P 229 n ° 18.
ABC est un triangle isocèle en A.
d est son axe de symétrie.
E est le point d'intersection de la perpendiculaire à ( AB ) en B et de d.
1. Image de ( BE ) par la réflexion d'axe d.
notons f la réflexion d'axe d.
alors f ( B ) = C car le segment [ BC ] est la médiatrice de d.
et f ( E ) = E car E est un point de l'axe de la réflexion.
Or l'image d'une droite et est une droite par la réflexion d'axe d.
Donc l'image de la droite ( BE ) est la droite ( CE ).
2. Les droites ( BE ) et ( AB ) sont perpendiculaires.
L'image de la droite ( BE ) par f est la droite ( CE ).
L'image de la droite ( AB ) par f est la droite ( AC ) car A ∈ d et f ( B ) = C.
Or par une réflexion d'axe d les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
Donc les droites ( CE ) et ( AC ) sont perpendiculaires.
Seconde 1 Exercices sur le chapitre 18 : E1. page n ° 2 2007 2008
P 234 n ° 36.
∆ et ∆' sont deux droites sécantes en O.
d et d' sont les bissectrices des angles formés par ces deux droites.
M est un point de ∆.
1. N est l'image de M par le réflexion d'axe d.
P est l'image de M par la réflexion d'axe d'.
Voir construction ci-dessus.
2. N est l'image de M par la réflexion d'axe d donc ( MN ) ⊥ d.
P est l'image de M par la réflexion d'axe d' donc ( MP ) ⊥ d'.
Or d et d' sont les bissectrices des angles formés par ces deux droites. Donc d ⊥ d'.
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Donc ( MN ) // d'.
Or si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Donc ( MN ) ⊥ ( MP ).
Autrement dit le triangle PMN est un triangle rectangle en M.
ABC est un triangle isocèle en A.
H est le projeté orthogonal de A sur [ BC ].
M est un point du segment [ AH ] distinct de A et de H.
La droite ( BM ) coupe la droite ( AC ) en I.
La droite ( CM ) coupe la droite ( AB ) en J.
s est la réflexion d'axe ( AH ).
1. a. s ( B ) = C car ABC est isocèle en A.
s ( M ) = M car M ∈ ( AH ).
or l'image d'une droite par une réflexion est une droite.
Donc l'image de la droite ( BM ) par la réflexion s est la droite passant par ( CM ).
Autrement dit la droite ( CJ ) est l'image de la droite ( BI ) par la réflexion s.
1. b. s ( A ) = A s ( C ) = B
Donc l'image de la droite ( AC ) est la droite ( AB ) par la réflexion s.
1. c. I = ( AC ) ∩ ( BM ) donc l'image de I est l'intersection des droites ( AB ) et ( CM ) c'est à dire J.
2. l'image d'un segment par une réflexion est un segment de la même longueur.
Or s ( B ) = C et s ( J ) = I donc l'image du segment [ BJ ] est le segment [ IC ] et on a BJ = IC Autrement dit BJIC est un trapèze isocèle.
Seconde 1 Exercices sur le chapitre 18 : E1. page n ° 4 2007 2008
P 235 n ° 43.
ABCD est un carré.
I est le milieu de [ BC ].
d est la droite ( AI ).
s est la réflexion d'axe d.
1. Tracé du cercle C de centre A passant par B et du cercle C ' de centre I et passant par B.
Ces deux cercles se coupent en B'.
B ' ∈ C donc AB = AB' B ' ∈ C' donc IB = IB'
Donc la droite ( AI ) est la médiatrice du segment [ BB ' ]. Donc s ( B ) = B' 2. La droite ( B' I ) recoupe le cercle C ' en C'.
Appelons E l'image de C par s et démontrons que E = C'.
s ( I ) = I
s ( B ) = B ' donc l'image de la droite ( BI ) par s est la droite ( B' I ) or C ∈ ( BI ) donc E ∈ ( B' I )
D'autres parts C ∈ C' donc IB = IC Donc IB' = IE
Autrement dit E ∈ C ' et E ∈ ( B' I ) donc E est confondu avec le point C ' donc s (C ) = C '.
3. voir dessin.
ABCD est un carré de centre O.
ABI et ADJ sont deux triangles équilatéraux extérieurs au carré.
s est la réflexion d'axe ( AC ).
1. a ) ÆJAC = ÆJAD + DAC = 60 ° + 45 ° = 105 ° car un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à 60 ° etÆ car la diagonale d'un carré partage l'angle du sommet en 2 cad 90 ° / 2 = 45 °.
De la même façon ÆIAC = 105 °.
1. b ) AI = AB = AD = AJ car les triangles sont équilatéraux et car ABCD est un carré.
Donc le triangle IAJ est un triangle isocèle en A.
Æ
JAC = ÆIAC donc la droite ( AC ) est la bissectrice de l'angle ÆJAI .
d'après la propriété : dans un triangle isocèle en un point la hauteur et la bissectrice sont confondues.
Donc la droite ( AC ) est la hauteur du triangle JAI.
1. c ) d'après la question 1. B ) ( AC ) ⊥ ( JI ) et AI = AJ.
Donc la droite ( AC ) est la médiatrice du segment [ IJ ] donc s ( I ) = J.
2. a ) s ( I ) = J et s ( D ) = B donc l'image de la droite ( DI ) est la droite ( BJ ).
2. b ) appelons K le point d'intersection de ( DI ) et de ( AC ). Alors s ( K ) = K or l'image de K est aussi sur la droite image de ( DI ) donc K ∈ ( BJ ).
Donc les trois droites sont concourantes.
