Chapitre 4 : «
Chapitre 4 : « Théorème de Thalès ; agrandissement et Théorème de Thalès ; agrandissement et réduction
réduction » »
I
I Théorème de Thalès (version 4 Théorème de Thalès (version 4 )
èmeème)
1/ Activité
Objectif
On cherche à généraliser la propriété réciproque vue dans le chapitre 2 : « Si une droite passe par le milieu d'un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté ».
Que se passe-t-il lorsqu'on a la seule condition suivante « j'ai une droite parallèle à un côté » ?
Cas particulier
Construis un triangle ABC tel que AC=6 cm ; AB=4 cm et BC=7 cm. M est un point de [AC] tel que AM=1,5 cm. Trace la parallèle à BC passant par M. Elle coupe
[AB] en N.
On remarque que M est situé au quart de [AC] car 1,5=6÷4. Est-ce que, par hasard, N est aussi au quart de [AB]. Il semble que c'est le cas. Si on mesure à la règle, AN≈1 cm qui est le quart de AB=4 cm.
On conclut dans ce cas que AN AB =AM
AC (égaux à 1 4 ).
Mais ce n'est pas fini. On remarque aussi que NM est environ égal au quart de BC. Donc, il semble que AN
AB =AM
AC =NM BC .
On généralise cette idée avec le théorème de Thalès...
2/ Énoncé et configuration
Configuration de Thalès (simplifiée pour la 4ème )
Théorème de Thalès (simplifié pour la 4ème )
Si [AM et [AN sont deux droites de même origine et si MN et BC sont deux droites parallèles alors AM
AB =AN AC =MN
BC ou AB
AM =AC AN =BC
MN .
Point méthode
• La configuration de Thalès c'est le type de figure dans lequel on peut appliquer le théorème de Thalès : « deux demi-droites de même origine et deux parallèles » ou bien « un triangle et une droite parallèle à un côté ».
• AM AN , AN
AC et MN
BC sont appelés les quotients de Thalès (parfois on dit
« rapports »).
• Ci-contre, on peut voir le petit triangle AMN et un grand triangle ABC. Pour retrouver les quotients, on fait « petit côté sur grand côté » ou inversement.
• Dans AM AN =AN
AC=MN
BC , les lettres du dernier numérateur se retrouvent dans les deux premiers numérateurs. C'est la même chose pour les dénominateurs.
(MN)//(BC) (MN)//(BC)
3/ Exemple d'application
Comment calculer la longueur MS en utilisant le théorème de Thalès ?
• On est bien dans une configuration de Thalès : [SK et [SN sont deux demi- droites de même origine, MJ et NK sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a les quotients suivants : SJ
SK=SM SN =JM
NK
• On remplace par les valeurs. Puisqu'on ne connaît pas JM et NK, on conserve que les deux premiers quotients :
1,2 3,6=SM
2,4
1,2×2,4=3,6×SM (produit en croix)
2,88=3,6×SM (dans 2,88 , combien de fois 3,6 ?) SM=2,88÷3,6
SM=0,8cm
4/ Méthodes de calcul sur les quotients
Produits en croix
a, b, c et d sont quatre nombres non nuls.
a b=c
d est équivalent à a×d=b×c.
Exemples d'utilisation
Résoudre les équations suivantes 3
x=5 7 3×7=5×x 21=5x
x=21 5
9 5= x
15 9×15=5×x 135=5x
x=135 5 x=27
3 11=9
x 3x=11×9 3x=99
x=99 3 x=33
x 11= 9
22 x×22=11×9 22x=99
x=99 22 x=9
2
K
N J
M S
1,2 cm
3,6 cm
2,4 cm
(JM)//(NK)
?
5/ Étapes pour utiliser le théorème de Thalès
• On décrit la configuration : « Deux parallèles sur deux demi-droites de même origine » et on dit qu'on utilise le théorème de Thalès.
• On donne les trois quotients de Thalès.
• On remplace par les valeurs dans deux quotients.
• On calcule grâce au produit en croix.
• On donne le résultat sous la forme d'une fraction irréductible ou d'un nombre décimale.
II
II Agrandissement et réduction Agrandissement et réduction
Exemple 1
On considère un triangle IJK tel que IJ=7,3cm, KIJ=30° et KJI=55°.
• Construire le triangle IJK.
• Calcule la mesure de l'angle IKJ .
• Construire un triangle I ' J ' K ' « une fois et demie plus grand » que IJK.
• Construction
• Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180 °. Donc :
IKJ=180–3055=95°
• Puisque IJ=7,3 cm
I ' J '=IJ×1,5=7,3×1,5=10,95 cm. On se doute que les angles sont de même mesure. D'où la construction
suivante :
• Mesurons les autres
longueurs et comparons-les : IK=6 cm et I ' K '=9 cm : on remarque que 6×1,5=9
KJ ≈3,7 cm et
K ' J '≈5,5cm : remarque que 3,7×1,5≈5,5
A retenir
Pour agrandir la figure IJK, on a multiplié les longueurs par 1,5. Ce nombre s'appelle le coefficient d'agrandissement. Il est forcément plus grand que 1 .
Exemple 2
Le triangle EFG est une réduction du triangle ABC, complète les mesures de longueurs et d'angles manquantes.
• C'est une réduction donc le coefficient de réduction k est compris entre 0 et 1 k= petite longueur
grande longueur=GF AC=4
6=2 3 On a bien 02
31 !
• Donc GE=k×AB=2
3×7,2=4,8cm.
• Si on cherche une longueur sur la figure « de départ », on divise par le coefficient k : BC=EF ÷k=1,6÷
23
=2,4cm6 C
B
7,2
A 40°
75°
E
G
F 1,6 4
A retenir
Lors d'une réduction, le coefficient de réduction doit être compris entre 0 et 1. Pour le trou
ver, on fait le quotient d'une « petite longueur » par une « grande longueur ».
Quelques remarques importantes
• De manière générale, le coefficient k multiplie ! (Sauf exception)
• Lorsque 0k1, il faut bien multiplier pour réduire. Par exemple : - si k=0,3 : 10 cm×0,3=3 cm
- si k=0,5 : 2cm×0,5=1 cm
Exemple 3
On considère que A' B' C ' est une réduction de ABC. Calcule les mesures d'angle man
quantes.
• On a ABC=A' B ' C '=50°.
• CAB=180–6050=180–70=110°
A retenir
Dans une réduction ou un agrandissement, les mesures d'angle sont conservées.
Pour lundi 6 décembre
On commence un nouveau chapitre Pour mardi 7 décembre
Contrôle chapitre 4 (1h) Pour vendredi 17 décembre
Contrôle bilan sur tout depuis le début de l'année !!
A
A' B
B'
C C'
60° 50°
?
