Chapitre 15 Dualité

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Chap 15 : Dualité

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Chap 15 : Dualité

corps commutatif, E ev

I. Formes linéaires et hyperplans

* ( , ) est appelé dual de , ses éléments sont appelés formes linéaires sur

E L E E E

* \{0}

Si E , est surjective ,

\ ,

* \{0} ker co dim 1

sev de on a équivalence entre : est maximal parmi les sev stricts

Il existe une droite de tq et

tq Si est de dimension finie,

est

H E H

E H E H E a E H H a E

E H E H

H

 



          

     

alors un hyperplan de E

1 ( )

1

1 .

, .. 0}

. {

Toute forme linéaire s'écrit de manière unique

n

n n

i n

I

i

i n

E x a x H x a x a x





    

1

1 1

(ker

... . \ , , , ( ) 0...)

cps infini, _p sev stricts Rec :

p

i i i i

p

p i

i k

k

H F x E H y H x y

F F F E  ^   



      

 

II. Crochet de dualité, bases duales

( , ) * , ( )

Pour x  E E , on note x  x

, *. ** ( ) : ( )

est une forme bilinéaire sur E E, est linéaire injective, _x

E E j j x x

x ^ x

  

      

( ) card

dim * (card( )) En dimension infinie, n'est jamais surjective : Si j E ^I , E  ^I

de dim finie 1

E n

1

* *

1

* *

( ... ) . 1, * 1, ( )

( ... ) dim * dim

base de On définit, pour , par : ,

est une base de , appelée base duale de

i i i

n n

j

e e E i n e E j n e ej

e e E E E n E

      

 

* 1

0

[ ] : *( ) ( ) 0

Faux en dim. infinie : sur : Si , non !

N

n n

n N

n n i i k k

k

X  a X a e P a  e  X

  

   

  

1

( ) ( *)

( )e base de ⁿ, ( )



base canonique P[( )e ]_ Q[( *)]e _ Q ^tP^

*

1 1

( ... ) * ( ... ) 1,

Base antéduale :

 

_n base de E , il existe une unique base e e_n de tq, iE   n ,



_i e_i

III. Orthogonalité

* ( ) { * | , ( ) 0} { * | ker } ker( , )

( ) { | , ( ) 0} ker { ** | , ( ) 0}

,

x A

B

A E B E A A E x A x E A x

B B x E B x B E B



   

      









              

            

, ' ' ' ( )

( )

sev de

A A E A E A A A A A Vect A

A A ^A^ A A

         

     

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dim dim dim

de dim finie : sev de :

E  F E F  E F F F

* dim dim dim

sev de G E G G E G G

    

1

1,

1... * ( ... ) ker ker ker ker

i

p i i

p

G

E V cte    G G

      



 

         

1

1 1

,

rg( ... ) , dim ker dim( ( ... ) ) Si

i

p i p

p

r Vect n r

    



    

Complément

1 1

1

* ( ... )

( ( )... (

... m 0

) I }

) {

de dim qcq, : libre surj. (sin n,o )

p

p p i i

p

E ev E E

x x x y

    

   

 

    







1... _p libre ( ...x1 x_p), ( , )i j , _i(x_j) _{i j}

   

    

1 1

1,

( ... _p) libre ( ... _p) ker ker

p i i

  

Vect

   



   

( ) ( ) *

( tr( ))

( ) ( ) ker

(montrer surj ave

Trace : est un isomorphisme

hyperplan de

c la base) ( , et decomp° p/r rang)

n n

A M AM

H H GL 

 



    

M M

M