Chapitre n°15 : échantillonnage

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Chapitre n°15 : échantillonnage

Objectifs :

O15_1. Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d'une fréquence.

Exploiter l'intervalle de fluctuation à un seuil donné, déterminé à l'aide de la loi binomiale, pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion.

[L'objectif est d'amener les élèves à expérimenter la notion de « différence significative » par rapport à une valeur attendue et à remarquer que, pour une taille de l'échantillon importante, on conforte les résultats vus en classe de seconde]

[Algorithme:L'intervalle de fluctuation peut être déterminé à l'aide d'un tableur ou d'un algorithme]

[Le vocabulaire des tests (test d'hypothèse, hypothèse nulle, risque de première espèce) est hors programme.]

Ce chapitre est la suite du chapitre 12.

Activité d'approche n°1

Une urne contient 100 boules : des boules jaunes et des boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher. L’urne contient 20% de boules jaunes.

On extrait au hasard une boule. On note sa couleur, puis on la remet dans l’urne.

Le but de cette activité est d’étudier la fréquence d’apparition de la couleur jaune lorsque l’on procède à une expérience de 100 tirages successifs. On choisit de faire une simulation de cette expérience sur un tableur.

1. Réaliser une simulation de cette expérience dans la première colonne de la feuille de calcul d’un tableur et calculer la fréquence d'apparition (utiliser des formules du type : =ALEA.ENTRE.BORNES(0;100) et

=NB.SI(A1:A100;"<21")/100 ) - ATTENTION : tout doit être fait dans la colonne A.

2. Sur la même feuille de calcul, effectuer 100 simulations de cette expérience et faire afficher pour chacune d’elles, la fréquence de la couleur jaune obtenue (pour cela, on pourra copier la colonne A de la colonne B jusqu’à la colonne CV).

3. Tracer le nuage des fréquences obtenues (Insertion, diagramme...) 4. Quelle est la probabilité théorique p de tirer une boule jaune ? …...

5. Soit n le nombre total de boules (= la taille de l'échantillon). Ici, n=100.

Calculer b1 = p – ¹

√ⁿ ^{et b}²^{= p +}

1

√ⁿ ^{. : b}¹= ... et b2 =...

6. En utilisant une formule du même type que

=SI(ET(An>=b1 ;An<=b2 );"OUI";"NON"), afficher dans chaque colonne « OUI » si la fréquence est dans l'intervalle [b1; b2], « NON » sinon.

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7. En utilisant une formule du type =NB.SI(A102:CV102;"=OUI"), compter le nombre de « OUI ». Refaire faire plusieurs fois les calculs sur le tableur (F9).

8. La proposition « Dans au moins 95 % des cas, l'expérience conduit à une fréquence de boules jaunes tirées comprise entre p – ¹

√ⁿ ^{et p +}

1

√ⁿ ^{. » est-} elle vrai ?

…...

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Cours n°1

Chapitre n°15 : échantillonnage I) Intervalle de fluctuation simple (rappel de seconde)

Définition et propriété n°1 : Intervalle de fluctuation simple

On considère une population dont on connaît la probabilité p des individus ayant un caractère donné.

On prélève un échantillon de taille n dans cette population.

Alors, il y a 95 % de chance que la fréquence du caractère observée soit

dans l'intervalle de fluctuation : [ …... ; …...]

Exemple n°1 :

Dans cette classe de première, il y a …... gauchers pour …... élèves. En France, 16 % des personnes sont gauchères. Peut-on dire que la proportion de gauchers dans la classe correspond à la proportion de gauchers en France ?

…...

...

Activité d'approche n°2

1. Compléter : L'expérience du tirage avec remise 100 fois de suite d'une boule, considérant que le fait qu'elle soit jaune est un succès et le fait qu'elle

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ne soit pas jaune un échec correspond à un s... …...

…...

2. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules jaunes tirées. Quelles sont les paramètres n et p de la loi binomiale : n=... et p=...

Utiliser Geogebra pour déterminer l'entier le plus grand a pour lequel P(Xa)<0,025. a=...

3. Utiliser Geogebra pour déterminer l'entier le plus petit b pour lequel P(Xb)>0,975. b=...

4. Comparer le nouvel intervalle de fluctuation obtenu [ ^a n ; ^b

n ] avec celui de l'act. n°1. Que constate-t-on ?...

Cours n°2

II) Intervalle de fluctuation basé sur la loi binomiale

Définition et propriété n°2 : Intervalle de fluctuation binomial

On considère une population dont on connaît la probabilité p des individus ayant un caractère donné. On prélève un échantillon de taille n dans cette population, chaque élément de

l'échantillon de taille n étant pris au hasard, et remis dans la population. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où le caractère est observé.

Alors X suit une loi binomiale de paramètres n (le nombre d'essais) et p (la probabilité de posséder le caractère). De plus, il y a 95 % de

chance que la fréquence du caractère observée soit dans l'intervalle de fluctuation: [ ^..._... ; ^..._... ]avec :

{ ^a l'entier le plus grand pour lequel P(X⩽a)⩽0,025 ( ou l'entier le plus petit pour lequel P(X⩽a)⩾0,025 )

b l'entier le plus petit pour lequel P(X⩾b)⩽0,025 ( ou l'entier le plus petit pour lequel P(X⩽b)⩾0,975 )

Exemple n°2 :

Dans cette classe de première, il y a …... gauchers pour …... élèves. En France, 16 % des personnes sont gauchères. Peut-on dire que la proportion de gauchers dans la classe correspond à la proportion de gauchers en France ?

…...

...

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Exercice n°1

Ex.n°68 p.311 Exercice n°2

Ex.n°71 p.312 Exercice n°3

Ex.n°74 p.312 Exercice n°4*

Ex.n°82 p.313

Cours n°3

III) Prise de décision dans le cadre d'une loi binomiale

Propriété n°3

On considère une population dont on suppose la probabilité p des individus ayant un caractère donné.

On prélève un échantillon de taille n dans cette population, chaque élément de l'échantillon de taille n étant pris au hasard, et remis dans la population.

Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où le caractère est observé. X suit une loi binomiale de paramètres n (le nombre d'essais) et p (la probabilité de posséder le caractère).

Soit f la fréquence observée pour l'échantillon.

Si p n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation binomial, p a 95 % de chance d'être fausse, le risque de se tromper dans cette affirmation étant de 5 %.

Exemple n°3

Un laboratoire annonce qu’un médicament sauve 40 % des patients atteints d’une maladie rare. Pour contrôler cette affirmation, on le teste sur 100 patients atteints de cette maladie. Soit X le nombre de malades sauvés par ce médicament dans cet échantillon assimilé à un tirage avec remise de taille 100.

1- Quelle loi suit X ? …...

2-Déterminer l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence dans des échantillons de taille 100. …...

3-Sur 100 malades auxquels on a administré ce médicament, on en a sauvé 30. Au seuil de risque de 5 %, que peut-on dire de l’annonce faite par le laboratoire ? …...

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Exercice n°5*

Ex.n°85 p.313 Exercice n°8**

Ex.n°96 p.317

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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Act.1 : 4.0,2 5. 0,1;0,3

Act.2 : 1.Schéma de B. 2. 100;0,2 3. 11 4. 28 Ex.1 : a=35 et b=55

Ex.2 : 1. a=45 2. b=66 Ex.3 : [0,08;0,23]

Ex.4 : 2.[0,7;0,9] 4. La chaîne est mal réglée (risque de se tromper : 5%)

Ex.5 : 2. a=42 et b=62 4. Affirmation de M.Zator exacte (risque de se tromper : 5%) Ex.6 : 2. a=3 et b=60 4. Les modifications ont changé l'audience (risque de se

tromper : 2%)

Ex.7 : 2. a=57 et b=72 3. Hypothèse p=0,8 fausse (risque de se tromper : 5%) Ex.8 : 1.b.0,599 environ. 2.b. 0,56 hypothèse fondée.→

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :