Chapitre II : Théorème de Pythagore

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B C

hypoténuse

A

B C

A

B C

E F

G

A

B C

E F

G

K I

J

A

B C

E F

A G

B C

E F

G

K I

J

Chapitre II : Théorème de Pythagore

I) Vocabulaire

Définition : Dans un triangle ABC, si l'angle B est droit, on dit que le triangle ABC est rectangle en B.

Dans ce triangle rectangle, le côté [AC] est appelé l'hypoténuse. C'est le plus grand côté du triangle.

II) Théorème de Pythagore

1) Enoncé du théorème :

Si ABC est un triangle rectangle en B, Alors : AC²  AB²BC²

Exemples :

EFG est rectangle en F IJK est rectangle en I

Donc : EG² EF²FG² Donc : JK² JI² IK²

2) Application 1 : déterminer une longueur manquante : Exemples :

On sait que EF = 3 cm et que FG = 4 cm.

On cherche à déterminer la longueur EG

EFG est rectangle en F donc d'après le théorème de Pythagore, on a :

2 2 2

EG EF FG on remplace ensuite les longueurs connues :

2 2 2

2

3 4

9 16 25 25 5 EG

EG EG

 

  

 

donc EG = 5 cm

On sait que IK = 6 cm et que JK = 10 cm On cherche à déterminer la longueur JI

IJK est rectangle en I donc d'après le théorème de Pythagore, on a :

2 2 2

JK JI IK on remplace ensuite les longueurs connues :

(2)

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2 2 2

2 2

10 6

100 36

100 36 64 64 8 JI JI JI JI

 

  

 

donc JI = 8 cm

3) Application 2 : démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle :

Exemple : On considère un triangle EFG tel que EF = 8 cm; EG = 7 cm et FG = 4 cm D'une part : EF² 8² 64

D'autre part : EG²FG² 7²4² 49 16 65 On constate que EF² EG²FG²

Or d'après le théorème de Pythagore, si le triangle EFG était rectangle on devrait avoir EF² EG²FG²

Donc le triangle EFG n'est pas rectangle.

III) Réciproque du théorème de Pythagore

1) Enoncé de la réciproque :

Dans un triangle ABC, si AB²  AC² CB²alors le triangle ABC est rectangle en C 2) Application : démontrer qu'un triangle est rectangle :

Exemple : On considère un triangle EFG tel que EF = 13 cm; EG = 12 cm et FG = 5 cm D'une part : EF² 13² 169

D'autre part : EG²FG² 12²5² 144 25 169  On constate que EF² EG²FG²

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en G.

Cours 4^ème Année 2015-2016