AL1 – Complexes - Cours -

AL1 – Complexes

- Cours -

1 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS IMMÉDIATES ... 3

1.1 DÉFINITION HISTORIQUE 3

1.2 DÉFINITION MATHÉMATIQUE 4

1.3 POLYNÔMES DANS ℂ 6

2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET NOTATIONS ... 7

2.1 REPRÉSENTATION EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES 7

2.2 REPRÉSENTATION EN COORDONNÉES POLAIRES 7

2.3 IDENTIFICATION AUX VECTEURS 8

2.4 NOTATION EXPONENTIELLE 8

3 OPÉRATIONS SUR LES COMPLEXES ... 9

3.1 DANS LEURS DIFFÉRENTES REPRÉSENTATIONS 9

3.2 MULTIPLICATION PAR UN COMPLEXE DE MODULE 1 11

3.3 PUISSANCES D’UN NOMBRE COMPLEXE 12

3.4 RACINES N^IÈMES D’UN NOMBRE COMPLEXE 12

3.5 FORMULES D’EULER ET LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES 14

4 APPLICATIONS EN PHYSIQUE ... 15

4.1 REPRÉSENTATION DE FRESNEL D’UNE GRANDEUR SINUSOÏDALE 15

4.2 APPLICATION AU DIPÔLE RL SÉRIE 15

1 Définitions et propriétés immédiates

1.1 Définition historique

1.1.1 À l’origine

L’idée de départ fut de créer des nombres non réels, dits « imaginaires », solutions d’équations du second degré dont le discriminant est négatif, dans lesquelles on pourrait envisager d’écrire la racine carrée d’un nombre négatif. De nos jours, on appelle « complexes » ces nombres. C’est ainsi qu’au XVI° siècle (vers 1545) les mathématiciens italiens Bombelli et Cardano (Cardan) ont eu l’idée d’introduire le nombre i tel que :

i² = -1

, i et –i étant les solutions de l’équation x² + 1 = 0.

Le symbole i désigne un nombre « imaginaire ». Il représente une « racine carrée de –1 ».

La notion de racine carrée doit alors être employée avec un certain recul dans ℂ : La racine carrée d’un réel positif B est un nombre b tel que b² = B (Ex : √25 = 5, ou –5).

Une racine carrée d’un réel négatif B est un imaginaire i×b (b réel) qui, mis au carré, donne B : (ib)² = i²b² = –b² = B (de même que (–ib)² = (–1)²i²b² = i²b² = –b² = B).

ib et –ib sont, en ce sens, les deux racines carrées du réel négatif B.

√B = ±√(– (–B)) = ±√(–1).√(–B) = ±i√(–B). (l’utilisation du signe √ est impropre puisqu’en l’appliquant sur un nombre complexe elle peut renvoyer deux résultats)

Ex : « √(-25) » = ±√(-1).√25 = ± 5i ; « √(-2) » = ±√(-1).√2 = ± i√2

Aucun des imaginaires i, -i, 2i, -2i, bi ou –bi ne peut être déclaré positif ou négatif. Cette notion n’a tout simplement pas de sens dans l’ensemble des nombres imaginaires.

1.1.2 Nombre complexe

Une « racine carrée d’un nombre réel négatif » a pour forme b×i , imaginaire pur où b est un réel.

La « somme » d’un réel a et d’un imaginaire pur ib forme ce qu’on appelle un nombre complexe z :

z = a + i b

(si tant est que cette pseudo- addition, entre deux objets de natures différentes, ait un sens…)

1.1.3 Utilité

Les calculs avec les nombres complexes permettent : D’écrire les solutions d’équations polynômiales

De simplifier certaines écritures, notamment trigonométriques

De résoudre certaines équations différentielles, de calculer certaines intégrales réelles D’écrire sous forme de calculs des résultats et des fonctions géométriques

De simplifier les calculs traditionnels notamment en électricité, mécanique, automatisme, etc.

(Lorsque les physiciens utilisent ces nombres, il y a risque de confusion avec l’intensité i du courant électrique, aussi en physique utilisera-t-on le symbole j en lieu et place de i : j² = -1)

1.2 Définition mathématique 1.2.1 Définition stricte

Tout nombre complexe est tout couple – donc ordonné - (a , b) de nombre réels.

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

On décide que

(

a b1^, 1

) (

= a b2^, 2

)

⇔ a1=a2 et b1 =b2

On munit l’ensemble des nombres complexes, noté ℂ, de deux « lois de composition internes », à savoir ici une addition, notée +, et une multiplication, notée ×, définies comme suit :

(

a b1^, 1

) (

+ a b2^, 2

) (

= a1+a b2^, 1+b2

)

et

(

a b1^, 1

) (

× a b2^, 2

) (

= a a1 2−b b a b1 2^, 1 2+b a1 2

)

1.2.2 Légitimité et utilité de l’écriture z = a + ib

Supposons qu’on se permette d’écrire le complexe z = (a, b) sous la forme z = a + ib (on se permet donc d’additionner des choux et des carottes).

L’égalité a₁+ib₁= +a₂ ib₂ signifie, d’après la définition ci-dessus : ^{1 2}

1 2

a a

b b

=



 =

L’addition donne :

(

^a1+ib1

) (

^{+ a2+ib2}

)

^{= + +a1 a2 i b}

(

^1+b2

)

(ceci vérifie sa définition mathématique).

La multiplication donne : ^z1×z2=

(

^a1+ib1

)(

^a2+ib2

)

^{=a a1 2+a ib1 2+ib a1 2+i b b2 1 2 =a a1 2−b b1 2+i a b}

(

^{1 2+a b2 1}

)

Ceci vérifie également la définition mathématique du produit de deux complexes.

L’écriture z = a + ib est équivalente à la définition mathématique d’un nombre complexe dans ses propriétés algébriques, si on lui associe le fait que i² = -1.

On peut voir en particulier que les nombres complexes (a, 0) de partie imaginaire nulle sont assimilables aux nombres réels a. L’imaginaire pur ib est le complexe (0, b) et i, quant à lui, s’écrit 0 + 1i et est donc le complexe (0, 1). On utilisera dans un premier temps l’écriture z = a + ib pour mener à bien des calculs sur les nombres complexes.

1.2.3 Propriétés des opérations élémentaires

L’addition est :

associative :

(

^z1+z2

)

^{+ = +z3 z1}

(

^z2+z3

)

commutative : z1+ = +z2 z2 z1

Elle admet un élément neutre : le complexe nul (0, 0), qui « est » donc le réel 0 dans la notation x + iy.

La multiplication est :

associative :

(

^z1×z2

)

^{× = ×z3 z1}

(

^z2×z3

)

commutative : z₁× = ×z₂ z₂ z₁

distributive sur l’addition :

(

^z1+z2

)

^{× = × + ×z3 z1 z3 z2 z3}

Elle admet un élément neutre : (1, 0), assimilable au réel 1, ainsi qu’un élément absorbant : (0, 0), assimilable au réel 0.

1.2.4

Définitions associées

Soit un nombre complexe z = a + ib.

* son conjugué est le nombre complexe :

z = − a ib

propriétés :

* son opposé est le nombre complexe :

− = − − z a ib

Soustraire un complexe, c’est ajouter son opposé.

* son module est le nombre réel positif :

z = a

²

+ b

²

* son inverse est le nombre complexe :

Diviser par un complexe, c’est multiplier par son inverse. Nb : comme dans le corps des réels, le complexe nul est l’unique élément qui ne possède pas d’inverse.

2

3

1.3 Polynômes dans

^ℂ

1.3.1 Généralités

Un polynôme est une expression de type P(z) = anzⁿ + an-1z^n-1 + … + a2z² + a1z + a0.

Comme dans ℝ, les exposants sont des entiers positifs et n est le degré du polynôme P(z).

Par contre, la variable z est ici un nombre complexe, ainsi que les coefficients ak. Théorème fondamental de l’algèbre (théorème de d’Alembert-Gauss) :

Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans ℂ_. Conséquence immédiate :

Tout polynôme non constant à coefficients complexes est scindé, c’est à dire que tout polynôme de degré n peut être écrit comme le produit d’un coefficient complexe par n facteurs polynomiaux de degré 1 :

P(z) = a

_n

z

ⁿ

+ a

n-1

z

^n-1

+ … + a

2

z

²

+ a

1

z + a

0

= a

n

(z – z

1

) (z – z

2

) … (z – z

_n

)

Cela signifie que tout polynôme de degré n admet au moins une et au plus n racines distinctes dans ℂ (parmi les racines z1, z2, … , zn, certaines peuvent éventuellement être égales).

1.3.2 Polynômes du second degré

Les propriétés citées au point 1.2.3 assurent que tout polynôme du second degré, az² + bz + c, peut être résolu par la même méthode que celle utilisée dans ℝ _:

* Calculer ∆ = b² - 4ac (∆ est alors un nombre complexe)

* Les racines sont obtenues par la formule :

2 z b

a

− ± ∆

=

(l’existence de ∆ est toujours assurée dans ℂ, même si sa recherche manuelle n’est pas toujours immédiate… voir partie 3.4)

1.3.3 Factorisation

Lorsqu’on connaît une racine z1 d’un polynôme P(z) de degré supérieur ou égal à 2, on peut souhaiter factoriser ce dernier par (z – z1). Pour cela, il est possible d’utiliser la méthode de division polynomiale décrite dans le document « Calcul et raisonnement » de remise à niveau.

Il faut alors poser la division de P(z) par le polynôme du premier degré (z – z1), par puissances décroissantes.

2 Représentation graphique et notations

2.1 Représentation en coordonnées cartésiennes

Nous considérons un repère orthonormé (O, Ox, Oy). À tout point M de coordonnées (a, b) correspond de manière unique le nombre complexe z = (a, b) = a + ib. Le plan est isomorphe à l’ensemble des complexes, si bien que nous pourrons l’appeler « le plan complexe ».

Nous dirons que M est l’image du nombre complexe z. et que z est l’affixe du point M Résultats immédiats (voir figure ci-contre) :

Le point O est l’image de z = 0 ; Les points de l’axe Ox sont les images des nombres réels (z = a).

(Ox) est appelé l’axe « Réel »

Les points de l’axe Oy sont les images des nombres imaginaires purs (z = ib)

(Oy) est appelé l’axe « Imaginaire » Les images de z et -z (opposés) sont symétriques par rapport à O.

Les images de z et z(conjugués) sont symétriques par rapport à (Ox).

2.2 Représentation en coordonnées polaires

Dans le plan il est aussi possible de définir M par ses coordonnées polaires : ρ ^et θ Liens avec la représentation cartésienne :

En observant les représentations dans le plan, on peut à partir du module et de l’argument calculer les parties réelle et imaginaire :

cos sin

a = ρ θ

^et

b = ρ θ

2 2

a b z

ρ

= + = , est le module de z. θ, mesure de l’angle orienté

(

O OM , modulo 2^x,

)

π, est l'argument de z, Arg(z).

On a en particulier : tan b

θ

=a ( )

On définit ainsi l’écriture trigonométrique d’un nombre complexe :

^{z = ρ} ( ^{cos θ + i sin θ} )

associée à son écriture polaire sous forme de couple : z = (

ρ

,

θ

⁾

remarque : un complexe est nul si et seulement si ρ ^{= 0.}

En effet, aucune valeur de θ ne peut rendre z nul si ρne l’est pas.

Opposé et conjugué :

(

^{cos sin}

) (

^{cos sin}

) (

^cos

( )

^sin

( ) )

z ρ θ i θ ρ θ i θ ρ θ i θ

− = − + = − − = + π + + π

Donc : |-z| = ρ = |z| et Arg(-z) = θ + π = Arg(z) + π

(

^{cos sin}

) (

^cos

( )

^sin

( ) )

z =ρ θ −i θ =ρ − +θ i −θ Donc : z = z ^{et Arg}

( )

^z = -Arg(z)

5

6

4

2.3 Identification aux vecteurs

On notera aussi qu’au nombre complexe z = (a, b) correspond le vecteur OM a b

=  

  On note que ρ= a²+b² = =z OM =OM et que θ = Arg(z) =

(

^{O OMx,}

)

^.

Soustrayons les deux complexes z et z’ affixes de deux points M et M’ : ^{z′− =z}

(

^{a′− +a}

) (

^{i b′−b}

)

^.

Or MM a a

b b

′ −

 

′ = ′ − 

z’ – z est donc le représentant du vecteur MM′^, module : | z’ – z | = MM’

argument : ^Arg

(

^{z′− =z}

) (

^{O MMx, ′}

)

2.4 Notation exponentielle

On montre (voir ci-après) qu’un nombre complexe peut aussi être écrit sous forme exponentielle (travaux d’Euler, Mathématicien Suisse 1707-1783) :

e ⁱ z = ρ ^θ

Cette dernière notation permet de simplifier de nombreux calculs.

On peut la démontrer comme suit à partir de la notation trigonométrique :

( ) ( )

( ^{cos sin} )

z = ρ θ + i θ

Dérivons z par rapport à θ ^:

_d ^dz _θ ^{= ρ} ( ^{− sin} ( ) ^{θ + i cos} ( ) ^θ )

Mettons i en facteur :

^{dz i} ( ^{i sin} ( ) ^cos ( ) ) ^iz

d ρ θ θ

θ ^{= + =}

Ainsi on a :

z ' = iz

, sans oublier que pour

θ = 0 , z = ρ

Ceci est une équation différentielle du 1^er ordre dont la solution est

z = ρ e

^{iθ .} (passons sur les résultats nécessaires à utiliser sur les fonctions à variable complexe)

7

3 Opérations sur les complexes

3.1 dans leurs différentes représentations

Addition et soustraction Multiplication et division

Cartésienne

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

z + = z a + a + i b + b

( ) ( )

z

2

− = z

1

a

2

− a

1

+ i b

2

− b

1

( ) ( )

z z

1 2

= a a

1 2

− b b

1 2

+ a b

1 2

+ b a i

1 2

( ^{a a b b} ) ( ^{i a b a b} )

z

z a b

+ + −

= +

1 2 1 2 1 2 2 1

2

2 2

1 1 1

Addition et soustraction Multiplication et division

Trigono- métrique

( )

( )

cos cos

sin sin

z z i

ρ θ ρ θ

ρ θ ρ θ

+ = +

+ +

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

aucune simplification possible, ni avec la soustraction

( )

( )

( ) ( )

( )

cos cos sin sin cos sin sin cos

cos sin

[

]

z z i

z z i

ρ ρ θ θ θ θ

θ θ θ θ

ρ ρ θ θ θ θ

= −

+ +

= + + +

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

ainsi :

|z

₁

z

2

| = |z

₁

|×|z

₂

|

et

Arg(z

₁

z

2

) = Arg(z

₁

) + Arg(z

₂

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

cos sin

cos sin

cos sin

z i z

i

ρ ρ θ θ θ θ

ρ θ ρ θ

ρ θ θ θ θ

ρ

− + −

= +

= − + −

1 2 2 1 2 1

2

2 2

1 1 1 1 1

2

2 1 2 1

1

ainsi : z z z² = z²

1 1

et ^z

( )

^z

( )

^z

z

 

= −

 

 

2

2 1

1

Arg Arg Arg

Addition et soustraction Multiplication et division

Exponentielle

1 2

1 2 1

e

ⁱ 2

e

ⁱ

z + = z ρ

^θ

+ ρ

^θ

aucune simplification possible, ni avec la soustraction

( 1 2)

1 2

1 2 1

e

ⁱ 2

e

ⁱ 1 2

e

ⁱ

z z = ρ

^θ

ρ

^θ

= ρ ρ

^{θ θ+}

d’où les résultats obtenus avec la forme trigonométrique

( )

2

2 1 1

2 2 2

1 1 1

e e

e

i

i i

z z

θ θ θ

θ

ρ ρ

ρ ρ

= =

−

d’où les résultats obtenus avec la forme trigonométrique

Addition et soustraction Multiplication et division

Vectorielle et

graphique

1 2

z +z représente le vecteur

1 2

OM +OM

2− 1

z z représente le vecteur M M_{1 2}

ON = OM1 × OM2

(

^{O ONx,}

) (

^{= O OMx, 1}

) (

^{+ O OMx, 2}

)

2 1

ON OM

=OM

( ) ( ) ( )

( )

, , ,

,

2 1

1 2

O ON O OM O OM OM OM

= −

=

x x x

3.2 Multiplication par un complexe de module 1 3.2.1 Multiplication par i

Considérons les deux nombres complexes écrits sous leur forme géométrique polaire :

( )

^,

z=

ρ θ

et 1, i  2π

= 

  ou encore sous leur forme exponentielle : z=

ρ

e^{iθ et i}=^ei2π. Formons leur produit : ^iz=^1,₂^π^×

(

^{ρ θ,}

)

^=^{ρ θ, +}₂^π

   

(voir aussi avec l’écriture exponentielle) Le module de iz est égal à celui de z mais son argument est augmenté de

2

π. Ainsi le point image

M’ de iz se déduit du point image M de z par une rotation de centre O et d’angle de rotation 2 π.

Exemple : Donner les coordonnées du point B, image de A(5 ; 2) par rotation de centre O et d’angle 90°.

( ) ( )

. 5 2 2 5 2,5

B A

z =i z =i + i = − + i donc B= −

3.2.2 Cas général

Soit un complexe z0 de module 1. En écriture exponentielle :

z z

₀

. = e

^iθ0

× ρ e

^iθ

= ρ e

^{i(θ θ+ 0)}

M’(z0z) se déduit du point M(z) par la rotation de centre O et d’angle θ^0.

Exemple : Donner les coordonnées de B, image de A(5 ; 2) par la rotation de centre O et d’angle 60°.

Il faut multiplier zA par le complexe 1 3

1, cos sin

3 3 i 3 2 i 2

π π π

     

= + = +

     

      ^:

(

^{5 2}

)

^{1 3 5 3 5 3 1 . 5 3,5 3 1}

2 2 2 2 2 2

zB i  i    i  Donc B  

= +  + = − +  +  = − + 

3.2.3 Rotation autour d’un point quelconque

Les nombres complexes peuvent nous faire déterminer la position de l’image A’ d’un point A par une rotation de centre W, point du plan autre que l’origine de notre repère. En effet, les vecteurs WA et WA′ sont décrits par les nombres complexes zA – zW et zA’ – zW. Or, comme vu précédemment, une rotation d’angle θ⁰ se traduit en nombres complexes par la multiplication par e^iθ0. D’où :

^z

^A′

− ^z

^W

= ^e

^iθ0

( ^z

^A

− ^z

^W

)

8

9

Exemple : Quelles sont les coordonnées de B, image du point A(5 ; 2) par la rotation de centre C(3 ; 1) et d’angle 60° ?

Il faut multiplier zA par le complexe 1 3

1, cos sin

3 3 i 3 2 i 2

π π π

     

= + = +

     

      ^:

3.3 Puissances d’un nombre complexe

Considérons le nombre complexe : ^z=ρ

(

^cosθ+isinθ

)

^=ρeiθ. Nous voulons calculer zⁿ. Grâce à la notation exponentielle, on voit que

( )

^{ρeiθ n =ρn}

( )

^{eiθ n =ρneinθ}

( ^{cos sin} )

ⁿ

( ^, )

ⁿ

( ^, )

n n

z =   ρ θ + i θ   = ρ θ = ρ θ n

Cela exprime la formule de Moivre :

Cette formule permet d’obtenir les formules trigonométriques exprimant cos(nθ^{), sin(n}θ^{), tan(n}θ^{) en} fonction de cos(θ^{), sin(}θ^{), tan(}θ^).

3.4 Racines n

^ièmes

d’un nombre complexe

On appelle racine n^ième de z tout nombre complexe w =

( )

^{r,α tel que}

^w

ⁿ

^{= z}

^.

On obtient :

.2 r

n

n k

ρ

α θ π

 =

 = +



, et comme ρ est positif, on a :

[ ]

1

.2 , 0; 1

n

r

n

k k n

n n

ρ ρ

α θ π

 = =

 

 = + ∈ −



À chaque valeur de l’entier k entre 0 et n-1 correspond un angle α particulier, donc un point du plan

particulier et un nombre complexe w particulier. Cependant, à deux valeurs de k distantes de n (k₂ = +k₁ n) correspondent deux valeurs de α distantes de 2π , soit le même nombre complexe !

11

12

13 10

On a donc n solutions distinctes à l’équation

w

ⁿ

= z

.

Les points images dans le plan complexe de ces n solutions sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés centré sur l’origine O.

Exemple graphique des racines sixièmes de z ⁱ

= π 3

64e 4 , qui sont les complexes wk de module ⁶64=2 et d’arguments

.2

8 6

k

π k

α = + π, k entier valant de 0 à 5 :

Étudions dans le cas général la somme S de ces n racines :

Soit , . ,

1

0

2 0 1 et

n n

k k

k

w k k n S w

n n

ρ θ ⁻

=

 

= + π ≤ ≤ − =

 

∑

Soit le complexe ,2 1

u n

π

 

= 

 . Calculons le produit u w. _k :

. , , . , 1

2 1

1 ⁿ 2 ⁿ 2

k k

k k

u w w

n n n n n

θ θ

ρ ρ ₊

π +

     

=  × + π =  + π =

     

Nous pouvons alors calculer le produit u.S :

1 1 1

1

0 0 0

. . .

n n n

k k k

k k k

u S u w u w w S

− − −

= = = +

=

∑

=

∑

=

∑

= ^{car wn = w0} (vérifiez-le).

Ainsi nous pouvons écrire :^{S u}

(

^{− =1}

)

^{0. Or u 1,2 1, donc u 1 0}

n π

 

= ≠ − ≠

  ^.

Donc, pour que l’égalité encadrée soit vérifiée on a nécessairement S =0 ^.

La somme des n racines n^ièmes d’un nombre complexe quelconque est nulle :

n k k

w

−

=

∑

¹

=

0

0

14

3.5 Formules d’Euler et lignes trigonométriques

Soit la notation exponentielle d’un nombre complexe de module 1, e^ix=cosx+isinx, Il vient en changeant x en – x : ^{e−ix =cos}

( )

^{− +x isin}

( )

^{− =x cosx i− sinx.}

Additionnons puis soustrayons membre à membre ces deux expressions. Nous obtenons deux expressions pour les fonctions trigonométriques usuelles, les deux formules d’Euler :

cos ; sin

2 2

ix ix ix ix

e e e e

x x

i

− −

+ −

= =

Note : On peut alors écrire , qui, une fois développé puis ses termes

réorganisés, aboutit à des combinaisons de fonctions trigonométriques au premier degré d’angle double, triple, etc. Par de tels procédés, on retrouve très facilement toutes les formules usuelles de linéarisation de trigonométrie.

Exemple : linéarisons cos³x :

( )

( )

( )

( )

3

3 3 2 2 3

3 3

3 3

3

cos 1 3 3

2 8

1 1

3 3

8 4 2 2

1 3

cos cos 3 cos

4 4

ix ix

i x i x ix ix i x i x

i x i x ix ix

i x i x ix ix

e e

x e e e e e e

e e e e

e e e e

x x x

− − − −

− −

− −

 + 

=  = + + +

 

 +  + 

= + + + =  +  

 

 

= +

15

16

17

4 Applications en physique

4.1 Représentation de Fresnel d’une grandeur sinusoïdale

Considérons la fonction sinusoïdale suivante :

( )

^{sin( )}

U t = A

ω ϕ

t+

d’amplitude A et de pulsation

ω

^.

Dans le plan xOy , à chaque valeur de t correspond un vecteur

( )

^t

OM d’affixe un complexe z(t) de module A et d’argument

ω ϕ t +

Lorsque t augmente à vitesse constante (comme le fait le temps, par hypothèse…), le vecteur ^OM

( )

^t

décrit une rotation à la vitesse angulaire (pulsation) constante

ω

^(rad.s-1). La valeur U(t) de la fonction U est ici l’ordonnée du point M(t) et oscille entre –A et A à un rythme sinusoïdal.

Dans chaque quart de cercle (délimité par les axes), l’angle moyen parcouru vaut π/4 et donc la valeur moyenne de U(t) vaut, en valeur absolue, Asin(π/4) = A/√2, valeur efficace du signal.

Cette représentation permet de combiner des vibrations sinusoïdales de même pulsation (ou fréquence) ou d’observer le déphasage entre deux signaux (écart d’angle entre les deux vecteurs correspondants). Il s’agit de la représentation de Fresnel (physicien Français 1788 – 1827).

Les sommes ou différences entre deux ou plusieurs signaux sont traités de manière commode par les calculs avec les nombres complexes que l’on peut leur associer.

4.2 Application au dipôle RL série

La figure ci-contre, à gauche, représente un dipôle RL série. Les amplitudes des tensions aux bornes des dipôles sont : UR =R I et

ω

L =

U L I . Le courant (intensité) et la tension aux bornes de la résistance sont en phase. L’inductance déphase la tension à ses bornes de 90° en

avance par rapport au courant électrique. En représentation de Fresnel, le vecteur U_L présente donc un angle de +90° par rapport au vecteur U_R (voir ci-dessus, à droite, et diapo) ; en notation complexe, cela revient à une multiplication par j (avec j² = -1, et non i pour ne pas confondre avec l’intensité) :

=

L L

u z i avec zL = ωjL uR =z iR avec z_R =R

La tension U se décrit donc dans un schéma de Fresnel par la création du vecteur U, égal à la somme

R + L

U U , et en nombres complexes : u = uR + uL. Quant à la tension réelle U(t) du circuit, elle vaut la deuxième coordonnée du vecteur U, c’est à dire la partie imaginaire de u.

u = uR + uL. = ^{Ri+ ω =jL i}

(

^{R+ ωjL}

)

^i.

Ainsi si nous appelons z l’impédance complexe de l’association de ces dipôles : z= +R jLω Son impédance réelle, quant à elle, est le rapport des modules des tension et intensité, soit :

R+ ω =jL R²+ ωL^{2 2} R UR

L U_L U

I

R L

U =U +U U

UL

UR I