Master 2 EADM 2012-2013 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
13/11/2012
DOSSIER Alg 4
Thème : Calcul matriciel
L’exercice proposé au candidat
Trois sortes d’images sont réparties en proportions égales dans des boîtes de céréales. Un inspecteur des fraudes, ayant observé ce qui se passait pour 1000 personnes achetant chaque semaine une boîte de céréales et voyant qu’au bout de 12 semaines, 15 personnes n’avaient que deux des trois images, a déclaré mensongère la publicité : « les images sont également réparties dans les paquets ». On se propose de vérifier si cette affirmation est vraie.
On considère donc 1 000 personnes qui, chaque semaine, achètent exactement une boîte. Au bout d’une semaine, elles auront toutes une image. L’état En du système la nième semaine est une matrice ligne Xn = (an bn cn), où an est le nombre de personnes ayant une seule sorte d’images, bn est le nombre de personnes ayant exactement deux images distinctes et cn est le nombre de personnes ayant les trois images.
Quand on a une seule image, la probabilité d’en tirer une nouvelle est 2
3 ; quand on a deux sortes d’images, la probabilité de tirer la troisième sorte est 1
3. 1. a) A quoi est égale la matrice X1 ?
b) Ecrire la matrice de transition M de cette marche aléatoire.
2. a) Soit la matrice P = (
). Calculer P-1, puis la matrice D = P-1 M P.
b) Déterminer Dn, puis Mn en fonction de n.
c) En déduire Xn en fonction de n.
3. a) Quelle est la limite de la suite de matrices (Xn) ? L’interpréter.
b) Au bout de combien de semaines peut –on considérer que toutes les personnes ont les trois images ?
La solution proposée par un élève à la question 2
a) Avec la calculatrice, on trouve : P-1 = (
) et P-1 M P=
(
)
.
b) Dn = (
( )
( ) )
. Comme M = (
)
, alors Mn = (
( )
( )
) .
Master 2 EADM 2012-2013 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
13/11/2012
On sait que les lignes de la matrice ont pour somme 1, donc c =1 - ( ) . Aussi : a + b = 1 - ( ) , et en se servant de la matrice M, on trouve : a = ( ) et b = 1 - ( ) - ( )
Donc Mn = (
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
) .
c) Puisque X1 = (1000 0 0), alors Xn = ( ( ) )
Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez la production de l’élève, en mettant en évidence ses réussites et en indiquant l’origine possible de ses éventuelles erreurs.
2. Proposez une correction de la question 3 de l’exercice telle vous l’exposeriez devant une classe de Terminale.
3. Présentez un algorithme permettant de résoudre ce problème sans l’utilisation du calcul matriciel.
4. Présentez deux exercices sur le thème « Calcul matriciel ».
