Chapitre 3 Chapitre 3

Caractéristiques de dispersion Chapitre 3

Chapitre 3

1

Compléments du cours

Prof. Mohamed El Merouani Département de Statistique et Informatique

Faculté Polydisciplinaire de Tétouan

Boîte de

Boîte de Tuckey Tuckey ou diagramme de ou diagramme de Box &

Box & Wiskers Wiskers

• Considérons le diagramme en boîte ci-

dessous, qui est la version la plus simple de la boîte de Tuckey, appliquée à la variable X.

Boîte de

Boîte de Tuckey Tuckey ou diagramme de Box ou diagramme de Box

&

& Wiskers Wiskers

3

Boîte de

Boîte de Tuckey Tuckey ou diagramme de Box ou diagramme de Box

&

& Wiskers Wiskers

• On distingue sur ce schéma la « boîte de Tuckey » qui est le rectangle construit sur le premier quartile Q₁et le troisième Q₃.

4 Prof. Mohamed El Merouani

Exemple1: (cas de variable discrète

"pondérée") :

• Calculer les quartiles Q₁, Q₂et Q₃de la série statistique suivante :

5

x_i n_i n_icc

3 4 8 10 11 20

3 7 30 20 15 25

3 10 40 60←

→75 100 N=100

1)

On cherche ce 25 entre les n_icc

⇒il n’existe pas

exactement mais 40 est la 1^èrevaleur qui dépasse ce 25

alors Q₁=8

4 25 100 4 = = N

2)

⇒ ce 50 n’existe pas exactement parmi les n_icc, alors la 1^ère valeur qui la dépasse est 60, donc

Q₂=10=Mé 3)

Dans ce cas cette valeur existe exactement parmi les n_icc, alors

2 50 2 100

4 × = =

N

75 3 25 4 3

3 100

4 × = × = × = N

5 , 2 15

20 11

3 = + =

Q

Exemple2 (cas de variable continue) :

Calculons Q₁, Q₂et Q₃ de la distribution statistique suivante :

7

[e_i-1, e_i[ n_i n_icc [0, 10[

[10, 30[

[30, 35[

[35, 80[

[80,100[

[100, 150[

4 8 13

5 3 7

4 12 *

25 30**

33 40 N= 40

Q₁= ?

cette valeur n’apparaît pas parmi les nicc, mais la 1^ère valeur qui la dépasse est 12.

D’où, on applique, dans la classe [10,30], la formule:

4 10 40 4 = = N

4 ¹ 25

1

1 − =

+

= ₋ ⁻ _i

i i

i a

n cc N n

e Q

2) Q₂?

⇒ Cette valeur n’existe pas non plus parmi les n_icc, mais la 1^ère valeur qui la dépasse est 25.

Donc, on applique la formule dans la classe [30,25] :

8

2 20 2 40

4 × = = N

i i

i

i a

n cc N n

e Mé Q

1 1

2 2 ⁻

−

+ −

=

=

13 5 12 30+ 20− ×

=

08 ,

2 ≅33 Q

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3) Q₃?

Cette fois-ci, cette valeur existe exactement parmi les n_icc, la classe qui contient Q₃ est [35,80] .

Alors, on prend Q₃ =e_i=80

9

4 30 3 3 40

4 × = × = N

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Boîte de

Boîte de Tuckey Tuckey ou diagramme de Box ou diagramme de Box

&

& Wiskers Wiskers

• L’intervalle interquartile =Q₃-Q₁=80-25=55

• La dérivation quartile ou le semi-interquartile est:

• L’écart interquartile relatif est:

11

5 , 2 27

55 2

1

3 −Q = =

Q

66 , 08 1 , 33

55

2 1

3 − ≅ ≈

Q Q Q

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Exemple

Exemple de calcul de la variance: de calcul de la variance:

• Calculer la variance par la formule non-

simplifiée et par la formule simplifiée, pour la série suivante :

12

[e_i-1, e_i[ n_i c_i c_i² n_ic_i n_ic_i²

[0, 10[

[10, 20[

[20, 30[

[30, 40[

1 2 3 4

5 15 25 35

25 225 625 1225

5 30 75 140

-20 -10 0 10

400 100 0 100

400 200 0 400

25 450 1875 4900

N=10 250 1000 7250

X

c_i−

(

)

(

)

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• La moyenne

• Formule non-simplifiée de la variance

• Formule simplifiée de la variance

13

k 2 1 i

2 i

ic X

N n

Var(X) 1 −



 



=

∑

=

i k

i ic N n

X

∑

=

=

1

1

( ) ( )

1

1 n c X

X N

Var _i

k

i

i −

=

∑

=

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Exemple

Exemple de calcul de la variance:: de calcul de la variance::

[e_i-1, e_i[ n_i c_i c_i² n_ic_i n_ic_i²

[0, 10[

[10, 20[

[20, 30[

[30, 40[

1 2 3 4

5 15 25 35

25 225 625 1225

5 30 75 140

-20 -10 0 10

400 100 0 100

400 200 0 400

25 450 1875 4900

N=10 250 1000 7250

X

c_i−

(

)

(

)

• Donc, par la formule non simplifiée, la variance est:

• Et par la formule simplifiée, elle sera:

• D’où, l’écart-type est

15

100 Var(X)= =

10 1000

10 100 Var(X) = =

X = σ

( ) ^{X = 725 −} ( ) ²⁵

^{= 725 − 625 = 100}

Var

10 25 250 1

1

=

=

=

∑

= i

k

i ic N n

• Alors, la moyenne est X

Pour l’exemple de calcul de la Pour l’exemple de calcul de la

variance variance::

• Le coefficient de variation

• Soit donc un coefficient de variation de 40%

supérieur à 30%

• Donc, la série étudiée et non-homogène!

16

4 , 25 0 10 =

=

= X C_V σ(X)

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