Pr´e-rentr´ee Cycle Ing´enieur Polytech P. Pansu 3 septembre 2015

Pr´e-rentr´ee Cycle Ing´enieur Polytech

P. Pansu 3 septembre 2015

1 Syst` emes lin´ eaires

1.1 De quoi s’agit il ?

Au march´e, j’ach`ete 3kg de carottes et 1kg de pommes de terre, je paie 7 euros. La personne suivante ach`ete 1kg de carottes et 3kg de pommes de terre, elle paie 5 euros. Quel est le prix au kg des carottes ? Des pommes de terre ? Je notexle prix au kg des carottes en euros, et yle prix au kg des pommes de terre en euros. Les deux exp´eriences se traduisent par deux ´equations,

⇢ 3x + y = 7 x + 3y = 5 ,

on appelle cela unsyst`eme lin´eaire de deux ´equations `a deux inconnues. Lin´eaire, ¸ca se reconnaˆıt au fait que les seules op´erations qu’on fait subir `a une inconnue, c’est la multiplication par une constante et l’addition. L’´equation

3x²+y= 7 n’est pas lin´eaire, car il y a un carr´e.

Autre exemple de syst`eme lin´eaire, `a 3 ´equations et 4 inconnues : 8<

:

x1 + x2 x3 = 0

2x1 x2 + x3 + 3x4 = 9

x1 + 2x2 x3 x4 = 9 .

Le fait quex4 n’apparaisse pas dans la premi`ere ligne n’empˆeche pas qu’il y ait 4 inconnues.

1.2 Solutions

R´esoudre un syst`eme lin´eaire, c’est d´eterminer toutes les solutions r´eelles. Par exemple, le syst`eme

⇢ 3x + y = 7 x + 3y = 5 , a une seule solution, c’est (1,2), autrement dit,x= 1,y= 2.

Les solutions du syst`eme 8<

:

x1 + x2 x3 = 0

2x1 x2 + x3 + 3x4 = 9

x1 + 2x2 x3 x4 = 9 .

forment un sous-ensemble infini de l’ensemble des suites de 4 nombres r´eels (ensemble not´eR⁴).

En e↵et, ( 3,3,0,0) est une solution. ( 4,2, 2,1) en est une autre. Et, par cons´equent, toute combinaison de la forme (1 t)( 3,3,0,0) +t( 4,2, 2,1) en est une aussi. On verra que toutes les solutions sont de cette forme, elles constituent une droite dans l’espace `a 4 dimensions.

2 M´ ethode pour r´ esoudre

Voil`a un proc´ed´e m´ecanique (un algorithme) de r´esolution d’un syst`eme lin´eaire (m´ethode d’´elimination de Gauss-Jordan, parfois appel´ee m´ethode du pivot)¹. Elle consiste `a faire une suite d’op´erations ´el´ementaires qui transforment le syst`eme donn´e en un syst`eme qui poss`ede exactement les mˆemes solutions (on dit, en un syst`eme ´equivalent).

2.1 Op´ erations ´ el´ ementaires

Trois familles d’op´erations : 1. Permuter les ´equations.

2. Remplacer une ´equation (Li) en l’´equation (Li aLj).

3. Multiplier une ´equation par une constante non nulle.

1 et 3 sont claires. Pour illustrer les op´erations de type 2, partons du syst`eme (S¹)

⇢ 3x + y = 7 x + 3y = 5 ,

Retranchons ¹₃ fois la premi`ere ´equation `a la seconde. On obtient le syst`eme (S²)

⇢ 3x + y = 7

x + 3y ¹₃(3x+y) = 5 ¹₃7 , soit

(S²)

⇢ 3x + y = 7

8

3y = ⁸₃ .

On dit que deux syst`emes lin´eaires sont´equivalents si l’un se d´eduit de l’autre par une suite d’op´erations ´el´ementaires. A chaque op´eration ´el´ementaire est associ´ee une op´eration inverse qui remet le syst`eme dans l’´etat ant´erieur. Par cons´equent, deux syst`emes ´equivalents ont les mˆemes solutions.

2.2 Principe de la m´ ethode

On fait en sorte que dans chaque ´equation figurent moins d’inconnues que dans les pr´ec´edentes.

C’est ce qu’on a fait pour le syst`eme `a 2 inconnues : on a fait disparaˆıtre la premi`ere inconnue de la deuxi`eme ´equation.

On commence par un second exemple. Partant de 8<

:

x1 + x2 x3 = 0

2x1 x2 + x3 + 3x4 = 9

x1 + 2x2 x3 x4 = 9 , on remplaceL2parL2 2L1et L3 parL3+L1. D’o`u le syst`eme ´equivalent

8<

:

x1 + x2 x3 = 0

3x2 + 3x3 + 3x4 = 9

3x2 2x3 x4 = 9

.

Puis on remplaceL2 par ¹₃L2, 8<

:

x1 + x2 x3 = 0

x2 x3 x4 = 3

3x2 2x3 x4 = 9

.

1. Invent´ee par Carl-Ludwig Gauss. On estime que, pour traduire en une carte les mesures angulaires prises sur le terrain lors de la triangulation du royaume de Hanovre, Gauss a e↵ectu´e plus d’un million de calculs, dont de nombreuses r´esolutions de syst`emes lin´eaires.

On remplaceL3 parL3 3L2, 8<

:

x1 + x2 x3 = 0

x2 x3 x4 = 3

x3 + 2x4 = 0 .

On peut d´ej`a tirer des conclusions : si on donne une valeur quelconque `a x4, on en d´eduit succes- sivementx2 puisx1 en raison de la forme triangulaire du syst`eme. Les solutions d´ependent d’un param`etre exactement. L’ensemble des solutions poss`ede une repr´esentation param´etrique `a un param`etre, c’est une droite.

On a utilis´e le fait que, une fois les termes en x4 pass´es dans le second membre, le syst`eme, triangulaire avec des coefficients 1 sur la diagonale, poss`ede une solution unique.

Pour aller au bout de la r´esolution, on fait disparaˆıtre les inconnues qui traˆınent dans la partie triangulaire pour qu’elle devienne diagonale : on remplaceL1 parL1 L2et L2 parL2+L3,

8<

:

x1 + x4 = 3

x2 + x4 = 3

x3 + 2x4 = 0 .

On conclut que l’ensemble des solutions est l’ensemble des vecteursv2R⁴ de la forme

v= 0 BB

@ 3 3 0 0

1 CC A+t

0 BB

@ 1 1 2 1

1 CC A,

o`ut d´ecritR. Il s’agit de la repr´esentation param´etrique d’une droite (point, vecteur directeur).

2.3 La matrice d’un syst` eme lin´ eaire

Il est p´enible de traˆıner les inconnues dans ces calculs. Je mets en ´evidence lescoefficients, i.e.

les constantes par lesquelles les inconnues sont multipli´ees : 8<

:

x1 + x2 + x3 + 0x4 = 0

2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 9

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 9 .

Ils forment un tableau

M = 0

@ 1 1 1 0

2 1 1 3

1 2 1 1

1 A

appel´ematricedu syst`eme. Il y a aussi un tableau des seconds membres S=

0

@ 0 9 9

1 A.

Se donner le syst`eme, c’est la mˆeme chose que se donner ces deux tableaux. On peut les mettre cˆote `a cˆote, c’est commode,

0

@ 1 1 1 0

2 1 1 3

1 2 1 1

0 9 9

1 A.

Appelons cela la matrice ´etendue du syst`eme. C’est plus ´economique pour faire les op´erations

´el´ementaires, comme remplacer L2parL2+ 2L3, qui donne 0

@ 1 1 1 0

0 3 1 1

1 2 1 1

0 9 9

1 A.

On dira que deux matrices sont ´equivalentes si l’une s’obtient `a partir de l’autre par une suite d’op´erations ´el´ementaires. Deux syst`emes sont ´equivalents si et seulement si leurs matrices ´etendues le sont.

2.4 Matrices ´ echelonn´ ees

D´efinition 1 On dit qu’une matrice est ´echelonn´eesi

1. chaque ligne commence par davantage (strictement) de 0 que les pr´ec´edentes ;

2. le premier coefficient non nul d’une ligne (appel´e pivot), est ´egal `a 1 (¸ca n’empˆeche pas d’avoir des lignes enti`erement nulles) ;

3. dans une colonne qui contient un pivot, tous les coefficients, sauf le pivot, sont nuls.

Un syst`eme lin´eaire est ´echelonn´e si sa matrice ´etendue l’est.

Davantage (strictement) signifie qu’il y a au moins un 0 de plus au d´ebut de chaque ligne qu’au d´ebut de la ligne pr´ec´edente. Voici des exemples de matrices ´echelonn´ees.

✓1 0 0 1

◆ ,

✓1 0 3 0 1 2

◆ ,

✓1 3 0 0 0 1

◆ ,

✓1 3 1

0 0 0

◆ ,

0

@1 3 0 4

0 0 1 1

0 0 0 0

1 A,

0

@0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 A.

Voici des exemples de matrices non ´echelonn´ees.

✓1 2 0 1

◆ ,

✓1 1 3 0 1 2

◆ ,

✓1 3 0 1 0 1

◆ ,

✓2 3 1

0 0 0

◆ ,

0

@1 3 0 4

0 0 2 1

0 0 0 0

1 A,

0

@0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

1 A. Un syst`eme ´echelonn´e est facile `a r´esoudre. Par exemple, le syst`eme de matrice ´etendue

0

@ 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1

2 1 3

1 A s’´ecrit

8<

:

x2 = 2

x3 = 1

x4 = 3 .

L’ensemble des solutions est la droite passant par (0,2, 1,3), de vecteur directeur (1,0,0,0).

Le syst`eme de matrice ´etendue

✓ 1 3 0 0 0 1

3 1

◆ s’´ecrit

⇢ x1 + 3x2 = 3 x3 = 1 .

L’ensemble des solutions est la droite passant par (1,0,1), de vecteur directeur ( 3,1,0).

Le syst`eme de matrice ´etendue

✓ 1 3 0 0 0 0

3 1

◆ s’´ecrit

⇢ x1 + 3x2 = 3

0 = 1 .

L’ensemble des solutions est vide.

2.5 Algorithme d’´ echelonnage

Il s’agit de syst´ematiser le travail fait plus haut sur un exemple.

Premier objectif : produire un nombre croissant de 0 au d´ebut des lignes et des pivots qui valent 1. On cherche la premi`ere colonne non identiquement nulle, et on choisit un coefficient non nul de cette colonne, ce sera le premier pivot. On permute les lignes pour mettre cette ligne en premier.

En divisant la premi`ere ligne par ce pivot, il devient ´egal `a 1. A chaque ligne, on retranche un multiple de la premi`ere ligne et ainsi, on annule tous les coefficients de la colonne du premier pivot (sauf le premier pivot lui-mˆeme). Le mˆeme proc´ed´e s’applique au syst`eme priv´e de sa premi`ere

´equation. Le second pivot, s’il existe, se trouve sur une colonne plus `a droite, cela garantit que le nombre de 0 augmente strictement.

Second objectif : produire des 0 dans les colonnes des pivots. On retranche aux lignes du haut des multiples des lignes portant les pivots, une par une. A chaque ´etape, on produit un 0 de plus, qui n’est pas d´etruit par les ´etapes ult´erieures.

Th´eor`eme 1 Toute matrice est ´equivalente `a une unique matrice ´echelonn´ee. On l’appelle laforme r´eduite ´echelonn´eede la matrice de d´epart.

Autrement dit, tout syst`eme lin´eaire est ´equivalent `a un unique syst`eme lin´eaire ´echelonn´e.

Le th´eor`eme 1 affirme l’unicit´e de la forme r´eduite ´echelonn´ee : le r´esultat ne d´epend donc pas des choix faits au cours de l’op´eration.

2.6 Structure de l’ensemble des solutions

Il suffit de comprendre le cas des syst`emes ´echelonn´es.

Il peut n’y avoir aucune solution. Cela se produit si et seulement si il y a des ´equations dont le premier membre est identiquement nul mais le second membre ne l’est pas.

S’il y a des solutions, les inconnues qui correspondent `a des pivots s’expriment en fonction des autres inconnues. L’ensemble des solutions poss`ede une repr´esentation param´etrique de la formev+t1u1+· · ·+tkuk o`uv est une solution particuli`ere,k est le nombre d’inconnues qui ne correspondent pas `a des pivots.

Les vecteursu1, . . . , uk ont ici une propri´et´e remarquable.

D´efinition 2 Des vecteursu1, . . . , uk deRⁿ sont lin´eairement ind´ependants si aucune combinai- son lin´eairet1u1+· · ·+tkuk ne vaut 0 (sauf sit1=· · ·=tk = 0).

Un vecteuru1 tout seul est lin´eairement ind´ependant si et seulement si il est non nul. Alors, en se d´epla¸cant d’un pointv en suivantu1, on parcourt une droite (on ne reste pas au mˆeme point).

Deux vecteurs u1, u2 sont lin´eairement ind´ependants si et seulement si

— ils sont non nuls tous les deux ;

— u2 n’est pas un multiple deu1.

Autrement dit,u1etu2pointent dans des directions di↵´erentes. Alors, en se d´epla¸cant d’un point ven suivant u1 et u2, on parcourt un plan (on ne reste pas dans une droite).

D´efinition 3 Un sous-ensemble de Rⁿ est un sous-espace affine de dimension k s’il admet une repr´esentation param´etrique de la forme v +t1u1+· · ·+tkuk o`u u1, . . . , uk sont lin´eairement ind´ependants.

Lorsquek= 0, il s’agit d’un unique point. Lorsquek= 1, on parle de droite affine, lorsque k= 2, de plan affine.

Corollaire 4 L’ensemble des solutions d’un syst`eme lin´eaire `aninconnues etp´equations est

— ou bien vide,

— ou bien un sous-espace affine de Rⁿ de dimension k=n nombre de pivots.

Le nombre de pivots ´etant toujours p, la dimension de l’espace des solutions, lorsqu’il est non vide, est toujours n p. D’o`u le principe suivant, simple `a retenir.

Principe. Le nombre de degr´es de libert´e chute en g´en´eral du nombre d’´equations. Accidentel- lement, il peut chuter de moins (il reste trop de degr´es de libert´e). Aussi, il peut ne rester aucune solution.

3 Diagonalisation

3.1 Motivation

Un oscillateur unidimensionnel ob´e¨ıt `a une ´equation di↵´erentielle de la forme a¨x+bx˙+cx= 0.

Penser `a xcomme l’abscisse d’un point mat´eriel se d´epla¸cant sur une droite, soumis `a une force de rappel (ressort) et `a des frottements solide et fluide.

Une fa¸con de la r´esoudre consiste `a introduire une seconde fonction inconnue, la vitessey= ˙x.

L’´equation di↵´erentielle du second ordre devient un syst`eme di↵´erentiel du premier ordre (x˙ = y,

˙

y= _a^cx _a^by.

On noteX =

✓x y

◆

la fonction vectorielle inconnue, elle ob´e¨ıt `a l’´equation di↵´erentielle du premier ordre

X˙ =AX, o`uA est la matrice

✓ 0 1

c a

b a

◆ .

3.2 Cas particuliers

Exemple 5 A=

✓ 0 0

◆

, 6= 0.

Le syst`eme ˙x= x, ˙y = y a pour solution x(t) =x(0)e ^t, y(t) = y(0)e ^t, soitX(t) =X(0)e ^t. X varie le long d’une demi-droite, dans un sens ou dans l’autre suivant le signe de . Exception : X(0) = 0.

Exemple 6 A=

✓ 0 0 µ

◆

,0< < µ.

Le syst`eme ˙x= x, ˙y=µy a pour solution x(t) =x(0)e ^t,y(t) =y(0)e^µt. On constate que x(t)^1/

y(t)^1/µ =x(0)^1/

y(0)^1/µ

est constant, doncX varie le long de lignes qui sont courbes, des sortes de paraboles d´efinies par des ´equations de la forme ^x_y^1/1/µ = const.

Exceptions : si x(0) = 0 ou y(0) = 0, x(t) (resp. y(t)) reste nul. Il y a donc 5 trajectoires particuli`eres, l’origine et 4 demi-droites.

3.3 Vecteurs propres, valeurs propres

On observe que les trajectoires qui sont des demi-droites correspondent `a des vecteurs v tels queAv est proportionnel `a v.

D´efinition 7 Soit A une matrice carr´ee n⇥n. Un vecteur propre deA est un vecteurv 2Rⁿ non nultel qu’il existe 2Rtel queAv= v. Le r´eel est la valeur propre associ´ee `a v.

Exemple 8 A=

✓ 0 0

◆

, 6= 0.

Tout vecteur non nul deR² est vecteur propre deApour la valeur propre . Exemple 9 A=

✓ 0 0 µ

◆

,0< < µ.

Les vecteurs propres deAsont les multiples non nuls des vecteurs de la base canonique deR². Il y a deux valeurs propres, et µ.

3.4 Polynˆ ome caract´ eristique

Proposition 10 SoitAune matrice carr´een⇥n. Un r´eel est valeur propre deAsi et seulement si c’est une racine du polynˆome caract´eristique

PA(z) = det(zI A).

Dans ce cas, les vecteurs propres relatifs `a sont les solutionsnon nullesdu syst`eme lin´eaire qui s’´ecrit matriciellement

(A I)v= 0.

Autrement dit, il s’agit des vecteurs non nuls de l’espace propreE . Exemple 11 A=

✓ 0 0

◆

, 6= 0.

AlorsPA(z) = (z )². Exemple 12 A=

✓ 0 0 µ

◆

,0< < µ.

AlorsPA(z) =z² ( +µ)z+ µ= (z )(z µ).

Remarque 13 Pour une matrice triangulaire, les valeur propres sont les coefficients diagonaux.

En e↵et, la matrice zI A est triangulaire `a nouveau, de coefficients diagonaux (z ajj), donc son d´eterminant vautQn

j=1(z ajj).

3.5 Diagonalisabilit´ e

D´efinition 14 SoitA une matrice carr´ee n⇥n. On dit que A est diagonalisable s’il existe une base deRⁿ form´ee de vecteurs propres deA.

Exemple 15 Les matrices diagonales sont diagonalisables.

Exemple 16 La matriceA=

✓ cos✓ sin✓ sin✓ cos✓

◆

,✓6= 0,⇡ mod2⇡, n’est pas diagonalisable.

En e↵et,PA(z) = (z cos✓)²+ sin²✓ n’a aucune racine r´eelle.

Exemple 17 La matriceA=

✓0 1 0 0

◆

n’est pas diagonalisable.

En e↵et,PA(z) =z², la seule valeur propre est 0, l’espace propreE0 correspondant est la droite engendr´ee par

✓1 0

◆

, il ne contient pas de base de R².

Proposition 18 SoitA une matrice carr´een⇥n.Aest diagonalisable si et seulement s’il existe une matrice inversibleP telle que P ¹AP est diagonale.

En e↵et, soitv1, . . . , vn une base de vecteurs propres, relatifs `a des valeurs propres 1, . . . , n. Soit P la matrice dont les colonnes sont les composantes de v1, . . . , vn. AlorsP est inversible (une des caract´erisations des bases). Les colonnes de la matriceAP sont lesAvi (d´efinition du produit des matrices), ce sont donc les ivi. D’autre part, siDest la matrice diagonale de coefficients diagonaux dii = i,P Da pour colonnes les iviaussi (multiplier `a droite par une matrice diagonale multiplie lai-`eme colonne par dii), doncAP =P D.

R´eciproquement, siP est inversible etAP =P D,D diagonale, les colonnes deP forment une base et sont des vecteurs propres.

3.6 Pratique de la diagonalisation

Diagonaliser une matrice carr´ee A, c’est 1. D´ecider siAest diagonalisable ou non,

2. Trouver une matrice inversibleP telle queP ¹AP est diagonale.

3.6.1 En dimension 2 Pour cela, en dimension 2,

1. On calcule puis on factorise le polynˆome caract´eristiquePA. 2. Si on trouve deux racines r´eelles distinctes,Aest diagonalisable.

3. Si on trouve une racine double, Aest diagonalisable si et seulement si elle est diagonale.

4. Dans le premier cas, pour chacune des valeurs propres 1, 2, on r´esout le syst`eme lin´eaire (A jI)X = 0, on trouve une basevj de l’espace des solutions.

5. v1, v2 est automatiquement une base deR².

6. SoitP la matrice dont les colonnes sont les composantes de v1et dev2. AlorsP ¹AP =D est diagonale avec comme coefficients diagonaux 1et 2.

Exemple 19 Diagonaliser la matriceA=

✓ 1 1 2 4

◆ .

On calcule PA(z) = z² 5z+ 6 = (z 2)(z 3), deux racines r´eelles distinctes, donc A est diagonalisable. Le syst`eme (A 2I)X= 0 ´equivaut `a

⇢ x + y = 0

2x + 2y = 0 ,

⇢ x + y = 0

0 = 0 .

L’espace propreE2 est de dimension 1, c’est la droite de vecteur directeur v1=

✓1 1

◆

. Le syst`eme (A 3I)X = 0 ´equivaut `a

⇢ 2x + y = 0

2x + y = 0 ,

⇢ 2x + y = 0

0 = 0 .

L’espace propreE3est de dimension 1, c’est la droite de vecteur directeurv2=

✓1 2

◆

. On forme la matrice

P=

✓1 1 1 2

◆ ,

et on v´erifie que

P ¹AP =

✓ 2 1

1 1

◆ ✓ 1 1 2 4

◆ ✓1 1 1 2

◆

=

✓2 0 0 3

◆ .

3.6.2 En dimension quelconque En dimensionnquelconque,

1. On calcule puis on factorise le polynˆome caract´eristique PA. La liste des racines r´eelles donne la liste des valeurs propres 1, . . . , k deA.

2. Pour chaque valeur propre j, on ´echelonne le syst`eme lin´eaire (A jI)X = 0, on trouve que la dimension de l’espace des solutions (nombre d’inconnues secondaires) vaut mj. 3. A est diagonalisable si et seulement si m1+· · ·+mk =n. Dans la suite, on suppose que

c’est bien le cas.

4. Pour chaque valeur propre j, on r´esout le syst`eme lin´eaire (A jI)X = 0, on trouve une base vj,1, . . . , vj,mj de l’espace des solutions.

5. Mises bout `a bout, ces bases forment automatiquement une base deRⁿ.

6. Soit P la matrice dont les colonnes sont les composantes desvj,`. Alors P ¹AP =D est diagonale avec comme coefficients diagonaux les j r´ep´et´esmj fois.

3.7 Application au calcul des puissances d’une matrice

On remarque que

(P DP ¹)^k=P DP ¹P DP ¹· · ·P DP ¹=P D^kP ¹.

SiD est diagonale,D^k est diagonale, de coefficients diagonaux lesd^k_jj, doncD^k et P D^kP ¹sont faciles `a calculer.

Exemple 20 Calculer les puissances deA=

✓ 1 1 2 4

◆ .

On ´ecrit queA=P DP ¹ o`uD=

✓2 0 0 3

◆

et P =

✓1 1 1 2

◆ . Alors A^k = P D^kP ¹

=

✓1 1 1 2

◆ ✓2^k 0 0 3^k

◆ ✓ 2 1

1 1

◆

=

✓1 1 1 2

◆ ✓2^k+1 2^k 3^k 3^k

◆

=

✓ 2^k+1 3^k 2^k+ 3^k 2^k+1 2.3^k 2^k+ 2.3^k

◆ .

On v´erifie qu’on retrouve bienA lorsquek= 1 etI lorsquek= 0.

Remarque 21 Le calcul du terme g´en´eral d’une suite satisfaisant une relation de r´ecurrence lin´eaire double se ram`ene au calcul des puissances d’une matrice.

Remarque 22 Le calcul du terme g´en´eral d’une suite de vecteurs satisfaisant une relation de r´ecurrence lin´eaire simple se ram`ene au calcul des puissances d’une matrice (voir un exemple dans l’exercice 10 de la feuille TD2).

3.8 Application ` a la r´ esolution de syst` emes di↵´ erentiels lin´ eaires

Soit D une matrice diagonale. Soit E(t) la matrice diagonale de coefficients diagonauxe^tdjj. Alors ˙E=DE et la solutionX(t) du syst`eme di↵´erentiel ˙X=DX est E(t)X(0).

Supposons queA=P DP ¹. Etant donn´ee une condition initialeY0, posonsY(t) =P E(t)P ¹Y0. Alors

Y˙ = PEP˙ ¹Y0

= P DEP ¹Y0

= P DP ¹P EP ¹Y0

= AY.

DoncY(t) est la solution du syst`eme di↵´erentiel ˙Y =AY de condition initialeY(0) =Y0. Exemple 23 Soit A =

✓ 1 1 2 4

◆

. Ecrire la solution du syst`eme Y˙ = AY de condition initiale Y(0) =

✓1 2

◆ .

Ici,D=

✓2 0 0 3

◆

,E(t) =

✓e^2t 0 0 e^3t

◆ , d’o`u Y(t) = P E(t)P ¹Y0

=

✓1 1 1 2

◆ ✓e^2t 0 0 e^3t

◆ ✓ 2 1

1 1

◆ ✓ 1 2

◆

=

✓1 1 1 2

◆ ✓e^2t 0 0 e^3t

◆ ✓ 4 3

◆

=

✓1 1 1 2

◆ ✓ 4e^2t 3e^3t

◆

=

✓4e^2t 3e^3t 4e^2t 6e^3t

◆ .

3.9 Valeurs propres complexes

On appelle parfois les racines non r´eelles du polynˆome caract´eristique PA les valeurs propres complexes de A.

Une matrice 2⇥2 `a valeurs propres non r´eelles n’est pas diagonalisable. N´eanmoins, on peut mettre une telle matrice sous une forme simple.

Proposition 24 SoitAune matrice2⇥2`a valeurs propres non r´eelles et ¯. Alors il existe une matrice inversibleP telle queP ¹AP est de la forme

✓a b b a

◆

, o`u =a+ib. Les colonnes deP sont la partie r´eelle et la partie imaginaire d’un vecteur complexe non nulw tel queAw= w.

Exemple 25 Soit A =

✓ 3 2 5 3

◆

. Trouver une matrice inversible P telle que P ¹AP est de la forme

✓a b b a

◆ .

On calcule le polynˆome caract´eristique PA(z) = det

✓z+ 3 2

5 z 3

◆

=z²+ 1.

Les racines±ine sont pas r´eelles. On cherche une solution complexe du syst`emeAw=iw. Il s’´ecrit

⇢ ( 3 i)x + 2y = 0

5x + (3 i)y = 0 ,

⇢ ( 3 i)x + 2y = 0

0 = 0 .

Parmi les solutions, on choisitw =

✓ 2 3 +i

◆

. Sa partie r´eelle estv1 =

✓2 3

◆

, sa partie imaginaire estv2=

✓0 i

◆

. La matrice

P =

✓2 0 3 1

◆

satisfait

P ¹AP = 1 2

✓ 1 0 3 2

◆ ✓ 3 2 5 3

◆ ✓2 0 3 1

◆

= 1

2

✓ 1 0 3 2

◆ ✓2 0 3 1

◆

= 1

2

✓ 0 2 2 0

◆

=

✓0 1 1 0

◆ .

C’est utile pour r´esoudre les syst`emes di↵´erentiels. En e↵et, si B =

✓a b b a

◆

, le vecteur d´ependant du temps X(t) =

✓x(t) y(t)

◆

est solution de ˙X = BX si et seulement si la fonction `a valeurs complexesz(t) =x(t) +iy(t) satisfait ˙z= (a+ib)z. La solution estz(t) =e^(a+ib)tz(0), ce qui donne

X(t) =e^at

✓cos(bt) sin(bt) sin(bt) cos(bt)

◆ X(0).

La solutionY(t) du syst`eme di↵´erentiel ˙Y =AY de condition initialeY0s’´ecrit donc Y(t) =e^atP

✓cos(bt) sin(bt) sin(bt) cos(bt)

◆ P ¹Y0.