Résolution du ∂ pour les courants prolongeables définis dans un anneau

Résolution du ∂ pour les courants prolongeables définis dans un anneau

Salomon SAMBOU

Prépublication de l’Institut Fourier n^◦537 (2001)

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Introduction

SoientX une variété analytique complexe de dimensionnetΩ ⊂⊂ X un domaine rela- tivement compact à bord

C

^∞ _{deX. PosonsD}

=

X ^- Ω. Un courantT défini surD est dit prolongeable, siT est la restriction àD d’un courant Te défini surX. Supposons queX est une extensionq-convexe deΩ. On veut résoudre∂U

=

T surD, oùT est un courant prolon- geable∂-fermé. Ce problème entre donc dans le cadre généréal de la résolution du∂. On sait que pour les formes différentielles de classe

C

^∞_surD, cette équation n’a pas toujours une so- lution. Même dans le cas où l’on sait résoudre, on ignore parfois si pour une donnée de classe

C

^∞jusqu’au bord, on a une solution

C

^∞jusqu’au bord. D’après l’isomorphisme de Dolbeault si le∂admet une solution pour les formes différentielles de classe

C

^∞_∂-fermées surD, alors il admet une solution pour les courants∂-fermés surD. Les courants prolongeables sont pour les courants ce que les formes différentielles de classe

C

^∞définies jusqu’au bord sont pour les formes différentielles de classe

C

^∞définies dans un domaine. Il est donc naturel de se deman- der siT est un courant prolongeable∂-fermé surD, il existe un courant prolongeableU défini surD, solution de∂U

=

T. Ce problème a déjà été étudié dans [13] dans le cas d’un domaine complètement strictementq-convexe à bord

C

^∞_.

Sous l’hypothèse

◦

D

=

D, on sait d’après [11] que l’espace ˇ

D

^0p,r

D (X)des courants prolon- geables de bidegré(p,r) définis surD est le dual topologique de l’espace

D

^n−p,n−r_(D)des (n − p,n − r)-formes différentielles de classe

C

^∞, à support compact dansD. On va donc comme dans [13] résoudre le∂avec conditions de support et obtenir par dualité la résolution du∂pour les courants prolongeables. Mais contrairement au cas convexe,

D

^n−p,n−r_(D)n’est pas un espace de Fréchet mais simplement une limite inductive d’espaces de Fréchet, d’où des difficultés à appliquer le théorème de l’application ouverte. Grâce à des artifices d’analyse

Math. classification: 32F10, 32F20.

Keywords: Courants prolongeables, équation de Cauchy-Riemann, domaine complètement strictementq-convexe, extensionq-convexe etq-concave généralisée.

fonctionnelle, on parvient à surmonter ce problème pour prouver le théorème suivant : T. — Soient X une variété de Stein de dimension n,Ω⊂⊂X un domaine relative- ment compact à bord

C

^∞de X tels que X soit une extension q-convexe deΩ,1 q n−1.

Alors

i) Pour1 r q et r n−2,

∂

D

ˇ^0p,r−1

X ^Ω (X)

= D

^ˇ0p,r

X ^Ω(X)∩ker∂. ii) Si q

=

n−1,

∂

D

ˇ^0p,n−2

X Ω (X)

=

ⁿT ∈

D

ˇ^0p,n−1

X Ω (X)| hT ,ϕi

=

0,∀ϕ∈

D

^n−p,1_(X

- Ω)∩ker∂o . Ce théorème est pour les courants prolongeables l’analogue du corollaire 2.2.13 de [8] sur les formes différentielles définies jusqu’au bord dans un anneau localq-concave.

Notons ˇH^p,r(D) respectivement H^p,r (D) le (p,r)^ième groupe de cohomologie de Dolbeault des courants prolongeables respectivement des courants. On a comme conséquence du théorème 4.1 de [13] et du théorème ci-dessus, les relations entre ˇH^p,r(D)etH^p,r (D)sui- vantes :

T. — Soient X une variété analytique complexe de dimension n et D un domaine à bord

C

^∞de X . Supposons que :

a) bD est strictement q-concave,1 q n−1, alors l’application induite par restriction : ˇ

S

_{: ˇH}^0,r_(D) -→ H^0,r (D) est un isomorphisme pour0 r q−1 et

S

ˇ _{: ˇH}^0,q_(D) -→ H^0,q (D), est injective.

b) bD est strictement q-convexe,1 q n−1, l’application induite par restriction : ˇ

S

_{: ˇH}^0,r_(D) -→H^0,r (D) est un isomorphisme si r>n−q et

S

ˇ _{: ˇH}^0,n−q_(D) -→H^0,n−q(D) est surjective.

La partieb)du théorème a été démontrée dans [9], théorème 3.13 pour un domaine à bord

C

^∞par morceaux.

SiH_∞^0,r(D)respectivementH_∞^0,r(D)désigne le(0,r)-ième groupe de cohomologie de Dol- beault pour les formes différentielles de classe

C

^∞_surDrespectivement surD, on a sous les hypothèses du théorème ci-dessus les mêmes conclusions pour l’application induite par res- triction

S

_:H^0,r

∞ (D)→H_∞^0,r(D).

On applique ces différentes relations entre groupe de cohomologie à l’étude de l’isomor- phisme de Dolbeault dans les hypersurfaces réelles. On sait que pour une variété analytique complexeX, l’application naturelle entre leH∞^p,r(X)etH^p,r (X)est un isomorphisme. Dans le cas d’une hypersurface réelleSdeX, à cause de l’absence du lemme de Poincaré pour le∂_S

dans les degrés intermédiaires, l’application naturelle entreH∞^p,r(S)etH^p,r (S)semble ne pas être toujours un isomorphisme. On montre :

T. — Soient X une variété analytique complexe de dimension n et S une hypersur- face réelle de classe

C

^∞de X . Si la forme de Lévi de S admet en chaque point de S :

i) q valeurs propres de même signe q ⁿ⁺₂¹, l’application naturelle de H∞^0,r(S)→H^0,r (S) est surjective si n−q r q−1, et H_∞^0,r(S)→H^0,r (S)est injective si n−q

+

1 r q.

ii) q paires de valeurs propres de signe contraire,1 q ⁿ⁻₂¹, l’application naturelle de H_∞^0,r(S)→H^0,r (S)est un isomorphisme si0 r q−1et n−q

+

1 r n−1,

H_∞^0,q(S) ^-→ H^0,q (S) est injective et H_∞^0,n−q(S) ^-→ H^0,n−q(S) est surjective.

Le casii)correspond au cas de la codimension 1 dans [9]. Ces résultats ont été annoncés dans [14].

1. Préliminaires

N1.1. — SoientX une variété analytique complexe de dimensionnetΩ ⊂⊂ X un domaine deX. PosonsD

=

X ^- Ω). On note

D

^p,r_(X

- Ω)l’espace des(p,r)-formes diffé- rentielles de classeC^∞surX et à support compact dansX ^- Ω. On munit

D

^p,r_(X - Ω)de sa topologie usuelle de limite inductive d’espace de Fréchet. ˇ

D

^0p,r

D (X)désigne l’espace des cou- rants de bidegré(p,r)dansDprolongeables àX. D’après [11], si

◦

D

=

D, alors ˇ

D

⁰_D^p,r_{(X)est le} dual topologique de

D

^n−p,n−r_(X - Ω).

D1.2. — Une fonctionρde classe

C

^∞_{surX est dite}q-convexe, 1 q n, si sa forme de Lévi possède au moinsqvaleurs propres strictement positives.ρest diteq-concave si−ρestq-convexe.

D1.3. — SoientX une variété analytique complexe de dimensionnetΩ ⊂⊂ X un domaine relativement compact deX.Ωest complètement strictementq-convexe, 0 q n−1, s’il existe une fonctionϕ(q

+

1)-convexe, définie dans un voisinageU_ΩdeΩtelle que Ω

=

{z ∈U_Ω |_ϕ(z)<0}.

S’il existe une fonctionϕqui est(q

+

1)-convexe dans un voisinageU_bΩdu bord deΩ, telle queΩ∩U_bΩ

=

{z∈U_bΩ |ϕ(z)<0}, on dit alors queΩest strictementq-convexe.

X est une extensionq-convexe deΩ, 0 q n−1, s’il existe une fonctionϕ(q

+

1)- convexe, définie sur un voisinageU deX ^- Ωtelle queΩ∩U

=

{z ∈U | ϕ(z) <0}et pour tout réelα, 0<α< sup

z∈U

ϕ(z), l’ensemble{z∈U |0 ϕ(z) α}est compact.

R1. — Puisque siU est un voisinage deX ^- Ω,U est aussi un voisinage du bord bΩdeΩ, alors siX est une extensionq-convexe deΩ,Ωest stricementq-convexe.

2. Résolution du ^∂ avec conditions de support

Nous allons d’abord résoudre le∂pour les formes différentielles appartenant à

D

^p,r_(X- Ω). T1. — Soient X une variété de Stein de dimension n etΩ⊂⊂X un domaine rela- tivement compact à bord

C

^∞de X tel que X soit une extension q-convexe deΩ,1 q n−1.

Alors,

i) si n−q

+

1 r n−1,∂

D

^p,r−1_(X - Ω)

= D

^p,r_(X - Ω)∩ _∂. ii) ∂

D

^p,n−1_(X - Ω)est fermé dans

D

^p,n_(X - Ω).

iii) si r

=

n−q et q n−2, soit f ∈

D

^p,n−q_(X - Ω)∩ _∂, alors pour toutε>0et tout

`∈^N, il existe gε∈

D

^p,n−q−1_{(X)tels que∂gε}

=

f et|gε|_{`,Ω</sub><ε, où| |<sub>`,Ω} <ε, où| |<sub>`,Ω</sub>désigne la norme C<sup>`</sup>surΩ.

Démonstration.

i) Soit f ∈

D

^p,r_(X - Ω)∩ ∂, f ∈

D

^p,r_(X)∩ ∂. PuisqueX est de Stein, il existe h∈

D

^p,r−1_{(X), 1 r n−}1, telle que∂h

=

f surX. CommeX est une extensionq-convexe deΩ,Ωest strictementq-convexe dans une variété de Stein, donc complètement strictement q-convexe, cf. [3], théorème 5.14.

Puisque 2 n−q

+

1 r, c’est-à-dire 1 n−q r−1 et∂h

=

0 surΩcomplètement strictementq-convexe, il existe (cf. [10], théorème 2) une(p,r −2)-forme différentielle de classe

C

^∞_{θsurΩtelle que∂θ}

=

hsurΩ. Soiteθune extension

C

^∞à support compact dansX deθ,u

=

h−∂θeconvient.

ii) Pour montrer que∂

D

^p,n−1_(X - Ω)est fermé dans

D

^p,n_(X - Ω), il suffit de montrer que :

∂

D

^p,n−1_(X - Ω)

=

f ∈

D

^p,n_(X - Ω)|

X

f ∧g

=

0, pour toute(n−p)-formeg holomorphe dans X . D’après le théorème de Stokes,

∂

D

^p,n−1_(X - Ω)⊂f ∈

D

^p,n_(X - Ω)|

X

f ∧g

=

0, pour toute(n−p)-formeg holomorphe dans X .

Soit f ∈

D

^p,n_(X - Ω)telle que _X f ∧g

=

0, pour toute(n− p)-formegholomorphe dans X. D’après la proposition 20.2 de [3] et la régularité du∂, cf. [7], chapitre 5, corollaire 4.5, il existeh ∈

D

^p,n−1_{(X) telle que∂h}

=

f. On termine alors comme dansi). Par conséquent

f ∈∂

D

^p,n−1_(X

- Ω), d’où l’inclusion dans l’autre sens, ce qui donne l’égalité.

iii) Si f ∈

D

^p,n−q_(X - Ω)∩ ∂, alors f ∈

D

^p,n−q_(X)∩ ∂. Il existeh∈

D

^p,n−q−1_(X) telle que :

∂h

=

f sur X .

∂h

=

0 surΩethest une(p,n −q −1)-forme différentielle∂-fermée surΩ. On ne sait pas résoudre∂U

=

hdansΩ.

Pour compléter iii)nous allons utiliser le lemme ci-dessous qui est une version

C

^∞ _du théorème 12.11 de [3].

L2.1. — Soient X une variété analytique complexe de dimension n et D ⊂⊂ X un domaine strictement q-convexe tel que X soit une extension q-convexe de D,0 q n−1. Alors pour tous n−q−1 r n et`∈<sup>N</sup>, l’image de l’application restriction de Z<sub>0,r</sub><sup>`</sup> (X)→Z_0,r<sup>`</sup> (D) est dense pour la norme| · |<sub>`,D</sub>.

Démonstration du lemme. — Elle est analogue à celle du théorème 12.11 de [3], où les résultats locaux avec estimations uniformes de Henkin et Leiterer sont remplacés par des ré- sultats locaux correspondants avec estimationsc^`de Lieb et Range [10].

D’après le lemme 2.1, il existe une famille (ϕε)_ε>0 de formes différentielles dans X, ∂- fermées qui convergent vers h_|Ω pour la topologie de la convergence uniforme des formes différentielles et de leurs dérivées d’ordre inférieur ou égal à`surΩ. Puisqueq n −2, il existe une famille(ψε)_ε>0de(p,n−q−2)formes différentielles de classe

C

^∞_{surX telles que}

∂ψε

=

ϕεsurX.

Soitχune fonction dans

C

^∞_(X) à support compact dansX qui vaut 1 dansΩ. Posons θε

=

χψεetgε

=

h−∂θε. f

=

∂gε,gεest une(p,n−q −1)forme différentielle à support compact dansX avec|gε|_`,Ω<ε.

Notons que pour les assertionsi)etii)il suffit que D soit complètement strictementq- convexe. Le fait queX soit une extensionq-convexe deDne sert que pouriii).

R2. — Le théorème 1 reste vrai sous les hypothèses légèrement plus faibles sui- vantes :X est une variété analytique complexe de dimensionn etΩ ⊂⊂ X est un domaine relativement compact à bord

C

^∞_deX. On suppose queX est une extensionq-convexe deΩ et qu’il existe un ouvert de SteinU tel queΩ⊂⊂U ⊂X.

3. Résolution du ^∂ pour les courants prolongeables

Comme conséquence de la résolution à support compact et de la dualité entre ˇ

D

^0p,r

D (X)et

D

^n−p,n−r_(X - Ω), nous avons le théorème suivant :

T2. — Soient X une variété de Stein de dimension n,Ω⊂⊂X un domaine relati- vement compact à bord

C

^∞de X tels que X soit une extension q-convexe deΩ,1 q n−1.

Alors,

i) Pour1 r q et r n−2,

∂

D

ˇ^0p,r−1

X Ω (X)

= D

^ˇ0p,r

X Ω(X)∩ ∂.

ii) Si q

=

n−1,

∂

D

ˇ^0p,n−2

X Ω (X)

=

ⁿT ∈

D

ˇ^0p,n−1

X Ω (X)| hT ,ϕi

=

0, ∀ϕ∈

D

^n−p,1_(X - Ω)∩ ∂o .

Pour faire la démonstration du théorème, on a besoin de deux lemmes :

L3.1. — Sous les hypothèses de la remarque 2, soit K un compact d’intérieur non vide de U ^- Ω. Si T est un courant de bidegré(p,r)sur U ^- Ω,∂-fermé et prolongeable à U , il existe un courant S^(K)défini dans U ^- Ωprolongeable à U tel que∂S^(K)

=

T dansK , pour^◦ 1 r q et r n−2.

Si q

=

n−1pour tout T ∈F ∈

D

ˇ^0p,n−1

U Ω (U)| hF ,ϕi

=

0,∀ϕ∈

D

^n−p,1_(U - Ω)∩ker∂ , il existe un courant S^(K)défini dans U ^- Ωprolongeable à U tel que∂S^(K)

=

T dansK .^◦

Démonstration du lemme. — D’après la remarque 2,∂

D

^n−p,n−r_(U - Ω)est fermé dans

D

^{n−p,n−r+1}_(U

- Ω)pour 2 n−q

+

1 n−r

+

1 n, c’est-à-dire 1 r q.

Donc si 1 r q, pour un compactK deU ^- Ω, notons

D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^- Ω)le sous- espace des formes différentielles appartenant à

D

^{n−p,n−r+1}_(U - Ω)et qui ont leur support dansK.

D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^- Ω)∩∂

D

^n−p,n−r_(U - Ω)est fermé dans

D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^- Ω)qui est un espace de Fréchet, c’est donc un espace de Fréchet.

D

^{n−p,n−r+1}

K (U^- Ω)∩_∂

D

^n−p,n−r_(U- Ω)

=

^S

ν∈N

D

^{n−p,n−r+1}

K (U^- Ω)∩_∂

D

^n−p,n−r

Kν (U^- Ω)

; où(Kν)_ν∈Nest une suite exhaustive de compacts deU ^- Ω. Il existeν₀tel que

D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^-

Ω)∩∂

D

^n−p,n−r

Kν0 (U^- Ω)soit de deuxième catégorie de Baire. L’opérateur∂est alors un opérateur fermé de domaine de définition_ϕ∈

D

^n−p,n−r

Kν0 (U ^- Ω)|∂ϕ∈

D

^{n−p,n−r+1}

K (U^- Ω) entre les espaces de Fréchet

D

^n−p,n−r

Kν0 (U ^- Ω)et

D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^- Ω)∩∂

D

^n−p,n−r_(U - Ω)dont l’image est de seconde catégorie de Baire. Le théorème de l’application ouverte implique alors que cet opérateur est surjectif et ouvert. Donc

∂

D

^n−p,n−r

Kν0 (U ^- Ω)∩

D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^- Ω)

= D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^- Ω)∩∂

D

^n−p,n−r_(U - Ω). PosonsKe

=

Kν₀. L’application

L^K_T :

D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^- Ω)∩∂

D

^n−p,n−r

Ke (U ^- Ω) ^-→^C

∂ϕ -→ hT ,ϕi

est bien définie. En effet, si∂ϕ

=

∂ϕ⁰, on a∂(ϕ−ϕ⁰)

=

0.ϕ−ϕ⁰est une(n−p,n−r)forme différentielle,∂-fermée à support compact dansKe, en particulier dansU ^- Ω.

∗ Sir q−1, d’aprèsi)du théorème 1 et la remarque 2, il existeθ ∈

D

^{n−p,n−r−1}_(U -

Ω)tel queϕ−ϕ⁰

=

∂θcarn− r n− q

+

1. Par densité de

D

^{n−p,n−r−1}_(U - Ω)dans

D

^{n−p,n−r−1}_(U - Ω), il existe une suite(_θj)_j∈Nd’éléments de

D

^{n−p,n−r−1}_(U - Ω)qui conver- gent uniformément versθdans

D

^{n−p,n−r−1}_(U - Ω)et par conséquenthT ,ϕi

=

hT ,ϕ⁰i

+

hT ,∂θi

=

hT ,ϕ⁰icarT étant∂-fermé,hT ,∂θi

=

lim

j^→+∞hT ,∂θ_ji

=

0. Donc L^K_T(_∂ϕ)

=

L^K_T(_∂ϕ⁰).

∗∗ Sir

=

qetr n−2, soitTe une extension deT àU.∂Te est un courant à support compact surΩ, donc∂Teest d’ordre fini`. Puisqueϕ−ϕ⁰ ∈

D

^n−p,n−q_(U

- Ω)∩ ∂pour toutε > 0, on a d’aprèsiii)du théorème 1 et la remarque 2, une(n − p,n −q −1)forme différentiellehεde classe

C

^∞à support compact dansUtelle queϕ−ϕ⁰

=

∂hεet|hε|_`,Ω ε.

|hT ,e ∂hεi|

=

|h∂T ,he εi| c|hε|_`,Ω. Donc|hT ,e ∂hεi| ^-→

ε→00, d’oùhT ,ϕi

=

hT ,ϕ⁰i, ainsiL^K_T(∂ϕ)

=

L^K_T(∂ϕ⁰).

∗ ∗ ∗ Siq

=

n−1 etT ∈F ∈

D

ˇ^0p,n−1

U Ω (U)| hF ,ϕi

=

0,∀ϕ∈

D

^n−p,1_(U - Ω)∩ ∂ , ϕ−ϕ⁰ ∈

D

^n−p,1_(U

- Ω)∩ ∂et d’après l’hypothèse surT,hT ,ϕ−ϕ⁰i

=

0. D’oùL^K_T(∂ϕ)

=

L^K_T(∂ϕ⁰).

L’applicationL^K_T est linéaire, mais également continue comme composée de deux applica- tions continues :

T :

D

^n−p,n−r

e

K (U ^- Ω) ^-→^C

et

δ:

D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^- Ω)∩∂

D

^n−p,n−r

Ke (U ^- Ω) ^-→

D

^n−p,n−r

Ke (U ^- Ω)

qui vérifie∂◦δ

=

I et qui est obtenue par application du théorème de l’application ouverte appliqué à

∂:_ϕ∈

D

^n−p,n−r

e

K (U ^- Ω)|∂ϕ∈

D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^- Ω) ⊂

D

^n−p,n−r

e

K (U ^- Ω)

-→

D

^{n−p,n−r+1}

K (U ^- Ω)∩∂

D

^n−p,n−r

e

K (U ^- Ω).

D’après le théorème de Hahn-Banach, on peut étendreL_T^K à une applicationLe^K_T :

D

^{n−p,n−r+1} (U ^- Ω) → ^Cqui est linéaire et continue. DoncLe_T^K est un courant prolongeable défini dans U ^- Ωet∂Le_T^K

=

(−1)^p+rT surK^◦car si ϕ⊂K,∂ϕ∈

D

^{n−p,n−r+1}

K ((U ^- Ω)ethLe^K_T,∂ϕi

=

(−1)^p+rhT ,ϕi. On poseS^(K)

=

(−1)^p+rLe_T^K.

L3.2. — Sous les hypothèses du théorème 2, soient K1, K2, K3trois compacts d’intérieur non vide tels queK^◦1 ⊂⊂ K^◦2 ⊂⊂ K et^◦ K^◦i∪Ω

=

z ∈ X ^- ρ(z) < η_i ,i

=

1,2,3, oùρest une fonction d’exhaustion strictement plurisousharmonique qui existe du fait que X est de Stein. Soit T un courant prolongeable sur X ^- Ωtel qu’il existe S₂et S₃deux(p,r−1)courants définis sur K◦2etK^◦3et prolongeables à X tels que, pour tout indice i

=

2,3,∂S_i

=

T surK^◦iet soitε>0, alors il existe un courant prolongeableSe₃défini surK^◦3tel que :∂Se₃

=

T surK^◦3et

i) Se3_K^◦₁

=

S2_K^◦₁si2 r q ;

ii) |hSe₃−S₂,ϕi|<ε|ϕ|_0,K1, pour touteϕ∈

D

^n−p,n_(K^◦_{1∪bΩ)si r}

=

1.

Démonstration du lemme.

i) Comme∂S₂

=

T surK^◦2et∂S₃

=

T surK^◦3,∂(S₂−S₃)

=

0 surK^◦2. Puisque surK^◦2, on peut résoudre le∂pour les formes différentielles à support compact dansK^◦2∪bΩde bidegré(p,r) avec 2 n−q

+

1 r n−1 et∂

D

^n−p,n−1₍

K◦2∪bΩ)est fermé dans

D

^n−p,n₍

K◦2∪bΩ), cf. Remarque 2, on a d’après le lemme 3.1 et pourK un compact tel queK^◦1 ⊂⊂ K ⊂⊂ K^◦2un courantS^(K)surK^◦prolongeable àK^◦2∪Ωtel queS₂−S₃

=

∂S^(K)surK^◦.

Soientχune fonction dans

C

^∞_(X)à support compact dansK^◦∪Ωqui vaut 1 dansK₁ et Se^(K)une extension deS^(K)àX

S₃

+

∂(χSe^(K))

=

S₂−∂((1−χ)Se^(K)) sur K^◦1. On pose

Se₃

=

S₃

+

∂(χSe^K).

ii) Sir

=

1, comme∂S₂

=

T surK^◦2et∂S₃

=

T surK^◦3,∂(S₂−S₃)

=

0 surK^◦2. Il existeθune p-forme holomorphe surK^◦2telle queS3−S2

=

θsurK^◦2.

K◦2∪Ωest une variété de Stein,Ωest un compact deK^◦2∪ΩetK^◦2

=

(K^◦2∪Ω)^- Ωest connexe.

Par le phénomène de Hartogs, toutep-forme holomorphe surK^◦2se prolonge holomorphique- ment àK^◦2∪Ω. Soitθeun tel prolongement deθàK^◦2∪Ω. Il existe alors, cf. [5], théorème 5.2.8, une suite(_θj)_j∈Nde p-formes holomorphes dansK^◦3∪Ωqui convergent uniformément vers θesurK1∪Ω. Il existe j0tel que sup

K₁∪Ω

|θ_j0−θe|<ε. PosonsSe3

=

S3−θ_j0, on a|hSe3−S2,ϕi| ε sup

K₁∪Ω

|ϕ|, pour toutϕ∈

D

^n−p,n_(K^◦_1∪bΩ). Démonstration du théorème. — Considérons une suite exhaustive(K_j)_j∈Nde compacts deX ^- Ω. Supposons queK^◦j∪Ω

=

z ∈ X | ρ(z) < η_j où(η_j)_j∈Nsont des réels tels que η_j < η_j+1etρest une fonction d’exhaustion strictement plurisousharmonique deX. Pour 2 r q, on associe à(K_j)_j∈Ngrâce aux lemmes 3.1 et 3.2 une suite de courants(S_j)_j∈N définis dansKj et prolongeables àX telle que∂Sj

=

T surK^◦jet si j, j

+

1, j

+

2 sont trois indices consécutifs,Sj+2

=

Sj+1surK^◦j.

La suite(S_j)_j∈Nconverge vers un courantSdéfini surX ^- Ωet prolongeable. De plus,S est solution de l’équation∂U

=

T dansX ^- Ω.

Pourr

=

1, soitε > 0, il existe d’après les lemmes 3.1 et 3.2, une solutionSe3de∂S

=

T dansK^◦3, une solutionS₂de∂S

=

T dansK^◦2telles que|hSe₃−S₂,ϕi| _ε|_ϕ|_0,K1, pour toute ϕ ∈

D

^n−p,n₍

K◦1∪ bΩ). On construit ainsi une suite(Se_j)_j∈Nde courants définis surK^◦j et prolongeables àX tels que si j, j

+

1, j

+

2 sont trois indices consécutifs,|hSej+2−Sej+1,ϕi|<

ε

2^j|ϕ|_0,Kj pour touteϕ∈

D

^n−p,n_(K^◦_j∪bΩ). La suite(Se_j)_j∈Nest une suite de Cauchy pour la topologie faible. En effet, soitϕ∈

D

^n−p,n_(X - Ω), il existeN ∈^Ntel que ϕ⊂K^◦N ∪bΩ et pour toutm>N etp>0

|hSe_m+p−Se_m,ϕi| _ε

2^m−1

+

· · ·

+

^ε 2^m+p−1

|ϕ|_0,KN ,

par conséquenthSe_m+p−Se_m,ϕi ^-→

m→+∞ 0. Donc(Se_j)_j∈Nconverge faiblement versS.Sest li- néaire. En effet, soientϕ,ψ∈

D

^n−p,n_(X

- Ω).ϕ

+

ψ∈

D

^n−p,n_(X

- Ω). Il existeKNtel que

ϕ, ψ, (ϕ

+

ψ)soient inclus dansKN. hS,ϕ

+

ψi

=

lim

j>NhS_j,ϕ

+

ψi

=

lim

j>NhS_j,ϕi

+

lim

j>NhS_j,ψi

=

hS,ϕi

+

hS,ψi. Soit(ϕν)_ν∈Nune suite d’éléments de

D

^n−p,n_(X - Ω)avecϕν -→

ν→+∞0 dans

D

^n−p,n_(X - Ω). Il existe un compactKN tel que pour toutν, ϕν⊂KN.|hS,ϕνi|

=

|limj>NhSj,ϕνi|et

|hS_j,ϕνi| ε j−1

k=N

1

2^k|ϕν|_0,KN

+

|hS_N+1,ϕνi|. SN+1est un courant donchSN+1,ϕνi ^-→

ν→+∞0 et par hypothèseϕν -→

ν→+∞0, donc|ϕν|_0,KN ^-→

ν→+∞

0. D’oùhSj,ϕνi ^-→

ν→+∞0.Sest alors continu et est un courant prolongeable solution de l’équa- tion∂U

=

T dansX ^- Ω.

4. Invariance de la cohomologie pour les extensions q -concaves et q-convexes

Soient X une variété analytique complexe de dimension n etD un domaine de X. On noteH∞^p,r(D)respectivementH^p,r (D)le(p,r)^ièmegroupe de cohomologie de Dolbeault des formes différentielles de classe

C

^∞_dansDrespectivement des courants dansD.

Si ˇZ^p,r(D)désigne l’espace des courants de bidegré(p,r)surDprolongeables,∂-fermés et Eˇ^p,r(D)

=

∂

D

ˇ^0p,r−1

D (X), alors on note

Hˇ^p,r(D)

=

^Zˇp,r(D) Eˇ^p,r(D) ,

le(p,r)^ièmegroupe de cohomologie de Dolbeault des courants prolongeables définis surD.

Nous étudions dans ce paragraphe l’injectivité et la surjectivité de l’application induite par restriction :

ˇ

S

_{: ˇH}^0,r_(D) -→H^0,r (D).

D4.1. — Un domaineD ⊂ X est dit à bord strictementq-convexe, respective- mentq-concave, si :

i) bDrencontre toutes les composantes connexes deX.

ii) Il existe un voisinageUdebD, une fonctionρ:U →^R,(q

+

1)-convexe, respectivement (q

+

1)-concave, tels que

D∩U

=

z ∈U |ρ(z)<0 .

X est dit extensionq-convexe généralisée, respectivementq-concave généralisée, deDsi : 1) Drencontre toutes les composantes connexes deX.

2) Il existe une applicationρ:[0,

+

∞[×U →^RoùU est un voisinage deX ^- Dtelle que :

a) Pour toutt ∈[0,

+

∞[,ρ(t ,·)est(q

+

1)-convexe, respectivement(q

+

1)-concave.

b) Pour toutz∈U,ρ(·,z)est une fonction décroissante.

c) L’applicationt →ρ(t ,·)est continue de[0,

+

∞[dans

C

^∞_{(U ,}R).

d)D∩U

=

{z ∈U | ρ(0,z) < 0}et pour toutt > 0,{z ∈ U | ρ(t ,z)< 0} ∩ Dest relativement compact dansX.

SoitGun domaine deX. Supposons queGest une extensionq-concave généralisée deD, 1 q n−1. On a d’après [6] les résultats suivants : l’application induite par restriction

S

_:H^0,r

∞ (G)→H_∞^0,r(D)est un isomorphisme pour 0 r q−1, (théorème 1.1.3).

S

_:H∞^0,q_(G)→H∞^0,q_(D)est injective, (théorème 1.1.4).

De plus, pour tout domaine Ω de X, l’application naturelle de H_∞^0,r(Ω) → H^0,r (Ω), 0 r n, est un isomorphisme appelé isomorphisme de Dolbeault. On en déduit l’équivalent pour les courants de l’invariance de la cohomologie pour les extensionsq-concaves suivant : l’application induite par restriction

S

⁰ _:H^0,r _(G)→H^0,r _(D)est un isomorphisme pour 0 r q−1 ,

S

⁰ _:H^0,q _(G)→H^0,q _(D), est injective.

Dans le cas convexe, on a l’analogue suivant du lemme 1.1.2 de [6].

L4.2. — Soitρ:[0,

+

∞[×X →^Rune application vérifiant les propriétés suivantes : a) Pour tout t ∈[0,

+

∞[,ρ(t ,·)est(q

+

1)-convexe.

b) Pour tout z∈X ,ρ(·,z)est une fonction décroissante.

c) L’application t →ρ(t ,·)est continue de[0,

+

∞[dans

C

^∞_{(X ,}R).

d) ρn’a pas de point critique dégénéré.

Posons Dα

=

{z ∈ X | ρ(α,z) < 0}pour toutα∈ ^Ret on suppose qu’il existeα₀tel que α< α₀,α⁰ < α₀,α⁰ < αet Dα ^- Dα⁰, est relativement compact dans X . Il existe alors un réel ε > 0tel que pour toutα,βvérifiant0 α β ε, il existe un nombre fini de domaines (Ai)^N_i=0tels que : Dα

=

A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ AN

=

Dβet pour tout j,1 j N , Ajse déduit de Aj−1à l’aide d’un élément d’extension q-convexe de X .

Démonstration. — Elle est identique à celle de [6], on définitA_k par

A_k

=

z∈X |ρ(α,z)− ρ(β,z)−ρ(α,z) ^k

j=1 χ_j <0

oùχ_jest comme dans la preuve du lemme 12.3 de [3].

En utilisant le lemme 4.2, le lemme 12.4 de [3] et en procédant comme dans le paragraphe 12 de [3], on a

T3. — Soient X une variété analytique complexe de dimension n, q un entier,0 q n−1et D un domaine de X . On suppose que X est une extension q-convexe généralisée de D. Alors l’application induite par restriction :

S

_:H^0,r

∞ (X) ^-→H_∞^0,r(D) est un isomorphisme si r >n−q et

S

_:H^0,n−q

∞ (X) ^-→H_∞^0,n−q(D), est surjective.

Si D est relativement compact, alors

S

_:H∞^0,n−q_(X)→H∞^0,n−q_(D), est en plus injective.

Dans le cas compact le théorème 3 correspond au théorème 12.14 de [3].

T4. — Soient X une variété analytique complexe de dimension n, D un domaine à bord bD

C

^∞de X . Supposons que :

a) bD est strictement q-concave,1 q n−1, alors l’application induite par restriction : ˇ

S

_{: ˇH}^0,r_(D) -→H^0,r (D) est un isomorphisme pour0 r q−1 et

S

ˇ _{: ˇH}^0,q_(D) -→H^0,q (D), 1 q n−1, est injective.

b) bD est strictement q-convexe,1 q n−1, l’application induite par restriction ˇ

S

_{: ˇH}^0,r_(D) -→H^0,r (D) est un isomorphisme si r >n−q et

S

ˇ _{: ˇH}^0,n−q_(D) -→H^0,n−q(D) est surjective.

Si de plus D est relativement compact, on a :

S

ˇ _{: ˇH}^0,n−q_(D) -→ H^0,n−q(D)qui est en plus injective.

Démonstration.

a) Soientρune fonction définissante deDet(Kν)_ν∈Nune suite exhaustive de compacts deX. Considérons une fonctionχ₁ ∈

D

_(X)à support dansK^◦2qui vaut 1 dansK1. Il existet1 >0 tel queρ₁

=

ρ−t₁χ₁soit(q

+

1)-concave dans un voisinage de{ρ₁

=

0}.

PosonsD₁

=

D∪{ρ₁ <0}.D₁est un domaine deX à bord

C

^∞strictementq-concave.D₁^- D

=

{0 ρ <t1χ₁}est relativement compact etD1est une extensionq-concave généralisée deD.

Soitχ₂ ∈

D

_(X)à support dansK^◦3qui vaut 1 dansK₂. Il existet₂>0 tel queρ₂

=

ρ₁−t₂χ₂ soit(q

+

1)-concave dans un voisinage de{ρ₂

=

0}.D2

=

D1∪ {ρ₂<0}est un domaine à bord

C

^∞strictementq-concave,D2^- D1

=

{0 ρ₁ <t2χ₂}est relativement compact etD2est une extensionq-concave généralisée deD₁. On construit ainsi une suite de domaines(Dν)_ν∈Navec D0

=

D,Dν ⊂Dν+1,Dν+1^- Dνest relativement compact etDν+1est une extensionq-concave généralisée deDν·De

=

^S

ν∈NDν ⊃Det est une extensionq-concave généralisée deD.

•Surjectivité de

S

ˇ _{: ˇH}^0,r_(D)→H^0,r _{(D), 0 r q−1.}