Chapitre 3 : « Chapitre 3 : « Inéquations du 1Inéquations du 1

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Chapitre 3 : « Inéquations du 1 Inéquations du 1

degré degré » »

I. Inéquation

1/ Symboles à connaître

•  est le symbole « supérieur à » ou « strictement supérieur à »

•  est le symbole « inférieur à » ou « strictement inférieur à »

•  est le symbole « supérieur ou égal »

•  est le symbole « inférieur ou égal » Exemples

x7 représente l'ensemble des nombres qui sont supérieurs à 7 sans pour autant être égaux à 7.

–5x représente les nombres qui sont supérieurs ou bien égal à –5.

2/ Inéquations

Description

On considère l'inéquation x8–72x. Elle est composée :

• de nombres, d'opérations ;

• d'une inconnue x ;

• d'un membre de gauche x8, d'un membre de droite –72x. Objectif

L'objectif est de déterminer toutes les valeurs de x telles que le membre de gauche soit inférieur ou égal au membre de droite.

3/ Tester une inéquation

Exemple/Méthode

Avec la même équation x8–72x….

• Est-ce que x=10 est une solution ? x8=108=18

–72x=–72×10=–720=13

18 n'est pas inférieur ou égal à 13 , donc x=10 n'est pas une solution.

• Idem x=15 ? x8=158=23

–72x=–72×15=–730=23 2323 donc x=15 est une solution.

4/ Inéquations « simples »

Résoudre mentalement les inéquations suivantes : x27

x5 x –5–3

x2 – x25

x–3 2x6

x3 –2x6

x–3

5/ Représentation des solutions sur une droite graduée

x13 x2

Pour représenter les nombres inférieurs ou égal à 2 , on trace une droite graduée et on repasse en rouge la partie correspondante.

x57 x2

Dans ce cas aussi, on obtient la même partie repassée en rouge.

Dans les deux, on obtient une même représentation des solutions. Cela ne suffit pas pour distinguer x2 de x2 . Pour faire la différence, on introduit un crochet placé au niveau de 2 :

• [ « crochet droite »

• ] « crochet gauche »

Donc x2 donne la représentation suivante :

On oriente le crochet vers la partie rouge pour indiquer que 2 fait partie des solutions.

Et pour x2, cela donne :

On oriente le crochet dans la direction opposée au trait rouge pour indiquer que 2 ne fait pas partie des solutions.

Autres exemples

Représente par une droite graduée les solutions des inéquations suivantes

• x–2

• x1,5

• –1,5x

• –3x

• –1x

6/ Résolution d'inéquations dans le cas général

Exemple/Activité

On va résoudre l'inéquation suivante : 7x –52x3

7x –5 –2x2x3 –2x « On retranche –2x » 5x –53

5x –5535 « On ajoute 5 » 5x8

5x 5 8

5 « On divise par 5 » x8

5

Exemples de changement d'ordre

Parfois, il y a un petit changement à faire...

–2x6 –2x

–2  6 –2 x–3

2x10 2x

2 10 2 x5

2x–6 2x

2 –6 2 x–3

–82x –8

2 2x 2 –4x

–3x–15 –3x

–3 –15 –3 x5

7–3x 7

–3–3x –3 7

–3x

Il faut regarder le coefficient de x. S'il est positif, l'ordre n'est pas modifié. Par contre, s'il est négatif, on va modifier l'ordre dans l'inéquation.

Propriété fondamentale des inéquations

Lorsqu'on divise chaque membre d'une inéquation par un nombre négatif, il faut inverser l'ordre : ce qui était plus grand devient plus petit et inversement.

Application

Cette propriété permet de finir correctement la résolution d'une inéquation.

7x3x7

7x –3x3x7–3x 4x7

Le coefficient de l'inconnue est 4 . Puisqu'il est positif, on divise par 4 sans modifier l'ordre.

4x 4 7

4 x7

4

–5x2–5 –5x2–2–5–2 –5x–7

Le coefficient de x est –5. Puisqu'il est négatif, on divise par –5 et on change l'ordre de l'inéquation.

–5x –5 –7

–5 x7

5

Exemple (type Brevet : n°58 p81) 1/ a. On considère D=4x2

5 . Calculer D pour x=3 4 . D=

4×3 42

5 =32

5 =5 5=1 b. Puisque 13

4 , x=3

4 est une solution de l'inéquation.

2/ Résoudre l'inéquation 4x2

5 3 4x2

5 15 5

On peut multiplier l'inéquation par 5 sans changer les solutions car c'est un nombre positif.

4x2

5 ×515 5 ×5 4x215

4x2–215–2 4x13

4x 4 13

4 x13

4

A savoir refaire 5x –2

7 –4 5x –2

7 ×7–4×7 5x –2–28 5x –22–282 5x–26

5x

5 –26 5 x–26

5

II. Résolution de problèmes : mise en inéquation.

Méthode sur un exemple

Les étapes sont les mêmes que pour une mise en équation :

• choix de l'inconnue ;

• mise en inéquation ;

• résolution de l'inéquation ;

• conclusion qui répond au problème.

Dans un magasin, on propose deux formules :

• abonné : 60 euros par an et 5,50 euros par DVD ;

• libre : 8 euros par DVD.

A partir de combien de DVD la formule abonné est plus avantageuse que la formule libre ?

• x représente le nombre de DVD par an.

• abonné : 605,5x ; libre : 8x ; inéquation : 605,5x8x.

• résolution : 605,5x8x

605,5x –5,5x8x –5,5x 602,5x

60

2,52,5x 2,5 24x

• Conclusion : la formule abonné est plus avantageuse à partir de 25 DVD !

Pour lundi 8 novembre

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• n°83 page 83 Pour mardi 9 novembre

Contrôle 1h sur le chapitre 3 et chapitre 1 (équations et inéquations)