Chapitre 2. Des entiers aux complexes

(1)

Chapitre 2. Des entiers aux complexes

Chapitre 2. Des entiers aux complexes 1 / 59

I. Des entiers aux rationnels

1. Rappels sur les entiers naturels

L’ensemble N ^des entiers naturels est N={⁰, ₁, ₂, ₃, · · · }, il satisfait :

1 N est infini.

2 N est ordonné.

3 N est muni de deux opérations : l’addition et la multiplication.

Remarques : Il suffit de savoir ajouter 1 pour définir l’addition.

La multiplication se définit comme une addition répétée.

On a les propriétés suivantes pour p, q et r dans N : Commutativité : p +q =q +p et pq =qp.

Associativité : (p +q) +r = p+ (q +r) et (pq)r =p(qr). Distributivité : p(q +r) = pq+pr.

Principe de récurrence

Si on considère une famille d’assertions Pⁿ numérotées à l’aide d’entiers n ∈N^{, que la} première P0 est vraie, et qu’il est vrai que chacune implique la suivante :

∀k ∈N , P^k ⇒ Pk+1

alors elles sont toutes vraies :

∀n ∈N , Pⁿ .

Fait : Le principe de récurrence est « équivalent » à la propriété suivante de l’ensemble ordonné N que l’on pose comme axiome :

Toute partie non vide de N a un plus petit élément.

(2)

Exercice

Soit n un entier naturel. Établir l’égalité : Xn k=0

k = n(n+1) 2

2. Les entiers relatifs

Question : Que faut-il ajouter à a pour avoir b? C’est l’équation algébrique x +a=b, qui posée dans N n’a de solution que si a ≤ b...

On invente donc les « entiers négatifs » : l’ensemble Z des entiers relatifs est Z= {· · · , −³, −², 0, 1, 2, 3, · · · } ,

il contient N et on étend l’ordre, l’addition et la multiplication avec la

règle des signes : + fois + = _– fois – = ₊ et + fois – = _– fois + = _– .

I Une conséquence utile du principe de récurrence

Lemme

Pour tout n ∈N non nul et tout N ∈Z, il existe un unique p ∈ Z ^{tel que} pn ≤N <(p +1)n .

Théorème de la division euclidienne

Pour tous a et b dans Z ^avec b >0, il existe un unique couple (q,r)∈Z² ^{tel que} a=bq +r et 0 ≤r <b .

Lorsque le reste r de la division de a par b est nul, on dit que b divise a, ou encore que a est multiple de b.

Un entier naturel p, distinct de 0 et de 1, est dit premier s’il n’admet pas d’autre diviseur que lui même et 1.

I Diviseurs communs

Lorsque a et b sont deux entiers on note aZ+bZ le sous-ensemble de Z ^: aZ+bZ ={au+bv | (u,v) ∈Z²}^.

Si a et b ne sont pas tous les deux nuls (aZ+bZ)∩N^∗ est non vide et admet donc un plus petit élément.

(3)

PGCD - Proposition et définition

Soient a et b deux entiers non tous les deux nuls et d = min (aZ+bZ)∩N^∗ .

1 L’entier d est multiple de tous les diviseurs communs de a et de b.

2 L’entier naturel d est un diviseur commun (le plus grand) de a et de b.

On nomme d le plus grand diviseur commun de a et de b et on le note d =pgcd(a,b).

Théorème de Bezout

Si d =pgcd(a,b) il existe u et v dans Z ^{tels que} d =au +bv.

L’algorithme d’Euclide

Prenons deux entiers a et b et supposons b >0. Si a =bq +r où q et r sont dans Z alors les diviseurs communs de a et de b sont les mêmes que ceux de b et de r. On obtient donc pgcd(a,b) = pgcd(b,r).

On effectue des divisions euclidiennes successives :

a =bq₁+r₁, 0 ≤r₁ < b si r₁ 6=0, b =r₁q₂+r₂, ₀ ≤r₂ < r₁

· · · ·

si rn−1 6=0, rn−2 =rn−1qn+rn, 0 ≤rn <rn−1

Comme b = r₀ >r₁ >r₂· · ·>rn il existe un entier n tel que r_n+1 = 0, d’où : pgcd(a,b) = pgcd(b,r₁) =pgcd(r₁,r₂) =· · · =pgcd(rn−1,rn) = rn

Le pgcd de a et de b est le dernier reste non nul de cette suite de division euclidiennes.

Exercice

Déterminer le pgcd de 180 et 378, ainsi que celui de 600 et 264.

(4)

On dit que deux entiers a et b sont premiers entre eux s’ils n’ont pas de diviseur commun autre que 1 ou −^1.

Théorème

Soit a et b deux entiers non tous deux nuls. Sont équivalents :

1 pgcd(a,b) = 1 ;

2 Il existe u et v dans Z ^{tels que} au +bv =1 ;

3 Les entiers a et b sont premiers entre eux.

Corollaire

Soit a et b deux entiers non tous deux nuls, et d un entier naturel non nul.

On a l’égalité pgcd(a,b) =d si et seulement si il existe deux entiers premiers entre eux a₀ et b₀ tels que a=da₀ et b =db₀.

Théorème : « Lemme de Gauss »

Première forme : Pour a, b et c dans Z^{, si} a divise bc et a est premier avec b alors a divise c.

Deuxième forme : Pour a, b et c dans Z^{, si} a et b sont premiers entre eux, a divise c et b divise c alors ab divise c.

Théorème

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 s’écrit de façon unique (à l’ordre près) comme produit de nombres premiers.

Une telle écriture d’un entier n s’appelle décomposition de n en facteurs premiers.

3. Les nombres rationnels

Question : Par quoi faut-il multiplier a pour avoir b? C’est l’équation algébrique ax =b, qui posée dans Z n’a de solution que si a divise b ....

On invente donc le corps des nombres rationnels Q : on note p

q « la » solution de qx −p = 0 lorsque q et p sont dans Z et q 6= 0.

Remarques :

1 Si r ∈Z^∗, on doit avoir p q = rp

rq^.

2 Tout élément de Q admet un unique représentant p₀

q₀ tel que pgcd(p₀,q₀) = 1 et q₀ >_0.

3 L’addition et la multiplication de Z se prolongent à Q pour en faire un corps commutatif.

(5)

La valeur absolue

On souhaite munir Q ^d’une ^distance.

On commence par définir la « distance à zéro », c’est la valeur absolue :

|x|=

x si x ≥⁰

−x si x <0 pour x dans Q^. Propriétés : Pour x et y dans Q ^{on a :}

1 |x| ≥ ^{0 et} |x|= 0 si et seulement si x =0.

2 |xy|=|x||y|^.

3 |x +y| ≤ |x|+|y| (Inégalité triangulaire).

Pour x et y dans Q, la distance entre x et y est alors |x −y|^.

Propriétés utiles

Pour x, y, a et b dans Q ^avec b ≥^{0, on a :}

1 |x| =max(−x,x).

2

x

y

= |x|

|y| ^si y 6=0.

3

|x| − |y|≤ |x −y|.

4 |x −a| ≤ b si et seulement si a−b ≤ x ≤ a+b.

5 |x −a| ≥ b si et seulement si x ≤ a−b ou x ≥a+b.

II. Les nombres réels

Question : Quel est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 ? Et le périmètre d’un disque de rayon 1 ?

Des nombres liés à la géométrie « nous supplient d’exister »....

On invente le corps des nombres réels R qui contient de tels nombres et permet « de faire de l’analyse » ... Un nombre réel est défini par ses approximations rationnelles, c’est-à-dire par une suite infinie de nombres rationnels (xn)n∈N qui est de Cauchy :

∀N ∈N,∃n₀ ∈ N,∀p,q ≥n₀,|xp−xq|< ₁₀⁻^N Beaucoup de suites différentes peuvent définir le même nombre réel...

On « fabrique » ainsi un ensemble R qui contient Q et dont tous les éléments non rationnels sont « aussi proche que l’on veut » d’un rationnel. On étend à R l’addition, la multiplication, l’ordre total et la valeur absolue de Q^.

(6)

La droite réelle

On peut utiliser l’ordre total pour représenter Q sur une droite graduée, puis les puissances rationnelles d’éléments de Q et leur opposé. Il reste alors des « trous » et construire R revient à « boucher » ces trous. On représente donc communément R ^par une droite graduée.

Droite graduée

À tout point M d’une droite graduée correspond un unique nombre réel x, abscisse du point M dans le repère (0;I). Réciproquement, à tout réel x correspond un unique point M de la droite.

Distance et valeur absolue

La distance entre deux réels a et b correspond à la distance sur la droite graduée entre les points d’abscisse a et d’abscisse b; elle est donnée par leur valeur absolue, |a−b| ^(on rappelle que |a−b| =|b−a|^).

Exemples

• La distance entre -2 et 5 est 7 : le point A a pour abscisse -2, le point B a pour abscisse 5, on peut « compter » la distance entre les deux points, c’est 7.

• Il y a deux réels qui sont à la distance 4 de 3 (abscisse de C) : -1 (abscisse de D) et 7 (abscisse de E).

• La distance entre -2 et 5 est donnée par | −²−⁵|= | −⁷|= 7, ou

|⁵−(−²)|= |⁵+2| =|⁷| =7.

• |x −²| donne la distance entre x et 2.

• |t +5| =|t −(−⁵)| donne la distance entre t et -5.

Exercice

1 Résoudre l’équation |x +2| =3.

2 Décrire l’ensemble des réels x tels que |x +4| <|x −²|^.

(7)

Partie entière

Soit x ∈R, il existe un unique N ∈ Z ^{tel que} N ≤ x <N +1.

On note E(x) = N et on appelle ce nombre entier la partie entière de x.

Puissances rationnelles

• Puissance entière

Lorsque x est un réel non nul et n un entier naturel non nul on définit : xⁿ =x| ·x · · · · ·{z x}

n fois

et x⁻ⁿ = ¹ xⁿ On a :

x⁰ =1 si x 6=0 et 0ⁿ =0 si n6= 0 0⁰ n’est pas défini.

• Puissance fractionnaire

Si a est un réel positif et n ∈N^∗ l’équation xⁿ = a admet une unique solution positive dans R^{, c’est la} ^racine nième que l’on note √ⁿ

a ou a¹ⁿ.

Propriétés

On se donne deux réels x et y non nuls et m et n dans N^.

1 x^m·xⁿ =x^m+n,

2 (x ·y)ⁿ =xⁿ·yⁿ,

3 (xⁿ)^m = x^nm,

4 x⁻ⁿ = ¹

x n

,

5 xⁿ

x^m =xⁿ⁻^m,

6 x^mⁿ = √^m

xⁿ pour m6= 0 et x >_0.

Les propriétés précédentes sont vraies pour m et n dans Z ^{et lorsque} x et y sont positifs, pour m et n dans Q.

(8)

Exercice

Calculer :

1 5⁻² =· · · ·

2 1

5 ₋2

=· · · ·

3 1

25 ³₂

=· · · ·

Puissances réelles

Soit a∈R. On note : x^a = exp(aln(x)) pour x > 0.

Ainsi : ln(x^a) = aln(x) pour tout x >_0.

La fonction ]0,+∞[ → R, x 7→ x^a est dérivable et sa dérivée est la fonction x 7→ ax^a⁻¹.

Elle est constante égale à 1 lorsque a =0, strictement croissante de 0 à +∞ ^quand a >0, et, strictement décroissante de +∞ à 0 quand a <_0.

On a : (xâ)^b =xâb, xâ+b =xâx^b et xâ⁻^b = xâ

x^b ^{pour tous} a,b ∈R et x > _0.

Remarques

1 On pose : e = exp(1). On a donc : e^x = exp(x) pour tout x ∈R^.

2 Soit a >0. On prolonge l’application x ∈]0,+∞[7→ x^a par continuité en 0 en posant 0^a =0.

II. Les nombres complexes 1. Définition de C

Question : On sait résoudre dans R les équations algébriques du premier degré ax +b =c. On sait aussi résoudre, à condition que d soit positif, les équations du deuxième degré x² =d et même x^r =d pour tout rationnel r.

Comment résoudre l’équation x²+1=0 ?

On va construire un nouveau corps de nombres, le corps C des nombres complexes en ajoutant à R ^{un nombre} ^imaginaire ^noté i.

Pour définir l’ensemble C ^:

on « décide » que i satisfait i² =−1 et on pose C ={a+ib | a, b ∈R}. Ainsi i est une des solutions dans C de l’équation x²+1=0.

(9)

Propriétés

L’ensemble C ={a+ib | a, b ∈R} est construit pour satisfaire aux propriétés suivantes :

1 Il contient R : R ={a+i ·0 | a∈ R} ⊂ C.

2 L’application R×R→ C, (a,b)7→ a+ib est bijective.

3 Les lois d’addition et de produit de R se prolongent à C pour en faire un corps commutatif :

I addition (x +iy) + (a+ib) =x +a+i(y +b)

I produit (x +iy)(a+ib) =ax −by +i(xb +ya) ^pour x, y, a, b ∈R

4 L’équation X²+1=0 (et plus généralement toute équation polynomiale) admet des solutions dans C^.

! ! !

On n’a plus de relation d’ordre total naturelle sur C^.

2. Forme algébrique

Soit z =a+ib un nombre complexe où a, b sont réels.

Le réel a est la partie réelle de z : Rez = a. Le réel b est la partie imaginaire de z : Imz = b. Le complexe conjugué est z¯=a−ib.

Le module de z est |z| =√

a²+b², il étend à C la valeur absolue de R^.

Proposition

Soit z ∈C^.

a z = z , zz = zz = |z|² ^, |z|=|z|^, ^Rez = z +z

2 et Imz = z −z 2i ^.

b Si z 6=0 ; on a : 1 z = z

|z|² ^et 1 z

= ¹ z ^.

c |^Rez| ≤ |z| ^et |^Imz| ≤ |z|^.

Exercice

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

1 (2+5i) + (i +3)

2 (1−⁴i)(1+2i) +2i +8

3 −3(4−i) + (3+2i)(1−i)

4 (−²+3i)²

5 2

1−2i

6 1

1−2i + ¹ 1+2i

7 2+i

3−2i

(10)

Proposition

Pour z, w ∈ C^.

a z +w =z +w et zw = z w.

b |zw|=|z||w|^.

c Inégalité triangulaire : |z +w| ≤ |z|+|w| ^.

Remarque En appliquant l’inégalité triangulaire à (z −w) +w et à (w −z) +z, on obtient aussi :

|z| − |w|

≤ |z −w| ^pour z,w ∈ C .

3. Interprétation géométrique

On considère le plan P munit d’un repère orthonormé direct R = (O, −→u , −→v ).

• Le plan complexe - Affixe d’un point

Un nombre complexe z =x +iy, où x, y sont des réels, se représente par un unique point M(z) de coordonnées (x,y) = (Rez,Imz) dans le repère R^.

On dit que z est l’affixe de M(z).

La distance entre le point O et le point M(z) est OM(z) = |z|^.

Le point d’affixe z est le point de coordonnées (x,−y), c’est le symétrique du point M(z) par rapport à l’axe (O, −→u ) (axe des abscisses).

• Le plan complexe - Affixe d’un vecteur

Soient (a,b),(c,d)∈ R²^, z =a+ib et w = c +id.

Notons M et N les points du plan complexe P d’affixes respectives z et w. Le vecteur −→

OM a pour coordonnées (a,b) dans la base (−→u , −→v ). Le vecteur −→

MN a pour coordonnées (c −a,d −b) dans la base (−→u , −→v ) : MN−→ =−−→

OM + −→

ON = (c −a)−→u + (d −b)−→v Le vecteur MN−→ a pour affixe w −z. On a en particulier :

MN−→ = |w −z|

(11)

Exercice

Soient A, B et C trois points du plan complexe d’affixes

zA =1+i, zB =4+2i, zC =−⁵−i.

Calculer les affixes des vecteurs −→

AB, −→

AC et montrer que A, B et C sont alignés.

• Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique S est le cercle de rayon 1 centré en O du plan P^. Les coordonnées (xM,yM) d’un point M de S sont xM =cos θ_, yM = sinθ _où θ ∈[0,₂π[ est la mesure de l’angle (orienté) entre la demi-droite

Ox+ = {(x,₀) | x ≥⁰} et la demi-droite OM. Notation

Soient a,x,y ∈R^{. On écrit} y ≡ x[a], ce qui se lit y est congru à x modulo a, s’il existe k ∈ Z tel que : y = x +ka.

Pour eθ ∈R il existe un unique θ ∈[0,₂π[ tel que θe−θ ∈ {²kπ | k ∈Z}, ou encore θe≡θ[2π]. On définit alors cos(θ) = cos(θ)e et sin(θ) = sin(θ)e .

Propriétés remarquables des fonctions sinus et cosinus Proposition

1 cos²x + sin²x =1 pour tout x ∈R (Pythagore).

2 Pour tous x,y ∈ R^{, on a :} cosy = cosx ⇐⇒ y ≡x [2π] ou y ≡ −x [2π]

; siny = sinx ⇐⇒ y ≡x [2π] ou y ≡ π−x[2π]

.

3 Pour tout α, β ∈ R^{, on a :}

cos(α+β) = cosαcosβ −sinαsinβ _et sin(α+β) = sinαcosβ + sinβcosα

(12)

• Coordonnées polaires

Si z =x +iy 6=0, où x, y sont dans R. Il existe r ∈ R^∗+ et θ ∈R ^{tels que}

z = r(cosθ +isinθ). On dit que (r, θ) est un couple de coordonnées polaires de z (ou de M(z)). On a :

x = rcosθ

y = rsinθ ⇐⇒

r =p

x²+y²

z =r(cosθ+isinθ) ⇐⇒

Cf.Chap.suivant

r =|z|

θ ≡argz [2π]

4. Forme exponentielle

Soit z =x +iy ∈C ^avec x,y ∈R^.

L’exponentielle (complexe) de z est l’élément de C\ {⁰} ^{suivant :} e^z =e^x(cosy +isiny)

que l’on note aussi exp(z). Pour tout θ ∈R ^:

e^iθ = cosθ +isinθ _et e^iθ=1.

Formules d’Euler : cosθ=e^iθ +e⁻^iθ

2 et sinθ=e^iθ −e⁻^iθ

2i ^pour θ∈R

Proposition

Soient z,u,v ∈C ^et α, β ∈ R^.

a e^z =e^z.

b e^u+v = e^ue^v donc 1

eû =e⁻û, puis eû⁻^v = eû e^v^.

c e^iα =e^iβ ⇐⇒ α ≡β [2π].

En particulier : e^iα =1 ⇐⇒ α ≡⁰ [2π].

Remarque : Soit α, β ∈ R. L’égalité eî(α+β) =eîαeîβ issue du (b) permet de retrouver les égalités :

cos(α+β) = cosαcosβ −sinαsinβ _et sin(α+β) = sinαcosβ + sinβcosα .

(13)

Un argument de z ∈C\ {⁰}, que l’on note par abus « argz » (il n’y a pas unicité), est un nombre réel θ, _{tel que} z =|z|e^iθ.

Tout z ∈C\ {0} admet un argument. Si θ est un argument de z, les arguments de z sont les réels congrus à θ modulo 2π.

L’unique argument de z dans ]−π, π] est appelé argument principal de z.

Proposition

Soient z,u,v ∈C^∗^.

a arg(uv)≡ arg(u) + arg(v) [2π] et arg u v

≡arg(u)−arg(v) [2π]. On en déduit

que : arg(−z) ≡arg(z) +π [2π], arg ¹ z

≡ −arg(z) [2π].

b arg(z)≡ −arg(z) [2π].

Exercice

I. Écrire sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :

1 −³√

2 ₂ −⁴

3i ³ ³+3i

II. Calculer le module et l’argument de u =

√6−i√ 2

2 et v =1−i. En déduire le module et l’argument de u

v puis la valeur de cos( π

12) et de sin( π 12). III. Soient E,F et G trois points du plan complexe d’affixes

zE =−²i, zF = −√

3+i, zG =√ 3+i. Donner la forme algébrique de zF −zE

zG −zE et la forme trigonométrique.

En donner une interprétation géométrique.

5. Equation du second degré

• « Racine carrée »

Pour z₀ ∈ C, on cherche z ∈C ^{tel que} z² =z₀.

Une telle équation a exactement deux solutions opposées l’une de l’autre.

I Première approche. z₀ =a+ib où a,b ∈R^{. Soit} x, y ∈R ^et z = x +iy. On a les équivalences :

z² =z₀ ⇐⇒ x²−y²+2ixy =a+ib

⇐⇒





x²−y² = a Egalité des parties réelles 2xy = b Egalité des parties imaginaires x²+y² =√

a²+b² Egalité des modules (redondante)

On résout le système d’inconnues réelles x et y en commençant par trouver x² et y² avec une condition de signe sur xy.

(14)

I Deuxième approche. z₀ =re^iθ où r ∈R^∗+ et θ ∈ R^.

Proposition

L’équation z² =z₀ d’inconnue z ∈C a deux solutions qui sont :

√r eⁱ^θ² et −√ r eⁱ^θ² .

• « Equation de degré 2 »

Proposition

Soient a, b, c ∈C ^avec a 6=0. On pose ∆ =b²−⁴ac et on choisit δ ∈ C ^{tel que} δ² = ∆. Les solutions de l’équation az²+bz +c =0 d’inconnue z ∈ C ^{sont :}

−b−δ 2a ^et

−b+δ

2a ^si ∆6=0 ou − b

2a ^si ∆ =0

Remarques

Soit a, b, c ∈ C ^et δ ∈ C ^{tel que} δ² = ∆ = b²−⁴ac.

Les solutions de l’équation az²+bz +c =0 sont appelées racines (complexes) du polynôme az²+bz +c.

az²+bz +c =a(z + b+δ

2a )(z + b−δ 2a ). Si ∆ = 0, az²+bz +c = a(z + b

2a)².

Si a, b, c sont réels et ∆ <0, on peut choisir δ =i√

−∆. Dans ce cas, les racines sont conjuguées :

−b−δ

2a = −b +δ 2a ^.

Exercice

Résoudre dans C les équations suivantes : z²+4z +5= 0.

z²−²z −¹⁵ =0.

z²+2z +1+i =0.

(2+i)z²−(1−i)z − ¹₂ =0.

2z²+3z +5i =0. (On pourra utiliser que 41² =1681).

(15)

6. Puissances entières

Pour z ∈C ^et n ∈Z ^{on pose :}







z⁰ =1

zⁿ =z × · · · ×z (n fois) quand n ≥ 1 zⁿ = ¹

z⁻ⁿ ^quand n < _{0 et} z 6=0 Pour p, q ∈Z ^et z ∈ C\ {⁰} ^{on a} z^pz^q =z^p+q et (z^p)^q =z^pq

Proposition - Formule de Moivre

Soient θ ∈R ^et n ∈Z^{. On a} e^iθn

= e^inθ, c’est-à-dire

(cosθ +isinθ)ⁿ = cos(nθ) +isin(nθ)

Rappel : formule du binôme de Newton

I Factoriel. On pose 0! =1 et n! =1×²× · · · ×n pour n ∈N^∗^.

I Coefficient binomial. Pour n, k ∈N avec k ≤ n : n

k

= n!

k!(n−k)!^. Pour n, k ∈N avec 1 ≤ k ≤ n :

n k −¹

+

n k

=

n+1 k

et

n k

= n

n−k

.

Formule du binôme de Newton

Pour u, v ∈ C ^et n ∈N ^{on a :} (u +v)ⁿ = Pn k=0

n k

u^kvⁿ⁻^k

Exercice

Calculer les nombres complexes suivants : (2+3i)³

(1−2i)⁴ (¹+i

2 )⁸ (1+i√

3)²⁰⁰⁰

(16)

Applications

Soit θ ∈R ^et n ∈N^∗^.

La formule du binôme permet de calculer cos(nθ) et sin(nθ) à l’aide des réels (cosθ)^k et (sinθ)^k avec 0 ≤ k ≤n. Pour cela :

1 On développe (cosθ+isinθ)ⁿ.

2 On utilise cos(nθ) =_Re(cosθ+isinθ)ⁿ et sin(nθ) =_Im(cosθ+isinθ)ⁿ.

La formule du binôme permet d’exprimer (cosθ)ⁿ et (sinθ)ⁿ à l’aide des réels cos(kθ) et sin(kθ) avec 0 ≤k ≤ n. Pour cela :

1 On développe e^iθ +e^−iθ 2

n

et on se souvient que c’est égal à(cosθ)ⁿ.

2 On développe (sinθ)ⁿ= eⁱ^θ−e⁻ⁱ^θ 2i

n

.

Exercice

1 Exprimer cos(3α) en fonction de (cosα) et de (sinα).

2 Linéariser (sinα)⁴.

III. Fonctions polynômiales

On désigne par K ^{le corps} R ou le corps C^.

Définitions

Une fonction polynômiale sur K est une fonction P :K → K de la forme P(x) = a₀+a₁x +. . .+anxⁿ =

Xn k=0

akx^k

où n est un entier naturel et a₀,a₁, . . . ,an sont des éléments de K^. Les nombres a₀,a₁, . . . ,an sont appelés les coefficients de P.

Lorsque P n’est pas la fonction nulle et si an 6=0 on dit que n est le degré de P et on note deg(P) = n.

(17)

On utilisera souvent, par abus de langage, le terme de polynôme à coefficients dans K^, ou polynôme sur K, à la place de celui de fonction polynômiale sur K^.

Proposition

Soit P et Q deux polynômes à coefficients dans K^.

1 La fonction P +Q définie pour tout x de K ^par (P +Q)(x) =P(x) +Q(x) est un polynôme.

2 La fonction PQ définie pour tout x de K par PQ(x) = P(x)×Q(x) est un polynôme.

3 La dérivé P⁰ de P est encore un polynôme.

Théorème

Deux polynômes à coefficients dans K sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients.

Proposition

Soit P et Q deux polynômes à coefficients dans K.

1 deg(P+Q)≤ max{deg(P),deg(Q)} ^{et si} deg(P)6=deg(Q) on a toujours égalité.

2 deg(PQ) = deg(P) +deg(Q).

3 deg(P⁰) = deg(P)−^{1 lorsque} P n’est pas une fonction constante et P⁰ est la fonction nulle sinon.

Exercice

Soit P et Q les polynômes à coefficients dans C ^{suivants :}

pour tout z ∈ C ,P(z) = iz³+z²−⁵z −^{1 et} Q(z) = (iz −⁴)³ Donner le degré des polynômes P, Q, P +Q, 2P +3Q, PQ.

(18)

Définition

Soit P un polynôme à coefficients dans K ^et α ∈K^. On dit que α _est _{racine de} P lorsque P(α) = 0.

Proposition

Soit P un polynôme à coefficients dans K ^et α ∈K^.

Le nombre α est racine de P si et seulement si on peut trouver un polynôme Q telle que pour tout x de K, P(x) = (x −α)Q(x).

On dit alors que P est divisible par x −α ou que x −α divise P.

proposition

Si α₁, . . . α_n _sont n racines distinctes de P, on peut trouver un polynôme Q telle que pour tout x de K^, P(x) = (x −α₁)· · ·(x −αn)Q(x) = Qn

i=1(x −αi)Q(x).

Définition

On dit que α _est racine d’ordre k de P (k ∈N^∗) lorsqu’il existe un polynôme Q telle que :

∀x ∈K, P(x) = (x −α)^kQ(x)

et Q(α) 6=0. k est appelé ordre de multiplicité de la racine α_.

Si k =1, α est dite racine simple de P.

Si deg(P) =n, l’ordre d’une racine de P est inférieur ou égal à n.

Proposition

Soit k ∈N^∗. Les trois assertions suivantes sont équivalentes :

1 α est racine d’ordre k de P.

2 α est racine d’ordre k −^{1 de} P⁰ et α est racine de P.

3

P(α) = P⁰(α) = . . .=P^(k⁻¹⁾(α) = 0, P^(k)(α)6=0.

(19)

Exercice

Soit n ∈N ^{tel que} n > 2 et P la fonction polynômiale donnée pour tout x de R ^par P(x) = x²ⁿ−n²xⁿ⁺¹+2(n²−¹)xⁿ−n²xⁿ⁻¹+1.

Démontrer que 1 est racine de P. Quel est son ordre de multiplicité ?

Factorisation dans C Théorème (admis)

Tout polynôme non constante sur C admet une racine dans C.

En convenant de compter k fois une racine multiple d’ordre k, toute fonction polynômiale P de degré n 6=0 sur C admet exactement n racines. Si an est le coefficient dominant de P, on a pour tout x dans K ^:

P(x) = an(x −α₁)^r¹· · ·(x −αp)^r^p, _avec r₁+. . .+rp =n ,

où α₁, . . . , αp sont les p racines distinctes de P et r₁, . . . ,rp leurs ordres de multiplicité respectives.

Factorisation dans R Proposition

Soit P un polynôme à coefficients réels et k ∈ N^∗^.

Le nombre complexe α est racine d’ordre k de P si et seulement si α est racine d’ordre k de P.

Proposition

Soit P un polynôme à coefficients réels de degré n, an son coefficient dominant, α₁, . . . , α_p ses racines réelles, d’ordres respectifs r₁, . . . ,rp. Il existe un entier q et des réels β₁, γ₁. . . , β_q, γ_q _{tels que} β_j²−⁴γ_j <0 pour tout j =1, . . . ,q de sorte que :

∀x ∈R, P(x) =an

Yp i=1

(x −α_i)^rⁱ Yq j=1

(x²+β_jx +γ_j) et

Xp i=1

ri +2q = n

(20)

Proposition

Tout polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle.

Exercice

1 Factoriser dans R et dans C le polynôme P(x) =x³−3x²+7x −5 (on pourra remarquer que P(1) = 0).

2 Déterminer une fonction polynômiale P à coefficient réels qui s’annule en 2, en 3−i et en i. Cette fonction est-elle unique ?

3 Factoriser dans R ^{et dans} C le polynôme P(x) =x⁴−^1.

4 Factoriser dans R ^{et dans} C le polynôme P(x) =x⁶+1.