Leçon 16 Équations et inéquations exponentielles
1. Propriétés sur la notion axPour tous entiers strictements positifs a et b et quelques soient x et y, on a :
1) a ax y=ax y+ 2)
( )
ax y =axy3)
x x
x
a a
b b
=
4)
x
x y y
a a
a
= −
5) a x 1x
a
− =
6) a0=1 7) 1x =1
8) Si ax =ay alors x= y
9) Pour tout x0, si ax =bx alors a=b. Exemple : Si a4=34 alors a=3.
2. Équations exponentielles Définition
Une equation exponentielle est une équation du type : . aA(x) =aB(x) avec a0 et a1
. aA(x) =bA(x) avec a0 , a1 et b0 , b1 Propriété
1) Quel que soit le réel strictement positif m, l’équation ax =m admet une solution unique dans .
2) aA(x) =aB(x) équivaut à A(x)=B(x) 3) aA(x) =bA(x) équivaut à a=b
Exemples : Résoudre les équations suivantes.
1. 3x =9 2. 2x−4 =1 3. 27x =9 4. 9x =3
5.
1 1
2 8
−x
=
6. 42x−1=2x+1 7. 3 1 9
x = 8. −21−x = −8
Solution
1. 3x =93x =32x=2. Donc S = 2
2. 2x−4 =12x−4 =20x−4=0 soit x=4. Donc S = 4
3. 27x =9 33x =32 équivaut à
3 2 2
3x= x= . Donc
= 3 S 2
4. 9x =332x =3 équivaut à
2 1 1
2x = x = soit
2
1
= x
Donc
−
= 2
, 1 2 S 1
5.
1 1
2 8
−x
=
3 1
2 2 1 =
−x
2x−1=23x− =1 3 soit x=4, donc S= 4
6. 42x−1=2x+1
( )
22 2x−1=2x+124x−2=2x+1 4x− = +2 x 1
3x=3x=1, donc S= 1 7. 3 1
9
x =
3 12
3
x =
3x =3−2 soit x= −2, donc S = −2
8. −22−x = −8
22−x =23
2− =x 3 soit x= −1, donc S= −1 3. Inéquations exponentielles
Définition
Une inéquation exponentielle est une inéquation du type : 1) aA(x) aB(x) avec a0 et a1
2) aA(x) aB(x) avec a0 , a1. Résolution
1) aA(x) aB(x) avec a0 et a1
.
) ( ) ( 1 1
) ( )
( A x B x
a a
a a
x B x A
.
) ( ) (
1 1 0
0
) ( )
( A x B x
a a
a a
x B x A
2) aA(x) aB(x) avec a0 , a1
.
) ( ) ( 1 1
) ( )
( A x B x
a a
a a
x B x A
.
) ( ) (
1 1 0
0
) ( )
( A x B x
a a
a a
x B x A
Exemple 1 : Résoudre l’inéquation 57x−353x+5 Solution
2 soit 8 5 4
3 3 7
1 5 5
57 3 3 5
+
−
=
+
− x x
x x
x a
x
Donc S=
−,2
Exemple 2 : Résoudre l’inéquation 35x 92x−1
Solution
( )
32 2 1 35 32(2 1)35 1 2
5 9
3 x x− x x− x x−
2 2
4 5
1 ) 3
1 2 ( 32
35 −
−
=
−
x
x x x a
x
Donc S =
−2, +
Exemple 3 : Résoudre l’inéquation 4x+38x
Solution
4x+38x (22)x+3(23)x 22(x+3) 23x 3 6
6 2
1 2 2
22( 3) 3
+
=
+
x x x
x a
x
Donc S=
6,+
Exemple 4 : Résoudre l’inéquation 23x+14x−3
Solution
3 1 3
2 x+ 4x− 23x+!(22)x−323x+122x−6 6 7
2 1 3
1 2 2
23 1 2 6 −
−
+
=
−
+ x
x x
x a
x
Donc S=
−7,+
Exemple 5 : Résoudre l’inéquation
5 1 2
1 1
3 27
x+ x−
Solution
5 1 2
1 1
3 27
x+ x−
2 5 1
3
1 1
3 3
x
x+ −
1 5 1 1 3( 2)
3 3
x+ x−
5 1 3 6
1 1
3 3
x+ x−
2
7 6
3 1 5
3 1 1
−
−
+
= x
x x
a
Donc
− −
= 2
, 7 S
Exemple 6 : Résoudre l’inéquation
3 5 4
1 1
2 2
x− x+
Solution
3 5 4
1 1
2 2
x− x+
2
9 4
5 3
2 1 1
+
−
= x
x x
a
Donc
+
= , 2 S 9
Exemple 7 : Résoudre l’inéquation
6 1
4 5
5 4
x+
Solution
6 1
4 5
5 4
x+
1 1
6
4 5 5
4 + −
x
3 1 1
1 6
5 1 4
−
−
+
= x
x a
Donc
− −
= 3
, 1 S
Exemple 8 : Résoudre l’inéquation
2 2 8 12
1 1
2 4
x + +x x+
Solution
2 2 8 12
1 1
2 4
x + +x x+
12 2 8 2
2 1 2
1
2+ + +
x x
x
) 12 ( 2 8
2
2 1 2
1
2+ + +
x x
x
0 16 24
2 8 2 2 1 1 2
1 2
1 2
2 )
12 ( 2 8
2 2
−
+
+ +
=
+ + +
x x
x x
x a
x x
x2−160
(
x+4)(
x−4)
0Donc S=
−,−4
4,+
−4 − 4 +
+
x
4. Autres inéquations exponentielles
1) aA(x)bA(x) avec a0, a1 et b0,b1 2) aA(x) bA(x) avec a0, a1 et b0,b1. Résolution
1) aA(x)bA(x) avec a0, a1 et b0,b1 . ( ) ( ) ( )0
A x
b a
b a
x A x A
. ( ) ( ) ( )0
A x
b a
b a
x A x A
2) aA(x) bA(x) avec a0, a1 et b0,b1. . ( ) ( ) ( )0
A x
b a
b a
x A x A
. ( ) ( ) ( )0
A x
b a
b a
x A x A
Exemple 1 : Résoudre l’inéquation 363x+156x+2
Solution
3 1 6 2
36 x+ 5 x+
( )
62 3x+1 56x+266x+2 56x+2
3 1 0
2 6
5 5 6
66 2 6 2 −
+
+
+ x
x
x
x .
− +
= , 3 S 1
Exemple 2 : Résoudre l’inéquation 25 3 4 1 1 8
x− x−
Solution
3 1 1
25 4
8
x− x−
( ) ( )
2 3 2 1 32 2 1
5
x− x−
52(x−3) 22(x−1)2−3
52x−6 22x−6 0 3 6 2
2 2 5
52 6 2 6
−
−
− x
x
x
x . S=
−,3
Exemple 3 : Résoudre l’inéquation 73x+2 53x+2
Solution
3 2 3 2
7 x+ 5 x+
3 2 0
2 3
5
7 −
+
x
x
Donc
− +
= , 3 S 2
Exemple 4 : Résoudre l’inéquation
27 9 1
72x−5 x−1
Solution
( )
2 1 35 2 1
5 2
3 3 1
27 7 9 1
7 x− x− x− x−
5 2 5 2 3 ) 1 ( 2 5
2 3 3 7 3
7 − − − − −
x x x x
2 5 0
5 2
3 3 7
72 5 2 5
−
− − x
x
x x
Donc
−
= 2
, 5
S .
Exercices
1. Calculer :
1) 6n2−365−n2 2) 5n2−2n53n+152− −n n2 3)
3 4 2
2 3
9 3 3 27 3
−
−
4)
3 2
2 3
2
2 2
n
n n
+
− . 2. Résoudre les équations suivantes
1) 2x =4 2) 12 4
=x
3)
3 4 2
4 3
x =
4) 49x−7x+1=0 5) 4x =64 6)
1 1
2 8
−x
=
7) 32x+ =1 28 8)
( )
2 3 42 x =4 x− 9) 5x−2 =1 10) 25x−1=5x 11) 42x−5=16x−3 12) 32x−5 =81 3. Résoudre les inéquations suivantes
1) 72x−349 2)
3 2 2
1 1
5 25
x+ x−
3) 62x+552x+5 4) 35x−133x+5 5)
2 2 8 6
1 1
3 9
x + +x x+
6) 72x−4 9x−2 7) 47x+116x−2 8)
2 5 4 4
1 1
2 16
x + −x x+
9) 33x−128x−4
