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Chapitre 1 : « Équations et inéquations du 1 Équations et inéquations du 1

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I. Équation

1/ Vocabulaire (rappels)

On considère l'équation suivante : x5=9–3x. Dans cette équation, il y a :

• une inconnue x ;

• le symbole = ;

• des nombres et des opérations ;

• un membre de gauche x5 et un membre de droite 9–3x.

Résoudre une équation, c'est chercher à connaître la (ou les) valeurs de l'inconnue.

2/ Tester une équation

Exemple/Méthode

On considère x5=9–3x. Teste cette équation pour x=–3 puis pour x=1 . Pour x=–3 :

• x5=–35=2

• 9–3x=9–3×–3=99=18

• Puisque 2≠18, x=–3 n'est pas une solution de l'équation.

Pour x=1 :

• x5=15=6

• 9–3x=9–3×1=9–3=6

• Donc x=1 est une solution.

Autre exemple

Est-ce que x=–3 est une solution de 2x –8=27–4,5x ????

• 2x –8=2×–3–8=–6–8=–14

• 27–4,5x=27–4,5×–3=2713,5=2×20,5=41

• Donc x=–3 n'est pas une solution.

3/ Équations simples (à savoir résoudre)

Méthode x5=−12

On résout cette équation en se posant la question suivante : « Combien faut-il ajouter à 5 pour obtenir −12 ?». La réponse est –17 car –175=−12.

Exemples

x−5=9 a pour solution x=14

x5=−3 a pour solution x=–8 car –85=–3

−7x=−12 a pour solution x=−5 car –7–5=–12 4=7−x a pour solution x=3 car 7–3=4

−x4=−5 a pour solution x=9 car –94=–5 6−x=8 a pour solution x=–2 car 6––2=62=8

Rappels : soustraction de nombres relatifs

–5––7 se calcule de façons :

• –5––7=–57=2 car – suivi de – donne .

• –5––7=–57=2 car « retrancher par un nombre, revient à ajouter son opposé ».

4/ Méthode générale pour résoudre une équation

Activité sur un exemple

• 2x –7=–5x2 ; l'objectif est de rassembler les « x » dans un membre et les

« nombres » dans l'autre.

• 2x –75x=–5x25x ; on ajoute 5x dans chaque membre afin de « passer tous les x à gauche ».

7x –7=2 ; dès que c'est possible, on calcule.

• 7x –77=27 ; on ajoute 7 dans chaque membre afin de « passer tous les nombres à droite ».

7x=9 ; on a calculé 2 avec 7.

• x=9

7 ; dans 9 , combien de fois 7 ? C'est 9 7 .

Propriété

Sans changer les solutions d'une équation, on peut :

• ajouter une même quantité dans chaque membre ;

• retrancher une même quantité dans chaque membre.

Exemple

–3x4=–58x

3x–3x4=–58x3x « On ajoute 3x dans chaque membre »

4=–511x « On a calculé 8x3x=11x »

45=–511x5 « On ajoute 5 dans chaque membre »

9=11x « On a calculé 45=9 »

x= 9

11 « ax=b donne x=b

a »

Rappels : distributivité simple

On rappelle la formule suivante : kab=kakb. On distribue le k sur le a puis sur le b. Distribuer, c'est multiplier !

Utilise cette formule pour développer : 35–2y=3×53×–2y=15–6y –2x –5=–2x –2×–5=–2x10 –72x4=–7×2x –7×4=–14x –28 –52–8y=–5×2–5×–8y=–1040y 8–4x –7=8×–4x8×–7=–32x –56 –4– x –8=–4×– x–4×–8=4x32

Des équations plus complexes 35–2y=–72y4

3×53×–2y=–7×2y –7×4 « On développe chaque membre à l'aide de kab » 15–6y=–14y –28

Quelques rappels

• A connaître par cœur : 3

4=0,75 ; 1

4=0,25 ; 2 4=1

2=0,5 ; ^11×11=121 ; 9÷2=4,5 ; 4,5÷5=0,9…

• Simplification de fractions : 18

36=2×9 4×9=2

4=1 2 ;

38 76=1

2 ; 21

33= 7×3 11×3= 7

11

Des équations plus complexes (suite) 15–6y=–14y –28

15–6y6y=–14y –286y 15=–8y –28

1528=–8y –2828 43=–8y

y=43 –8 y=–43

8

Rappels : simplifications d'écritures

• –35 s'écrit –3 5 ; 5–7 s'écrit 5–7.

• 2×x=2x ; x×y=xy ; t×o×n=ton ; 2×x –7=2x –7 ;

x5×x –8=x5x –8.

• 2x –8–2x=–80x=–8

5/ Mise en équation (méthode)

Énoncé du problème

Sarah a 5 ans de plus que Latifa et Mathieu a 3 ans de moins que Latifa. La somme de leurs âges est 59 ans. Quels sont leurs âges ?

• 1 ^ère étape : « Choix de l'inconnue » x représente l'âge de Latifa.

• 2 ^ème étape : « Exprimer en fonction de x les données du problème »

Sarah Latifa Mathieu

5x x x –3

• 3 ^ème étape : « Mise en équation »

La somme de leurs âges est 59 ans, donc l'équation à résoudre est

5xxx –3=59

• 4 ^ème étape : « Résolution de l'équation » 5xxx –3=59

23x=59 23x–2=59–2 3x=57

x=57÷3 x=19

• 5 ^ème étape : « Conclusion »

L'âge de Mathieu est 19–3=16 ans, l'âge de Latifa est 19 ans et l'âge Sarah est 195=24 ans.

Autre exemple

Trouve un nombre tel que son quintuple augmenté de 7 soit égal au double diminué de 3.

• x est le nombre recherché

• Son quintuple augmenté de 7 : 5×x7. Son double diminué de 3 : 2×x−3

• Équation à résoudre : 5×x7=2×x –3 5x7=2x –3 (On trouve x=–10

3 ! A vérifier).

Pour vendredi 24/09 Contrôle !