Exercices corrigés d algèbre bilinéaire

(1)

Exercices corrigés d’algèbre bilinéaire

1. Espaces préhilbertiens.

2. Espaces euclidiens, généralités.

3. Endomorphismes orthogonaux.

4. Endomorphismes symétriques.

5. Endomorphismes symétriques positifs.

6. Endomorphismes antisymétriques.

7. Endomorphismes normaux.

8. Applications linéaires.

9. Espaces hermitiens.

10. Formes quadratiques.

Pierre-Jean Hormière __________

« Pépé, tu viens ? Tu vas me lire une bande dessinée. Laisse tes maths tranquilles, elles vont se faire toutes seules ! »

Romain, 18 août 2011 Sont ici regroupés, par familles, des exercices d’algèbre bilinéaire. Ils couvrent divers chapitres :

• Le § 1 porte sur les espaces préhilbertiens réels et complexes,

• Les § 2 à 8 portent sur les espaces euclidiens,

• Le § 9 propose quelques exercices sur les espaces hermitiens,

• Le § 10 porte sur les formes quadratiques.

Ces deux derniers chapitres ont été fortement allégés.

Les exercices signalés par

∗

sont des classiques, les exercices signalés par des ¶ sont difficiles.

Ce document est inachevé. Je le mets en ligne en l’état.

___________

1. Espaces préhilbertiens.

1.1. Produits scalaires.

Exercice 1 : Soient E un K-espace vectoriel, Φ une f.b.s. si K = R, une f.s.h. si K = C.

Montrer que si (∀x ∈ E) Φ(x, x) = 0 , alors Φ = 0.

Solution : Cela se déduit aussitôt des identités dites de polarisation, qui sont distinctes dans les cas réel et complexe. Mais cela peut aussi s’établir directement, par dédoublement des variables.

Ecrivons que Φ(x + λy, x + λy) = 0 pour tous x, y et λ. Développons : |λ|²Φ(y, y) + 2 Re(λ.Φ(x, y)) + Φ(x, x) = 0 autrement dit : Re(λ.Φ(x, y)) = 0.

Prenons λ = Φ(y, x). Il vient | Φ(x, y) |² = 0 , donc Φ(x, y) = 0.

Exercice 2 : Soient E un C-espace vectoriel, Φ une forme sesquilinéaire sur E.

Montrer que Φ est hermitienne si et seulement si ∀x ∈ E Φ(x, x) ∈ R .

(2)

Solution : Si Φ est hermitienne, Φ(x, x) est autoconjugué, donc réel.

Soit Φ une forme sesquilinéaire sur E telle que ∀x ∈ E Φ(x, x) ∈ R .

Il s’agit de montrer que ∀(x, y) ∈ E×E Φ(x, y) = Φ( xy, ) . Posons Ψ(x, y) = Φ( xy, ).

Ψ est une forme sesquilinéaire, et Ξ = i (Φ−Ψ) est sesquilinéaire hermitienne, telle que pour tout x, Ξ(x, x) = 0. En vertu de l’exercice précédant, Ξ = 0, donc Φ = Ψ.

Exercice 3 : Soient E un C-espace vectoriel, Φ une forme sesquilinéaire hermitienne sur E, q la forme quadratique associée.

1) Montrer, pour tout n ≥ 3, l’identité suivante : Φ(x, y) = n 1

∑

⁻

= 1 − 0

/ 2 n

k

n

e ik^π q(x + e^2ik^π^/ny) , qui généralise l’identité de polarisation.

2) Montrer ∀(x, y) ∈ E² Φ(x, y) = ²¹

π ∫

₀²^π^e⁻ⁱ^θ ^{q(x + e}ⁱ^θ^{y).dθ .}

Solution :

1) Développons le second membre : n

1

∑

⁻

= 1 − 0

/ 2 n

k

n

e ik^π q(x + e^2ikπ/ny) = n 1

∑

⁻

= 1 − 0

/ 2 n

k

n

e ik^π [ q(x) + q(y) + e^2ikπ/nΦ(x, y) + e^−2ikπ/nΦ(y, x) ] = N₁[ q(x) + q(y) ] + Φ(x, y) + N2 Φ(y, x) = Φ(x, y) ,

car N₁ =

∑

⁻

= 1 − 0

/ 2 n

k

n

e ik^π = 0 et N₂ =

∑

⁻

= 1 − 0

/ 4 n

k

n

e ik^π = 0 (progression géométrique !).

Si n = 4, on retrouve l’identité de polarisation.

2) se déduit de 1) en faisant tendre n vers +∞, par sommes de Riemann.

Mais on peut aussi développer q(x + eîθy) = q(x) + q(y) + eîθΦ(x, y) + e⁻îθΦ(y, x).

C’est un polynôme trigonométrique ; la formule demandée découle des formules d’orthonormalité de Fourier.

Exercice 4 : Soient E un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire, a et b deux points de E.

Trouver l’ensemble des x tels que || x − a || = k || x − b || . Solution :

On suppose a et b distincts et k ≥ 0. Notons H_k l’ensemble considéré.

Si k = 1, H_k est l’hyperplan médiateur du segment [a, b], i.e. H₁ = { x ; ( x − 2b a+

|

2b

a−

)

= 0 }. En effet || x − a ||²− || x − b ||² = ( 2x – a – b | b – a ) .

Si k ≠ 1, H_k est une sphère, la sphère de centre c =

² 1 ² kb k

a−− et de rayon r =

² 1 k

k

− ^{|| a}⁻^{b || .}

|| x − a ||² − k² || x − b ||² = ( 1 – k²) || x ||² – 2 ( x | a – k² b ) + || a ||² − k² || b ||² = ( 1 – k²) || x − c ||² + || a ||² − k² || b ||² − ( 1 – k²) || c ||² Le centre c =

² 1 ² kb k

a−− est le barycentre de a et b pondérés resp. par les masses

² 11

−k ^et1 ²² k

−k

− _{; il est} donc situé sur la droite affine (a b).

Le rayon r est donné par r² = || c ||² −

² 11

−k ( || a ||² − k² || b ||²) =

²)² 1 ( ²

k

−k || a − b ||² . NB : Quand k = 0, on trouve la sphère (a, 0) ; quand k → +∞, la sphère (b, 0).

Exercice 5 : Inégalités.

1) Montrer que ∀(a, b, c) ∈ R² a.b + b.c + c.a ≤ a² + b² + c² ; cas d’égalité ?

(3)

2) Montrer que ∀(x1, …, x_n) ∈ Rⁿ n

x x1+...+ n ≤

n x

x1²+...+ ⁿ² ; cas d’égalité ?

3) Montrer que ∀ f ∈ C([a, b], R)

b−1a

∫

_a^b^f ^≤

^[

_b−¹_a

∫

_a^b^f²

^]

^1/2 ; cas d’égalité ? 4) Montrer que si x₁, … , x_n> 0, alors (

∑

x_i )^.(

∑

xi

1 ₎_≥_n² ; cas d’égalité ? 5) Étudier la fonction f ∈ C([a, b], R*⁺) →Φ(f) = (

∫

_a^b^f ⁾^.⁽

∫

_a^b¹_f ⁾^.

Montrer qu’elle est minorée et atteint sa borne inférieure ; est-elle majorée ? Solution :

1) L’inégalité a.b + b.c + c.a ≤ a² + b² + c² peut se démontrer élémentairement, au moyen de mises sous forme canoniques emboitées :

a² + b² + c²− a.b − b.c − c.a = a²− a.b − a.c + b² + c²− b.c = ( a − b2 ₋

2c )² + 4

3_{( b}₋_{c )}²_≥₀ avec égalité ssi a −

2 b ₋

2

c _{= b}₋ c = 0 , i.e. a = b = c.

Autre solution : a² + b² + c²− a.b − b.c − c.a = 2

1

[

( a − b )² + ( b − c )²+ (c − a )²

]

, etc.

Autre solution, davantage dans l’esprit du chapitre :

Munissons R³ du produit scalaire standard et considérons les vecteurs x = (a, b, c) et y = (b, c, a).

L’inégalité de Cauchy-Schwarz (x | y) ≤ ||x||.||y|| donne aussitôt le résultat souhaité.

Il y a égalité ssi x et y sont liés : a = λb , b = λc , c = λa. Alors a = λ³a, etc.

Si λ ≠ 1, a = b = c = 0. Sinon a = b = c. Au final il y a égalité ssi a = b = c.

2) L’inégalité ∀(x₁, …, x_n) ∈ Rⁿ n

x x1+...+ ⁿ ≤

n x

x1²+...+ n² peut se démontrer :

• par Cauchy-Schwarz, en munissant Rⁿ du produit scalaire standard et en considérant les vecteurs x = (x₁, …, x_n) et y = (1, …, 1). Il y a égalité ssi x et y sont liés, i.e. ssi x₁ = … = x_n ≥ 0.

• par convexité. La fonction x → x² est strictement convexe, donc ( n

x x1+...+ n

)² ≤ n

x x2 n2

1+...+ _. On en déduit

n x x₁+...+ n

≤

|

n x x₁+...+ n

|

≤ n

x x2 n2

1+...+ _. Par stricte convexité, il y a égalité ssi x₁ = … = x_n ≥ 0.

3) L’inégalité ∀f ∈ C([a, b], R)

b−1a

∫

_a^b^f ^≤

^[

_b−¹_a

∫

_a^b^f²

^]

^1/2

se montre par Cauchy-Schwarz appliqué au couple (f, 1). Il y a égalité ssi f est constante.

4) L’inégalité ∀x₁, … , x_n> 0 (

∑

x_i )^.(

∑

xi

1 ₎_≥_n² peut se démontrer :

• par Cauchy-Schwarz, en munissant Rⁿ du produit scalaire standard et en considérant les vecteurs x = ( x1 , …, xn ) et y = ( 1/ x1 , …, 1/ xn ).

Il y a égalité ssi x et y sont liés, i.e. ssi x₁ = … = x_n≥ 0.

• par convexité. La fonction x → 1/x est strictement convexe sur ]0, +∞[, donc (

n x x1+...+ n )⁻¹_≤

n x x 1 n1

1⁻+...+ ⁻ . C’est ce que l’on veut démontrer ! Par stricte convexité, il y a égalité ssi x₁ = … = x_n ≥ 0.

(4)

5) La fonction Φ est définie et à valeurs > 0.

Par Cauchy-Schwarz, ( b – a )² = (

∫

_a^b¹⁾²⁼

∫

_a^b ^f^. ¹_f ^≤⁽

∫

_a^b^f ⁾^.⁽

∫

_a^b¹_f ⁾⁼^Φ^(f).

Il y a égalité pour f = 1, et plus généralement ssi f et 1/f sont liées, i.e. ssi f est constante > 0.

Φ n’est pas majorée ; en effet, si f(x) = e^mx, Φ(f) = 2

² 1 )) ( (

m a b m

ch − − , qui tend vers +∞ avec m.

Remarque : Φ est continue si l’on munit C([a, b], R*⁺) de la norme uniforme.

Exercice 6 : Montrer que ( x | y ) =

∑

≤

≤i,j n

0 1

.+ +j i

y

xi j est un produit scalaire sur Rⁿ⁺¹ .

[ Indication : à x associer le polynôme u(x)(t) =

∑

= n

i i ti

x

0

. ; calculer

∫

₀¹^u⁽^x⁾⁽^t^).^u⁽^y⁾⁽^t^).^dt^.^]

Solution : ( x | y ) =

∑

≤

≤i,j n

0 1

. + +j i

y

xi j est une forme bilinéaire symétrique sur Rⁿ⁺¹ .

Il est facile de vérifier que ( x | y ) =

∫

₀¹^u⁽^x⁾⁽^t^).^u⁽^y⁾⁽^t^).^dt, donc ( x | x ) =

∫

₀¹^u⁽^x⁾⁽^t^)².^dt ^≥^0.

De plus, ( x | x ) = 0 ⇒

∫

Exercice 8 : Soit f ∈ C¹([0, 1], R). 1) Montrer ∀(x, y) ∈ [0, 1]² (

∫

_y^x^{f ).}⁽^t ^dt⁾² ≤ ( x − y )

∫

_y^x^{f )².}⁽^t ^dt^.

2) Montrer que ∀(x, y) ∈ [0, 1]² f(x) = f(y) +

∫

_y^x^{f ).}^'(^t ^dt^{et f(x)}²^{≤ 2 f(y)}² + 2 ( x − y )

∫

_y^x^{f )².}^'(^t ^dt^.

(5)

3) En déduire ∀x ∈ [0, 1] ∀y ∈

[

3 1_,

3

2

]

f(x)²≤ 2 f(y)² + 3

4

∫

₀¹^f^'(^t^)².^dt^.

_y^x^{f )².}⁽^t ^dt découle de Cauchy-Schwarz.

Si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, il faut montrer que (

∫

_x^y^{f ).}⁽^t ^dt⁾²^≤^{( y}⁻^{x )}

∫

_x^y^{f )².}⁽^t ^dt : Cauchy-Scwharz derechef.

∫

_y^x^{f )².}^'(^t ^dt^{= 2 ( y}⁻^{x )}

∫

_x^y^{f )².}^'⁽^t ^dt ^≤ ₃⁴

∫

₀¹^f^'(^t^)².^dt ^≤ ₃⁴

∫

₀¹^f^'⁽^t^)².^dt^.

4) Intégrer l’inégalité de 3) d’abord en x ∈ [0, 1] à y fixé, puis en y ∈ [1/3, 2/3]. Ou bien l’inverse.

Ou encore l’intégrale double en (x, y) ∈ [0, 1]×[1/3, 2/3].

1.2. L’espace de Hilbert L²(N, K) des suites de carré sommable.

L’espace L²(N, K), K = R ou C, des suites de carré sommable, est le seul exemple d’espace de Hilbert de dimension infinie qui soit au programme de taupe. Les éléments de L²(N, K) étant des suites, une suite d’éléments de L²(N, K) sera notée (x^p), l’indice étant placé en exposant.

Exercices RMS 2012, n° 30.

Exercice 1 : On note L² l’ensemble des suites u = (u_n) réelles de carré sommable.

1) Montrer que L², muni de (u, v) →

∑

≥0 n

n nv

u est un espace préhilbertien réel.

2) On considère deux suites géométriques a et b de raisons respectives ½ et 1/3. Montrer que a et b appartiennent à L². Déterminer a₀ et b₀ pour que a et b soient normés. Que peut-on dire alors de a + b et a – b ?

^+∞

=0 0

9

²

n n

b convergent et ont pour sommes respectives ² 3

4a0 et ² 8 9b0 . Par conséquent, les suites géométriques a =

(

2 3

21n

)

et b =

(

3 2 2

31n

)

sont de norme 1.

Il en résulte que les suites a + b et a – b sont orthogonales (identité du parallélogramme, ici losange).

3) Attention, la fonction f : u →(

∑

^+∞

=02

n n

u )(n

∑

^+∞

=03

n n

u )n est continue sur L² comme produit de deux formes linéaires continues, mais la boule unité fermée B n’est pas compacte.

(6)

f(u) = 2

3 (u | a).(u | b) =

Exercice 2: Soient E = R^N , D : u = (u_n) ∈ E → (un+1 – u_n).

1) Montrer que D est un endomorphisme. Est-il injectif ? surjectif ? 2) Déterminer les vecteurs propres de D.

3) Soit L²(N, R) l’ensemble des suites de carré sommable, muni du produit scalaire usuel. Montrer que est stable par D.

4) Déterminer H =

{

) (

u u

Du

u ; u ∈ L²(N, R) − {0}

}

.

Solution : [ Oral ENS PC 2012, RMS n° 110 ]

1) D = T – I, où T est l’opérateur de décalage. T et D sont évidemment linéaires.

Ker D est la droite formée des suites constantes.

D est surjectif, car, pour toute suite (v_n), il existe une suite (u_n) telle que ∀n u_n+1 – u_n = v_n. Il suffit de choisir u₀quelconque et de poser, pour tout n ≥ 1 : un = u₀ + v₀ + … + v_n−1 .

2) Tout nombre réel λ est valeur propre de D, l’espace propre associé étant la droite formée des suites géométriques ((λ + 1)ⁿ.a), a réel. Si λ = 0, on retrouve les suites constantes.

Si λ = −1, on trouve les suites (a, 0, 0, … ).

3) Il est clair que u ∈ L²(N, R) ⇒ Tu ∈ L²(N, R). T induit un opérateur continu de L²(N, R), de norme « triple » ||| T ||| = 1. Penser à la suite ( 0, 1, ½, 1/3, … ), ou à (0, 1, 0, 0, … ).

Exercice : En déduire que D induit un opérateur continu de L²(N, R) ; quelle est sa norme triple.

4) Montrons que H =

{

) (

u u

Du

u ; u ∈ L²(N, R) − {0}

}

= ]−2, 0[.

Comme ) (

) (

u u

Du u =

) (

u u

Tu

u − 1, il suffit de montrer H’ =

{

) (

u u

Tu

u ; u ∈ L²(N, R) − {0}

}

= ]−1, 1[.

Tout d’abord si u est ≠ 0, |(u | Tu)| =

| ∑

^+∞

= +

0

. 1 n

nun

u

|

≤ ||u||.||T(u)|| ≤ ||u||.|||T|||.||u|| ≤ (u | u), donc

) (

u u

Tu

u ∈ [−1, +1] ; et l’on a |(u | Tu)| = (u | u) ssi T(u) = λu et u₀ = 0 : impossible.

Si |ρ| < 1, u = (ρⁿ) est élément de L²(N, R) et vérifie T(u) = ρ.u, donc ) (

) (

u u

Tu

u = ρ décrit ]−1, 1[.

Exercice 2 : compacité dans l’espace L²(N, K).

1) Soient E un espace de Banach, X une partie ≠∅ de E. Montrer l’équivalence des propriétés : i) X est compact ;

ii) X est fermée, bornée, et pour tout ε > 0, il existe un sous-espace vectoriel Fε de dimension finie, tel que : (∀x ∈ X) d(x, Fε⁾^≤^ε^.

[ Indication : utiliser la précompacité. ]

2) Montrer que la boule unité fermée de L²(N, K) n’est pas compacte.

3) Montrer que L²(N, K) est séparable, i.e. admet une partie dénombrable dense.

[ Indication : Considérer les suites nulles à partir d’un certain rang et rationnelles. ]

4) Montrer qu’une partie X de L²(N, K) est compacte si et seulement si elle est fermée, bornée et équisommable, en ce sens que : (∀ε > 0) (∃N > 0) (∀x ∈ X)

∑

_n_≥_N+1 |x_n|²≤ε .

5) Exemple : Soit b = (b_n) un élément donné de L²(N, K).

(7)

Démontrer que Xb ^{= { x = (x}ⁿ^{) ; (}^∀^{n) |x}ⁿ^|^≤^|bⁿ| } est une partie compacte de L²(K), et que dans Xb^, la topologie de la convergence simple coïncide avec la topologie induite par celle de L²(K).

Solution :

Problème 3 : Endomorphismes continus de L²(N, R).

Montrer que les endomorphismes continus f : x = (x_n) → y = (y_m) de L²(N, R) sont de la forme (∀m) y_m =

∑

≥0 ,.

n

×

∈N N n m

n

am ) , (

, ² < +∞ .

1) Montrer que l’application f_A : x = (x_n) → y = (ym) définie par (∀m) ym =

∑

≥0

.

n n mnx

a , définit un endomorphisme continu de l²(K), limite en norme d’une suite d’endomorphismes de rang fini.

2) En déduire que l’opérateur f_A est compact, en ce sens que, si B est la boule unité fermée de l²(K), f_A(B) a une adhérence compacte.

3) Application à des systèmes linéaires infinis. On suppose

∑

×

∈N N n m

n

am ) , (

, ² < 1 ; montrer que, pour toute y ∈ L²(K), il existe une unique x ∈ L²(K) telle que x − fA(x) = y.

Solution :

Remarque : pour des compléments, Kantorovitch-Akilov, Analyse fonctionnelle (Mir), p. 214-217.

Exercice 5 : lemme de Schur.

Soit A = (a_mn)_(m,n) une suite double de réels ≥ 0. On suppose qu’existent un réel C > 0 et une suite (ωn) de réels > 0 tels que : ∀m ≥ 0

∑

≥0

.

n

amn

ω

^+∞

=1

)² (

n

bn _≤ 4

∑

^+∞

=1

)² (

n

an , cette majoration étant la meilleure possible.

1) Vérifier qu’avec la convention b₀ = 0, on a : 2 a_nb_n≥ ( n + 1 ) b_n²− ( n − 1 ) b_n₋₁² . En déduire : 2

∑

= N

n n nb a

1

. _≥

∑

= N

n

bn 1

)²

( , et conclure.

2) Montrer qu’on ne peut avoir égalité que pour la suite nulle, mais qu’on ne peut améliorer la constante 4 (Considérer la suite a_n = 1/n^α, avec ½ < α < 1.)

Solution :

1) a) Avec la convention b₀ = 0, on a : 2 a_nb_n ≥ ( n + 1 ).bn

2 − ( n − 1 ).b_n−1² . Pour n = 1, cela s’écrit : 2 a₁b₁ ≥ 2 b1

2 ; c’est même une égalité.

Pour n > 1, 2 a_nb_n = 2 [ n.b_n− (n − 1).b_n−1].b_n = 2 n.b_n²− 2 ( n − 1 ).b_n−1 b_n .

≥ 2 n.b_n²− ( n − 1) [ b_n² + b_n₋₁²] = ( n + 1 ).b_n²− ( n − 1 ).b_n₋₁² . Donc 2

∑

= N

n n nb a

1

. ≥

∑

= + − − −

N

n

n n bn

b n

1

1²]

) 1 (

² ) 1

[( =

∑

= N

n

bn 1

² +

∑

= − − −

N

n

n n bn

nb

1

1²]

∑

= N

n

bn 1

² est croissante majorée, donc elle converge.

Conclusion : (b_n) est de carré sommable, et vérifie

∑

^+∞

=1

²

n

bn _≤ 4

∑

^+∞

=1

²

n

an , 2) La majoration est optimale.

a) On ne peut avoir égalité que pour la suite nulle.

b) On ne peut améliorer la constante 4.

Considérons en effet la suite a_n = 1/n^α, avec ½ < α < 1. Elle est de carré sommable.

Un encadrement intégral laissé au lecteur donne : 1−1α

n1α ₊

1 1−

α ⁿ¹ ^≤^bⁿ⁼ⁿ¹

∑

= n

k ₁k1

α ≤ 1−1α

n1α ₊

−1

α α

n 1_. Elevons au carré et sommons ! (En fait seule la minoration est utile)

)² 1 (

) 2 (

α α

ζ

− ⁻ (1 )² ) 1 ( . 2

ζ α α

− + ₊

)² 1 (

) 2 (−

α ζ

_≤

∑

^+∞

=1

²

n

bn _≤ 4

∑

^+∞

=1

²

n

an .

)² 1 ( 1

α

− ⁻ (1 )² ) 1 ( . 2

ζ α α

− +

) 2 (1

α

ζ

⁺⁽

α ζ

⁽−²¹⁾^)² ) 2 (1

α

ζ

^≤

∑

^+∞

=1

²

n

bn

/ ∑

^+∞

=1

²

n

an _≤ 4 . Il reste à faire tendre α vers ½ (on rappelle que ζ(x) ↑ +∞ quand x ↓ 1).

(9)

En conclusion, l’opérateur de Cesàro laisse stable l’espace L²(R) des suites de carré sommable, et y induit un opérateur continu de norme 2. Ce résultat a un analogue intégral.

Exercice 7 : encore Fibonacci…

Soit (u_n) la suite de Fibonacci, définie par : u₀ = 0, u₁ = 1, u_n+2 = u_n + u_n+1 . 1) Montrer que ∀n ≥ 1 (u₁)² + … + (u_n)² = u_n.u_n+2− (u_n)².

2) En déduire que la matrice A ∈ M_n+1(R) définie ci-dessous est orthogonale :

A =













−

+ +

+ + +

+ +

2 1

1 2

1 2 2 1 1

2 2

2 2 2

1

4 2

2 4

2 2 4

2 1

3 1

1 3

1 1

...

0 ...

...

0

0 ...

...

0

n n

n n n

n n n n n

n n n

n n

u u

u u u

u u

u u u

u u

u u u

u u

3) Soit l²(N*) l’espace de Hilbert des suites réelles x = (x_n)_n_≥₁ de carré sommable.

A la suite x = (x_n)_n_≥₁ on associe la suite y = (y_n)_n_≥₁ définie par ∀n ≥ 1 yn =

2 1 1

1 ...

+

− +

+ +

n n n n n n

u u

x u x u x

u .

A l’aide de 2), montrer que y est de carré sommable et que

∑

≥1

)² (

n

xn =

∑

≥1

)² (

n

yn .

[ Indication : introduire le vecteur ^t(y₁, …, y_n, z_n) = A.^t(x₁, …, x_n, x_n+1), et montrer que : (z_n)²≤

2 1 1)² ... ( )² (

+ +

n n

p

u u

u

∑

≥1

)² (

n

xn +

∑

+

≥ 1

)² (

p n

xn . ]

En déduire que l’opérateur f : x → y est linéaire isométrique. Quel est son inverse ? Solution : [ Polya-Szegö, t. 2, part VII, n° 53, p. 106 ]

Exercice 8 : topologie faible.

Dans l’espace L²(N), on dit que la suite (x^p) tend fortement vers x si || x^p – x || → 0, et que la suite (x^p) tend faiblement vers x si, pour tout y ∈ L²(N), ( x^p | y ) → ( x | y).

1) a) Montrer que la convergence forte implique la convergence faible.

b) Soit (e^p) la base canonique de L²(N) ; la suite (e^p) est-elle fortement convergente ? faiblement ? c) Démontrer que la suite (x^p) tend fortement vers x si et seulement si elle tend faiblement vers x et lim_p || x^p|| = ||x||.

2) Soit B = { x ;

∑

≥0

)² (

n

xn ≤ 1 } la boule unité fermée de L²(N).

a) B est-elle fortement compacte ?

b) Montrer que B est faiblement (séquentiellement) compacte.

Solution : [ Oral X 1993, RMS n° 42 ]

La topologie faible s’adresse aux forts, la topologie forte s’adresse aux faibles.

1) a) En vertu de Cauchy-Schwarz, |( x^p− x | y )| ≤ || x^p− x ||.|| y ||.

On en déduit aussitôt que la convergence forte implique la convergence faible.

(10)

b) Attention ! La suite (e^p) n’est pas une « base » au sens algébrique du terme, mais une « base » au sens de famille orthornormée totale.

Elle ne converge pas fortement, car pour p ≠ q : || e^p – e^q || = 2.

Mais elle converge faiblement vers 0, car, pour tout y, ( e^p | y )= y_p→ 0.

c) Si (x^p) tend fortement vers x, alors (x^p) tend faiblement vers x et lim_p || x^p|| = ||x||, en vertu de

|

|| x^p|| − ||x||

|

≤ || x^p− x || .

Réciproquement, supposons que (x^p) tende faiblement vers x et que lim_p || x^p|| = ||x||.

Alors : || x^p− x ||² = || x^p||² + || x ||²− 2 Re ( x^p| x ) → || x||² + || x ||²− 2 Re ( x| x ) = 0. cqfd.

2) a) La base canonique (e^p) vérifie, pour p ≠ q : || e^p – e^q || = 2. Ainsi (e^p) est une suite de points de B dont on ne peut extraire aucune suite convergente. Donc B n’est pas compacte.

b) Je dis que, dans B, la convergence faible équivaut à la convergence simple.

Proposition : Soit C = { x = (x_n) ; ∀n |x_n| ≤ 1 } le « cube de Hilbert ».

i) d(x, y) =

∑

⁺^∞

=

−

0 2

n n

n

n y

x est une distance sur C pour laquelle C est compact.

ii) La convergence dans (C, d) équivaut à la convergence simple.

iii) B est une partie fermée, donc compacte, de (C, d).

iv) Dans B, la convergence faible équivaut à la convergence simple.

Il résule de iii) et iv) que B est faiblement séquentiellement compact.

Exercice 9 : Soit f ∈ C([0, 1], R). Montrer que la suite µn(f) =

∫

₀¹^xⁿ^.^f⁽^x^).^dx de ses moments est de carré sommable, et que l’application f → (µn(f)) est linéaire injective de C([0, 1], R) dans l²(R).

Solution : On a | µn(f) | ≤

+1 n

A , où A = || f ||_∞ ; on en conclut que la suite des moments est de carré sommable.

₀¹^f⁽^x^)².^dx = 0, puis f = 0.

Exercice 10 : Soit f une fonction réglée 2π-périodique R → C. Montrer que la suite (cn(f))_n∈Z de ses coefficients de Fourier est de carré sommable. Comment se traduit la formule de Parseval ?

Solution: cf. cours sur les séries de Fourier.

1.3. Espaces de Hilbert généraux.

Exercice 1 : Soient (E, ( | )) un espace de Hilbert, L une forme linéaire continue sur E non identiquement nulle, a sa norme subordonnée.

1) Prouver que, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout (x, y) ∈ E×E, les relations

||x|| = ||y|| = 1, || x − y || ≥ε impliquent || x + y || ≤ 2.( 1 −δ ).

2) Justifier l’existence d’une suite (x_n) de vecteurs unitaires de E telle que L(x_n) → a. Montrer que (x_n) est de Cauchy, et conclure qu’il existe un unique vecteur unitaire x tel que L(x) = a.

(11)

3) On munit E = R[X] de la norme N : P → (

∫

₀¹^P^²⁾^1/2 et on pose, pour tout P ∈ E, L(P) =

∫

₀¹^P⁽^t⁾^e⁻^t^.^dt. Montrer que L est continue, calculer sa norme subordonnée. La norme N rend-elle E complet ?

Solution : [ Oral Centrale MP 2013, RMS n° 831 ] Nous supposons que E est un Hilbert réel.

1) C’est de la géométrie élémentaire, digne du cours de 4^ème. Notons x = OA , y = OB , x + y = OC , d = || x − y || = || AB ||.

Le quadrilatère OACB est un losange, et, par Pythagore ||OC||²= 4 ( 1 − 4 d )² , Donc || x + y || = ||OC|| = 2

4² 1 d− ≤ 2

4²

1₋ε = 2.( 1 − δ ), avec δ > 0.

2) Rappelons que a = ||| L ||| = sup { | L(z) | ; ||z|| = 1 }.

Par conséquent, pour tout n, il existe x_n unitaire tel que a − n

1 _≤_{| L(x}

n) | ≤ a.

Quitte à changer x_n en son opposé, on peut même supposer a − n 1_{≤ L(x}

n) ≤ a.

Montrons à l’aide de 1) que la suite (x_n) est de Cauchy.

Pour p et q ≥ n₀, 2a −

0

2

n ^≤^2a⁻ 1p ₋ q 1 _≤_{L( x}

p + x_q) ≤ a || x_p + x_q ||, donc Donc 2 ( 1 −

0

1

an ⁾^≤^{|| x}^p^{+ x}^q ||. Choisissons n₀ tel que

0

1 an ^<^δ^. Alors, en contraposant 1), || x_p − xq || ≤ ε.

Comme E est complet, la suite (x_n) converge vers un vecteur unitaire x tel que L(x) = a.

Montrons l’unicité de x à l’aide de 1). Si y est un vecteur unitaire tel que x ≠ y et L(y) = a, alors 2a = L(x + y) ≤ a || x + y || ≤ 2a ( 1 − δ ). Contradiction !

Théorème : Soient E un espace de Hilbert, L une forme linéaire continue non nulle, de norme triple a. Il existe un unique vecteur unitaire x tel que L(x) = a.

Remarques : Ce résultat est d’autant plus remarquable que, si E est de dimension infinie, la boule unité de E n’est jamais compacte. Si E est un espace de Hilbert complexe, même méthode mais utiliser des exp(iθ) au lieu de ±1.

3) Munissons E = R[X] de la norme N : P → (

∫

₀¹^P^²⁾^1/2 . C’est un espace préhilbertien.

L(P) =

∫

₀¹^P⁽^t⁾^e⁻^t^.^dt est une forme linéaire continue sur E, car, par Cauchy-Schwarz, | L(P) | ≤ N(e⁻^t).N(P) =

2 1−e⁻²

N(P). La norme subordonnée de L vaut a = 2 1−e⁻²

.

En effet, f(t) = e⁻^t n’est pas un polynôme sur [0, 1], mais, si (P_n) est une suite de polynômes tendant uniformément vers f, | L(P_n) | ≤ ||| L |||.N(Pn) donne, à la limite | L(f) | ≤ ||| L |||.N(f).

En vertu du cas d’égalité dans Cauchy-Schwarz, il n’y a pas de polynôme tel que | L(P) | = 2 1−e⁻²

. Par conséquent, E n’est pas un espace de Hilbert, il n’est pas complet.

Remarque : D’ailleurs, R[X] n’est complet pour aucune norme, en vertu du théorème de Baire.

Exercice 2 : 1) Soit E un espace de Hilbert. Montrer que, pour tout vecteur a ∈ E, l’application ϕ(a) : x → (a | x) est une forme linéaire continue sur E de norme ||a||, et que, pour toute forme linéaire continue f sur E, il existe un unique vecteur a tel que : (∀x ∈ E) f(x) = (a | x).

(12)

2) Retrouver le résultat de l’exercice précédent.

3) On munit E = R[X] du produit scalaire (P | Q) =

∫

₀¹^P⁽^t⁾^Q⁽^t^).^dt^.

a) Montrer que (∀n ∈ N) ∃!A_n∈ R_n[X] ∀P ∈ R_n[X] P(0) = (A_n | P). Montrer que deg A_n = n.

b) Existe-t-il A ∈ R[X] tel que ∀P ∈ R[X] P(0) = (A | P) ? c) E est-il un espace de Hilbert ?

Solution : Il s’agit d’étendre le théorème de représentation de Riesz aux espaces de Hilbert.

Autrement dit, tout espace de Hilbert s’identifie canoniquement à son dual topologique.

1) La première assertion est obvie. Montrons la réciproque. Soit f une forme linéaire continue sur E, non nulle. Son noyau H = Ker f est un hyperplan fermé de E. En vertu du théroème de projection convexe, E = H ⊕ H^⊥. Soit b ∈ D = H^⊥non nul. On a (∀x ∈ H) (b | x) = 0. La théorie de la dualité algébrique affirme que deux équations de l’hyperplan H sont proportionnelles, donc (∃λ∈ K) (∀x

∈ E) f(x) = λ (b | x). Poser a =

λ

^b.

Les questions 2) et 3) sont faciles.

1.4. Normes dérivant d’un produit scalaire.

Exercice 1 : 1) Les normes ||x||₁ et ||x||_∞sur Rⁿ ( n ≥ 2 ) dérivent-elles d’un produit scalaire ? 2) Mêmes questions pour les normes || f ||₁ et || f ||_∞ sur C([a, b], R) ?

Solution :

1) La réponse est non, pour plusieurs raisons.

Les vecteurs u = (1, 0, 0, …, 0) et v = (0, 1, 0, …, 0) vérifient || u + v ||₁ = ||u||₁ + ||v||₁ = 2 sans que u et v ne soient colinéaires.

Les vecteurs a = (1, 1, 0, …, 0) et b = (1, −1, 0, …, 0) vérifient || a + b ||_∞ = ||a||_∞ + ||b||_∞ = 2 sans que a et b ne soient colinéaires.

Autre idée : Les boules unités ont un nombre fini de points extrêmaux. En effet, ce sont des octaèdres pour ||x||₁ et des cubes pour ||x||_∞. Or les boules unités des normes euclidiennes ont une infinité de points extrémaux : tous les points de la sphère unité.

2) La réponse est encore non. Soit c le milieu de [a, b].

Soit f la fonction continue affine par morceaux égale à 1 en a, à 0 en c et b, affine sur [a, c] et sur [c, b]. Soit g la fonction affine égale à 1 en a, à 0 en b. On a || f + g ||_∞= || f ||_∞ + || g ||_∞ = 2, mais f et g ne sont pas colinéaires.

Exercice 2 : Soient E = C_b(R, R) (fonctions continues bornées), F le sous-espace engendré par les fonctions sin et cos. La norme || f ||_∞ est-elle euclidienne sur E ? sur F ?

Solution :

La norme || f ||_∞ n’est pas euclidienne sur E, car les fonctions f(x) = cos x et g(x) = cos(2x) vérifient

|| f + g ||_∞ = || f ||_∞ + || g ||_∞ = 2 sans être colinéaires.

En revanche, sa restriction à F est bel et bien euclidienne, car si f(x) = a.cos x + b.sin x, alors même un physicien sait que || f ||_∞ = a² b+ ².

Exercice 3 : théorème de von Neumann.

Soit E un espace vectoriel normé réel. Si sa norme vérifie l’identité du parallélogramme : || u + v ||² + || u – v ||² = 2 ( ||u||² + ||v||²) , montrer qu’elle dérive d’un produit scalaire.