Raffinement local espace-temps et algorithmes de Schwarz (optimizés)

(1)

Raffinement local espace-temps et algorithmes de Schwarz (optimiz´es)

Laurence HALPERN

LAGA - Universit´e Paris 13

CANUM. Juin 2006

(2)

R´esum´e

1 Motivations

2 L’´equation des ondes 1-D

Problème de transmission et algorithme de Schwarz Le problème couplé : stabilité

L’algorithme discret : volumes finis Performances num´eriques

3 L’´equation d’advection-diffusion L’algorithme de Schwarz

La m´ethode de Galerkin discontinu Performances num´eriques

4 Conclusion et perspectives

(3)

Raffinement de maillage

H2 Bubble – Shock Interaction

5

4 3

4

1 2

Uniform supersonic flow

Euler N2-O2 non-reactive

Coarse mesh

Non-interacting acoustic waves

Euler N2-O2 non-reactive

Coarse mesh

2

Shock- bubble interaction

Navier-Stokes multi- species reactive

Fine mesh

3 Interacting acoustic waves

Euler N2-O2 reactive

Fine mesh

4 Vortex and flame front

Navier-Stokes multi- species reactive

Very fine mesh

Application en combustion

(4)

Raffinement de maillage

Application au couplage oc´ean-atmosph`ere

(5)

Raffinement de maillage

Application en g´eophysique

(6)

Raffinement de maillage

x 295 m

595 m

350 m z

200 m 695 m

Dogger Clay Marl

Limestone

0 25 000 m

repository

Application au stockage souterrain des d´echets

(7)

Les probl`emes

1

Raffinement en espace : m´ethodes mixtes, mortar, Galerkin discontinu..

2

Raffinement en temps ?

(8)

Les probl`emes

1

Raffinement en espace : m´ethodes mixtes, mortar, Galerkin discontinu..

2

Raffinement en temps ?

Raffinement/jonction

U1 (j,n) U2 (j,n)

x t

(9)

Les solutions

Interpolation

!"#$%&'()*+,-./0123

4444444444444444444444

5555555555555555555555

6666666666666666666666

777777777777777777777777777777888888888888888888888888888888 999999999999999999999999999999:::::::::::::::::::::::::::::: ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

1 2 3 4

−2

−4

−6

U1 (j,n) U2 (j,n)

2∆t2∆x 2n

n

2n+ 1

∆t

∆x

x t

U

2

(0, 2n) = U

1

(0, n), U

2

(0, 2n + 1) = 1

2 (U

1

(0, n) + U

1

(0, n + 1))

(10)

Les solutions

Interpolation

==> ??@ AB

CD EF GH IJ

KL

MNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`ab

cccccccccccccccccccccc

dddddddddddddddddddddd

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

ffffffffffffffffffffffffffffffgggggggggggggggggggggggggggggg hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

1 2 3 4

−2

−4

−6

U1 (j,n) U2 (j,n)

2∆t2∆x 2n

n

2n+ 1

∆t

∆x

x t

U

2

(0, 2n) = U

1

(0, n), U

2

(0, 2n + 1) = 1

2 (U

1

(0, n) + U

1

(0, n + 1)) Avantages : Simple, explicite

Inconv´enients : non toujours stable, peu flexible, pr´ecision ?

(11)

Les solutions

Autre approche : d´ecomposition de domaines

♣ Approche continue.

♣ Puis discr´etisations ind´ependantes.

(12)

Les solutions

Autre approche : d´ecomposition de domaines

♣ Approche continue.

♣ Puis discr´etisations ind´ependantes.

Avantages : simple, stable, flexible, pr´ecise.

inconv´enients : a priori : pas explicite.

(13)

Les solutions

Programme

Ecrire un probl`eme coupl´e

Discr´etiser dans chaque sous-domaine

Projeter une grille sur une autre

(14)

R´esum´e

1 Motivations

2 L’´equation des ondes 1-D

Problème de transmission et algorithme de Schwarz Le problème couplé : stabilité

L’algorithme discret : volumes finis Performances num´eriques

3 L’´equation d’advection-diffusion L’algorithme de Schwarz

La m´ethode de Galerkin discontinu Performances num´eriques

4 Conclusion et perspectives

(15)

R´esum´e

1 Motivations

2 L’´equation des ondes 1-D

Problème de transmission et algorithme de Schwarz Le problème couplé : stabilité

L’algorithme discret : volumes finis Performances num´eriques

3 L’´equation d’advection-diffusion L’algorithme de Schwarz

La m´ethode de Galerkin discontinu Performances num´eriques

4 Conclusion et perspectives

(16)

Les probl`emes

L’´equation

L u := 1 c ²

∂ ² u

∂t ² − ∂ ² u

∂x ² = f

(17)

Les probl`emes

Raffinement

IIIIII I I I I I I I I I I I I I

PSfrag replacements

t

Ω

1

Ω

2

∆x

1

∆x

2

c ∆t

∆x . γ ⇒ ∆t ₂

∆t ₁ ≈ ∆x ₂

∆x ₁

(18)

Les probl`emes

Raffinement

IIIIII I I I I I I I I I I I I I

PSfrag replacements

t

Ω

1

Ω

2

∆x

1

∆x

2

c ∆t

∆x . γ ⇒ ∆t ₂

∆t ₁ ≈ ∆x ₂

∆x ₁

Discontinuit´es

<<<

t

I I I I I I I I I I I I I I I

PSfrag replacements

Ω

1

Ω

2

∆t

1

∆t

2

c

1

c

2

c ∆t

∆x . γ ⇒ ∆t 2

∆t ₁ ≈ c 1

c ₂

(19)

Le probl`eme de transmission

ai ai+1

x Ωi

t

(20)

Le probl`eme de transmission

ai ai+1

x Ωi

t

d´efinition

L (u _i ) = 0 x ∈ Ω _i , t ∈ (0, T )

B ⁻ i (u _i ) = B ⁻ i (u _i−1 ) x = a _i , t ∈ (0, T )

B ⁺ i (u _i ) = B ⁺ i (u _i+1 ) x = a _i+1 , t ∈ (0, T ),

(21)

Le probl`eme de transmission

ai ai+1

x Ωi

t

d´efinition de l’algorithme de Schwarz

L (u ^k _i ) = 0 x ∈ Ω i , t ∈ (0, T )

B ⁻ i (u ^k _i ) = B ⁻ i (u ^k _i−1 ⁻¹ ) x = a i , t ∈ (0, T )

B i ⁺ (u ^k _i ) = B ⁺ i (u _i+1 ^k−1 ) x = a _i+1 , t ∈ (0, T ).

(22)

L’algorithme de Schwarz

Choix optimal

B ⁻ i := ∂ _x − 1

c ∂ _t , B ⁺ i := ∂ _x + 1

c ∂ _t

L (u ^k _i ) = f x ∈ Ω _i , t ∈ (0, T )

B ⁻ (u ^k _i ) = B ⁻ (u ^k _i−1 ⁻¹ ) x = a _i , t ∈ (0, T )

B ⁺ (u ^k _i ) = B ⁺ (u _i+1 ^k−1 ) x = a i+1 , t ∈ (0, T ).

(23)

L’algorithme de Schwarz

Choix optimal

B ⁻ i := ∂ _x − 1

c ∂ _t , B ⁺ i := ∂ _x + 1 c ∂ _t L (u ^k _i ) = f x ∈ Ω _i , t ∈ (0, T ) B ⁻ (u ^k _i ) = B ⁻ (u ^k _i−1 ⁻¹ ) x = a _i , t ∈ (0, T ) B ⁺ (u ^k _i ) = B ⁺ (u _i+1 ^k−1 ) x = a i+1 , t ∈ (0, T ).

convergence

Convergence en 2 it´erations pour T < T ₀ = min

1<i<I | a _i+1 − a _i | /c

↓

Fenˆetres en temps de taille T ₀

(24)

Estimations d’´energie, stabilit´e

premi`ere estimation

E

Ωi

(u

i

)(t) + c 4

Z

_t

0

[(B

⁺

u

i

(a

i

, s))

²

+ (B

⁻

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds

= c

4 Z

_t

0

[(B

⁻

u

i

(a

i

, s))

²

+ (B

⁺

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds + E

Ωi

(u

i

)(0).

(25)

Estimations d’´energie, stabilit´e

premi`ere estimation

E

Ωi

(u

i

)(t) + c 4

Z

_t

0

[(B

⁺

u

i

(a

i

, s))

²

+ (B

⁻

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds

= c

4 Z

_t

0

[(B

⁻

u

i

(a

i

, s))

²

+ (B

⁺

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds + E

Ωi

(u

i

)(0).

Conditions de transmission :

B

⁻

u

i

(a

i

, ·) = B

⁻

u

_i−1

(a

i

, ·), B

⁺

u

i

(a

i+1

, ·) = B

⁺

u

i+1

(a

i+1

, ·)

(26)

Estimations d’´energie, stabilit´e

premi`ere estimation

E

Ωi

(u

i

)(t) + c 4

Z

_t

0

[(B

⁺

u

i

(a

i

, s))

²

+ (B

⁻

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds

= c

4 Z

_t

0

[(B

⁻

u

i

(a

i

, s))

²

+ (B

⁺

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds + E

Ωi

(u

i

)(0).

Conditions de transmission :

B

⁻

u

i

(a

i

, ·) = B

⁻

u

_i−1

(a

i

, ·), B

⁺

u

i

(a

i+1

, ·) = B

⁺

u

i+1

(a

i+1

, ·)

substitution et sommation

E

Ωi

(u

i

)(t) + c 4

Z

_t

0

[(B

⁺

u

i

(a

i

,s))

²

+ (B

⁻

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds

= c

4 Z

_t

0

[(B

⁻

u

_i−1

(a

i

,s))

²

+ (B

⁺

u

i+1

(a

i+1

,s))

²

] ds + E

Ωi

(u

i

)(0).

(27)

Estimations d’´energie, stabilit´e

substitution et sommation

X

i

E

Ωi

(u

i

)(t) + c 4

Z

_t

0

[(B

⁺

u

i

(a

i

,s))

²

+ (B

⁻

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds

= c

4 Z

_t

0

[(B

⁻

u

i−1

(a

i

,s))

²

+ (B

⁺

u

i+1

(a

i+1

,s))

²

] ds + E

Ωi

(u

i

)(0).

(28)

Estimations d’´energie, stabilit´e

convergence de l’algorithme de Schwarz

X

k

X

i

E

Ωi

(u

_i^k

)(t) + c 4

Z

_t

0

[(B

⁺

u

^k_i

(a

i

,s))

²

+ (B

⁻

u

^k_i

(a

i+1

,s))

²

] ds

= c

4 Z

_t

0

[(B

⁻

u

^k−1_i−1

(a

i

,s))

²

+ (B

⁺

u

^k−1_i+1

(a

i+1

,s))

²

] ds

(29)

Stabilit´e sur l’interface

B ⁻ u _i (a _i , · ) = B ⁻ u _i−1 (a _i , · ) + g _i ⁻

B ⁺ u _i (a _i+1 , · ) = B ⁺ u _i+1 (a _i+1 , · ) + g _i ⁺

(30)

Stabilit´e sur l’interface

B ⁻ u _i (a _i , · ) = B ⁻ u _i−1 (a _i , · ) + g _i ⁻ B ⁺ u _i (a _i+1 , · ) = B ⁺ u _i+1 (a _i+1 , · ) + g _i ⁺

E

Ωi

(u

i

)(t) + c 4

Z

_t

0

[(B

⁺

u

i

(a

i

, s))

²

+ (B

⁻

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds

= c

4 Z

_t

0

[(B

⁻

u

i

(a

i

, s))

²

+ (B

⁺

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds + E

Ωi

(u

i

)(0).

(31)

Stabilit´e sur l’interface

B ⁻ u _i (a _i , · ) = B ⁻ u _i−1 (a _i , · ) + g _i ⁻ B ⁺ u _i (a _i+1 , · ) = B ⁺ u _i+1 (a _i+1 , · ) + g _i ⁺

E

Ωi

(u

i

)(t) + c 4

Z

_t

0

[(B

⁺

u

i

(a

i

, s))

²

+ (B

⁻

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds

= c

4 Z

_t

0

[(B

⁻

u

i

(a

i

, s))

²

+ (B

⁺

u

i

(a

i+1

, s))

²

] ds + E

Ωi

(u

i

)(0).

QUE FAIRE ? Ecrire des conditions de transmission homog`enes.

(32)

Un rel`evement r´etrograde

g−

i

w−

i−1 g+

i−1 w+

i

ai ai+1

ai−1

t

(33)

Un rel`evement r´etrograde

g−

i

w−

i−1 g+

i−1 w+

i

ai ai+1

ai−1

t

Propri´et´es

B

⁻

w

_i−1⁻

(a

i

, · ) = g

_i⁻

, B

⁺

w

i⁺

(a

i

, · ) = g

i⁺−1

B

⁺

w

_i⁻₋₁

(a

i

, · ) = 0, B

⁻

w

_i⁺

(a

i

, · ) = 0, E

Ω_i−1

(w

i⁻−1

)(t) ≤ c

4 k g

i⁻

k

²L²(0,T)

, E

Ω_i

(w

i⁺

)(t) ≤ c

4 k g

i⁺−1

k

²L²(0,T)

(34)

Un rel`evement r´etrograde

g−

i

w−

i−1 g+

i−1 w+

i

ai ai+1

ai−1

t

R´e´ecriture des conditions de transmission

B

⁻i

u

i

(a

i

, ·) = B

⁻i

(u

i−1

+ w

_i⁻₋₁

) (a

i

, ·) in (0, T ),

B

⁺i

u

i

(a

i+1

, · ) = B

⁺i

(u

i+1

+ w

_i+1⁺

) (a

i+1

, · ) in (0, T ).

(35)

Un rel`evement r´etrograde, suite

w+ i−1

T

ai

ai−1 ai+1

g+ i−1

g−

i

w−

i−1 w−

i g− g+ i+1

i−1 w+

i

B

⁻

(u

i

) (a

i

, · ) = B

⁻

(u

i−1

+ w

_i⁻₋₁

) (a

i

, · )

(36)

Un rel`evement r´etrograde, suite

w+ i−1

T

ai

ai−1 ai+1

g+ i−1

g−

i

w−

i−1 w−

i g− g+ i+1

i−1 w+

i

B

⁻

(u

i

+w

_i⁻

) (a

i

, · ) = B

⁻

(u

i−1

+ w

_i⁻₋₁

) (a

i

, · )

(37)

Un rel`evement r´etrograde, suite

w+ i−1

T

ai

ai−1 ai+1

g+ i−1

g−

i

w−

i−1 w−

i g− g+ i+1

i−1 w+

i

B

⁻

(u

i

+w

_i⁻

+w

_i⁺

) (a

i

, · ) = B

⁻

(u

i−1

+ w

_i⁻₋₁

+w

_i⁺₋₁

) (a

i

, · )

(38)

Stabilit´e, fin

collecte X

i

E _Ω

_i

(u _i + w _i ⁺ + w _i ⁻ )(t ) ≤ X

i

E _Ω

_i

(u _i + w _i ⁺ + w _i ⁻ )(0)

X

i

E _Ω

_i

(u _i )(t) ≤ α [ k ∂ _x p k ² L

²

(Ω) + k q k ² L

²

(Ω) + X

±

X I i=1

k g _i ^± k ² L

²

(0,T) ].

(39)

Discr´etisation

lmln op qr stumuv wx

yz

{|

}m}~ m

m

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

0 0

Ω_i−1 Ω_i J_i

J_i+1+ 1 Ω_i+1+ 1

J_i−1+ 1 0

Facile `a mettre en oeuvre avec des conditions aux limites,

(40)

Discr´etisation

m m

m

¡m¡

¢m¢

£¤ ¥¦ §¨ ©ª

«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«m«¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬m¬

0 0

Ω_i−1 Ω_i J_i

J_i+1+ 1 Ω_i+1+ 1

J_i−1+ 1 0

Facile `a mettre en oeuvre avec des conditions aux limites,

sch´ema stable,

(41)

Discr´etisation

m® ¯° ±² ³´µmµ¶ ·¸

¹º

»¼

½m½¾ ¿m¿

ÀmÀ ÁmÁ

ÂmÂ

ÃÄ ÅÆ ÇÈ ÉÊ

ËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËmËÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌmÌ

0 0

Ω_i−1 Ω_i J_i

J_i+1+ 1 Ω_i+1+ 1

J_i−1+ 1 0

Facile `a mettre en oeuvre avec des conditions aux limites, sch´ema stable,

la pr´ecision globale est conserv´ee.

(42)

Discr´etisation

ÍmÍÎ ÏÐ ÑÒ ÓÔÕmÕÖ ×Ø

ÙÚ

ÛÜ

ÝmÝÞ ßmß

àmà ámá

âmâ

ãä åæ çè éê

ëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëmëìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmìmì

0 0

Ω_i−1 Ω_i J_i

J_i+1+ 1 Ω_i+1+ 1

J_i−1+ 1 0

Facile `a mettre en oeuvre avec des conditions aux limites, sch´ema stable,

la pr´ecision globale est conserv´ee.

volumes finis “vertex centered”

(43)

Le probl`eme discret

“

1

c²

D

_t⁺

D

_t⁻

− D

_x⁺

D

_x⁻

”

U

_i

(j, n) = 0 1 ≤ j ≤ J

_i

, 1 ≤ n ≤ N

_i

, B

_i⁻

U

i

(0, · ) = P

i−1,i

B e

_i⁻

U

i−1

(J

i−1

+ 1, · )

B

_i⁺

U

i

(J

i

+ 1, · ) = P

i+1,i

B e

_i⁺

U

i+1

(0, · )

(44)

Le probl`eme discret

“

1

c²

D

_t⁺

D

_t⁻

− D

_x⁺

D

_x⁻

”

U

_i

(j, n) = 0 1 ≤ j ≤ J

_i

, 1 ≤ n ≤ N

_i

, B

_i⁻

U

i

(0, · ) = P

i−1,i

B e

_i⁻

U

i−1

(J

i−1

+ 1, · )

B

_i⁺

U

i

(J

i

+ 1, · ) = P

i+1,i

B e

_i⁺

U

i+1

(0, · )

B

_i⁺

U

i

= “

_∆x

i

2c²

D

_t⁺

D

_t⁻

+ D

x⁻

+

¹_c

D

⁰_t

”

U

i

en (J

i

+ 1,n), B e

_i⁺

U

_i+1

= “

−

^∆x_2cⁱ⁺¹2

D

_t⁺

D

_t⁻

+ D

_x⁺

+

_c¹

D

_t⁰

”

U

_i+1

en (0, n)

(45)

Le probl`eme discret

“

1

c²

D

_t⁺

D

_t⁻

− D

_x⁺

D

_x⁻

”

U

_i

(j, n) = 0 1 ≤ j ≤ J

_i

, 1 ≤ n ≤ N

_i

, B

_i⁻

U

i

(0, · ) = P

i−1,i

B e

_i⁻

U

i−1

(J

i−1

+ 1, · )

B

_i⁺

U

i

(J

i

+ 1, · ) = P

i+1,i

B e

_i⁺

U

i+1

(0, · )

B

_i⁺

U

i

= “

_∆x

i

2c²

D

_t⁺

D

_t⁻

+ D

x⁻

+

¹_c

D

⁰_t

”

U

i

en (J

i

+ 1,n), B e

_i⁺

U

_i+1

= “

−

^∆x_2cⁱ⁺¹2

D

_t⁺

D

_t⁻

+ D

_x⁺

+

_c¹

D

_t⁰

”

U

_i+1

en (0, n)

P i,j Projection L ² de V i sur V j ,

V _i fonctions affines par morceaux sur la grille de pas ∆t _i .

(46)

estimation d’´energie discr`ete

E(U

i

)(n) − E(U

i

)(n − 1) + c∆t

i

2 [( B e

_i−1⁺

U

i

(0, n))

²

+ ( B e

_i+1⁻

U

i

(J + 1, n))

²

]

= c∆t

i

2 [(B

_i⁻

U

i

(0,n))

²

+ (B

_i⁺

U

i

(J + 1, n))

²

]

(47)

estimation d’´energie discr`ete

E(U

i

)(n) − E(U

i

)(n − 1) + c∆t

i

2 [( B e

_i−1⁺

U

i

(0, n))

²

+ ( B e

_i+1⁻

U

i

(J + 1, n))

²

]

= c∆t

i

2 [(B

_i⁻

U

i

(0,n))

²

+ (B

_i⁺

U

i

(J + 1, n))

²

]

B

_i⁻

U

i

(0, · ) = P

i−1,i

B e

_i⁻

U

i−1

(J

i−1

+ 1, · )

B

_i⁺

U

_i

(J

_i

+ 1, · ) = P

i+1,i

B e

_i⁺

U

_i+1

(0, · )

(48)

estimation d’´energie discr`ete

E(U

i

)(n) − E(U

i

)(n − 1) + c∆t

i

2 [( B e

_i−1⁺

U

i

(0, n))

²

+ ( B e

_i+1⁻

U

i

(J + 1, n))

²

]

= c∆t

i

2 [(B

_i⁻

U

i

(0,n))

²

+ (B

_i⁺

U

i

(J + 1, n))

²

]

B

_i⁻

U

i

(0, · ) = P

i−1,i

B e

_i⁻

U

i−1

(J

i−1

+ 1, · )

B

_i⁺

U

i

(J

i

+ 1, · ) = P

i+1,i

B e

_i⁺

U

i+1

(0, · )

E(U

i

)(n) − E(U

i

)(n − 1) + c∆t

i

2 [(e B

_i−1⁺

U

i

(0, n))

²

+ (e B

_i+1⁻

U

i

(J + 1, n))

²

]

≤ c∆t

i−1

2 ( B e

_i⁻

U

_i−1

(J

_i−1

+ 1, ·))

²

+ c∆t

i+1

2 ( B e

_i⁺

U

i+1

(0, ·))

²

(49)

Cons´equences

Existence et unicit´e, stabilit´e/conditions initiales et second membre.

(50)

Cons´equences

Existence et unicit´e, stabilit´e/conditions initiales et second membre.

convergence du Schwarz Waveform relaxation algorithm discret.

Schwarz Waveform relaxation algorithm discret

“

1

c²

D

_t⁺

D

⁻_t

− D

_x⁺

D

_x⁻

”

U

_i^k

(j , n) = 0 1 ≤ j ≤ J

_i

, 1 ≤ n ≤ N

_i

, B

_i⁻

U

_i^k

(0, · ) = P

i−1,i

B e

_i⁻

U

_i^k₋⁻₁¹

(J

i−1

+ 1, · )

B

_i⁺

U

_i^k

(J

_i

+ 1, · ) = P

i+1,i

B e

_i⁺

U

_i+1^k⁻¹

(0, · )

(51)

Stabilité du problème couplé

B

_i⁻

U

i

(0, ·) = P

i−1,i

e B

_i⁻

U

_i−1

(J

_i−1

+ 1, ·) + G

_i⁻

B

_i⁺

U

i

(J

i

+ 1, ·) = P

i+1,i

B e

_i⁺

U

i+1

(0, ·) + G

_i⁺

(52)

Stabilité du problème couplé

B

_i⁻

U

i

(0, ·) = P

i−1,i

e B

_i⁻

U

_i−1

(J

_i−1

+ 1, ·) + G

_i⁻

B

_i⁺

U

i

(J

i

+ 1, ·) = P

i+1,i

B e

_i⁺

U

i+1

(0, ·) + G

_i⁺

E(U

i

)(n) − E(U

i

)(n − 1) + c∆t

i

2 [( B e

_i−1⁺

U

i

(0, n))

²

+ ( B e

_i+1⁻

U

i

(J + 1, n))

²

]

= c∆t

i

2 [(B

_i⁻

U

i

(0,n))

²

+ (B

_i⁺

U

i

(J + 1, n))

²

]

(53)

Stabilité du problème couplé

B

_i⁻

U

i

(0, ·) = P

i−1,i

e B

_i⁻

U

_i−1

(J

_i−1

+ 1, ·) + G

_i⁻

B

_i⁺

U

i

(J

i

+ 1, ·) = P

i+1,i

B e

_i⁺

U

i+1

(0, ·) + G

_i⁺

E(U

i

)(n) − E(U

i

)(n − 1) + c∆t

i

2 [( B e

_i−1⁺

U

i

(0, n))

²

+ ( B e

_i+1⁻

U

i

(J + 1, n))

²

]

= c∆t

i

2 [(B

_i⁻

U

i

(0,n))

²

+ (B

_i⁺

U

i

(J + 1, n))

²

]

QUE FAIRE ? Ecrire des conditions de transmission homog`enes.

(54)

rel`evement r´etrograde discret

Th´eor`eme

Hyp : γ _i < 1 et T < inf _i γ _i (a _i+1 − a _i ).

B

_i⁻

W

_i⁺

(0, ·) − P

i,i−1

e B

_i⁻

W

_i−1⁻

(J

_i−1

+ 1, ·) − G

_i⁻

= R

_i,i−1

, B

_i−1⁺

W

_i−1⁻

(J

_i−1

+ 1, ·) − P

i−1,i

B e

_i−1⁺

W

_i⁺

(0, ·) − G

_i−1⁺

= R

_i−1,i

R _i,i−1 ∈ orthogonal de Im P i,i−1 dans V i ,

R _i−1,i ∈ orthogonal de Im P i−1,i dans V _i−1 .

(55)

Pr´ecision du sch´ema

Th´eor`eme

Hyp : γ _i < 1 et 2T < inf _i ^γ _c

ⁱ

(a _i+1 − a _i )

Alors le sch´ema est stable, globalement d’ordre 2 en temps et en espace.

(56)

La projection

ta tb

Ωk Ω`

function b=transfer(a,ta,tb) ; j=1 ;

for i=1 :n-1 b(i)=0 ; m=ta(j+1)-tb(i) ; while ta(j+1)<tb(i+1) ; b(i)=b(i)+m*a(j) ; j=j+1 ;

m=ta(j+1)-ta(j) ; end ;

m=m-(ta(j+1)-tb(i+1)) ; b(i)=b(i)+m*a(j) ; end ;

Soit un vecteur ta = [0, t _a (1), . . . , T ] arbitraire et a un vecteur

repr´esentant une fonction constante par morceaux sur ta, transfer

calcule les int´egrales de a sur les intervalles donn´es par la grille en temps

d´efinie par le vecteur tb = [0, t b (1), . . . , T ].

(57)

Cas simples

0 20 40 60 80 100 120

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

DONNEE INITIALE

PSfrag replacements Ω ₁ Ω ₂

Donn´ees

c = 1; T = 200.

∆t ₁ = 1; ∆x ₁ = 1, ∆t ₂ = 0.5, ∆x ₂ = 0.5.

(58)

Comparaison avec d’autres m´ethodes

γ = 1

erreur max ` a gauche erreur max ` a droite erreur du sch´ema 1.6098e-15 1.4988e-15

D.D. 1.8319e-15 0.0089

Interpol. 1.9429e-15 0.0046

Energie 1.9971e-04 0.4949

(59)

Comparaison avec d’autres m´ethodes

γ = 1

erreur max ` a gauche erreur max ` a droite erreur du sch´ema 1.6098e-15 1.4988e-15

D.D. 1.8319e-15 0.0089

Interpol. 1.9429e-15 0.0046

Energie 1.9971e-04 0.4949

γ = 0.9

erreur max ` a gauche erreur max ` a droite

sch´ema fin 0.0022 0.0006

sch´ema grossier 0.009 0.003

D.D. 0.0068 0.0064

Interpol. 0.0068 0.0027

Energie 0.0068 0.0437

(60)

Ordre de la m´ethode

10⁰ 10⁻³

10⁻² 10⁻¹ 10⁰

error max in the rough grid

dtl

error

dt² D.D.energy interpolation

10^−0.8 10^−0.6 10^−0.4 10^−0.2 10⁰ 10⁻³

10⁻² 10⁻¹ 10⁰

error max in the fine grid

dtr

error

dt² D.D.energy interpolation

(61)

Extension `a des vitesses diff´erentes

Donn´ees

[0 2] divisé en 2 parties égales, T=1 ;c=1 à gauche, c=1.7 à droite.On choisit γ = 1 partout, 11 points en espace dans chaque domaine, 11 points en temps à gauche et 18 à droite. Puis on divise le pas par 2.

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

dt

error after 2 iterations with projections

left discretisation error, Linf: dxl=1/(10*2ⁱ), dtl=1/(10*2ⁱ), dxr=1/(10*2ⁱ), dtr=1/(17*2ⁱ) error O(dt²)

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

dt

error after 2 iterations with projections

right discretisation error, Linf: dxl=1/(10*2ⁱ), dtl=1/(10*2ⁱ), dxr=1/(10*2ⁱ), dtr=1/(17*2ⁱ) error O(dt²)

(62)

Un plus grand contraste de vitesses

Exemple

c 1 = 1 c 2 = 10; ∆x 1 = ∆x 2 = 0, 02; ∆t 1 = 0, 02 ∆t 2 = 0, 002

(63)

R´esum´e

1 Motivations

2 L’´equation des ondes 1-D

Problème de transmission et algorithme de Schwarz Le problème couplé : stabilité

L’algorithme discret : volumes finis Performances num´eriques

3 L’´equation d’advection-diffusion L’algorithme de Schwarz

La m´ethode de Galerkin discontinu Performances num´eriques

4 Conclusion et perspectives

(64)

Le probl`eme

L u = ∂u

∂t + ∂

∂x (a(x)u) − ∂

∂x (ν(x ) ∂u

∂x ) = f dans ]a, b[ × ]0, T [ C.L. u(a, ·) = u(b, ·) = 0 , C.I. u(· , 0) = u

0

Deux domaines, a(x) = a _i , ν (x) = ν i dans Ω _i , a _i ≥ 0, ν i > 0, i = 1, 2.

(65)

Le principe

Algorithme

L u

_i^k

= f dans Ω

_i

× ]0,T [ (ν

1

∂

∂x − a

1

+ Λ

1

)u

^k₁

(0, · ) = (ν

2

∂

∂x − a

2

+ Λ

1

)u

^k₂⁻¹

(0, · ) (ν

2

∂

∂x − a

2

+ Λ

2

)u

^k₂

(0, · ) = (ν

1

∂

∂x − a

1

+ Λ

2

)u

^k−1₂

(0, · ) Λ

1

(u) = a

2

+ p

2

2 + q

2

2 ∂

∂t , Λ

2

(u) = a

1

− p

1

2 − q

1

2 ∂

∂t

taux de convergence

δ

j

(ω) = q

a

²_j

+ 4ν

_j

iω, j = 1, 2.

ρ(ω) =

„ δ

1

(ω) − p

1

− q

1

iω δ

1

(ω) + a

2

− a

1

+ p

2

+ q

2

iω

« „ δ

2

(ω) − p

2

− q

2

iω δ

2

(ω) + a

2

− a

1

+ p

1

+ q

1

iω

«

min ( max |ρ(ω)|)

(66)

Formulation faible (Johnson,Eriksson, Thomee 1985)

Le probl`eme aux limites

u t + au x − νu xx = f (x, t) dans ]a, b[ × [0, T ],

− ν u x + au + α 0 u + β 0 u t = g 0 (t ), en x = a, ν u x − au + α 1 u + β 1 u t = g 1 (t ), en x = b.

Formulation faible

((u _t , v)) + ˜ a(u, v ) = `(v ), ∀ v ∈ V = H ¹ (]0, 1[) ((u, v)) := (u, v) + β

1

u(1, t)v (1, t) + β

0

u(0, t)v (0, t)

˜

a(u, v ) := b(u, v) + ν(u

x

, v

x

) − a(u, v

x

) + α

1

u(1, t)v (1, t) + α

0

u(0, t)v (0, t)

`(v ) := (f , v ) + g

1

(t)v (1, t) + g

0

(t)v (0, t)

(67)

Discr´etisation par Galerkin discontinu

espaces d’´el´ements finis [0, T ] = Q K

k =1 I _k , I _k = [t _k ₋₁ , t _k ].

v ₊ ^k = lim _s→0

⁺

v (t _k + s), v ₋ ^k = lim _s→0

−

v (t _k + s), V h s.e.v. de dimension finie de V ,

P _q (I k ) = { v : I k −→ V h : v(t) = X q

i=0

v i t ⁱ , v i ∈ V h }

formulation U

₋⁰

= u

0

Pour k = 1, · · · , K, ´etant donn´e U

₋^k⁻¹

, trouver U ≡ U

_|I_k

∈ P

q

(I

k

) tel que R

I_k

[(( ˙ U, v )) + ˜ a(U, v )]dt + ((U

₊^k⁻¹

, v

₊^k⁻¹

)) = R

I_k

`(v )dt + ((U

₋^k⁻¹

, v

₊^k⁻¹

)), ∀ v ∈ P

^q

(I

k

)

Couplage avec SWR

(68)

Erreur L ² versus le pas de temps. Cas homog`ene

Donn´ees physiques

Solution exacte u(x, t ) = cos(x)cos(t) sur [0, 2π] × [0, 2π]. ¯ Ω 1 = [0, 2]

et ¯ Ω 2 = [2, 2π]. a 1 = a 2 = 1, ν 1 = ν 2 = 1

les grilles PSfrag replacements

x x x

x

t t t t

0 0

0 maillage 1 0 maillage 2 maillage 3 maillage 4

T T T T

Maillages en temps conformes (maillage 1 et maillage 4) et non conformes (maillage 2 et maillage 3).

Stopping Criterion : the jumps of interface conditions must be smaller than

10

⁻⁶

(69)

Solution au temps T

It´eration 1

0 1 2 3 4 5 6 7

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

u(x,T)

At time t=T=6.2832, at Schwarz iteration1, with method=ABC1 Converged SWR solution um at SWR iteration 1 up at SWR iteration 1

(70)

Solution au temps T

It´eration 2

0 1 2 3 4 5 6 7

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

x

u(x,T)

(71)

Solution au temps T

It´eration 3

0 1 2 3 4 5 6 7

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

x

u(x,T)

(72)

Courbes erreur

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0

number of refinements log10(L2 Error)

mesh 1 mesh 2 mesh 3 mesh 4 slope 2

erreur L ² (Ω × (0, T ))

(73)

Un cas non homog`ene

donn´ees physiques

(a, b) = (0, 6), coup´e par le milieu. T = 2. u0 = exp( − 3 ∗ (2.5 − x ). ² ).

A gauche a 1 = 1, ν 1 = 0.05. A droite a 2 = 0.3, ν 2 = 1.

Courbe erreur

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

log10(L2 Error)

mesh 1 mesh 2 mesh 3 mesh 4 slope 2

(74)

Solution au temps T

It´eration 1

0 1 2 3 4 5 6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x

u(x,T)

At time t=T=2, at Schwarz iteration1, with method=ABC1 Converged SWR solution um at SWR iteration 1 up at SWR iteration 1

(75)

Solution au temps T

It´eration 2

0 1 2 3 4 5 6

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

x

u(x,T)

(76)

Solution au temps T

It´eration 3

0 1 2 3 4 5 6

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

x

u(x,T)

(77)

R´esum´e

1 Motivations

2 L’´equation des ondes 1-D

Problème de transmission et algorithme de Schwarz Le problème couplé : stabilité

L’algorithme discret : volumes finis Performances num´eriques

3 L’´equation d’advection-diffusion L’algorithme de Schwarz

La m´ethode de Galerkin discontinu Performances num´eriques

4 Conclusion et perspectives

(78)

Conclusion

Cadre de travail

Programme global avec applications en océanographie, combustion (ONERA), environnement (GDR Momas). Travaux déja réalisés sur l’équation des ondes 1D et 2D (avec recouvrement), sur l’équation d’advection diffusion 1 et 2D, et sur le système de Saint-Venant (thèse de Véronique Martin)

SWR et raffinement

SWR : Cadre efficace pour le raffinement en temps,

(79)

Conclusion

Cadre de travail

Programme global avec applications en océanographie, combustion (ONERA), environnement (GDR Momas). Travaux déja réalisés sur l’équation des ondes 1D et 2D (avec recouvrement), sur l’équation d’advection diffusion 1 et 2D, et sur le système de Saint-Venant (thèse de Véronique Martin)

SWR et raffinement

SWR : Cadre efficace pour le raffinement en temps,

Etude d’erreur pour l’´equation des ondes discr`ete en dimension 1,

(80)

Conclusion

Cadre de travail

Programme global avec applications en océanographie, combustion (ONERA), environnement (GDR Momas). Travaux déja réalisés sur l’équation des ondes 1D et 2D (avec recouvrement), sur l’équation d’advection diffusion 1 et 2D, et sur le système de Saint-Venant (thèse de Véronique Martin)

SWR et raffinement

SWR : Cadre efficace pour le raffinement en temps,

Etude d’erreur pour l’´equation des ondes discr`ete en dimension 1,

Premiers r´esultats encourageants pour Galerkin discontinu en temps

pour advection diffusion non homog`ene en dimension 1.

(81)

Perspectives

Raffinement

Etude d’erreur pour l’´equation des ondes en dimension 2 :´etendre le

lemme de rel`evement discret.

(82)

Perspectives

Raffinement

Etude d’erreur pour l’équation des ondes en dimension 2 :étendre le lemme de relèvement discret.

Extension à Schrödinger et au non linéaire.

(83)

Perspectives

Raffinement

Etude d’erreur pour l’équation des ondes en dimension 2 :étendre le lemme de relèvement discret.

Extension à Schrödinger et au non linéaire.

Mise en place complète de la décomposition couplée à Galerkin

discontinu pour advection-diffusion en dimension 1, et 2.

(84)

Co-auteurs sur les m´ethodes de Schwarz-relaxation d’ondes

En général : M. Gander (Université Genève).

Pour l’´equation des ondes 1D : F. Nataf (CNRS P6).

Sur l’´equation d’advection diffusion homog`ene : P. D’Anfray et J.

Ryan (ONERA). V. Martin (Amiens).

Sur les problèmes hétérogènes (application au stockage des déchets et au couplage océan-atmosphère) : C. Japhet (P13), M. Kern (INRIA), E. Blayo (Grenoble).

Sur Galerkin discontinu : C. Japhet.

Sur le couplage de mod`eles : V. Martin et C. Japhet, J. Ryan.

Sur l’équation de Schrödinger et les problèmes non linéaires : J.

Szeftel.

Sur les équations du micromagnétisme : S. Labbé (P11) et K.

Santugini(Gen`eve)

http ://www.math.univ-paris13.fr/ halpern