Ondes électromagnétiques
1) Ordre de grandeur à partir d’un laser de travaux pratiques :
Les lasers utilisés couramment en TP ont une puissance moyenne 𝑃 = 2 𝑚𝑊 pour une longueur d’onde = 632,8 𝑛𝑚. Le faisceau est quasi cylindrique, de rayon 𝑟 = 0,5 𝑚𝑚. La constante de Planck vaut ℎ = 6,6.10−34 𝐽. 𝑠.
1) D’où vient le sigle L.A.S.E.R. ? 2) Quelle est la couleur de celui-ci ?
3) En supposant que l’onde associée est une OPPH, donner l’amplitude des champs électriques et magnétiques associés.
4) Quel est le nombre de photons émis par seconde ?
5) Quel est le nombre de photons contenus par unité de volume dans le faisceau laser ?
2) Etude d’une onde cylindrique :
On considère une onde électromagnétique cylindrique dont on donne le champ électrique : 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) = 𝐸(𝑟) exp(𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟) 𝑢⃗ 𝑧 en coordonnées cylindriques.
1) Décrire la structure de l’onde.
2) En calculant la puissance de l’onde rayonnée à travers un cylindre d’axe 𝑧, déterminer l’expression de 𝐸( 𝑟 ) en fonction de 𝑟.
3) Quelle est la structure de l’onde lorsque 𝑟 ≫ 𝜆?
3) Polarisation des ondes électromagnétiques :
Décrire l’état de polarisation des ondes suivantes :
a) 𝐸⃗ = 𝐸𝑜cos(𝜔𝑡 + 𝑘𝑧) 𝑢⃗ 𝑥+ 𝐸𝑜cos (𝜔𝑡 + 𝑘𝑧 +𝜋
3)𝑢⃗ 𝑦 b) 𝐸⃗ = 𝐸𝑜cos (𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 −𝜋
8) 𝑢⃗ 𝑥+ 𝐸𝑜cos (𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 −𝜋
8)𝑢⃗ 𝑦
4) Réflexion-transmission d’une onde à la surface d’un plasma :
Un plasma dont la pulsation propre est 𝜔𝑝 occupe le demi-espace 𝑥 > 0. Une OPPH polarisée rectilignement se propage dans le vide (demi-espace 𝑥 < 0) et atteint sous incidence normale le plasma. Le champ électrique de cette onde est noté: 𝐸⃗ 𝑖 = 𝐸𝑜𝑒𝑥𝑝(𝑗(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)) 𝑢⃗ 𝑦. L’onde incidente donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise. On se place dans le cas où 𝜔 > 𝜔𝑝
1) On note 𝑟. 𝐸𝑜 l’amplitude complexe du champ électrique réfléchi et 𝑡. 𝐸𝑜 celle du champ électrique de l’onde transmise. Ecrire en notation complexe les champs électriques et magnétiques des ondes incidentes, réfléchie et transmise. On pourra introduire l’indice optique 𝑛 du plasma défini par la relation 𝑘𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎= 𝑛𝜔
𝑐 .
2) Déterminer 𝑟 et 𝑡. On indique que les composantes tangentielles du champ électrique et du champ magnétique sont continues à l’interface vide-plasma.
3) On définit les facteurs de réflexion 𝑅 et de transmission 𝑇 en énergie par : 𝑅 =<Π⃗⃗ 𝑟(𝑥=0,𝑡)>.(−𝑢⃗⃗ 𝑥)
<Π⃗⃗ 𝑖(𝑥=0,𝑡)>.(𝑢⃗⃗ 𝑥) et 𝑇 =<Π⃗⃗ 𝑡(𝑥=0,𝑡)>.(𝑢⃗⃗ 𝑥)
<Π⃗⃗ 𝑖(𝑥=0,𝑡)>.(𝑢⃗⃗ 𝑥)
Exprimer 𝑅 et 𝑇 en fonction de 𝜔 et 𝜔𝑝. Commenter.
5) Propagation des ondes dans la ionosphère :
On s’intéresse à la propagation d’ondes électromagnétiques dans l’ionosphère. On considère que celle-ci forme un plasma dans lequel les ions sont fixes et les électrons mobiles.
On néglige le poids des particules et on suppose qu’elles se déplacent à des vitesses non relativistes.
1) Deux élèves proposent une relation entre et 𝑓 : = 𝑐
√𝑓2−𝑓𝑝2
et = 𝑐
√𝑓𝑝2−𝑓2
. De plus on donne l’ordre de grandeur de 𝑓𝑝~106 𝐻𝑧. A l’aide de considérations simples, dire lequel des deux a raison.
2) On note 𝑁 la densité volumique en électrons. Etablir l’expression de 𝑓𝑝. On la mettra 𝑓𝑝 = 𝛼√𝑁.
3) On propose le modèle d’ionosphère suivant : il y a du vide jusqu’à l’altitude 𝑧𝑜, puis entre 𝑧𝑜 et 𝑧1, 𝑁 varie de façon affine 𝑁(𝑧) = 𝛽(𝑧 − 𝑧𝑜) + 𝛾. Après 𝑧1, N décroit. On effectue l’expérience suivante : on envoie un paquet d’onde de fréquence moyenne f variable à la verticale et on mesure 𝜏 le temps au bout duquel on détecte une onde réfléchie. On obtient les valeurs expérimentales :
Fréquence Temps de réponse
𝑓 ≤ 3,0 𝑀𝐻𝑧 = 𝑓𝑝1 𝜏𝑜
𝑓 = 6,0 𝑀𝐻𝑧 = 𝑓𝑝2 𝜏1
𝑓 ≥ 6,0 𝑀𝐻𝑧 Pas de réponse
Déterminer 𝛽 et de 𝛾 en fonction de 𝑓𝑝1, 𝑓𝑝2, 𝛼 𝜏𝑜 et de 𝜏1
6) Réflexion d'une onde plane sur un plan métallique :
Une onde plane monochromatique se réfléchit sur un métal parfaitement conducteur avec un champ électrique tangent à la surface du métal et un vecteur d'onde qui fait un angle 𝛼 avec la normale à la surface.
1) Déterminer le champ magnétique incident et les champs électrique et magnétique de l'onde réfléchie.
2) Calculer la densité de surface de courant. Calculer la force par unité de surface s'exerçant sur le métal.
3) Retrouver ces résultats en raisonnant sur les photons.
7) Réflexion sur un miroir mobile :
Une surface parfaitement conductrice, plane et perpendiculaire à 𝑂𝑥 se déplace à la vitesse uniforme 𝑣 = 𝑣𝑢⃗ 𝑧; elle coïncide ainsi à l’instant 𝑡 avec le plan d’équation 𝑧 = 𝑣. 𝑡.
Une onde électromagnétique, dont le champ électrique s’écrit:
𝐸⃗ 𝑖(𝑧, 𝑡) = 𝐸𝑜cos (𝜔 (𝑡 −𝑧
𝑐)) 𝑢⃗ 𝑥, se réfléchit sur cette surface. On suppose la vitesse 𝑣 suffisamment petite devant la vitesse de la lumière pour que l’on puisse négliger les effets relativistes et utiliser les transformations galiléennes entre le référentiel du laboratoire 𝑅 et le référentiel lié au miroir 𝑅’.
1) Déterminer la pulsation de l’onde incidente dans le référentiel 𝑅’ puis la pulsation de l’onde réfléchie dans 𝑅 en fonction de celle de l’onde réfléchie dans 𝑅’. L’expression trouvée est-elle satisfaisante ?
2) Exprimer la variation de fréquence Δ𝑓 à la réflexion lorsque 𝑣 << 𝑐.
8) Onde dans une cavité :
On considère une cavité rectangulaire délimitée par : 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 𝑎 ; 𝑦 = 0 ; 𝑦 = 𝑏 ; 𝑧 = 0 ; 𝑧 = 𝑐.
Le conducteur est parfait. On admet l’existence d’un champ électrique de la forme : 𝐸𝑥 = 𝐸1𝑐𝑜𝑠(𝑘1𝑥 + 𝜑1)𝑠𝑖𝑛(𝑘2𝑦 + 𝜑2)𝑠𝑖𝑛(𝑘3𝑧 + 𝜑3)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝐸𝑦 = 𝐸2𝑠𝑖𝑛(𝑘1𝑥 + 𝜑1)𝑐𝑜𝑠(𝑘2𝑦 + 𝜑2)𝑠𝑖𝑛(𝑘3𝑧 + 𝜑3)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝐸𝑧 = 𝐸3𝑠𝑖𝑛(𝑘1𝑥 + 𝜑1)𝑠𝑖𝑛(𝑘2𝑦 + 𝜑2)𝑐𝑜𝑠(𝑘3𝑧 + 𝜑3)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
1) Déterminer les relations entre 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 , 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3 et 𝜔. Ecrire les conditions aux limites sur 𝐸⃗ , en déduire 𝜑1, 𝜑2 et 𝜑3, puis en introduisant n, p et q, trois entiers, déterminer 𝑘1, 𝑘2 et 𝑘3. Quelle est la fréquence propre du champ 𝐸𝑛,𝑝,𝑞 ? Quelle est la plus petite fréquence possible ?
2) Déterminer les moyennes temporelles des énergies électrique, magnétique et totale.
Quelle est la proposition de l’énergie électrique par rapport à l’énergie totale ?
9) Etude d’un guide d’onde :
On considère deux plans conducteurs parfaits placés en 𝑥 = 0 et en 𝑥 = 𝑎 avec 𝑎 = 5 𝑐𝑚. On s’intéresse à la propagation d’une onde électromagnétique dans le vide entre les deux plans conducteurs dont le champ électrique est : 𝐸⃗ = 𝐸𝑜𝑠𝑖𝑛 (𝜋𝑥
𝑎) sin (𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)𝑢⃗ 𝑦. 1) Quelle est l’équation différentielle vérifiée par le champ électrique ? En déduire l’équation de dispersion.
2) La fréquence étant de 4 𝐺𝐻𝑧, montrer que la propagation est possible.
3) Donner l’expression du champ magnétique associée à l’onde.
4) Donner l’expression du vecteur de Poynting ainsi que sa valeur moyenne.
5) Quelle est la puissance moyenne transmise à travers une section de guide d’onde avec 𝑥 ∈ [0, 𝑎] et 𝑦 ∈ [0, 𝑏] ?
10) Antenne demi-onde :
En un point M repéré par rapport à l’origine 𝑂 par ses coordonnées sphériques, on étudie le rayonnement d’un élément de courant sinusoïdal d’intensité 𝑖, de pulsation , d’amplitude 𝐼, de longueur 𝑑𝑧 et de direction Oz placé en O et caractérisé par le vecteur :
𝐼(𝑡)𝑑𝑙 = 𝐼𝑒𝑥𝑝𝑖(𝜔𝑡)𝑑𝑧. 𝑢⃗ 𝑧
On admet que cet élément est la source d’un champ magnétique qui vaut dans la zone de rayonnement :
𝑑𝐵⃗ (𝑟, 𝑡) = −𝜇𝑜𝑖𝑘𝐼𝑠𝑖𝑛𝜃
4𝜋𝑟 𝑑𝑧. 𝑒𝑥𝑝𝑖(𝑘𝑟 − 𝜔𝑡). 𝑢⃗ 𝜑
Dans tout le problème, on s’intéressera au champ rayonné dans la zone de rayonnement 𝑟 ≫ 𝜆.
1) Rappeler la signification de la zone de rayonnement
2) Sachant que, dans la zone de rayonnement, la structure du champ électromagnétique s’identifie localement avec celle de l’onde plane progressive, donner l’expression approchée du champ électrique 𝑑𝐸⃗ en fonction de 𝑑𝐵⃗ , 𝑢⃗ 𝑟 et 𝑐.
3) Une antenne rectiligne de direction 𝑂𝑧 peut être considérée comme la somme d’éléments de courant analogues au précédent: en chaque point 𝑃 de cote −𝑎/2 < 𝑧 < 𝑎/2 de 𝑂𝑧 se trouve un élément de courant analogue au précédent à ceci
près que la constante 𝐼 est remplacée par une fonction 𝐼(𝑧). En utilisant les notations 𝑟’ et 𝜃′, donner l’expression exacte du champ 𝐵⃗ rayonné par l’ensemble de l’antenne. Dans la limite 𝑎 << 𝑟, montrer que la partie principale de 𝐵⃗ est donnée par l’expression :
𝑟’
𝑟 𝜃′
𝜃
՜𝑢
𝜃
՜𝑢 𝑀 𝑟
𝑃
𝑂 𝑧
𝐵⃗ (𝑟, 𝑡) = 𝛽𝐽𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑖(𝑘𝑟 − 𝜔𝑡)𝑢⃗ 𝜑 avec 𝐽 = ∫−𝑎/2+𝑎/2𝐼(𝑧)𝑒𝑥𝑝𝑖(−𝑘𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝑧 𝛽 étant une constante complexe dont on donnera l’expression en fonction de 𝑘 et de 𝜇𝑜.
4) Une antenne demi-onde est définie par: 𝐼(𝑧) = 𝐼𝑜cos (𝑘𝑧) et 𝑎 =𝜆
2. Dans ce cas, montrer que l’intégrale 𝐽 s’exprime sous la forme : 𝐽 = 𝛾𝑐𝑜𝑠(
𝜋𝑐𝑜𝑠𝜃 2 ) 𝑠𝑖𝑛2𝜃 .
5) Calculer le champ électrique créé par cette antenne et vérifier qu’il est de la forme 𝐸⃗ = 𝐾𝑐𝑜𝑠(
𝜋 2𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝑥𝑝𝑖(𝑘𝑟 − 𝜔𝑡)𝑒 𝜃
6) Calculer l’intensité énergétique < Π⃗⃗ > du rayonnement en fonction de 𝐾. On donne
∫ 𝑐𝑜𝑠
2(𝜋2𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜋
0 𝑑𝜃 = 1,22.
7) Tracer le diagramme de rayonnement de l’antenne, c’est à dire le lieu des extrémités d’un bipoint de longueur < ‖Π⃗⃗ ‖ > en fonction de 𝜃. Vérifier que le maximum de puissance est émis dans le plan 𝑥𝑂𝑦 normal à l’antenne.
Indications :
1) Ordre de grandeur à partir d’un laser de travaux pratiques :
3) Exprimer la valeur moyenne du vecteur de Poynting en fonction de l’amplitude du champ électrique, d’une part, en fonction de la puissance du laser d’autre part ; 4) Le nombre de photons émis par seconde est égal au rapport de la puissance sur l’énergie d’un photon ; 5) Le nombre de photons par unité de volume est égal au rapport de la densité d’énergie électromagnétique sur l’énergie d’un photon.
2) Etude d’une onde cylindrique :
2) Utiliser la relation de Maxwell-Faraday pour trouver une relation entre 𝐵(𝑟, 𝑡) , 𝐸(𝑟, 𝑡) et
𝜕𝐸(𝑟, 𝑡)/𝜕𝑟 ; calculer le vecteur de Poynting, puis la puissance rayonnée sur la surface d’un cylindre et en déduire l’expression de 𝐸(𝑟, 𝑡) pour que la puissance soit constante ; 3) Retrouver la structure de l’onde plane.
4) Réflexion-transmission d’une onde à la surface d’un plasma :
1) Ecrire les vecteurs d’onde, puis les champs magnétiques en utilisant la relation 𝐵⃗ = (𝑘⃗ ∧ 𝐸⃗ )/𝜔 ; 2) Utiliser les continuités des composantes tangentielles des champs électrique et magnétique dans le plan 𝑥 = 0; 4) retrouver la conservation de l’énergie.
5) Propagation des ondes dans la ionosphère :
1) En absence de plasma on doit retrouver la loi de dispersion dans le vide ; 2) question de cours ; 3) L’absence de réponse correspond à un signal qui traverse complètement l’ionosphère;
pour les fréquences inférieures à 3 𝑀𝐻𝑧, on a une réflexion de l’onde en 𝑧 = 𝑧𝑜 et pour 𝑓 = 6,0 𝑀𝐻𝑧, on a une réflexion de l’onde pour 𝑧 = 𝑧1. Les temps permettent de calculer 𝑧𝑜 et 𝑧1 et la relation du 2) permet de calculer 𝛽 et 𝛾.
6) Réflexion d'une onde plane sur un plan métallique :
1) Il faut d’abord connaître la direction du vecteur d’onde réfléchi ; en utilisant les continuités de la composante tangentielle de 𝐸⃗ et de la composante normale de 𝐵⃗ , retrouver les lois de Descartes de la réflexion, puis en déduire les expressions des champs électrique et magnétique de l’onde réfléchi ; 2) Utiliser la discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique ; 2) et 3) Reprendre les démonstrations du cours mais en l’adaptant à une onde faisant un angle avec la normale.
7) Réflexion sur un miroir mobile :
Dans le référentiel où le miroir est au repos la pulsation de l’onde incidente est égale à la
pulsation de l’onde réfléchie.
8) Onde dans une cavité :
1) Appliquer les relations de Maxwell et la relation de propagation dans le vide ; la composante tangentielle du champ doit être nulle sur toutes les parois de la cavité ce qui donne les valeurs des 𝜑𝑖 et les valeurs des 𝑘𝑖 en fonction de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 ; on obtient la fréquence propre du champ 𝐸𝑛,𝑝,𝑞 en écrivant l’équation de dispersion ; 2) Pour calculer 𝐵⃗ utiliser l’équation de Maxwell- Faraday ; pour simplifier l’expression de l’énergie magnétique, il faut utiliser l’équation de dispersion et 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 0.
9) Etude d’un guide d’onde :
) L'onde se propage dans le vide ; 2) Pour que l’onde se propage il faut que 𝑘 soit un réel donc que 𝑘2 soit positif ; 3) L’onde n’est pas plane ; pour calculer le champ magnétique il faut revenir à l’équation de Maxwell-Faraday ; 4) Reprendre la définition du vecteur de Poynting ; on pourra s’interroger sur l’existence d’une composante suivant 𝑥 du vecteur de Poynting.
10) Antenne demi-onde :
2) Déduire le champ électrique à partir du champ magnétique en utilisant la structure d’onde plane locale ; 3) Reprendre le résultat du champ magnétique précédent pour un élément 𝑑𝑧 d’antenne situé en 𝑃 et trouver les relations (avec DL) entre 𝑟 = 𝑂𝑀 et 𝑟’ = 𝑃𝑀 ; on supposera que 𝜃~𝜃′ ; 4) en déduire le champ électrique par la relation d’onde plane, puis le vecteur de Poynting.
Solutions :
1) Ordre de grandeur à partir d’un laser de travaux pratiques :
1) Light Amplification of Stimulated Emission of Radiation ; 2) = 632,8 𝑛𝑚 correspond à une lumière rouge; 3) 𝐸𝑜 = √2<‖⃗⃗⃗ ‖>
𝑐𝜀𝑜 = 1,4. 103 𝑉. 𝑚−1; 𝐵𝑜= 𝐸𝑜
𝑐 = 4,5. 10−6 𝑇 ; 4) 𝑁 =𝑃
ℎ𝑐= 64. 1014 𝑝ℎ𝑜𝑡𝑜𝑛𝑠/𝑠 ; 5) 𝑛 =<‖⃗⃗⃗ ‖>
ℎ𝑐2 = 2,7. 1013 𝑝ℎ𝑜𝑡𝑜𝑛𝑠. 𝑚−3 2) Etude d’une onde cylindrique
2) 𝑃 =𝑘𝐸2(𝑟)𝜋𝑟ℎ
𝜔 d’où 𝐸(𝑟) = 𝐴
√𝑟 ; si 𝑟 >> 𝑙, 𝐵⃗ =𝑘⃗ ∧𝐸⃗
𝜔 structure de l’onde plane.
3) Polarisation des ondes électromagnétiques :
a) polarisation elliptique ; b) polarisation rectiligne suivant la première bissectrice.
4) Réflexion-transmission d’une onde à la surface d’un plasma :
) 𝐵⃗ 𝑖= 𝐸𝑜
𝑐 . 𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥))𝑢⃗ 𝑧 𝐵⃗ 𝑟 = −𝑟𝐸𝑜
𝑐 . 𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥))𝑢⃗ 𝑧 𝐵⃗ 𝑡 = 𝑡𝑛𝐸𝑜
𝑐 . 𝑒𝑥𝑝 (𝑖(𝜔𝑡 − 𝑛𝑘𝑥)) 𝑢⃗ 𝑧 2) 𝑡 = 2
𝑛+1 ; 𝑟 =1−𝑛
𝑛+1 ;
3) Comme 𝜔 > 𝜔𝑝, 𝑛 est réel ; 4) 𝑅 = (1−𝑛
1+𝑛)2 ; 𝑇 = ( 2
1+𝑛)2 ; 𝑅 + 𝑇 = 1.
5) Propagation des ondes dans la ionosphère : 1) La bonne expression est = 𝑐
√𝑓2−𝑓𝑝2
; 2) 𝛼 = 𝑒
2𝜋√𝑚𝜀𝑜 ; 3) 𝛾 = (𝑓𝑝(𝑧𝑜)
𝛼 )2 ; 𝛽 = 2√𝑓𝑝2
2−𝑓𝑝12 𝑐(𝜏1−𝜏𝑜)
6) Réflexion d'une onde plane sur un plan métallique :
1)𝑘⃗ 𝑟 = 𝑘(𝑐𝑜𝑠(𝛼) 𝑢⃗ 𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 (𝛼)𝑢⃗ 𝑦) ; 𝐸⃗ 𝑟= −𝐸𝑜. 𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑐𝑜𝑠(𝛼)𝑥 − 𝑘𝑠𝑖𝑛(𝛼)𝑦))𝑢⃗ 𝑧 ; 𝐵⃗ 𝑟 = 𝑘⃗ 𝑟∧𝐸⃗ 𝑟
𝜔 ; 2) 𝑗 𝑠 = 2cos (𝛼)𝐸𝑜
𝑐𝜇𝑜 . 𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑠𝑖𝑛(𝛼)𝑦))𝑢⃗ 𝑧 ; 𝑑𝑓 = −𝐵𝑜2(0)
2𝜇𝑜 𝑑𝑆𝑢⃗ 𝑥 ; 3) < 𝑃 >= 2𝜀𝑜𝐸𝑜𝑐𝑜𝑠2(𝛼) = 2 < 𝜔𝑒𝑚𝑖 > 𝑐𝑜𝑠2(𝛼)
7) Réflexion sur un miroir mobile :
) 𝐸⃗ 𝑖𝑅′(𝑧, 𝑡) = 𝐸𝑜𝑖𝑅′cos(𝜔′𝑡 − 𝑘′𝑧) 𝑢⃗ 𝑥 avec 𝜔′= 𝜔 (1 −𝑣
𝑐) 𝐸⃗ 𝑟𝑅(𝑧, 𝑡) = 𝐸𝑜𝑟𝑅cos(𝜔′′𝑡 − 𝑘′′𝑧) 𝑢⃗ 𝑥 avec 𝜔′′ = 𝜔′(1 −𝑣
𝑐)2~𝜔(1 − 2𝑣
𝑐) Résultat peu satisfaisant car on ne retrouve pas la relation de dispersion en travaillant avec la mécanique newtonienne.
) 𝛥𝑓 = −𝑓2𝑣
𝑐 = −463 𝐻𝑧 8) Onde dans une cavité :
1) 𝑘1𝐸1+ 𝑘2𝐸2 + 𝑘3𝐸3 = 0 ; 𝑘12+ 𝑘22+ 𝑘32 =𝜔2
𝑐2 ; 𝜑𝑖 = 0 ; 𝑘1 =𝑛𝜋
𝑎 ; 𝑘2 = 𝑝𝜋
𝑏 ; 𝑘1 =𝑞𝜋
𝑐 ; équation de dispersion : 𝜔2
𝑐2 = 𝑛2𝜋2
𝑎2 +𝑝2𝜋2
𝑏2 +𝑞2𝜋2
𝑐2 ; la plus petite fréquence possible est : 𝜔2
𝑐2 = 𝑓𝑚𝑖𝑛 = 𝑐
2√1
𝑎2+ 1
𝑏2+ 1
𝑐2 ; 2) 𝐵⃗ =sin (𝜔𝑡)𝜔 [(𝑘3𝐸2− 𝑘2𝐸3)sin (𝑘1𝑥)cos (𝑘2𝑦)cos (𝑘3𝑧)𝑒 𝑥+ (𝑘1𝐸3− 𝑘3𝐸1)cos (𝑘1𝑥)sin(𝑘2𝑦)cos (𝑘3𝑧)𝑒 𝑦+ (𝑘2𝐸1− 𝑘1𝐸2)cos (𝑘1𝑥)cos (𝑘2𝑦)sin (𝑘3𝑧)𝑒 𝑧] ;
< 𝑊𝑒 >= 𝜀𝑜𝑎𝑏𝑐𝐸12+𝐸22+𝐸32
32 ;
< 𝑊𝑚>= 𝑎𝑏𝑐(𝑘3𝐸2−𝑘2𝐸3)2+(𝑘1𝐸3−𝑘3𝐸1)2+(𝑘2𝐸1−𝑘1𝐸2)2
32𝜇𝑜𝜔2 = 𝜀𝑜𝑎𝑏𝑐𝐸12+𝐸22+𝐸32
32
9) Etude d’un guide d’onde : 1) ∆𝐸⃗ − 1
𝑐2
𝜕2𝐸⃗
𝜕𝑡2 = 0⃗ soit 𝜕
2𝐸
𝜕𝑥2+𝜕2𝐸
𝜕𝑧2− 1
𝑐2
𝜕2𝐸
𝜕𝑡2 = 0 ; 𝑘2 = 𝜔2
𝑐2 −𝜋2
𝑎2 ; 2) Il faut avoir 𝑓 > 𝑐
2𝑎= 3. 109 𝐻𝑧 . La propagation est donc possible ; 3) 𝐵𝑥= −𝐸𝑜𝑘
𝜔 𝑠𝑖𝑛 (𝜋𝑥
𝑎) sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧), 𝐵𝑦 = 0, 𝐵𝑧 = 𝐸𝑜𝜋
𝜔𝑎𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑥
𝑎) cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧) ; 4) Π𝑥= 𝐸𝑜2𝜋
𝜔𝑎𝜇𝑜𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑥
𝑎) cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)𝑠𝑖𝑛 (𝜋𝑥
𝑎) sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧) ; Π𝑧 = 𝐸𝑜2𝑘
𝜔𝜇𝑜𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑥
𝑎) sin2(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧) ; < Π⃗⃗ >= 𝐸𝑜2𝑘
𝜔𝜇𝑜𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑥
𝑎) 𝑢⃗ 𝑧 ; 5) 𝑃 =𝐸𝑜2𝑘𝑎𝑏
2𝜔𝜇𝑜. 10) Antenne demi-onde :
2) 𝑑𝐸⃗ (𝑟) = −𝜇𝑜𝑗𝑘𝐼𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝜃
4𝜋 𝑒𝑥𝑝( − 𝑗𝜔𝑡)𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘𝑟)
𝑟 𝑑𝑧𝑢⃗ 𝜃 ; 3) 𝐵⃗ (𝑟) = −𝜇𝑜𝑗𝑘
4𝜋 𝑒𝑥𝑝( − 𝑗𝜔𝑡) ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 . 𝐼(𝑧)𝑒𝑥𝑝(𝑗𝑘(𝑟−𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜃))
𝑟 𝑑𝑧
+𝑎/2
−𝑎/2 𝑢⃗ 𝜑 ;
4) < Π⃗⃗ >=𝜇𝑜𝑐𝐼𝑜2
8𝜋2𝑟2
𝑐𝑜𝑠2(𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 ) 𝑠𝑖𝑛2𝜃
