En déduire que l’équation(En) admet une unique solution positive, que l’on noteraxn

Problème : Développement asymptotique, à trois termes, d’une suite définie implicitement

L’objectif de ce problème est d’obtenir le développement asymptotique, à trois termes, d’une suite définie implicitement.

Partie I : Existence de notre suite définie implicitement

Définissons la fonctionf surR par

∀x∈R, f(x) =e^x+x.

Considérons, pourn∈N^?, l’équation

e^x+x=n. (En)

1. Montrer quef :R→R est une application bijective.

2. En déduire que l’équation(E_n) admet une unique solution positive, que l’on noterax_n. 3. Exprimerx_n en fonction den et def⁻¹.

4. Que vaut lim

x→∞ f⁻¹(x)? En déduire la limite de la suite (xn).

Partie II : Recherche d’un équivalent de (x_n) 1. Soient(un) et(vn) deux suites, strictement positives, vérifiantun ∼

n→∞vn. (a) Avons-nous ln(u_n) ∼

n→∞ln(v_n)? (b) Montrer que, si lim

n→∞ v_n = ∞, alors, ln(u_n) ∼

n→∞ ln(v_n). En quoi ce résultat est-il surpre- nant ?

2. Montrer quee^xn ∼

n→∞n.

3. En déduire que x_n ∼

n→∞ln(n).

Partie III : Développement asymptotique, à deux termes, de (xn) 1. Compléter ce résultat de cours :

un ∼

n→∞vn si, et seulement si, . . . = . . .+ ◦

n→∞

. . .

.

Comme x_n ∼

n→∞ln(n), on choisit d’écrirex_n= ln(n) + ln(n)(n) avec lim

n→∞ (n) = 0.

2. Pourquoi cela est-il possible ?

3. En se rappelant quex_n est solution de (E_n), montrer que

(n) ∼

n→∞−1 n. 4. Conclure

x_n= ln(n)− ln(n) n + ◦

n→∞

ln(n) n

.

Partie IV : À la conquête du troisième terme du développement asymptotique de (xn) On choisit d’écrirexn= ln(n)−^ln(n)_n + ^ln(n)_n δ(n)avec lim

n→∞ δ(n) = 0.

1

1. En se rappelant quexn est solution de (En), montrer que

δ(n)

1 + 1 n

= 1 n −1

2 ln(n)

n + ◦

n→∞

ln(n) n

.

2. En déduire que

δ(n) ∼

n→∞−ln(n) 2n . 3. Conclure

x_n= ln(n)−ln(n)

n −ln(n)² 2n² + ◦

n→∞

ln(n)² n²

.

* * * FIN DU SUJET * * *

2