Lorsqu'on effectue une expérience aléatoire, on ne peut pas prévoir quel va être son résultat, parmi ses différentes issues possibles.
La théorie des probabilités consiste, pour une expérience aléatoire, à tenter de mesurer les chances de réalisation d'un évènement, en lui attribuant un nombre compris entre 0 et 1. Ce nombre est appelé probabilité de l'évènement considéré.
La probabilité d'un évènement impossible est 0, celle d'un évènement certain est 1.
Exemples :
• On lance un dé à jouer classique, à six faces, non truqué. Les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
• Un joueur professionnel de basket tente un lancer franc. Les issues sont « Panier réussi » et
« Panier manqué ».
• On lance une pièce de monnaie truquée. Les issues sont « Pile » et « Face ».
Lorsque les issues d'une expérience aléatoire ont toutes autant de chances de se réaliser, c’est-à-dire que les probabilités de réalisation des différentes issues sont égales, on dit qu'elles sont équiprobables.
En cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement s'obtient en divisant le nombre d'issues favorables à l'évènement par le nombre total d'issues de l'expérience.
Exemples :
• On lance un dé à jouer classique, à six faces, non truqué.
Chaque face a donc autant de chances de sortir qu'une autre, les issues sont donc équiprobables.
Ainsi, la probabilité d'obtenir la face 5 est de 1
6, tout comme la probabilité d'obtenir n'importe quelle autre face.
• Comme deux faces portent un nombre multiple de 3 parmi les six faces du dé (la face 3 et la face 6), alors la probabilité d'obtenir un multiple de 3 est 2
6, soit 1
3, soit environ 33,33 %.
L'évènement contraire d'un évènement A est l'évènement, noté A, qui est réalisé lorsque A ne l'est pas.
Exemple :
On reprend l'exemple du dé à jouer : l'évènement contraire de l'évènement « La face obtenue porte un nombre multiple de 3. » est l'évènement « La face obtenue n'est pas un multiple de 3. »
La somme des probabilités d'un évènement et de son contraire est égale à 1 : P(A) P(A) 1.
Exemple :
On lance un dé à jouer classique, à six faces, non truqué.
On a vu que la probabilité d'obtenir un multiple de 3 est 1 3.
On en déduit que la probabilité de ne pas obtenir un multiple de 3 est 1–1 3=2
3.
D3 • Probabilités
170
Notion de probabilités
1 7
Définitions 1
Définition 2
Propriété 1
Définition 3
Propriété 2
On considère une expérience aléatoire, et A un évènement dont la probabilité est notée P(A).
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois cette expérience aléatoire, la fréquence d'apparition de l'évènement A a tendance à se stabiliser autour du nombre P(A).
Exemple 1 :
On a lancé plusieurs fois un dé à jouer classique, à six faces, non truqué. Voici un tableau donnant la fréquence d'apparition de la face 5 en fonction du nombre de lancers effectués.
Nombre de lancers effectués 10 50 200 500 5 000
Fréquence d'apparition de la face 5 40 % 12 % 18 % 17,7 % 17,12 %
On constate que la fréquence d'apparition de la face 5 se rapproche de 17 %. Cela illustre que la probabilité d'obtenir la face 5 est 1
6≈0,17.
Exemple 2 :
On considère une pièce de monnaie truquée. Ne connaissant pas a priori la probabilité d'obtenir PILE, on a lancé cette pièce un grand nombre de fois, et les résultats sont regroupés dans le tableau suivant.
Nombre de lancers effectués 10 50 200 500 5 000
Fréquence d'apparition de PILE 60 % 55 % 63 % 65 % 67 %
Au vu du tableau, on peut estimer que la pièce est truquée de façon à ce qu'on ait deux chances sur trois de tomber sur PILE car 2
3≈0,67.
Remarque :
Certains logiciels, comme les tableurs notamment, permettent de simuler la répétition d'un très grand nombre d'expériences aléatoires identiques.
Probabilités • D3 171
Des fréquences aux probabilités
2 13
Propriété
