c) Montrer queE est solution fondamentale deD

Mathématiques Générales première année Année 2012-2013 Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles

Partiel du 25 mars 2013. Durée : deux heures Exercice 1SoitDl’opérateur défini par

Du(x, y) :=∂_xu(x, y) +ı∂_yu(x, y), ∀u∈C¹(R²;C), oùı² =−1.

Soit

E :R² →C, E(x, y) := 1

2π(x+ıy), ∀(x, y)∈R²\ {(0,0)}.

a) CalculerDE (dansR²\ {(0,0)}).

b) Montrer queE ∈L¹_loc(R²).

c) Montrer queE est solution fondamentale deD.

d) Siu∈C¹(R²;C)vérifieDu= 0, montrer queuest holomorphe.

e) Soita ∈ C_c^∞(R²). Montrer qu’il existeA ∈C^∞(R²;C)telle que DA=a.

f) AvecA,acomme ci-dessus, soitu∈C¹ solution de (1) Du=au.

Trouver l’équation satisfaite parv :=e^−Au. g) En déduire toutes les solutions de (1).

Exercice 2Soitλ >0. Rappelons que, sif ∈C_c^∞(Rⁿ)et E_λ(x) :=

Z ∞ 0

e^−λt 1

(4πt)^n/2e^−|x|2/(4t)dt, ∀x∈Rⁿ,

alorsE_λ ∈L¹(Rⁿ)etw:=E_λ∗f est solution deλw−∆w=f. Autrement dit, E_λ est solution fondamentale de P_λ, où P_λw :=

λw−∆w,∀w∈C²(Rⁿ).

a) Montrer l’existence de la limiteE(x) := limλ&0Eλ(x),∀x∈Rⁿ. [On pourra regarder la monotonie par rapport àλ.]

b) On suppose n ≥ 3. Montrer que E ∈ L¹_loc(Rⁿ). [Indication : faire le changement de variabless :=|x|²/(4t).]

c) On suppose n ≥ 3. Montrer que E est solution fondamentale d’un opérateur que l’on explicitera.

Exercice 3 Soit Ω @ Rⁿ un ouvert borné. Soit f ∈ C(Ω). Soit T ∈ (0,∞]. On considère le problème de Dirichlet

(2)







Lu= 0 dansΩ_T u(·,0) =f dansΩ

u= 0 sur∂Ω×[0, T)

;

ici, L est l’opérateur de la chaleur, et nous nous intéressons à des solutionsu∈C(Ω_T)∩C²(Ω_T).

a) Quelle est la condition de compatibilité surf? b) Soitg :=

(|f|, dansΩ

0, dansRⁿ\Ω, de sorte queg ∈C_b(Rⁿ). [Bonus : pourquoi ?]

Soit v la solution donnée par la transformée du Fourier du problème

(Lv = 0 dansRⁿ×(0,∞) v(·,0) = g dansRⁿ .

Montrer que|u| ≤vdansΩ_T. [On pourra utiliser le principe du maximum.]

c) Montrer que v(x, t)≤ C

t^n/2, ∀x∈Rⁿ, ∀t >0,

oùC est une constante dépendant def, den et deΩque l’on explicitera.

d) Interpréter le résultat de la question précédente comme un ef- fet dispersif pour les solutions de (2).

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