SÉANCE DU JEUDI 8 AVRIL 2021SÉANCE DU JEUDI 8 AVRIL 2021

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SÉANCE DU JEUDI 8 AVRIL 2021 SÉANCE DU JEUDI 8 AVRIL 2021

→ Séance en visio de 10h00 à 12h00 ←

0. Questions éventuelles sur les séances du mardi 6 avril et mercredi 7 avril 0 . Questions éventuelles sur les séances du mardi 6 avril et mercredi 7 avril I. Exercices I. Exercices

• 76 p384

→

∫

0 1

(x²+4)dx=

[

¹³ ^x³⁺⁴^x

]

⁰¹^=…=¹³³

→

∫

2 3

e³^tdt=

∫

2 3 1

3×3 e³^tdt=

[

¹³^e³^t

]

³²^=…=−¹³^e⁶⁺¹³^e⁹

→

∫

1

2

(

²^x⁺¹

)

^d^x=

[

¹²²^x²⁺^x

]

¹²^=…=⁷⁴

→

∫

1 e 1

xdx=[ln|x|]1

e=…=1

• 77 p384

→

∫

0 1

(x⁴−4)dx=

[

¹⁵^x⁵⁻⁴^x

]

⁰¹^=…=−¹⁹⁵

→ ¹

x⁴=x⁻⁴ . C’est de la forme _{u ' u}⁻⁴ donc une primitive est de la forme ₋₄¹₊₁^u⁻⁴⁺¹⁼⁻¹₃^u⁻³⁼⁻ ¹ 3u³ . D’où :

∫

2

3 1

x⁴dx=

[

⁻³¹^x³

]

²³^=…=⁶⁴⁸¹⁹

→ ^cos(2x)=1

2×2 cos(2x). C’est de la forme ¹

2u 'cos(u) donc une primitive est de la forme ¹

2sin(u). D’où :

∫

0 π 2

cos(2x)dx=

[

¹²^sin⁽²^x⁾

]

⁰^π²^=…=0

→

∫

1 2

e²^t⁺¹dt=

∫

1 2 1

2×2 e²^t+1dt=

[

¹²^e²^t+1

]

¹²^=…=−¹²^e³⁺¹²^e⁵

• 84, 85 p384

→

∫

−1 3

e

x

3dx=

∫

−1 3

3×1 3e

x

3dx=

[

^3e³^x

]

⁻³¹^=…=³

⁽

^e⁻^e⁻¹³

⁾

→ ³^x

√

^x²⁺¹⁼³²^×

√

^x²²^x⁺¹ . C’est de la forme ³₂ ^{u '}

√

^u donc une primitive est de la forme ³₂×2

√

^u⁼³

√

^u^.

D’où :

∫

0

4 3x

√

^x²⁺¹^d^x=[³

√

^x²⁺^1]⁰⁴^=…=3

^√

¹⁷⁻³

T^le spé maths – Séance Covid 08/04/2021 – www.mathemathieu.fr – Johan Mathieu Page 1 sur 3

T^lespé

(2)

• 86 p384 F(x)=

∫

0 x

ln(1+t²)dt a. F(0)=0

b. D’après le cours : F est dérivable et F'(x)=ln(1+x²).

∀x ∈ [0 ;+∞[, ₁₊x²⩾1 donc F'(x)⩾0 donc F est croissante sur [0 ;+∞[. c. F(10)=

∫

0 10

ln(1+t²)dt≈29,0935 ← aire sous la courbe de la fonction t ln(1+t²) sur [0 ;10].

II. II . IPP IPP

• Démonstration de la propriété « Intégration par parties » (page 7 du cours) :

u et v sont dérivables sur I donc le produit u v est dérivable sur I et (uv)'=u ' v+uv ' d’où uv '=(uv)'−u ' v.

Les fonctions u et v sont dérivables sur I, donc continues sur I.

De plus, u ' et v ' sont continues sur I, donc les produits u ' v et uv ' également.

On a alors :

∫

a b

uv '(x)dx=

∫

a b

(⁽^uv)^'⁽^x^{)−u ' v}⁽^x))^d^x ^. Par linéarité de l’intégrale :

∫

a b

uv '(x)dx =

∫

a b

(uv)'(x)dx−

∫

a b

u ' v(x)dx d’où

∫

a b

u(t)v '(t)dt=[u(t)v(t)]a

b−

∫

a b

u '(t)v(t)dt .

• Exemple A3 à faire à la maison (corrigé dans le manuel)

III. III. Exercices Exercices

• 14 p375

a. On pose u(t)=2t+1 et v '(t)=e^t ; u '(t)=2 et v(t)=e^t. D’après l’IPP :

∫

0 1

(2t+1)e^tdt=[(2t+1)e^t]0 1−

∫

0 1

2 e^tdt = … = e+1 b. On pose u(t)=t et v '(t)=cost ; u '(t)=1 et v(t)=sint . D’après l’IPP :

∫

0 π2

tcostdt=[tsint]₀^π²−

∫

0 π2

sintdt = … = ^π⁻² 2 c. On pose u(t)=t² et v '(t)=e^t ; u '(t)=2t et v(t)=e^t. D’après l’IPP :

∫

0 1

t²e^tdt=[t²e^t]0 1−

∫

0 1

2te^tdt=e−0−

∫

0 1

2te^tdt=e−

∫

0 1

2te^tdt On refait une IPP, en posant : w(t)=2t et x '(t)=e^t ; w '(t)=2 et x(t)=e^t . Alors :

∫

0 1

2te^tdt=[2te^t]₀¹−

∫

0 1

2 e^tdt=2 e−0−[2 e^t]¹₀=2 e−

(

2 e−2 e⁰

)

=2 . Finalement :

∫

0 1

t²e^tdt= e−2 .

(3)

d. On pose u(t)=lnt et v '(t)=t+1 ; ^{u '}(t)=1

t et ^v(t)=1 2t²+t . D’après l’IPP :

∫

1 e

(t+1)lntdt=[ln(t)

(

^t²²⁺^t

)

^]¹^e⁻

^∫

1 e 1

t

(

^t²²⁺^t

)

^d^t⁼^ln⁽^e⁾

(

^e²²⁺^e

)

⁻⁰⁻

^∫

1

e

(

²^t⁺¹

)

^d^t

=e²

2 +e−[ln(t)

(

^t⁴²⁺^t

)

^]¹^e^=…= ^e²⁴⁺⁵

• 125 p388

D’après le cours : ^F(^x)=

∫

2 x

ln(t−1)dt+3 . choisi pour que uv '(t)=t−1

t−1=1 dans l’IPP

On pose : v(t)=ln(t−1) et u '(t)=1 ; ^{v '}(t)= 1

t−1 et u(t)=t−1. D’après l’IPP : … F(x)=(x−1)ln(x−1)−x+5 .