Nom :
Classe : TMATHS4 Te st n°4
Calculs matriciels Date : 07/12/2020 Note : … / 20
Avis du professeur
Capacités évaluées : Non acquis Acquis
Calculer avec des matrices.
Déterminer par le calcul l'inverse d'une matrice, lorsqu'elle existe.
Modéliser / Résoudre un problème
Exercice 1 : Sans calculatrice. … / 10
1. On donne A = et B = . Calculer 2A – 3B.
2. On donne A = , B = , C = et D = . Calculer AB, CB, DC et A
0
@2 -3 5 -1 -3 4
1 A
0
@0 6 -4 2 -3 5
1 A
µ1 -1 5 -3
¶ µ
-5 0 7 -1
¶ 0
@1 2 3 4 5 6
1
A ¡
3 2 1¢ 2
Exercice 2 : Déterminer l'inverse d'une matrice. … / 3 On considère les matrices A = et B = où , , et sont des réels.
1. Justifier que B est l'inverse de A si et seulement si , , et sont solutions du système suivant :
2. Résoudre ce système sans utiliser le calcul matriciel. En déduire la matrice A .
Exercice 3 : Modéliser … / 7
Un laboratoire en botanique étudie l'évolution d'une espèce végétale en fonction du temps.
Cette espèce compte initialement deux centaines d'individus.
Au bout de deux semaines, l'espèce végétale en compte centaines.
Au bout de trois semaines, l'espèce prolifère à centaines.
Au bout de dix semaines, on en compte centaines.
On modélise cette évolution par une fonction polynomiale donnant le nombre de centaines d'individus de l'espèce en fonction du temps écoulé en semaines.
1. Donner, sans justification, les valeurs de , et .
2. On admet que peut s'écrire sous la forme = , où , , et sont des réels . a) Justifier que = puis montrer que , et sont solutions du système suivant :
µ-2 3 4 -1
¶ µ
a b c d
¶
a b c d
8>
><
>>
:
-2a+ 3c= 1 -2b+ 3d= 0 4a¡c= 0 4b¡d = 1
-1
f(2) f(3) f(10)
f(x) f(x) ax3+bx2 +cx+d a b c d
d 2
f x
18 30,5 90
a b c d
a b c 8<
:
8a+ 4b+ 2c= 16 27a+ 9b+ 3c= 28,5 1 000a+ 100b+ 10c= 88
b) Déterminer les matrices A, X et B qui permettent d'écrire le système précédent sous la forme AX = B.
c) Sans justification, utiliser la calculatrice pour donner la matrice inverse de A puis résoudre le système en utilisant le calcul matriciel. Le détail des calculs n'est pas attendu.
3. En supposant que l'évolution suit, sur l'intervalle [ ; ] le modèle décrit par la fonction , déterminer au bout de combien de temps la quantité de l'espèce étudiée sera maximale.
0 13 f
Correction du Test n°4 Exercice 1 : Sans calculatrice.
1. On donne A = et B = . Calculer 2A – 3B.
2A – 3B = =
2. On donne A = , B = , C = et D = . Calculer AB, CB, DC et A
AB = = =
CB = = =
DC = = =
A = = =
Exercice 2 : Déterminer l'inverse d'une matrice.
On considère les matrices A = et B = où , , et sont des réels.
1. Justifier que B est l'inverse de A si et seulement si , , et sont solutions du système suivant :
B est la matrice inverse de A si et seulement si AB = I .
Or, AB = = et I =
On en déduit que , , et doivent être solutions du système suivant :
2. Résoudre ce système sans utiliser le calcul matriciel. En déduire la matrice A .
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ On en déduit : A = B =
0
@ 2 -3 5 -1 -3 4
1 A
0
@ 0 6 -4 2 -3 5
1 A
µ1 -1 5 -3
¶ µ
-5 0 7 -1
¶ 0
@ 1 2 3 4 5 6
1
A ¡
3 2 1¢ 2
µ-2 3 4 -1
¶ µ
a b c d
¶
a b c d
8>
><
>>
:
-2a+ 3c= 1 -2b+ 3d= 0 4a¡c= 0 4b¡d = 1
-1
0
@ 4¡0 -6¡18 10 + 12 -2¡6
-6 + 9 8¡15 1 A
0
@4 -24 22 -8
3 -7 1 A
µ1 -1 5 -3
¶µ-5 0 7 -1
¶ µ -5¡7 0 + 1 -25¡21 0 + 3
¶ µ-12 1 -46 3
¶
0
@1 2 3 4 5 6
1 Aµ
-5 0 7 -1
¶ 0
@-5 + 14 0¡2 -15 + 28 0¡4 -25 + 42 0¡6
1 A
0
@9 -2 13 -4 17 -6
1 A
¡3 2 1¢0
@1 2 3 4 5 6
1 A ¡
3 + 6 + 5 6 + 8 + 6¢ ¡
14 20¢
2
µ1 -1 5 -3
¶µ1 -1 5 -3
¶ µ1¡5 -1 + 3 5¡15 -5 + 9
¶ µ-4 2 -10 4
¶
µ 2
-2 3 4 -1
¶µa b c d
¶ µ-2a+ 3c -2b+ 3d 4a¡c 4b¡d
¶
2
µ1 0 0 1
¶
a b c d
8>
><
>>
:
-2a+ 3c= 1 -2b+ 3d= 0 4a¡c= 0 4b¡d = 1
a b c d
8>
><
>>
:
-2a+ 3c= 1 -2b+ 3d= 0 4a¡c= 0 4b¡d= 1
8>
><
>>
:
-2a+ 3c= 1 -2b+ 3d= 0 c= 4a d= 4b¡1
8>
><
>>
:
-2a+ 12a= 1 -2b+ 3(4b¡1) = 0 c= 4a
d= 4b¡1
8>
><
>>
:
10a= 1
-2b+ 12b¡3 = 0 c= 4a
d= 4b¡1 8>
><
>>
:
a= 0,1 10b= 3 c= 4a d= 4b¡1
8>
><
>>
:
a= 0,1 b= 0,3 c= 0,4 d= 4b¡1
8>
><
>>
:
a= 0,1 b= 0,3 c= 0,4
d= 1,2¡1 = 0,2
-1
µ0,1 0,3 0,4 0,2
¶
Exercice 3 : Modéliser
Un laboratoire en botanique étudie l'évolution d'une espèce végétale en fonction du temps.
Cette espèce compte initialement deux centaines d'individus.
Au bout de deux semaines, l'espèce végétale en compte centaines.
Au bout de trois semaines, l'espèce prolifère à centaines.
Au bout de dix semaines, on en compte centaines.
On modélise cette évolution par une fonction polynomiale donnant le nombre de centaines d'individus de l'espèce en fonction du temps écoulé en semaines.
1. Donner, sans justification, les valeurs de , et . = = =
2. On admet que peut s'écrire sous la forme = , où , , et sont des réels . a) Justifier que = et montrer que , et sont solutions du système suivant :
On sait que l'espèce végétale compte initialement deux centaines d'individus donc = .
On en déduit = . Ainsi, = . De plus :
= ⇔ = ⇔ =
= ⇔ = ⇔ =
= ⇔ = ⇔ =
On en déduit que , et sont solutions du système donné.
b) Déterminer les matrices A, X et B qui permettent d'écrire le système précédent sous la forme AX = B.
⇔ AX = B avec A = , X = et B =
c) Sans justification, utiliser la calculatrice pour donner la matrice inverse de A puis résoudre le système en utilisant le calcul matriciel. Le détail des calculs n'est pas attendu.
A = AX = B ⇔ X = A B = =
3. En supposant que l'évolution suit, sur l'intervalle [ ; ] le modèle décrit par la fonction , déterminer au bout de combien de temps la quantité de l'espèce étudiée sera maximale. Arrondir à la semaine près.
Pour répondre à cette question il faut étudier les variations de la fonction Ainsi, la fonction est définie sur [ ; ] par =
=
∆ = = = > 0
On en déduit = ≈ 9,03 et = ≈ -
est du signe de = < . On en déduit que > 0 sur [ ; ] et que < 0 sur [ ; ].
Ainsi, la fonction est croissante sur [ ; ] puis décroissante sur [ ; ].
Par conséquent, atteint son maximum au bout d'environ semaines.
18 30,5 90
f x
f(2) f(3) f(10)
f(x) f(x) ax3+bx2 +cx+d a b c d
d 2
f(2) 18 f(3) 30,5 f(10) 90
2 f(0) 2
a£03+b£02+c£0 +d d 2
8<
:
8a+ 4b+ 2c= 16 27a+ 9b+ 3c= 28,5 1 000a+ 100b+ 10c= 88
0
@ 8 4 2
27 9 3
1 000 100 10 1 A
0
@a b c
1 A
0
@ 16 28,5
88 1 A
-1
0 BB BB BB BB
@ 1 16
-1 21
1 560 -13
16 4 7
-1 112 15
8
-20 21
3 280
1 CC CC CC CC A
f(x) -0,2x3+ 2,5x2+ 3,8x+ 2
f 0 13
0 13 f
f0(x) -0,6x2+ 5x+ 3,8
25 + 2,4£3,8 34,12 b2¡4ac
f
x1
-5¡p 34,12
-1,2 -5 +p 0,7
34,12 -1,2 x2
f0(x) a -0,6 0 f0(x) 0 x1 f0(x) x1 13
f 0 x1 x1 13
f 9
a b c 8<
:
8a+ 4b+ 2c= 16 27a+ 9b+ 3c= 28,5 1 000a+ 100b+ 10c= 88
a b c
f(2) 18 a£23+b£22+c£2 + 2 18 8a+ 4b+ 2c 16
f(3) 30,5 a£33+b£32+c£3 + 2 30,5 27a+ 9b+ 3c 28,5 f(10) 90 a£103+b£102+c£10 + 2 90 1 000a+ 100b+ 10c 88
-1
0 BB BB BB BB
@ 1 16
-1 21
1 560 -13
16 4 7
-1 112 15
8
-20 21
3 280
1 CC CC CC CC A 0
@ 16 28,5
88 1 A
0
@ -0,2
2,5 3,8
1 A
