domψ ne contient que des pointsx, γ) avecγ≥0 Si γ= 0, alors nécessairement x= 0 (vu quehy, xi est non borné). Enfin, siγ >0, alors le minimum est est y_∗=x/gammaavec valeur minimum et |x|²/(2γ²). En résumé, domψ = Rⁿx×R^+∗γ ∪ {0} (domaine ni fermé, ni ouvert) avec ψ(0) = 0 et ψ(x, γ) = kxk²/(2γ) si γ > 0. Notons lim_γ→0+ψ(√

γx, γ) = kxk²₂ et que la fonction psi n’ets pas continue à l’origine.

145. Soit ϕ une fonction positive définie sur B ={kxk= 1}, nulle sur l’intérieur {kxk<1}. Montrer que ϕ est convexe.

146.

(1) Soit C convexe et f : C →R convexe. Montrer que g : (x, t)∈C×R⁺ → tf(x/t) est convexe (c’est la transformée convexe de f).

(2) Soit p, q∈(0,1) avec p+q≤1. Montrer que (x, y)∈R⁺→x^py^q est concave.

(3) En déduire que, siα∈(0,1/n] l’application(x1, . . . , xn)→(x1. . . xn)^α est concave.