Université Pierre et Marie Curie Paris 6 Master SDI/Systèmes Avancés et Robotique
5AR02 : Dynamique des systèmes Théorie et Méthodes computationnelles
Faïz Ben Amar [email protected]
Septembre 2014
Contenu du cours
Ce cours développe les principales techniques utilisées dans les logiciels d'analyse et de simulation numé- riques des systèmes mécaniques multi-corps tels que Adams, DADS, SolidDynamics, MotionWorks... Ces outils permettent l'analyse des problèmes cinématique, dynamique, élastodynamique, vibratoire, d'équi- libre, de stabilité des équilibres...
Les systèmes mécaniques concernés dans ce cours couvrent les systèmes multi-corps qu'on peut retrouver dans les domaines du transport (automobile, camion, train, avion...), de la robotique manufacturière (ma- nipulateur, préhenseur, cellule exible, chariot guidé ...), de la biomécanique et la robotique humanoide, de la santé (rééducation, chirurgie, ...) ...
Les méthodes décrites ici se veulent génériques c'est-à-dire applicables à tout type de structures allant d'une simple chaîne cinématique sérielle au système multi-corps multi-liaisons multi-contacts formant des topologies complexes.
An d'appréhender les systèmes sans base xe, nous commencerons ici par le au paramétrage de l'orien- tation dans l'espace d'un corps isolé. Nous allons dénir les diérentes façons de dénir un paramétrage d'un système ainsi que les types de contraintes auxquelles sont sujets ces paramétres. Nous donnerons par la suite une description cinématique générique des mécanismes qui permet d'analyser leur mobilité et leur hyperstatisme. Nous décrirons alors les équations de la dynamique des systèmes à partir des équations de Lagrange en présence de contraintes. Un rappel du principe des travaux virtuels sera fait au préalable.
Les chaînes robotiques arborescentes seront traitées à part, en particullier an de résoudre leur dynamique dans un problème de commande qui nécessite un temps de calcul minimal.
Les équations établies seront mises sous une forme adéquate à une résolution numérique. Quelques mé- thodes de résolution seront présentées ; en particulier celles qui permettent l'intégration du système algébro-diérentiel issues des équations de la dynamique et de la cinématique.
Pré-requis : Calcul vectoriel, algèbre linéaire, notion de force et moment, savoir calculer des vitesses et des énergies mécaniques.
Table des matières
1 Introduction et rappels de math 7
1.1 Méthodes computationnelles en dynamique des systèmes . . . 7
1.1.1 Formulation des équations et paramétrage . . . 8
1.1.2 Les problèmes types . . . 11
1.2 Quelques rappels de mathématiques et Notations . . . 12
1.2.1 Vecteur géométrique . . . 12
1.2.2 Matrice . . . 13
1.2.3 Opérations sur les vecteurs algébriques . . . 14
1.2.4 Dérivées totale et partielle . . . 15
2 Rotation 3D et Paramètres d'Euler (quaternions) 18 2.1 Coordonnées d'un solide rigide . . . 18
2.2 Matrice rotation . . . 20
2.3 Paramètres d'Euler . . . 23
2.4 Propriétés de la matrice rotation . . . 24
2.5 Paramètres d'Euler fonction des cosinus directeurs . . . 26
2.6 Identités avec les paramètres d'Euler . . . 27
2.7 Rotations successives : Les angles d'Euler . . . 28
3 Description cinématique des systèmes de solides 31 3.1 Vitesse et accélération angulaires d'un solide rigide . . . 31
3.2 Vitesse et accélération linéaires d'un point lié à un solide rigide . . . 34
3.3 Contraintes des liaisons . . . 36
3.4 Mobilité et hyperstatisme . . . 39
4 Dynamique analytique 40 4.1 Paramètres généralisés et contraintes cinématiques . . . 40
4.2 Déplacement virtuel . . . 44
4.3 Degrés de liberté et partitionnement des paramètres généralisées . . . 46
4.4 Travail virtuel et forces généralisées . . . 48
4.4.1 Equilibre statique d'un système de particules . . . 48
4.4.2 Equilibre dynamique d'un système de particules . . . 51
4.4.3 Forces généralisées pour les solides rigides . . . 52
4.4.4 Transformation d'un ensemble de paramètres . . . 54
4.5 Elements de force . . . 54
4.6 Cas des forces conservatives . . . 55
4.7 Dynamique Lagrangienne . . . 56
4.8 Le lagrangien . . . 58
4.9 Dynamique Lagrangienne contrainte . . . 59
4.9.1 La technique de réduction . . . 59
4.9.2 Formulation augmentée . . . 61
5 Dynamique des systèmes de solides 62 5.1 Matrice masse des solides rigides . . . 62
5.2 Equations dynamique . . . 64
5.2.1 Equation de Newton-Euler . . . 67
5.2.2 Equations de Newton-Euler et vecteurs 6D . . . 68
5.3 Dynamique des systèmes plans . . . 68
6 Dynamique des manipulateurs séries 70
6.1 Equations de Lagrange . . . 70
6.2 Dynamique inverse récursive . . . 72
6.2.1 Calcul cinématique : récurrence avant . . . 72
6.2.2 Calcul dynamique : Récurrence arrière . . . 74
6.3 Dynamique directe : Méthode du Complément Orthogonal Naturel . . . 76
6.3.1 Calcul de la matrice des contraintesK . . . 78
6.3.2 Calcul de la matrice des torseurs cinématiquesT . . . 78
7 Méthodes numériques 80 7.1 Equation diérentielle ordinaire ODE . . . 80
7.1.1 Schéma implicite . . . 80
7.1.2 Méthode de Runge-Kutta . . . 81
7.1.3 Algorithmes multi-pas . . . 82
7.1.4 Prédiction-correction . . . 83
7.1.5 Intégration des équations diérentielles raides (Sti) . . . 83
7.2 Stabilisation des contraintes . . . 83
7.3 Résolution des équations algébriques non-linéaires . . . 84
Annexes 87 A Paramètres d'Euler (suite) 88 A.1 Identités diérentielles . . . 88
A.2 Identités avec des vecteurs arbitraires . . . 89
B Dynamique analytique 90 B.1 Equation de Gibbs-Appel . . . 90
B.2 Formulation Hamiltonienne . . . 91
Notation et convention
Les valeurs scalaires sont notées avec des lettres minuscules :x, y Les vecteurs sont notés avec des lettres minuscules, en gras :x, y Les vecteurs sont notés avec des vecteurs algébriques colonnes.
Les matrices sont notées avec des lettres majuscules, en gras :X,Y
La transposée d'un vecteur colonne est un vecteur lignexT et celui d'une matriceXT
Les vecteursu,u¯ (resp.I,¯I) représentent les coordonnées d'un même vecteur géométrique~u(resp. d'un tenseur) exprimées dans les bases globale (inertielle) et locale (liée au solide).
sauf quelques rares exceptions comme pour le vecteur des forces généraliséesQ.
Liste des symboles
(.)i quantité physique associée au solidei
¯
uiP vecteurOiPidans la base locale
¨
rP accélération linéaire du pointP δrP déplacement virtuel du pointP δW travail virtuel d'une force
˙
rP vitesse linéaire du pointP
˜
a la matrice antisymétrique du pré-produit vectoriel à gauche para n dimension des paramètres généralisés
nc dimension des équations de contraintes T énergie cinétique
U énergie potentielle
Ai matrice rotation du solidei
Bi matrice de réduction des paramètres (en paramètres indépendants) fi force s'appliquant sur une masse ponctuellei
G,G¯ ω=Gp˙,ω¯ = ¯Gp˙
p paramètres de rotation d'un solide : les 4 paramètres d'Euler (quaternions) ou les 3 angles d'euler q vecteur des paramètres généralisés
qi paramètres indépendants après partitionnement
ri vecteur position du point de référenceOi du solideidans la base globale riP vecteur position du pointPi dans la base globale
uiP vecteurOiPidans la base globale λ multiplicateurs de Lagrange
ωi,ω¯i vitesse angulaire du corpsiexprimée dans les bases globale et locale.
Φ contraintes (holonomes) sur les paramètres généralisés Φq Jacobienne des contraintes par rapport àq
qd paramètres dépendants après partitionnement Q vecteur des forces généralisées
u,u¯ matrices colonnes du vecteur~ureprésentées dans les base globale et locale
6
Chapitre 1
Introduction et rappels de math
1.1 Méthodes computationnelles en dynamique des systèmes
On peut dénir un système mécanique multi-corps comme un ensemble de solides (rigides ou déformables) reliés entre eux par des liaisons cinématiques (pivot, glissière, rotule ...) et/ou par des éléments de force (ressort, amortisseur, actionneur...) (g.1.1).
L'objet d'un outil d'analyse - assisté par ordinateur - de ces systèmes est la formulation automatique de ses équations de mouvement puis leur résolution. Ceci requiert des techniques systématiques d'élaboration des équations et des méthodes numériques pour leur résolution.
Par exemple pour simuler une suspension automobile (1.2), l'utilisateur doit spécier : le nombre de corps,
le nombre et les types de liaison, connectivité entre les corps, la masse et les moments d'inertie de chaque corps,
la connectivité des éléments de forces et leurs caractéristiques, raideur et viscosité du ressort-amortisseur, la gravité,
les forces de contact pneu-sol,
la position et la vitesse initiales dans chaque liaison (ou chaque corps).
Pour un système de solides rigides, la forme des corps peut ne pas être spéciée, seuls le centre de gravité, la masse et la matrice d'inertie sont nécessaires. Après formulation et résolution des équations de mouvement, l'utilisateur, en plus de l'animation graphique, peut accéder aux évolutions temporelles des positions, vitesses, accélérations, forces et moments dans les liaisons, couples des actionneurs, puissance des actionneurs...
ŽƌƉƐϭ ŽƌƉƐŝ
ŽƌƉƐ Ŷ
>ŝĂŝƐŽŶ
ůĞŵĞŶƚ ĚĞĨŽƌĐĞ
ŽƌƉƐϮ ŽƌƉƐϯ
ŽƌƉƐŶ
ĐƚŝŽŶŶĞƵƌ
Figure 1.1 Système multi-corps.
Figure 1.2 Suspension à double triangles.
1.1.1 Formulation des équations et paramétrage
Le paramétrage est une question centrale en mécanique des systèmes. Les équations de la dynamique d'un système peuvent s'écrire de multiples façons suivant le paramétrage choisi. Un ensemble de paramètres q décrivant la conguration de chaque élément du système peut dénir la conguration par rapport à un autre élément ou par rapport à un repère de référence. Le nombre de paramètres doit être au moins égal à la mobilité du système (ou son degré de liberté), les paramètres doivent être capables de dénir complètement la conguration du système. An d'illustrer ce choix, nous allons étudier un cas simple plan et décrire diérentes façons de le paramétrer an d'élaborer une analyse purement cinématique, c'est-à-dire qu'on n'écrira pas ici les équations diérentielles qui régissent sa dynamique.
Exercice 1.1 Soit l'exemple du mécanisme dit à 4 barres (g.1.3). On peut proposer 3 façons de le paramétrer. Ecrire les équations géométriques de contraintes entre les paramètres dans chaque cas, et en déduire les équations cinématiques de contrainte. Montrer que le système a une mobilité de 1.
(a) paramétrage strict :
q= [φ]
(b) paramétrage articulaire :
q= [α1 α2 α3 α4]T (c) paramétrage cartésien :
q= [x1 y1 θ1 x2 y2 θ2 x3 y3 θ3 x4 y4 θ4]T
Exercice 1.2 En utilisant un paramétrage cartésien du système bielle-manivelle (g.1.4), écrire les équa- tions géométriques puis cinématiques reliant ces paramètres. En déduire les congurations singulières.
Les propriétés de chaque type de paramétrage sont récapitulés dans le tableau ci-dessous :
Type de paramétrage Strict Articulaire Cartésien
Nombre de paramètres Minimal Modéré Important
Nombre d'équations diérentiels 2nd ordre Minimal Modéré Important Nombre d'équations algébriques de contraintes zéro Modéré Important
Ordre de non-linéarité Elevé Modéré Faible
Obtention des équation de mouvement Dicile Assez dicile Simple
Ecacité computationnelle Ecace Assez ecace Pas ecace
Généricité outil logiciel Dicile Assez dicile Facile
φ
K
(a)
α2
LJ α4
α1 K
α3
dž
(b)
θ1
θ3 džϮ͕LJϮ θ2
džϯ͕LJϯ
LJ
Kϭ
KϮ
Kϯ
K
džϭ͕LJϭ
ϯ ϯ
dž
ϭ
(c)
Figure 1.3 Paramétrage : (a) strict (généralisé), (b) articulaire (relatif), (c) cartésien (absolu).
Figure 1.4 Système bielle-manivelle.
Figure 1.5 2 congurations singulières.
Il existe d'autres méthodes de paramétrage tels que l'utilisation des 9 coordonnées de 3 points non copla- naires de chaque solide du système. Bien évidemment ces 9 coordonnées ne sont pas indépendants mais reliées par 3 équations traduisant que les distances entre les points restent constantes. Cette méthode a l'avantage de fournir des équations de contrainte de type quadratique, et donc une jacobienne (matrice dérivée partielle) linéaire.
1.1.2 Les problèmes types
On peut classer en deux catégories les types de problèmes rencontrés dans l'analyse des systèmes mé- caniques : les problèmes cinématiques et les problèmes dynamiques. L'analyse cinématique étudie les mouvements indépendamment des causes, c'est-à-dire des actions mécaniques. Pour cela, il faut que le nombre de mouvements imposés (inputs) soit égal au nombre de degrés de liberté dans le système, on dit alors que le système est cinématiquement déterminé. Auparavant, il faut résoudre le modèle géométrique du système.
Problème géométrique et conditions initiales
Ce problème, dit aussi problème d'assemblage, consiste à trouver la position de tous les éléments du système multi-corps, sachant que certaines positions sont connues. En général, ce problème est très dicile à résoudre car il conduit à un système d'équations algébriques non-linéaires, qui a la plupart du temps plusieurs solutions.
Problème cinématique
Etant donnée la position d'un système et les vitesses entrées imposées, il s'agit de déterminer les vitesses des autres éléments du système. Ce problème est beaucoup plus facile que le précédent, car il est linéaire et a une solution unique.
De même, étant donnée les positions et les vitesses de tous les éléments du système et étant donnée l'accélération des entrées, le problème cinématique d'ordre 2 consiste à calculer les accélérations des autres éléments du système.
Problème dynamique direct
Le problème dynamique direct consiste à déterminer le mouvement du système, connaissant l'ensemble des forces actives et les conditions initiales en position et vitesse. Cela consiste à résoudre un système d'équations diérentielles du second ordre, la plupart du temps de type non-linéaires. Généralement, elles sont intégrées numériquement et itérativement, en partant des conditions initiales. Ce calcul nécessite beaucoup de ressources de calcul, car il faut veiller à la précision des calculs et leur stabilité. Il constitue donc un point clé de la simulation dynamique.
Problème dynamique inverse
Le problème dynamique inverse vise à déterminer les eorts que doivent développer les actionneurs per- mettant de produire un mouvement spécié. Cette formulation est extrêmement utile pour la commande du système, assurant à travers les actionneurs le suivi d'une trajectoire désirée.
Problème d'équilibre statique
Ce problème cherche à calculer les positions du système dans laquelle les forces de gravité, d'élasticité et extérieures s'équilibrent. Généralement, ce problème consiste à résoudre un système d'équations algé- briques non-linéaires, qui peut avoir plusieurs solutions.
Problème dynamique linéarisé
Ce problème, très proche du précédent, résout les modes propres de vibrations et les fréquences des petites oscillations autour d'une position d'équilibre donnée. Ce problème est résolu d'abord en linéarisant les équations de mouvement autour de la position d'équilibre. La connaissance des fréquences propres du système et de sa raideur permet de mieux dénir les lois de commande du système.
1.2 Quelques rappels de mathématiques et Notations
1.2.1 Vecteur géométrique
On note~aun vecteur au sens géométrique du terme : il commence en un point Aet nit en un point B. Sa norme est notéea.
On note~ex, ~ey, ~ez les vecteurs unitaires associés à un repère orthonormé direct(O, x, y, z), alors
~a=ax~ex+ay~ey+az~ez (1.1) ax, ay, az sont les composantes du vecteur~adans(O, x, y, z).
Le produit scalaire de deux vecteurs~aet~best
~a.~b = abcos(~a,~b)[ (1.2)
= ~b.~a (1.3)
Si~a.~b= 0alors les vecteurs sont orthogonaux.
Pour tout vecteur
~a.~a=a2 (1.4)
Le produit vectoriel de deux vecteurs~aet~best un vecteur~c:
~
c = ~a×~b (1.5)
= absin(~a,~b)~[u (1.6)
= (aybz−azby)~ex+ (azbx−axbz)~ey+ (axby−aybx)~ez (1.7) avec~ule vecteur unitaire orthogonal au plan déni par~aet~b, et respectant la règle de la main droite.
Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est le vecteur nul
~a×λ~a=~0 λ∈R (1.8)
Le produit vectoriel n'est pas commutative, mais si on inverse l'ordre on obtient l'opposé
~a×~b=−~b×~a (1.9)
Les produits scalaire et vectoriel sont distributifs par rapport à l'addition
(~a+~b).~c = ~a.~c+~b.~c (1.10)
(~a+~b)×~c = ~a×~c+~b×~c (1.11)
Les vecteurs~ex, ~ey, ~ez d'une base orthonormé vérient
~ex.~ex=~ey.~ey=~ez.~ez = 1 (1.12)
~ex.~ey =~ey.~ez=~ez.~ex = 0 (1.13) et
~ex×~ey =~ez, ~ey×~ez=~ex, ~ez×~ex=~ey (1.14)
1.2.2 Matrice
Une matriceAde dimensionm×nest notée
A= [aij] =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ...
am1 am2 . . . amn
(1.15)
La transposée de la matriceA, notée AT, consiste à permuter les lignes et les colonnes, et donc de dimensionn×m
AT =
a11 a21 . . . an1 a12 a22 . . . an2
... ... ... ...
a1m a2m . . . anm
(1.16)
Une matrice avec une seule colonne est appelé une matrice colonne est notéa et une matrice ligne est noté aT i.e. le transposé d'une matrice colonne). Ainsi un vecteur~a ∈ R peut être déni d'une façon unique par ses coordonnées cartésiennes et écrit sous la forme matricielle
a=
ax ay az
= [ax ay az]T (1.17)
Siaet bdeux matrices colonnes de dimension palors le produitaTbest un scalaire
aTb=bTa=a1b1+a2b2+. . .+apbp (1.18) SiA=AT ouaij =aji, la matrice est carrée et dite symétrique.
La matrice est dite antisymétrique siA=−AT ouaij =−aji. On en déduit que la diagonale d'une matrice antisymétrique est nulle.
La somme de deux matrices - de même dimension - est commutative
A+B= [aij+bij] =B+A (1.19)
Le produit de 2 matricesAm×pBp×n =Cm×n tels que cij =Pp
k=1aipbpj. Le produit n'est pas commu- tatif :
AB6=BA (1.20)
La somme et le produit des matrices sont associatifs
(A+B) +C = A+ (B+C) =A+B+C (1.21)
(AB)C = A(BC) =ABC (1.22)
On a aussi, quand les dimensions sont compatibles,
(A+B)T = AT+BT (1.23)
(AB)T = BTAT (1.24)
Quand la matriceAest carrée et inversible (det(A)6= 0), son inverse est notéA−1. Nous avons les identités suivantes :
AA−1 = A−1A=I (1.25)
(A−1)T = (AT)−1=A−T (1.26)
(AB)−1 = B−1A−1 (1.27)
Iest la matrice identité.
Une matrice est dite orthogonale quand
A−1 = AT ou AAT =I (1.28)
1.2.3 Opérations sur les vecteurs algébriques
Un vecteur algébrique est déni comme une matrice colonne. Quand celui-ci représente un vecteur géo- métrique de l'espace 3D, il a 3 composantes. Le produit scalaire de deux vecteurs~a.~bpeut être donc écrit sous la forme matricielleaTb
aTb=bTa=a1b1+a2b2+a3b3 (1.29) Le produit vectoriel~c=~a×~bpeut prendre la forme matricielle
c= ˜ab=
aybz−azby azbx−axbz axby−aybx
(1.30)
avec
˜ a=
0 −az ay
az 0 −ax
−ay ax 0
(1.31)
˜
aest une matrice antisymétrique dite matrice du pré-produit vectoriel.
On peut démontrer aisément les identités
(αa)g = α˜a ∀α∈R (1.32)
˜
ab = −ba˜ (1.33)
˜
aa = 0 (1.34)
aTa˜T = −a˜a=0T (1.35)
Exercice 1.3 Démontrer que
a˜b˜ = baT−aTbI (1.36)
˜f
ab = baT−abT (1.37)
= ˜ab˜−b˜˜a (1.38)
˜
ab˜+abT = b˜˜a+baT (1.39)
a^+b = ˜a+ ˜b (1.40)
Exercice 1.4 Compléter le tableau de correspondance des vecteurs donnés sous forme géométriques ou algébriques
Géométriques Algébriques
~a a
~a+~b a+b
α~a αa
~a.~b aTb
~a×~b ab˜
~a.(~b×~c) . . .
(~a×~b).~c . . .
~a×(~b×~c) . . .
(~a×~b)×~c . . .
1.2.4 Dérivées totale et partielle
Soita= [ax(t)ay(t)az(t)]T un vecteur algébrique exprimé dans un repère xe. On note d
dta= [d
dt(ai(t))] = ˙a (1.41)
Les relations habituelles de dérivation s'appliquent d
dt(a+b) = a˙ + ˙b (1.42)
d
dt(αa) = αa˙ +α˙a (1.43)
d
dt(aTb) = a˙Tb+aTb˙ (1.44)
d
dt(˜ab) = ab˙˜ +˜a ˙b (1.45)
Notons quea˙˜=˜˙a.
Si a(t) un vecteur de longueur xe (par exemple vecteur reliant deux points d'un solide rigide), soit aTa=constante. La dérivée par rapport au temps de cette équation
˙
aTa= 0 (1.46)
La dérivée seconde deaest égale à
d dt(d
dta) = d
dt( ˙a) = ¨a (1.47) Idem pour les matrices
d
dtA = [d
dt(aij(t))] = ˙A (1.48)
d
dt(A+B) = A˙ + ˙B (1.49)
d
dt(αA) = αA˙ +αA˙ (1.50)
d
dt(AB) = AB˙ +AB˙ (1.51)
d
dt(Ab) = Ab˙ +Ab˙ (1.52)
Exercice 1.5 SoitA= [a,a]˜ une matrice 3×4 etC=AAT. Quelle condition doit vériera pour que C˙ soit une matrice nulle.
Il est fréquent en mécanique de manipuler des fonctions qui dépendent d'un certain nombre de paramètres q1, q2, . . . , qn et du temps t, avec qi dépendant également du temps, qi = qi(t). La dérivée totale par rapport au temps d'une fonction
f =f(q1, q2, . . . , qn, t) (1.53) est
df dt = ∂f
∂q1
dq1
dt + ∂f
∂q2
dq2
dt +. . .+ ∂f
∂qn
dqn
dt +∂f
∂t (1.54)
qui peut être écrit sous la forme matricielle
df dt =
∂f
∂q1
∂f
∂q2 . . . ∂f
∂qn
dq1
dt dq2
dt
. . .
dqn dt
+∂f
∂t (1.55)
= ∂f
∂q dq
dt +∂f
∂t (1.56)
= fqdq dt +∂f
∂t (1.57)
avec
fq= ∂f
∂q = ∂f
∂q1
∂f
∂q2 . . . ∂f
∂qn
(1.58) Dans le cas de plusieurs fonctions scalaires dépendantes de plusieurs variables
f1 = f1(q1, q2, . . . , qn, t) (1.59) f2 = f2(q1, q2, . . . , qn, t) (1.60)
= ... (1.61)
fm = fm(q1, q2, . . . , qn, t) (1.62) (1.63) Pour chaque fonctionfj,j= 1,2, . . . , m, on a
dfj
dt = ∂fj
∂q dq
dt +∂f
∂t (1.64)
(1.65) On peut regrouper cesméquations en une seule
df dt =
∂f1
∂q1
∂f1
∂q2 . . . ∂q∂f1
n
∂f2
∂q1
∂f2
∂q2 . . . ∂q∂f2
n
... ... ... ...
∂fm
∂q1
∂fm
∂q2 . . . ∂f∂qm
n
dq1 dt dq2 dt
...
dqn dt
+
∂f1
∂t
∂f2
∂t
...
∂f2
∂t
(1.66)
= ∂f
∂q dq
dt +∂f
∂t (1.67)
= fqq˙ +ft (1.68)
avec
fq = ∂f
∂q =
∂f1
∂q1
∂f1
∂q2 . . . ∂q∂f1
n
∂f2
∂q1
∂f2
∂q2 . . . ∂q∂f2
n
... ... ... ...
∂fm
∂q1
∂fm
∂q2 . . . ∂f∂qm
n
(1.69)
˙
q = dq dt =
dq1 dt
dq2
dt . . . dqn dt
T
(1.70) ft = ∂f
∂t = ∂f1
∂t
∂f2
∂t . . . ∂fm
∂t T
(1.71) Dérivée d'une fonction linéaire :
∂aTq
∂q = ∂qTa
∂q =aT (1.72)
∂Aq
∂q = ∂qTA
∂qT =A (1.73)
Dérivée d'une fonction quadratique :
∂qTAq
∂q =qT(A+AT) (1.74)
SiAest symétrique i.e.A=AT alors ∂q∂qTAq = 2qTA
Chapitre 2
Rotation 3D et Paramètres d'Euler (quaternions)
En 3D, le paramétrage de la rotation n'est pas aussi évident qu'en 2D où un angle est susant pour dénir une orientation. La méthode des paramètres d'Euler est la technique la plus utilisée dans les logiciels de simulation car elle est générique et sans singularité, contrairement aux autres méthodes telle que les angles d'Euler. Noter bien la diérence d'appellation. Auparavant nous commençons par dénir plus généralement les coordonnées nécessaires pour dénir la conguration d'un solide rigide par rapport à un référentiel donné.
2.1 Coordonnées d'un solide rigide
Un corps non-contraint nécessite au moins 6 paramètres indépendants pour déterminer sa conguration - 3 coordonnées pour la translation et 3 pour la rotation. Ces six coordonnées dénissent la conguration d'un repère lié au solide par rapport au référentiel global (inertiel). Chaque point du solide peut être déni par ses coordonnées dans le repère du solide, donc la position globale de tout point du solide peut être déterminée par 6 coordonnées. Les coordonnées de l'origine du repère du solide dénissent la translation.
Des coordonnées rotationnelles sont nécessaires pour dénir l'orientation des axes du repère du solide par rapport au référentiel global. On noteξηζ les axes du repère liés au solide etxyz ceux du repère global (2.1(a)). La conguration du repère du corps ξηζ par rapport à xyz peut être considérée comme une translation dexyz à x0y0z0 puis une rotation dex0y0z0 versξηζ.
L'objectif de ce chapitre est d'étudier l'orientation angulaire deξηζ par rapportxyz, on supposera pour cela, sans perte de généralité, que les 2 origines sont confondues (2.1(b)).
Soit un vecteur~ujoignant l'origine à un point P, il peut être exprimé par ses coordonnées dans les 2
LJ ζ η
K Ζ
LJΖ
ζ η K
LJ
dž
dž nj
ξ
K džΖ
njΖ ξ
K nj
dž
;ĂͿ ;ďͿ
Figure 2.1 Conguration des repères (a) translation et rotation (b) rotation uniquement.
18
repèresξηζ etxyz :
~u = ux~ex+uy~ey+uz~ez (2.1)
~u = uξ~eξ+uη~eη+uζ~eζ (2.2) où(~ex, ~ey, ~ez)et(~eξ, ~eη, ~eζ)sont les vecteurs unitaires le long dexyz et ξηζ, et
ux=~u.~ex, uy=~u.~ey, uz=~u.~ez
uξ =~u.~eξ, uη=~u.~eη, uζ =~u.~eζ (2.3) Les composantes du vecteur~uexprimées dans dans les deux systèmes de coordonnées peuvent être mises dans des matrices colonnes (vecteurs algébriques) qui sont
u= [uxuy uz]T (2.4)
dans le repère globalxyz, et
¯
u= [uξ uη uζ]T (2.5)
dans le repère lié au solideξηζ.
Pour exprimer la relation entreuet u¯, on introduit les relations entre les vecteurs unitaires associés aux 2 repères
~
eξ =a11~ex+a21~ey+a31~ez (2.6)
~
eη =a12~ex+a22~ey+a32~ez (2.7)
~eζ =a13~ex+a23~ey+a33~ez (2.8) avecaij, i, j= 1,2,3 les cosinus directeurs dénis par
a11=~eξ.~ex= cos(~eξ, ~ex), a21=~eξ.~ey= cos(~eξ, ~ey), a31=~eξ.~ez = cos(~eξ, ~ez) a12=~eη.~ex= cos(~eη, ~ex), a22=~eη.~ey= cos(~eη, ~ey), a32=~eη.~ez= cos(~eη, ~ez) a13=~eζ.~ex= cos(~eζ, ~ex), a23=~eζ.~ey= cos(~eζ, ~ey), a33=~eζ.~ez= cos(~eζ, ~ez)
(2.9)
En substituant les expressions (2.8) dans l'équation (2.2), on obtient
~
u = uξ(a11~ex+a21~ey+a31~ez) +uη(a12~ex+a22~ey+a32~ez) +uζ(a13~ex+a23~ey+a33~ez)
= (a11uξ+a12uη+a13uζ)~ex+ (a21uξ+a22uη+a23uζ)~ey+ (a31uξ+a32uη+a33uζ)~ez
... (2.10)
Comparant les équations (2.10) et (2.1), on a
ux=a11uξ+a12uη+a13uζ
uy=a21uξ+a22uη+a23uζ
uz=a31uξ+a32uη+a33uζ
(2.11)
ou sous forme matricielle
u=A¯u (2.12)
avec
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
(2.13)
A est la matrice de changement de base de ξηζ vers xyz. Notons eξ le vecteur des coordonnées de ~eξ
dansxyz, idem poureη eteζ :
eξ=
a11
a21
a31
, eη =
a12
a22
a33
, eζ =
a13
a23
a33
(2.14)
et la matriceApeut s'écrire
A= [eξ eη eζ] (2.15)
Commeeξ,eη,eζ est une base orthonormé, alors
AAT =I (2.16)
et donc
A−1=AT (2.17)
L'inversion de l'équation (2.12) donne
¯
u=ATu (2.18)
Les 9 cosinus directeurs de la matriceAdénissent l'orientation deξηζpar rapport àxyz, cependant ils ne sont pas indépendants. Les 9 paramètres sont reliés par 6 équations issus de l'équation(2.16)(en fait 9 équations dont 3 répétés deux fois). Donc, seulement 3 cosinus directeurs parmi les 9 sont indépendants.
Néanmoins, on peut utiliser les 9 cosinus directeurs, contraints par 6 équations, comme coordonnées ro- tationnelles, cependant ceci n'est ni pratique ni élégant.
Quand les origines des 2 repères ne coïncident pas, alors la position absolue (dansxyz) d'un pointP lié au solide est la somme de deux termes
rP = rO+uP
= rO+A¯uP
soit
rP =r+A¯uP (2.19)
oùr=rOest le vecteur position de l'origineOdu repèreξηζqui regroupe les coordonnées de translation du corps.
2.2 Matrice rotation
Comme nous l'avons vu dans la section précédente, l'orientation d'un corps peut être dénie par la ma- trice de transformation A. Cette matrice est orthogonale (dite aussi de rotation) de déterminant égal à 1. Ce qui permet de dire qu'à tout instant, le repère lié au solide peut être obtenu en eectuant une rotation imaginaire à partir d'une orientation coïncidante avec le repère globale. Ce résultat est connu sous le nom du théorème d'Euler dans sa forme originale :
Théorème d'Euler : Quand une sphère eectue un mouvement autour de son centre, il est toujours possible de trouver un diamètre dont la position après déplacement coïncide avec la position initiale.
Ceci veut dire que le déplacement général d'un corps ayant un point xe est une rotation autour d'un certain axe. Cet axe est diérent de l'axe instantané de rotation. Nous allons l'appeler Axe d'Eu- ler. En corollaire de ce théorème, le théorème de Chasles peut être rappelé :
Théorème de Chasles : Le déplacement général d'un solide est une composition d'une translation et d'une rotation.
LJ
ξ ζ η
K
W Ƶ
Wƌ
K
dž
nj
ƌ
Wƌ
KFigure 2.2 Coordonnées d'un solide rigide.
Figure 2.3 Axe de rotation d'Euler.
LJ
α θ
W W
θ η
Ƶ Ă
nj K
dž ǀ
W W
θ
∆Ƶ
ζ
ξ ď
Ϯď
ϭƵ Ă
;ĂͿ ;ďͿ
Figure 2.4 Rotation nie autour d'un axe(O,v).
Nous allons établir ici l'expression de la matrice rotation en fonction du vecteur d'Euler et en fonction de l'angle de rotation. Pour dénir cette transformation qui dénit l'orientation relative entre 2 repèresξηζ et xyz, on supposera ici, sans perte de généralité, que les 2 origines coïncident. On suppose également que les axes des deux repères coïncident initialement.
Soitu¯P la position du pointP¯ dont les coordonnées sont supposées xes dans ξηζ. Après une rotation par rapport au repère globalxyz autour de la droite dirigée par le vecteur unitaire vet d'un angleθ, le pointP¯ occupe la nouvelle position P de coordonnées u(g.2.4.a), d'où
u= ¯u+ ∆u (2.20)
Or∆upeut s'écrire comme la somme de 2 vecteurs (g.2.4.b)
∆u=b1+b2 (2.21)
oùb1 est perpendiculaire au plan(OCP¯)et donc porté par v×u¯. On peut écrire la norme deb1
b1=|b1|=asinθ (2.22)
Soitαl'angle entrevet u¯ et ale rayon du cercleCP
a=|u¯ |sinα=|vׯu| (2.23)
donc
b1=asinθ vׯu
|vׯu| = sinθv×u¯ (2.24) Le vecteurb2entre les points P¯ et Da une norme
|b2|=a−acosθ= (1−cosθ)a= 2asin2(θ
2) (2.25)
Ce vecteur est perpendiculaire à la foisOC et àDP, et donc porté par le vecteur unitaire(v×(v×u))/a¯ b2= 2asin2(θ
2).v×(vׯu)
a (2.26)
D'où
u= ¯u+v×u¯sinθ+ 2 [v×(v×u)] sin¯ 2(θ
2) (2.27)
En utilisant la matrice anti-symétrique du pré-produit vectoriel à gauchev˜
v×u¯= ˜vu¯=
0 −v3 v2
v3 0 −v1
−v2 v1 0
u¯ (2.28)
oùv1, v2, v3sont les composantes du vecteurv, l'équation (2.27) devient
u = u¯+ ˜v¯u sinθ+ 2(˜v)2u¯ sin2(θ
2) (2.29)
=
I+ ˜v sinθ+ (˜v)22 sin2(θ 2)
¯
u (2.30)
où Iest la matrice identité 3×3. Cette dernière équation se met sous la forme d'une transformation linéaire
u=A(v, θ)¯u (2.31)
avecAest la matrice rotation
A=
I+ ˜v sinθ+ (˜v)22 sin2(θ2) (2.32) Cette équation est dite formule de Rodriguez ; elle dépend de l'angle de rotation et d'un vecteur unitaire de l'axe de rotation.
2.3 Paramètres d'Euler
En utilisant l'identité
sinθ= 2 sinθ 2cosθ
2 l'équation (2.32) devient
A=I+ 2˜vsinθ 2
Icosθ
2+ ˜vsinθ 2
(2.33) En posant les 4 paramètres d'Euler
p1=e0= cosθ 2 p2=e1=v1sinθ
2 p3=e2=v2sinθ 2 p4=e3=v3sinθ 2
(2.34)
la formule de Rodriguez (2.32) devient
A=I+ 2˜e(e0I+ ˜e) (2.35)
oùe= [e1, e2, e3]T et
˜e=
0 −e3 e2
e3 0 −e1
−e2 e1 0
(2.36)
Il est à noter que les 4 paramètres d'Euler ne sont pas indépendants mais reliés par l'équation
3
X
k=0
(pk)2=pTp= 1 (2.37)
avec p = [e0, e1, e2, e3]T. Vue que les paramètres sont dépendants, la matrice rotation peut prendre plusieurs formes, une d'elles est
A=
2[(e0)2+ (e1)2]−1 2(e1e2−e0e3) 2(e1e3+e0e2) 2(e1e2+e0e3) 2[(e0)2+ (e2)2]−1 2(e2e3−e0e1) 2(e1e3−e0e2) 2(e2e3+e0e1) 2[(e0)2+ (e3)2]−1
(2.38)
Remarques :
Les paramètres d'Euler dénissent un quaternion unitaire
q= cos(θ/2).1+v1sin(θ/2).i+v2sin(θ/2).j+v3sin(θ/2).k (2.39) oùi2=j2=k2=ijk=−1.
Les quaternions peuvent être vues comme une extension des nombres complexes (à 3 paramètres indé- pendants), ils permettent de construire une structure de groupe vériant plusieurs propriétés tel que la fermeture, l'associativité, la conjugaison, ...
La matriceAne dépend pas des composantes deu¯, mais dépend du vecteur unitairevet de l'angleθ. Donc toute ligne rigidement liée àOP sera transformée en utilisant la même matrice A, entre autres les axes du repère tournant ξηζ. Par conséquentA correspond aussi à la matrice de transformation des coordonnées deξηζ versxyz.
Les paramètres d'Euler sont au nombre de 4 reliés par une équation algébrique. Une alternative, qui utilise seulement 3 paramètres, appelé paramètres de Rodriguez, sont dénis par
γ1=v1tanθ
2, γ2=v2tanθ
2, γ3=v3tanθ
2 (2.40)
Ces paramètres dénissent un vecteur dit de Gibbsγ=vtanθ2. Cependant ce paramétrage n'est pas déni pour une rotation de 180(θ=π).
Dans le cas plan de normale z, un seul paramètre θ est susant pour dénir la rotation d'un corps (g.2.5). Dans ce cas, la matrice rotation s'écrit
A=
cosθ −sinθ sinθ cosθ
(2.41)
2.4 Propriétés de la matrice rotation
˜
vest une matrice anti-symétriquev˜T =−˜v, donc(˜v)2est une matrice symétrique. De même
(˜v)3=−˜v, (˜v)4=−(˜v)2, (˜v)5= ˜v, (˜v)6= (˜v)2 (2.42) et par récurence
(˜v)2n−1= (−1)n−1˜v, (˜v)2n= (−1)n−1(˜v)2 (2.43) En utilisant ces équations et l'équation (2.32), on montre
ATA=AAT =I (2.44)
LJ
η θ
dž ξ θ Ğ
džĞ
ξĞ
LJĞ
ηFigure 2.5 Rotation plane.
Preuve :
Ceci prouve que la matriceAest une matrice orthogonale et que
A−1=
I−˜v sinθ+ (˜v)22 sin2(θ 2)
=AT (2.45)
Dans le cas d'une rotation innitésimale,
sinθ=θ−(θ)3 3! +(θ)5
5! +...≈θ la matrice rotation devient
A≈I+ ˜vθ (2.46)
Exercice : Montrer que pourw=cv
Aw=w
qui signie que tout vecteur colinéaire à l'axe de rotationvest invariant.
Forme exponentielle de la matrice rotation
La formule de Rodriguez s'écrit aussi A=
I+ ˜v sinθ+ (˜v)2(1−cosθ) (2.47) En utilisant les développement limités de Taylor
sinθ=θ−(θ)3 3! +(θ)5
5! +...
cosθ= 1−(θ)2 2! +(θ)4
4! +...
A =
I+
θ−(θ)3 3! +(θ)5
5! +...
˜ v+
(θ)2 2! −(θ)4
4! +...
(˜v)2
(2.48)
=
I+θ˜v+(θ)2
2! (˜v)2+(θ)3
3! (˜v)3+...
(2.49) Cette dernière exploite les relations (2.42,2.43).
Comme l'exponentielle d'une matrice carrée est égale à eX=I+X+X2
2! +X3 3! +...
la matrice rotation peut se mettre sous la forme élégante
A = eθ˜v (2.50)
2.5 Paramètres d'Euler fonction des cosinus directeurs
A partir de l'équation (2.38), on cherche à écrire les paramètres d'Euler en fonction des termes de la matrice de transformationA, qui sont aussi appelés les cosinus directeurs. Soit
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
(2.51)
Soit tr(A)la trace de la matriceA, alors
tr(A) = a11+a22+a33 (2.52)
= 6(e0)2+ 2(e1)2+ (e2)2+ (e3)2−3 (2.53)
= 4(e0)2−1 (2.54)
d'où
(e0)2= tr(A) + 1
4 (2.55)
En prenant chaque terme de la diagonale, et en utilisant cette dernière équation, on obtient
(e1)2= 1 + 2a11−tr(A)
4 (2.56)
(e2)2= 1 + 2a22−tr(A)
4 (2.57)
(e3)2= 1 + 2a33−tr(A)
4 (2.58)
(2.59) Toutes ces équations ne donnent pas le signe des paramètres d'Euler. Pour trouver le signe, il faut s'aider des autres termes de la matrice. Contrairement aux autres méthodes comme les angles d'Euler qu'on verra plus loin, il n'y a pas de singularité dans ces équations.
2.6 Identités avec les paramètres d'Euler
Ces relations sont très importantes pour le développement des équations de la dynamique spatiale.
Le produitppT est une matrice4×4qui s'écrit
ppT = e0
e
e0 eT (2.60)
=
(e0)2 e0eT e0e eeT
(2.61) on peut écrire que
˜
ee=0 (2.62)
et
˜
e˜e = eeT−eTeI (2.63)
= eeT−(1−(e0)2)I (2.64)
La matrice rotation peut être décomposée comme suit
A=EE¯T (2.65)
oùE,E¯ sont des matrices3×4 dépendant linéairement des paramètrese0, e1, e2, e3
E =
−e1 e0 −e3 e2
−e2 e3 e0 −e1
−e3 −e2 e1 e0
= [−e,˜e+e0I] (2.66) E¯ =
−e1 e0 e3 −e2
−e2 −e3 e0 e1
−e3 e2 −e1 e0
= [−e,−˜e+e0I] (2.67) Preuve :
Chaque ligne deEetE¯ est orthogonale àpc'est-à-dire
Ep = 0 (2.68)
Ep¯ = 0 (2.69)
Un calcul direct montre que les lignes deEsont orthogonales entre elles,
EET =I (2.70)
idem pourE¯
E¯E¯T =I (2.71) et donc
EET = ¯EE¯T (2.72)
Cependant le produitETE est égal à
ETE=−ppT +I4 (2.73)
idem pourE¯TE¯,
E¯TE¯ =−ppT +I4 (2.74)
2.7 Rotations successives : Les angles d'Euler
La composition de rotations est en général non-commutative (voir gure 2.6), excepté si les axes de ro- tation sont parallèles.
y
ϭy
Ϯy
ϯy
ϭy
Ϯy
ϯy
ϯy
ϭy
ϮϮy
Ϯy
ϯy
ϭy
ϯy
ϭy
Ϯy
Ϯy
ϭy
ϯƚĂƚŝŶŝƚŝĂů ƚŽƵƌŶĠĚĞϵϬΣ ĂƵƚŽƵƌĚĞyϮ ƚŽƵƌŶĠĚĞϵϬΣ ĂƵƚŽƵƌyϯ
ƚĂƚŝŶŝƚŝĂů ƚŽƵƌŶĠĚĞϵϬΣ ĂƵƚŽƵƌĚĞyϯ ƚŽƵƌŶĠĚĞϵϬΣ ĂƵƚŽƵƌyϮ
Figure 2.6 Non commutativité des rotations.
Exercice : On considère les 2 rotations autour d'axes liés de la gure (2.6). Donner les matrices rotations pour chaque cas et montrer qu'elles sont diérentes.
njϬ
njϮ
džϭ
Figure 2.7 Gyroscope paramétré par des angles d'Euler.
La technique des angles d'Euler est certainement la méthode la plus connue et la plus utilisée pour le paramétrage de l'orientation 3D d'un repère (ou d'un solide). Elle contient 3 rotations successives autour de 3 axes qui, en général, ne sont pas orthogonaux. Les angles d'Euler ne sont pas uniques. La séquence la plus utilisée est z,x,z, qui s'eectue autour des axes~z0,~x1 et~z2 (g.2.7).
On considère que ~x0, ~y0, ~z0 et ~x1, ~y1, ~z1 deux systèmes de coordonnées qui coïncident initialement. La séquence commence par une rotation de~x1, ~y1, ~z1 d'un angleφautour de~z0. On a donc
u0=A10u1 avec A10=
cosφ −sinφ 0 sinφ cosφ 0
0 0 1
La deuxième rotation transforme la base~x1, ~y1, ~z1en~x2, ~y2, ~z2, d'un angleθautour de~x1, dont la matrice de transformation
u1=A21u2 avec A21=
1 0 0
0 cosθ −sinθ 0 −sinθ cosθ
La dernière rotation permet de tourner~x2, ~y2, ~z2 d'un angleψ autour~z2 qui permet d'obtenir~x3, ~y3, ~z3, dont la matrice de transformation
u2=A32u3 avec A32=
cosψ −sinψ 0 sinψ cosψ 0
0 0 1
La matrice de rotation totale qui permet de passer les coordonnées de~x3, ~y3, ~z3vers~x0, ~y0, ~z0 est
A=A30=A10A21A32 (2.75)
A=
cosψcosφ−cosθsinφsinψ −sinψcosφ−cosθsinφcosψ sinθsinφ cosψsinφ+ cosθcosφsinψ −sinψsinφ+ cosθcosφcosψ −sinθcosφ
sinθsinψ sinθcosψ cosθ
Dans le cas où la matriceA= [aij]est donnée, les angles d'Euler peuvent être donnés à partir de relations suivantes
cosθ =a33 sinθ =± q
a213+a223 cosψ =−a23
sinθ sinψ = a13 sinθ cosφ = a32
sinθ sinφ = a31 sinθ
On voit bien les dicultés numériques d'application de ces relations quandθ 'kπ k ∈N. Ce type de singularité de paramétrage, est présent dans toutes représentations utilisant la composition de rotations successives. On peut aussi se rendre compte de cette singularité quand deux axes de rotations coïncident, en l'occurrence quandθ= 0. Dans ce cas la matrice rotation s'écrit
A =
cosψcosφ−sinφsinψ −sinψcosφ−sinφcosψ 0 cosψsinφ+ cosφsinψ −sinψsinφ+ cosφcosψ 0
0 0 1
=
cos(ψ+φ) −sin(ψ+φ) 0 sin(ψ+φ) cos(ψ+φ) 0
0 0 1
On voit que dans ce cas, on ne peut pas distinguerψ deφ.
Chapitre 3
Description cinématique des systèmes de solides
3.1 Vitesse et accélération angulaires d'un solide rigide
On considère le repèreξηζattaché à un solide tournant autour d'un pointO xe dans le référentiel globalxyz. On rappelle la position globale d'un pointP attaché au solide (voir Chapitre 2)
uP =A¯uP (3.1)
En dérivant cette équation par rapport au temps, on a
u˙P = ˙A¯uP +Au˙¯P (3.2)
Sachant queP est xe dans le solide et queu¯P est un vecteur constant, on au˙¯P=0. Ce qui fait
˙
uP = ˙A¯uP (3.3)
On poseΩ etΩ¯ deux matrices3×3 telles que
A˙ =ΩA (3.4)
et A˙ =AΩ¯ (3.5)
En dérivant par rapport au temps l'équationAAT =I, on obtient
AA˙ T +AA˙T =0 (3.6)
On substitue les équations (3.4) dans (3.6), on arrive à
dž LJ
nj ξ
ζ η K
W Ƶ
WFigure 3.1 Rotation autour d'un pointO.
ΩAAT +AATΩT =0 (3.7) soit
Ω=−ΩT (3.8)
DoncΩest une matrice anti-symétrique et peut s'écrire
Ω= ˜ω (3.9)
oùω est un vecteur de dimension 3. D'où on peut écrire
A˙ = ˜ωA (3.10)
En utilisant l'équation (3.5), on démontre de la même façon que
Ω¯ =−Ω¯T = ˜ω¯ (3.11)
L'équation (3.5) devient
A˙ =Aω˜¯ (3.12)
En comparant les équations (3.10) et (3.12), on écrit que
˜
ωA=Aω˜¯ (3.13)
ou encore
˜
ω=AωA˜¯ T (3.14)
Ouvrant une parenthèse : Soient 3 vecteurs~a,~bet~squelconques tels que
~b=~s×~a
Cette relation exprimée dans les repères global et local s'écrit
b= ˜sa b¯ = ˜¯s¯a
Sachant quea=A¯aetb=Ab¯, en remplaçant dans cette dernière les diverses expressions, on a
˜
sA¯a=A˜¯s¯a En éliminant ¯aon obtient
˜sA=A˜¯s (3.15)
ou encore
˜s=A˜¯sAT (3.16)
Les équations (3.14) et (3.16) sont similaires, on en déduit queωetω¯ correspondent à un même vecteur géométrique~ω, avec
ω= [ωx ωy ωz]T (3.17)
et
¯
ω= [ωξ ωη ωζ]T (3.18)
Enn, l'équation (3.3) devient
u˙P = ωA¯˜ uP (3.19)
= ωu˜ P (3.20)
Cette relation prend la forme vectorielle suivante
~˙
uP =~ω×~uP (3.21)
Plus généralement, pour tout vecteur~sattaché àξηζ, on peut écrire que
˙
s= ˜ωs (3.22)
Si on multiplie à droite l'équation (3.4), on obtient
AA˙ T = ˜ω (3.23)
Sachant queA˙ = 2 ˙EE¯T (Eq.A.7) etA=EE¯T (Eq.2.65), cette dernière équation devient
2 ˙EE¯TEE¯ T = ˜ω (3.24)
Sachant queE¯TE¯ =−ppT+I4(Eq.2.74) et queEp=0(Eq.2.68), on peut écrire
2 ˙EET = ˜ω (3.25)
OrEfp˙ =−EE˙T (Eq.A.8) et EE˙T =−EE˙ T (Eq.A.10), on peut nalement écrire que
ω= 2Ep˙ (3.26)
De la même façon, on montre que
¯
ω= 2 ¯Ep˙ (3.27)
On poseGetG¯
G = 2E (3.28)
G¯ = 2 ¯E (3.29)
et donc
ω=G(p) ˙p (3.30)
¯
ω= ¯G(p) ˙p (3.31)
La dérivée par rapport au temps de l'équation (3.26) permet d'écrire
˙
ω= 2 ˙Ep˙ + 2E¨p orE˙p˙ =0(Eq.A.4), donc
˙
ω=G(p)¨p
Idem, on démontre que
˙¯
ω= ¯G(p)¨p
Les vecteursω˙ etω˙¯ sont les composantes globales et locales d'un même vecteur -au sens géométrique du terme-~ω˙ qui dénit l'accélération angulaire du repèreξηζ par rapport àxyz.
Vitesse et accélération angulaires fonction des angles d'Euler
Dans le cas des rotations successives d'Euler dénis dans le chapitre précédent suivant la convention 3-1-3 ou z-x-z. On poseθ, l'ensemble des paramètres de rotation
θ= [φ θ ψ]T (3.32)
De la même façon que l'équation (3.30) avec le paramétrage d'Euler, la vitesse angulaireωdéni dans le repère global peut être reliée aux paramètres
ω=G(θ) ˙θ (3.33)
avecGqui prend une expression diérente
G=
0 cosφ sinθsinφ 0 sinφ −sinθcosφ
1 0 cosθ
(3.34)
Notons que les colonnes de G, qui représentent les vecteurs unitaires suivant les axes de rotation par rapport auxquels les rotations d'Euler φ θ ψ sont eectuées, sont des vecteurs dénis dans le repère global.
Cette vitesse angulaire exprimé dans le repère local est
¯
ω= ¯G(θ) ˙θ (3.35)
avec
G¯ =
sinθsinψ cosψ 0 sinθcosψ −sinψ 0
cosθ 0 1
(3.36)
Cas 2D
Dans le cas de problème plan normale àz
ω= ˙θ[0 0 1]T (3.37)
3.2 Vitesse et accélération linéaires d'un point lié à un solide rigide
Rappelons la position générale d'un pointP attaché à un corps rigide (ou à un repère local) (Eq.2.19)
rP =r+uP =r+A¯uP
La dérivée par rapport au temps donne
˙
rP = ˙r+ ˙A¯uP (3.38)
Rappelons queu¯P est constant. En utilisant l'équation (3.12) on écrit
A¯˙uP = Aω˜¯u¯P
= A( ¯ω×u¯P)
= −A(¯uP ×ω)¯
= −Au˜¯Pω¯
= −Au˜¯PG¯p˙ (3.39)
