www.mathsentete.fr
Chap.12 :
ECHANTILLONNAGE
Partie 1 : intervalle de fluctuation d’une fréquence
Exemple : « 55% des personnes ayant suivi la méthode ARETABA ont arrêté de fumer ! ». Dans un échantillon de 700 personnes ayant suivi cette méthode, prises au hasard avec remise, 385 ont arrêté de fumer.
A partir de cet échantillon, le slogan publicitaire est-il acceptable, au risque de 5% ?
Si 𝑛 ≥ 30, 𝑛𝑝 ≥ 5 et 𝑛(1 − 𝑝) ≥ 5, l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence 𝒇 est l’intervalle :
𝐼 = .𝑝 − 1,962𝑝(1 − 𝑝)
𝑛 ; 𝑝 + 1,962𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 6 Autrement dit, 𝑓 appartient à cet intervalle dans au moins 95% des cas.
Prise de décision :
• Si la fréquence 𝑓 appartient à 𝐼 alors on accepte, au risque de 5%, l’hypothèse sur la valeur de la proportion 𝑝.
• Si la fréquence 𝑓 n’appartient pas à 𝐼 alors on rejette, avec un risque inconnu, l’hypothèse sur la valeur de la proportion 𝑝.
Exemple : D’après l’énoncé, on a la valeur hypothétique de la proportion 𝑝 = 0,55 et la taille de l’échantillon 𝑛 = 700. On a 𝑛 ≥ 30, 𝑛𝑝 = 385 ≥ 5, 𝑛(1 − 𝑝) = 315 ≥ 5.
De plus, on sait que 382 personnes on arrêté de fumer, donc la fréquence est 𝑓 =:;<=>>= 0,55.
L’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% est .0,55 − 1,9620,55(1 − 0,55)
700 ; 0,55 + 1,9620,55(1 − 0,55)
700 6 ≈ [0,549 ; 0,551]
Comme 0,55 ∈ [0,549 ; 0,551], on ne rejette pas l’hypothèse sur 𝑝, et donc le slogan publicitaire est acceptable au seuil de 5%.
Application 1 :
Lors d’une élection municipale, le candidat A a obtenu 40% des suffrages exprimés.
Pour une étude postélectorale, on effectue deux sondages, dans deux endroits différents de la ville, et on demande à chaque personne interrogée pour qui elle a voté.
Au marché, 34 personnes sur les 60 interrogées disent avoir voté A. Sur la zone commerciale, 63 personnes sur 144 disent avoir voté pour A.
1) Pour chaque échantillon, déterminer l’intervalle de fluctuation de la fréquence de vote A, à 95% ? 2) L’enquêteur suppose que dans les 2 quartiers, la proportion de suffrages A est de 40%.
Dans quel quartier cette hypothèse peut-elle être rejetée, avec un risque d’erreur de 5% ? Réponse :
On a 𝑝 = 0,4.
Au marché, 𝑓 =:DE>≈ 0,567 et 𝐼 = F0,4 − 1,96G>,D×>,E
E> ; 0,4 + 1,96G>,D×>,E
E> I ≈ [0,276 ; 0,524].
Donc 𝑓 ∉ [0,320 ; 0,480] ; donc on rejette l’hypothèse sur 𝑝, au risque de 5%.
Au centre commercial, 𝑓 =LDDE: ≈ 0,438 et 𝐼 = F0,4 − 1,96G>,D×>,E
LDD ; 0,4 + 1,96G>,D×>,E
LDD I ≈ [0,320 ; 0,480].
Donc 𝑓 ∈ [0,320 ; 0,480] ; donc on ne rejette pas l’hypothèse sur 𝑝, au risque de 5%.
www.mathsentete.fr
Partie 2 : intervalle de confiance d’une proportion.
Dans ce paragraphe, on suppose la valeur 𝑝 inconnue, et on souhaite l’estimer à partir d’un échantillon de taille 𝑛.
Exemple : Avant de prendre la décision de mise en vente d’un produit en France, une entreprise demande à 1000 personnes prises au hasard et avec remise si elles seraient prêtes à l’acheter.
490 des personnes interrogées déclarent qu’elles achèteraient le produit s’il était en vente.
A partir de cet échantillon, estimer par un intervalle de confiance à au moins 95% la proportion 𝑝 d’acheteurs potentiels en France.
Pour un échantillon de taille 𝑛 et de fréquence correspondante 𝑓, on appelle intervalle de confiance au niveau 95% de la proportion 𝑝, l’intervalle :
.𝑓 − 1,962𝑓(1 − 𝑓)
𝑛 ; 𝑓 + 1,962𝑓(1 − 𝑓) 𝑛 6
Autrement dit, la valeur de la proportion 𝑝 appartient à cet intervalle dans au moins 95% des cas.
Exemple : D’après l’énoncé, la taille de l’échantillon est 𝑛 = 1000 et la fréquence des personnes de l’échantillon déclarant qu’elles achèteraient le produit est 𝑓 = DM>
L>>>= 0,49.
L’intervalle de confiance au niveau 95% est .0,49 − 1,9620,49(1 − 0,49)
1000 ; 0,49 + 1,9620,49(1 − 0,49)
1000 6 ≈ [0,459 ; 0,521]
La proportion 𝑝 est dans cet intervalle, au niveau de confiance 95%.
Application 2 :
Dans une grande ville, un sondage est effectué sur un échantillon de 600 votants, avant les élections des députés.
M. Albert obtient 47% des intentions de vote pour le 1er tour et 54% pour le second tour.
1) a. Soit 𝑝 la proportion de voix pour M. Albert dans la population totale de votants au 1er tour. Estimer cette proportion 𝑝 par l’intervalle de confiance au niveau 95%.
Calculer son amplitude et l’interpréter.
b. Déterminer l’intervalle de confiance au niveau 95% pour le second tour.
2) En supposant que les votes sont conformes aux intentions de vote, d’après l’estimation faite en 1.a) M. Albert peut-il être élu dès le premier tour ?
Réponse :
1) a. Pour le 1er tour : on a 𝑓 = 0,47 et 𝑛 = 600.
L’intervalle de confiance à 95% est F0,47 − 1,96G>,D=×>,<:
E>> ; 0,47 + 1,96G>,D=×>,<:
E>> I = [0,430 ; 0,510].
La proportion 𝑝 de voix pour M. Albert est entre 43% et 51% avec une amplitude de 8 points de pourcentage.
b. Pour le 2ème tour : 𝑓 = 0,54 et 𝑛 = 600.
L’intervalle de confiance à 95% est F0,54 − 1,96G>,<D×>,DE
E>> ; 0,54 + 1,96G>,<D×>,DE
E>> I = [0,500 ; 0,580].
2) La proportion de voix pour M. Albert au 1er tour peut prendre les valeurs entre 43,9% et 50,1%. Il peut donc obtenir 50% des voix et être élu.
www.mathsentete.fr
Partie 3 : comparaison de deux proportions à l’aide d’intervalles de confiance.
Application 3 :
Dans trois villes voisines, on constitue trois échantillons aléatoires de 500 jeunes de 15 à 20 ans et on observe que le temps passé chaque jour devant un écran est supérieur à 4h pour 210 jeunes de la ville 𝑉L, 160 jeunes de la ville 𝑉O et 170 jeunes de la villes 𝑉:.
1) Pour chaque ville, déterminer un intervalle de confiance au niveau 95% de la proportion de jeunes passant plus de 4h par jour devant un écran.
2) Comparer les proportions de ces trois villes.
Réponse :
1) Sur ces échantillons, les fréquences sont 𝑓L = OL><>> ; 𝑓O =LE><>> et 𝑓: = L=><>>. Les intervalles de confiance au niveau 95% sont :
𝐼L = F0,42 − 1,96G>,DO×>,D;
<>> ; 0,42 + 1,96G>,DO×>,D;
<>> I = [0,377 ; 0,63] ; 𝐼O = [0,279 ∶ 0,361] et
𝐼: = [0,298 ; 0,382]
2) Les intervalles 𝐼L et 𝐼O sont disjoints. Comme au niveau 95%, 𝑝L ∈ 𝐼L et 𝑝O ∈ 𝐼O, on considère que 𝑝L ≠ 𝑝O. La différence des fréquences observées 𝑓L et 𝑓O est significatives (trop grande pour être considérée comme le résultat des seules fluctuations d’échantillonnage autour d’une valeur commune 𝑝).
A l’opposé les intervalles 𝐼O et 𝐼: ont une intersection importante : on considère que 𝑝O = 𝑝:. La différence des fréquences 𝑓O et 𝑓: n’est pas significative.
Les intervalles 𝐼L et 𝐼: ne sont pas disjoints mais la taille réduite de leur intersection incite à la prudence avant de conclure.
La différence entre les deux fréquences observées 𝑓L et 𝑓O sur deux échantillons est considérée comme significative quand les intervalles de confiance au niveau 95% sont disjoints.
Dans ce cas, on considère que les proportions 𝑝L et 𝑝O sont différentes.
Dans le cas contraire, on considère que les proportions 𝑝L et 𝑝O sont égales.
FEUILLE D’EXERCICES
Exercice 1 :
On admet que dans la population d’enfants de 11 à 14 ans d’un département français le pourcentage d’enfants ayant déjà eu une crise d’asthme dans leur vie est de 13%.
Un médecin d’une ville de ce département est surpris du nombre important d’enfants le consultant ayant des crises d’asthme et en informe les services sanitaires. Ceux–ci décident d’entreprendre une étude et d’évaluer la proportion d’enfants de 11 à 14 ans ayant déjà eu des crises d’asthme.
Ils sélectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville.
La règle de décision prise est la suivante : si la proportion observée est supérieure à la borne supérieure de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% alors une investigation plus complète sera mise en place afin de rechercher les facteurs de risque pouvant expliquer cette proportion élevée.
1) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de jeunes de 11 à 14 ans ayant eu une crise d’asthme dans un échantillon de taille 100.
2) L’étude réalisée auprès des 100 personnes a dénombré 19 jeunes ayant déjà eu des crises d’asthme. Que pouvez-vous conclure ?
3) Le médecin n’est pas convaincu par cette conclusion et déclare que le nombre de personnes interrogées était insuffisant pour mettre en évidence qu’il y avait plus de jeunes ayant eu des crises d’asthme que dans le reste du département.
Combien faudrait-il prendre de sujets pour qu’une proportion observée de 19% soit en dehors de l’intervalle de fluctuation asymptotique ?
www.mathsentete.fr
Exercice 2 :
Une entreprise produit en grande quantité des emballages alimentaires de forme cubique en polypropylène. Elle utilise pour cela la technique du thermoformage, qui consiste à chauffer une plaque de plastique puis à la former à l’aide d’un moule. Lors du refroidissement, la pièce rétrécit légèrement mais conserve la forme du moule. On souhaite analyser la qualité de sa production.
Les résultats seront arrondis à 10R: près.
Partie A
Une boîte est jugée conforme lorsque la mesure de son arête, exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle [16,7 ; 17,3]. La mesure de l’arête d’une boîte est modélisée par une variable aléatoire 𝐶 qui suit la loi normale d’espérance 17 et d’écart-type 0,14.
1) Calculer 𝑃(16,7 ≤ 𝐶 ≤ 17,3).
2) Déterminer la probabilité qu’une boîte prélevée au hasard soit non conforme.
Partie B
On désigne par 𝑝 la probabilité qu’une boîte prélevée au hasard dans la production soit non conforme.
On prélève au hasard 200 boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On admet que la variable 𝑋 qui, à un lot de 200 boîtes, associe le nombre de boîtes non conformes qu’il contient, suit la loi binomiale de paramètres 200 et 𝑝, et qu’en moyenne chaque lot de 200 boîtes en contient 6 non conformes.
1) Justifier que 𝑝 = 0,03.
2) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins 2 boîtes non conformes dans ce lot de 200 boîtes.
Partie C
Dans le cadre d’un fonctionnement correct du thermoformage, on admet que la proportion de boîtes non conformes dans la production est 𝑝 = 0,03.
1) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% d’une fréquence calculée sur un échantillon de taille 200.
Au cours d’un contrôle, un technicien a compté 10 boîtes non conformes sur 200 prélevées au hasard dans la production. Doit-il prendre la décision d’effectuer des réglages sur la thermoformeuse ? Justifier
Exercice 3 : Bac Métropole 2015
