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Univérsité Sidi Mohamed Ben Abdellah Faculté des Sciences Dhar El Mahrez Département de Mathématiques et Informatique

Fès

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Filières : SMA Semestre : S

₅

Module : Mesure et Intégration

Professeur : TAHRI Joutei Idrissi Hassani Hassan

Année universitaire 2005-2006

Avant propos

Ce polycopié est un cours qui traite la théorie de l’intégration au sens de henry Lebesgue (1902) destiné aux étudiants parvenus à leur troisième année d’université.

Il a été enseigné depuis que nous avions la charge de faire cours et Travaux Dirigés pour les étudiants de 2 ^eme cycle, M3 : Mesure et Intégration (1999-2004).

La théorie de l’Intégration est un sujet difficile et vaste. De très nombreux livres lui ont été consacrés, pour se convaincre il suffit de consulter l’Internet. Pour ma part force est de constater que seulement un tiers de nos étudiants est capable d’assimiler cette théorie et ceci quels que soient les efforts pédagogique déployés. Ainsi pour aider et éviter tout égarement de nos étudiants, j’ai essayé de donner un cours très concis avec des démonstrations simples et naturelles afin de rendre la construction de l’intégrale de Lebesgue aisée, claire et agréable.

Nous mettons longuement l’accent sur la théorie de la mesure car à notre humble avis elle est la base fondatrice de l’intégration. Nous adoptons l’approche ensembliste pour pouvoir aborder facilement le calcul des probabilités une fois l’outil est bien forgé.

C’est ainsi pour la bonne compréhension et la maîtrise de cette théorie et conscient des difficultés rencontrées par nos étudiants, il m’a paru très pédagogique de partager ce cours en quatre parties toutes fondamentales.

Une partie pour la théorie de la mesure (mesures positives, réelles et complexes), une pour les applications et fonctions mesurables, une pour le calcul intégral de Lebesgue généralisant celui de Riemann. La quatrième partie est réservée pour les illustrations et les applications de cet instrument qui est l’intégral de Lebesgue dans le domaine d’analyse fonctionnelle

(Espace dual de L^p et transformation de Fourier) et dans celui de la théorie du calcul des probabilités.

Tout mon vœux est que ce polycopié soit un support pédagogique très utile pour la vulgarisation de la théorie de l’intégration au sens de Lebesgue à tous les niveau 1 ^er cycle et 2^ème cycle et de fournir une base mathématique sérieuse de la théorie de la mesure aux étudiants qui auront l’envie de faire des probabilités et des statistiques car nous voyons dans la théorie des probabilités qu’un pur prolongement de la théorie de la Mesure…

Auteur : H. Tahri

CHAPITRE N° 1 : CLASSES D'ENSEMBLES ET PARTIES

MESURABLES... 1

1. A - RAPPEL DE NOTATIONS: ... 1

1.B -ANNEAUX ET TRIBUS... 1

1.b.1 - Définitions :... 1

1. b.2 - Proposition... 2

1. C -ENGENDREMENT:... 2

1. c.1 - Définition... 3

1. c.2 - Proposition :... 3

1.c.3 - Théorème. ... 4

1. c.4 - Tribus Boréliennes... 4

1.D -STRUCTURE DES SEMI- ANNEAUX. ... 5

1. d. 1- Proposition... 6

CHAPITRE N° 2 :

réelles mesures et positives Mesures

... 7

2.A –MESURES POSITIVES SUR UN SEMI-ANNEAU... 7

2.a.1- Proposition... 7

2.a.2- Proposition... 9

2. a. 3 – Théorème de Jordan. ... 10

2. B –MESURES POSITIVES DEFINIES SUR UN ANNEAU :... 11

2. b.1- Définition: ... 11

2. b. 3 Proposition. ... 12

2. b.4 : Proposition... 13

2. C- MESURES EXTERIEURES ET PROLONGEMENT DE MESURES . ... 14

2. c.1- Définition... 14

2. c.2 - Parties µ^*- mesurables ... 15

2. c.3 - Théorème de CARATHEODORY. ... 18

2. c.4- Parties µ- négligeables... 18

2. c.5- Proposition. ... 19

2. c.6- Théorème. (D’existence)... 19

CHAPITRE 3 : APPLICATIONS ET FONCTIONS MESURABLES... 63

3. A.APPLICATIONS MESURABLES... 63

3.a.1 - Proposition... 63

3. a.2 - Proposition... 63

3. a. 3 - Corollaire ... 64

3. a. 4 - Proposition... 64

3. B -TRIBUS INITIALES - TRIBU PRODUIT - TRIBU TRACE. ... 64

3. b.1-: Proposition... 64

3 .b.2 - Théorème... 65

3. b.3 - Définition : (Tribu produit) ... 65

3. b.4- Lemme ... 66

3. b.4-Théorème de Recollement. ... 68

3. b.5- Corollaire ... 68

3. b.5- Stabilité de la mesurabilité par passage à la limite simple... 69

3. C -FONCTIONS MESURABLES REELLES... 70

3. c.1- Fonctions mesurables réelles : (Non nécessairement finies)... 70

3. c.2- Proposition. ... 70

3. c.3 - Proposition ... 71

2. c.4- Fonctions mesurables réelles :finies . ... 72

2. c.5- Proposition. ... 73

3. D-:FONCTIONS ETAGEES... 73

3. d.1 - Définition... 73

3. d.2 - Théorème... 74

3. d.3- Théorème... 75

3. d.4-Corollaire. ... 76

3. d.5-Corollaire . ... 77

3. E -FONCTIONS µ−MESURABLES... 77

3.e.1-Définition :... 78

3. e.2- Proposition. ... 78

CHAPITRE 4 : INTEGRATION AU SENS DE LEBESGUE ET FONCTIONS INTEGRABLES ... 80

INTRODUCTION : ... 80

4. A -INTEGRATIONS DES FONCTIONS ETAGEES POSITIVES:... 80

4. a.1-: Proposition fondamentale... 81

4. a.2 - Proposition :... 82

4. a.3-: Proposition... 84

4. a. 4- Théorème de DANIEL. ... 84

4. a.5- Corollaire. ... 85

4. B -INTEGRATION DES FONCTIONS MESURABLES POSITIVES. ... 86

4. b.1 - Proposition... 86

4. b.2 - Exercice :... 86

4. b.3 - Proposition :... 87

4. b.4 -Théorème de BEPPO-LEVY... 88

4. b.5- Corollaire ... 88

4. C -FONCTIONS POSITIVES INTEGRALES. ... 90

4. c.1- Définition:... 90

4. c. 2 - Proposition ... 90

4. c. 3- Corollaire : (Borel - Cantélly) ... 91

4. c.4 - Théorème de "Convergence dominée". ... 91

3. c.5- Définition :... 94

4. c.6- Théorème de Fischer. (Charles Albert)... 94

4. c.7- Théorème de RADON-NIKODYM... 95

4. c.8- Corollaire :... 99

4. D -CONSTRUCTION DE MESURE PRODUIT ET THEOREME DE TONELLY... 99

4. d. 1- Lemme n*1 ... 100

4. d.2- Lemme n*2. ... 100

4. d. 3- Théorème... 101

4. d.4-Théorème de TONELLY ... 102

CHAPITRE N° 5 : INTEGRATION DE LEBESGUE DANS M (Ω, T, K). ... 104

5.A -INTRODUCTION:... 104

5. a.1-Définition : ... 104

5. a.2-Proposition:... 105

5. a.3 -Proposition:... 106

5. a.4 -Théorème de Convergence Dominée... 106

5. a.5- Corollaire. ... 107

5. a.6-Théorème de BEPPO-LEVY dans M(Ω ;T; R )... 108

5. B-APPLICATIONS DU THEOREME DE CONVERGENCE DOMINEE... 108

5. b.1- Limites d'une suite de séries... 108

5. b.2-Théorème de la Continuité sous signe intégrale . ... 109

5. b.3 -Théorème de la dérivation sous signe intégrale... 109

5. b.4 -Théorème de :... 110

5. C -INTEGRATION PAR RAPPORT A LA MESURE PRODUIT. ... 111

5. c.1 -Théorème de FUBINI. ... 111

5. c.2-Corollaire ... 112

5. D -LIEN ENTRE INTEGRALE DE RIEMANN ET INTEGRALE DE LEBESGUE. ... 114

5. d.1 Théorème ... 114

5. d.2 –Théorème ... 116

CHAPITRE N° 6 : LES ESPACES L_С ^P (Ω, T, µ) & L^PC(Ω, T, µ). (1≤ P ≤ +∞)... 74

6.A-INTRODUCTION... 74

6. a.1- Définitions. ... 74

6. a.2- Proposition... 74

6. a.3-Proposition... 75

6. a.4- Corollaire. ... 76

6. a.5 -Théorème de la convergence dominée de Lebesgue. ... 76

6. a.6- Corollaire. ... 77

6. a.7 - Théorème de Fischer-Riesz. ... 78

6. B-SOUS ESPACES DENSES DANS L^PC(Ω,T,µ). ... 79

6. b.1- Densité des fonctions T- étagées dans L^PC (

Ω

, T, µ)... 79

6. b.2- densité de CK(Ω ) dans L ^pc (Ω ,T,µ). ... 80

6. b.3- Corollaire. ... 81

6. b.4- Proposition... 81

6. b.5- Corollaire. ... 82

6. C-ESPACE DUAL DE L^PK(Ω,T,µ) (µ EST σ- FINIE)... 84

6. c.1- Proposition. ... 85

6. c.2- Lemme préparatoire de Riesz. (1/p +1/q = 1)... 85

6. c.3- Théorème de Riesz ( µ est σ - finie )... 86

6. c.4 - Corollaire: (Pour 1≤ p <+∞) ... 88

6. c.5- Espace dual de L^∞(Ω ,T µ)... 88

CHAPITRE N° 7 : PRODUIT DE CONVOLUTION ... 91

7. A-PRODUIT DE CONVOLUTION DE DEUX MESURES. ... 91

7. a.1-Définition... 91

7. a.2-Remarques et Propriétés immédiates... 91

7. a.3 –Exercice. ... 91

7. a.3- Proposition... 91

7. B -PRODUIT DE CONVOLUTION DANS L¹(R^N)... 92

7. b.1- Proposition... 93

7. b.2-Exercice... 93

7. C –UNITES APPROCHEES DE L¹(R^N). ... 93

7. c.1- Définition... 94

7. c.2- Proposition (Construction d’une unité approchée.)... 94

7. c.3-Proposition ... 95

7. c.4- Lemme... 96

7. c.5- Densité de D∞ (Rⁿ) dans L^p(Rⁿ)... 96

7. c.6- Proposition. ... 97

CHAPITRE 8 : TRANSFORMATION DE FOURIER. ... 103

8. 1- Propriétés de type Fubini... 103

8. 2-Propriétés de type continuité sous signe intégral. ... 104

8. 3- Théorème :... 105

8. 4-Théorème... 106

8. 5- Corollaire (formule d’inversion)... 107

CHAPITRE N⁰ 9 : INITIATION A LA THEORIE DES PROBABILITES ... 108

9.A-INTRODUCTION... 108

9.B.CONCEPTS DE BASE ET LANGAGE PROBABILISTE... 108

9.C-CONSTRUCTION DE QUELQUES ESPACES PROBABILISES... 113

9.c.1- Espaces probabilisés discrets : ... 114

9.c.2- Espaces probabilisés continus... 116

9.D- PROBABILITE CONDITIONNELLE ET INDEPENDANCE STOCHASTIQUE... 117

9.E- QUELQUES FORMULES CELEBRES ET UTILES... 121

CHAPITRE 10 : VARIABLES ALEATOIRES ET MODES DE CONVERGENCE... 120

10.A-VARIABLES ALEATOIRES... 120

10.a.1- Définition : ... 120

10.a.2. Loi d’une variable aléatoire. ... 120

10.B- TYPES DE VARIABLES ALEATOIRES. ... 121

10.b.1- Variables aléatoires discrètes :... 121

10.b.2- Variables aléatoires continues :... 122

10.b.2.1- Fonction de Répartition de X. ... 122

10.b.2.2- Densité de Probabilité de X... 122

10.b.2.3- Espérance mathématique de X. ... 123

10.b.2.4- Proposition et définition. ... 123

10.b.2.5- Quelques inégalités célèbres. ... 124

10.C-INDEPENDANCE DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES... 125

10.c.1- Définition... 125

10.c.2- Proposition ... 125

10.c.3- Corollaire ... 125

10.c.4- Corollaire ... 126

10.D-LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES(BERNOULLI) ... 126

10.E- ETUDES DE QUELQUES TYPES DE CONVERGENCE DANS MR(Ω,T,P)... 127

10.e.1- Définition... 127

10.e.2- Proposition ... 128

10.e.3- Théorème d’ EGOROV... 129

10.e.4- Proposition de Ficher... 129

10.e.5- Proposition métrique. ... 129

10.e.6- Théorème de Ficher... 130

Chapitre n° 1 : Classes d'ensembles et parties mesurables.

1. a - Rappel de notations:

Ω

Étant toujours un ensemble quelconque non vide ; P (Ω ) désigne la totalité de toutes les parties deΩ . Pour une famille

(A

i

)

i ∈ I d'éléments de P (Ω ) on note :

{ } { }

{ } ( ) ( )

i i I

; tel que ; ,

; /

Remarque: On montre facilement qu'on a A

i i i i

i I i I

c

A x i I x A A x i I x A

A B x x Aet x B A A A B A B B A

∈ ∈

∈

= ∃ ∈ ∈ = ∀ ∈ ∈

− = ∈ ∉ = Ω − ∆ = − U −

U I

( ) ( )

( ) ( )

;

De même par Morgan on a aussi :

;

i i i

i I i I i I

i i i i

i I i I i I i I

B A B A B A B

B A B A B A B A

∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈

⎛ ⎞

⎛ ⎞− = − ⎜ ⎟− = −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

−⎜ ⎟= − −⎜ ⎟= −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

U U I I

U I I U

Par définition

Un ensemble est dénombrable s'il est équipotent à ℵ (ensemble des entiers naturels).

Exemple: Q et Z sont dénombrables, par contre P (ℵ ) n'est pas dénombrable.

1.b - Anneaux et Tribus.

1.b.1 - Définitions :

Ω

Étant un ensemble quelconque non vide.

a) On appelle classe toute sous famille de P (Ω ).

b) On appelle anneau toute classe ℜ telle que :

A ∈ ℜ et B ∈ ℜ ⇒ A ∪Β∈ℜ & Α−Β∈ℜ .

c) On appelle algèbre tout anneau qui contient

Ω

.

d) On appelle σ - anneau tout anneau stable par réunion dénombrable.

e) On appelle Tribu ou σ - algèbre tout σ - anneau contenantΩ. Les éléments d'une Tribu

T

sont appelés parties mesurables et la donnée du couple

( Ω , T )

constitue un espace mesurable

f) On appelle classe monotone toute classe stable par réunion dénombrable ( ↑ ) croissante et par intersection dénombrable décroissante ( ↓ ).

Exemples :

* P(Ω )c’est la tribu discrète. {∅ ;Ω }.

*P_f(ℵ ) : La classe de toutes les parties finies de ℵ constitue un anneau et non un σ - anneau.

* P_d(R): La classe de toutes les parties au plus dénombrables est un σ – anneau, mais pas une Tribu.

* La classe T_d(R) =

{

^{; A P ( ) A P}d^{( )}

}

c

d R ou R

R

A⊆ ∈ ∈ est une Tribu. (Exercice)

Remarques:

Un anneau ℜ est toujours stable par

∩

finie, et par différence symétrique

∆

^.

Un σ - anneau est stable par intersection dénombrable.

1. b.2 - Proposition

ℜ

Étant un anneau non vide sur

Ω

.

a)

ℜ

est une algèbre si et seulement si

ℜ

est stable par passage au complémentaire.

b)

ℜ

est un σ- anneau si et seulement si

ℜ

est une classe monotone.

Preuve :

C'est une trivialité, il suffit d'écrire les choses comme il faut.

1. c - Engendrement:

La construction d'une Tribu se fait en général à partir d'une partie génératrice. En

effet : soit (M i)i ∈ I une famille de classes définies sur Ω . La classe

M =

I

_i∈I ^{M i =}

{

^{A⊆Ω: A∈M}_i^,∀i∈I

}

est une classe bien définie sur

Ω

^{, c'est}

la plus petite classe commune à toutes les Mi. Il est aisé de remarquer que si :

∀ i ∈ I, Mi est un anneau (respectivement une algèbre, σ - anneau, tribu, et classe monotone) alors la classe M est aussi et seulement si un anneau (resp. une algèbre, σ - anneau, tribu, et classe monotone).

1. c.1 - Définition

Il suit de là qu'on peut définir pour toute classe M.

- ℜ (M) L'anneau engendré par M, comme le plus petit anneau contenant M.

- ℜ(M) L'algèbre engendrée par M, comme la plus petite algèbre contenant M.

- σ (M) Le σ - anneau engendré par M, comme le plus petit σ- anneau contenant M.

- T (M) La tribu engendrée par M, comme la plus petite tribu contenant M.

- М (M) la classe monotone engendrée par M, comme la plus petite classe monotone contenant M.

Ces classes sont ordonnées par les inclusions suivantes:

M ⊆ ℜ (M)⊆ A (M) ⊆ T(M ) . M⊆ ℜ (M) ⊆ σ (M)⊆ T (M). M⊆ M(M)⊆ σ (M)⊆T(M).

Remarque :

En général une description explicite de ces classes n'est pas toujours facile voir même Impossible par des opérations d'unions et d'intersections. Toute fois on a des résultats partiels dans des cas précis, par exemple la proposition suivante:

1. c.2 - Proposition :

Ω

Étant un ensemble non vide.

a) Si ℜ est un anneau alors A (ℜ )=

{

A⊆Ω; A∈Rou A^c∈R

}

. b) Si ℜ est un σ - anneau alors T (ℜ)= A (ℜ).

c) Si ℜ est une classe quelconque alors T (ℜ )=A (σ (ℜ))=σ (A (ℜ)).

: Preuve

a) Il est claire que toute algèbre contenant ℜ contient également A (ℜ ).

Montrons que A (ℜ) est aussi et seulement si une algèbre. Pour ce faire il suffit de remarquer que Ω∈ A (ℜ ) et que A (ℜ) est stable par différence.

b) Même démarche que celle de a). Pour la stabilité par l'union dénombrable, il faut regrouper les Ai qui appartiennent à ℜ et les Ai tels que Ω -Ai ∈ℜ , alors :

⎟∈

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

∩⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

∈

∈

−

∈

∈

∈

U U I U

U

_{i N} ^ic _{i N} ⁱ

c

N

i i

c

N

i i

c

N

i Ai A A A A

*

*

ℜ . d) ℜ⊆σ (ℜ )⇒ A (ℜ ) ⊆ A(σ (ℜ))⇒σ (A (ℜ)) ⊆ A (σ (A (ℜ)).

e) ℜ ⊆A (ℜ)⊆ σ ((ℜ )) c'est une tribu car c'est une classe qui contient Ω et c'est un σ -anneau par définition.

f) Soit T' une tribu qui contientℜ, donc c'est une algèbre d'où :

A (ℜ )⊆ T’, T' est aussi un σ - anneau donc σ (A(ℜ)) ⊆ T'. Ainsi T (ℜ) = σ (A (ℜ)).

ℜ ⊆ T(ℜ) ⇒σ (ℜ) ⊆ T(ℜ) ⇒ A(σ (ℜ) )⊆ T(ℜ) ⊆σ (A(ℜ)) (1) ℜ⊆σ (ℜ)⇒ A (ℜ)⊆A (σ (ℜ)) qui 'est une tribu donc σ (A (ℜ) ⊆ A (σ (ℜ) (2) (1) et (2) achèvent la preuve de l'assertion c).

1.c.3 - Théorème.

Si ℜ est un anneau alors σ ( ℜ ) = M ( ℜ )

:

Preuve

ℜ ⊆σ (ℜ) Qui est une classe monotone donc σ (ℜ) ⊇ M (ℜ).

Pour montrer l'autre inclusion, il suffit de montrer que M (ℜ) est un anneau.

Soit A ∈ℜ fixé. Considérons la classe :

MA=

{

^B⊆Ω ;^AU ^B∈^m

( )

^R ,^A−^B∈^m

( )

^R ,^{et B}− ^A∈^m

( )

^R

}

^.

La classe MA contient trivialement l'anneau ℜ . La classe MA est monotone donc M (ℜ) ⊆ MA. Soit B ∈ М (ℜ) fixé. Considérons la classe MB. Le même raisonnement prouve que М (ℜ )⊆ M B .

Moralité :

∀Α∈M (ℜ),∀Β∈ M (ℜ) ⇒ Α∪Β∈M (ℜ), Α−Β∈M (ℜ) et Β−Α∈M (ℜ).

Donc M (ℜ) est un anneau donc un σ - anneau ce qui achève la preuve du théorème.

1. c.4 - Tribus Boréliennes.

Définition:

Lorsque ℜ est une topologie alors la tribu engendrée par ℜ est appelée la tribu borélienne. Un élément de la tribu borélienne est dit un Borélien.

Remarques :

- La tribu Borélienne est aussi et seulement si la tribu engendrée par la classe de tous les fermés.

- Pour Ω = Ř ⁿ la tribu Borélienne est exactement la classe monotone engendrée par la topologie usuelle de R ⁿ. (Exercice)

Corrigé de l'exercice.

Remarquons tout d'abord que dans un espace métrique, tout fermé s'écrit comme intersection dénombrable (↓) d’ouverts, donc tout fermé de R ⁿ appartient à M (ℜ). M(ℜ) contient Ω =R ⁿ car ℜ est une topologie.

M (ℜ) est stable par passage au complémentaire. En effet :

Si on considère la classe M ={Α∈M (ℜ) ; ⁄ Α^c∈M (ℜ)}, on remarque que M contient ℜ , et reste à montrer que M (ℜ) est stable par intersection. Pour se faire on raisonne par engendrement. Pour O ∈ℜ fixé, posons :

M (O) = {Β∈ M ( ℜ ). | Ο∩Β∈ M ( ℜ ) }

M (O) contient ℜ et c'est une classe monotone. Donc moralité :

∀Ο∈ℜ , ∀Β∈µ ( ℜ ) ⇒ Ο∩Β∈ M ( ℜ ).

Considérons maintenant pour tout B ∈ M (ℜ) la classe :

M (B) = {Α∈µ ( ℜ ) / Α∩Β∈ M ( ℜ ) } .

On a ℜ⊆ M (B) et M (B ) est une classe monotone. Ainsi par engendrement on a :

∀Α∈ M ( ℜ ) ∀ Β∈ M ( ℜ ) ⇒ Α∩Β∈ M ( ℜ ).

D'où M (ℜ) est une algèbre et puis qu'elle est déjà une classe monotone par définition. Donc c'est une tribu c'est à dire :

T ( ℜ ) = M ( ℜ ).

1.d - Structure des semi- anneaux.

Signalons ici une structure de certaines classes plus maniable que les précédentes.

Définition: On appelle semi - anneau toute classe S - contenant∅

- stable par intersection finie

- la différence propre de 2 éléments de S est une réunion disjointe d'un nombre fini d’éléments de S.

Exemples:

1) La classe de tous les singletons d'un ensemble

Ω

y compris la partie vide∅. 2) La classe de tous les intervalles de la forme [a, b[ sur R .

3) La classe des pavés de la forme Π[ai , bi[ de R n.

4) Plus généralement : Le produit cartésien de 2 semi- anneaux est aussi un semi- anneau.

1. d. 1- Proposition.

Soit S un semi- anneau sur

Ω

.

a) L'anneau ℜ (S) engendré par S coïncide avec la classe de toutes les réunions finies

disjointes d'éléments de S.

b) Toute réunion finie d'éléments de S est une réunion disjointe finie d’éléments de S.

Preuve :

a) Soit la classe ∑ =

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧A⊆Ω A= ^• C C_i∈S

fini ioù

,..

U

.On a: S ⊆ ∑ ⊆ℜ (S) Il suffit maintenant de montrer que ∑ est un anneau. Or ∑ est trivialement stable par réunion finie disjointe, stable par intersection finie. Σ est stable par différence .En effet soient A et B deux éléments de∑ ,donc il existe

( )

Cⁱ i I_∈ et G

( )

^j j J_∈ deux familles finies disjointes de S telles que :

( )

i j i j

i I j J i I j J

i j i j i j

j J j J

A C et B= G ...A B C G

Or : C G C G .Vu que C G Σ, j J ; la suite du raisonnement est maintenant claire

∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈

⎛ ⎞

= − = ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠

− = − − ∈ ∀ ∈

U U U U

U I

Ainsi on obtient l'inclusion inverse ℜ (S)⊆ ∑. C.Q.F.D.

b) la preuve de l’assertion de b) est une conséquence immédiate de a) car toute réunion finie d’éléments de S est un élément de ℜ(S),c’est à dire une réunion finie disjointe.

Chapitre n° 2 :

Mesures positives et mesures réelles

La théorie de la mesure consiste à étendre la notion de longueur, d'aire d'un rectangle, le volume d'un pavé de R ³, … etc. En général une mesure est une application d'une classe de parties de Ω à valeurs dans R + , ou dans R+

∪

{+∞}

,ou dans R tout entier, vérifiant certaines propriétés de σ - additivité.

Le domaine de définition naturel d'une mesure est une tribu, mais en général une mesure n'est explicitement définie que sur une partie génératrice, puis prolongée à la tribu engendrée.

2.a – Mesures positives sur un semi-anneau Définition:

S étant un semi - anneau sur Ω . Une mesure positive sur S est une application

µ:S → R+∪{+∞} vérifiant : a) µ (∅) = 0

b) ∀(Αn)n ∈ M disjoints 2 à 2 dans S avec ^•

∈

U

∈_M

i

A

i S, on a:

∑ ( )

∈

•

∈

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

M

n n

M

n An

µ

A

µ U

c’est la σ - additivité.

Exemples:

1) Sur

P ( Ω )

on définit la mesure de Dirac au point a : 1 ( ) 0

a

si a A

A si a A

δ _{= ⎨}^{⎧ ∈}

⎩ ∉ 2) Sur

P ( Ω )

on définit la mesure de dénombrement µd

:

( )

^' de A est fini

sinon

d

nombre d éléments si A µ A _{= ⎨}^⎧

⎩+∞

3) Sur le semi- anneau SR = {Α⊆ R | Α= [a, b[∀a ≤ b } défini sur la droite réelle R.

On a la mesure de BOREL:

λ( [

a, b

[ ) =

b

−

a

4) En fait on définit la mesure de BOREL- STIELJES de la façon suivante:

2.a.1- Proposition

Pour toute fonction F: R→ R croissante et continue à gauche, l'application λF : SR→ R+ définie par :

λ

F ([a, b [) = F(b)- F(a) est

une mesure positive sur SR , appelée mesure de BOREL-STIELJES. Lorsque F

=Id R , la mesure λF associée est la mesure Longueur de BOREL.

Lemme: ∀n ≥ 1 ; Si [a, b]

_U

ⁿ

] [

i

a

i

b

i 1

,

=

⊆

alors :

) ( ) ( )

( ) (

1 i

n

i

F b

i

F a

a F b

F − ≤ ∑ −

=

Preuve: Par récurrence sur n.

Démonstration de la proposition:

- λF (∅) = λF ([a, a[) = F(a)- F(a) = 0.

- Si (A_i = [a_i, b_i[ )_i ∈ I est une famille dénombrable d'intervalles disjoints 2 à 2 tels que :

[

^,

[ ^{[ [}

^{, ( ) ( ) ( ) ( , )}

^{[ [}

i i F i F

i I i I

a b a b Alors µ A F b F a µ a b

•

∈ ∈

=

∑

≤ − =

U

Supposons que I = ℵ. On peut ordonner les n premiers intervalles comme suit : a ≤ a1<b1≤ a2<b2 ≤ a3<b3……≤ an-1< bn-1 ≤ an < b n ≤ b.

Puisque la fonction F est croissante on a :

F(b)-F(a) ≥ F(bn)-F(an) +F(an)-F(a)≥F(bn)-F(an)+F(bn-1)-F(an-1)+F(an-1)-F(a) ..etc.

≥

( ) ( )

1 i

n i

i

F b

i

− F a

∑

⁼

=

ce ci est vrai pour tout n, donc à la limite on trouve :

) ( ) ( ) ( ) (

1

a F b F a F b

F

_i

i i

− ≤ −

∑

^∞

=

( ).

Pour l'autre inclusion on doit exploiter la continuité à gauche et le lemme précèdent.

Pour b). On peut trouver b' < b tel que F(b)-F(b') ≤ ε/2, de même pour chaque ai

on peut trouver a'i < ai tel que F(ai)-F(a'i) ₁ 2⁺

≤

ε

i _.

[ ] _U ] [ [ ] _U ] [

J

i i i

I

i

a

i

b

i

Jfini I a b

b a

∈

∈

⊆

⊂

∃

⇒

⊆ ' , tel que a, b' ' , '

,

.

Le lemme garantit que :

F(b')-F(a) ≤

( ) ( _i')

J

i F bi −F a

∑

∈

⇒

[ [

( )

⁼

( [ [ )

^{− •}

>

+

−

≤

−

⇒ +

−

≤

−

−

∑

∑

∑

∑

∈

∈

∈ +

∈

...

, ,

: Conclusion

0 pour tout est vrai

ci ce ) ( ) ( )

( ) (

) 2 ( ) 2 (

) ( ) (

F

1

additive est

µ b a b

a

a F b F a

F b F

a F b F a

F b F

F i i I

i F

i I

i i

I

i i

i I

i i

σ µ

µ

ε ε

ε ε

Nous proposons ici de donner les propriétés remarquables des mesures positives définies sur un semi- anneau S.

2.a.2- Proposition

µ étant une mesure positive sur S, alors : a) µ est croissante i.e:

A ∈ S, B ∈ S A ⊆ Β ⇒ µ ( Α ) ≤ µ ( Β ).

b) Si A ∈ S , B ∈ S, et A- B ∈ S alors :

µ ( Α−Β ) = µ ( Α ) −µ ( Β∩Α )

Si µ (B) <+

∞

.

a) Si

(A

n

)

n ∈ N est une suite disjointe dans S, et (B p)p ∈ N une autre suite disjointe dans S telles que _n

U

_∈^•_N^{An =}

U

_p∈^•_N^Bp alors :

∑

( )

∑

( )

∈

∈

=

N

p p

N

n µ An µ B

b) Si

(A

n

)

n ∈ N est une suite d'éléments de S telle que ∈

U

∈_N

n An S alors : µ( )

∑

( )

∈

∈

≤

N

n n

N

n

U

An µ A

c) Si

(C

n

)

n ∈ N disjointe dans S et A ∈ S avec

C A

N

n^• n

⊆

U

∈ , alors:

) ( )

(C µ A

µ

N

n

∑

n ≤

∈

Preuve:

a) A ⊆ B) B = A^{U(B−A)= A}

U U

^{• ⎜}_⎝^⎛_i∈J^•_.fini^Ci⎟_⎠^⎞ µ est additive, donc : µ(B) µ(A) µ(C ) µ(A) µ(B).

J

i i ⇒ ≤

+

=

∑

∈

b) Si B - A ∈ S et si µ (A) <+∞ , alors µ(B)=µ(A)+µ(B -A) d'où : ^{µ B( )−µ A B( ∩ )= µ B A( − ) car B A B− = −(A BI ).}

c)

( )

^{( ) ( )}

' ( ) ( .

n p n n P n n p

p N

n N p N p N

n n p

n N n N p N

A B A A B µ A µ A B

D où µ A µ A B

• • •

∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

= ⇒ = ⇒ =

⎛ ⎞

= ⎜ ∩ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑ ∑ ∑

I I

U U U

Nous pouvons reconduire la même démarche en commençant par les B p

puisqu’ ils jouent le même rôle que les An. On trouve :

(

∑

)

∑

∑ ∑

∑

∈ ∈ ∈ ∈ × ∈

=

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

N

n n

N N p

n n p

N

p n N n p

N

p µ(Bp) µ(A B ) µ(A B ) µ(A )

, I

I ^.

d) Remarquons que :

' 1

0

' ⁿ

n n n n i

n N n N i

A ^• A avec A A ⁻ A

∈ ∈ =

⎛ ⎞

= = −⎜ ⎟∈

⎝ ⎠

U U U

^ℜ (S), donc:

A'n = Les C

n

i i

i K

C où

•

∈

U

∈ . De plus : ( ) ( _n)

K

i µ Ci µ A

n

∑

≤

∈

. La σ - additivité de µ entraîne que :

).

( )

(

∑

∑ ∑

∈ ∈ ∈

∈

⎟≤

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

N

n n

N

n i K i

N

n An µ C µ A

µ

U

n

C.Q.F.D.

d)

f

K (N )

L P ( ),

n f i

n N n K

n n

n K n L

C A P C A

A C S avec N

• •

∈ ∈

• • •

∈ ∈

⊆ ⇒ ∀ ∈ ⊆

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∈

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

U U

U U U

& Sn∈ S ,∀n∈L

e) Conclusion µ(A)≥

∑

( ) ceciest vraipour toutepartiefiniedeN.

n∈Kµ Cn

C'est la preuve que : µ(C ) µ(A).

N

n n ≤

∑

∈

Nous terminons maintenant avec un Théorème fondamental de prolongement.

2. a. 3 – Théorème de Jordan.

Toute mesure positive sur un semi- anneau S se prolonge d'une manière canonique et unique à l'anneau engendré ℜ(S ).

Preuve : Si µ:S→ R+ U {+∞ } est une mesure positive, alors vue que pour tout A

∈ ℜ(S ). A =

U

_i∈K^•

^C

^{i où Ci ∈} S et K est fini et si un prolongement existeµ^∧ . )

( )

(

ˆ

∑

∈

=

K

i µ Ci

A µ

µˆ est bien définie, car elle ne dépend pas de l'écriture de A c'est le point c) de la proposition précédente . µˆ est trivialement additive. Par sommation par blocs on a aussi et seulement si grâce au point c) de la proposition précédente la σ - additivité de µˆ.

Moralité :

Le Théorème de JORDAN nous assure que toute mesure positive sur un semi- anneau S peut être vue comme une mesure sur l'anneau engendré ℜ(S).

Ainsi dorénavant on s'intéressera qu'aux mesures positives définies sur les anneaux.

En fait les mesures en général ne sont pas directement définies sur une tribu.

Elles sont explicitées sur un semi - anneau ou sur une algèbre puis prolongées à la Tribu engendrée; c'est le théorème de CARATHEODORY qu'on va établir dans la section suivante grâce à la notion de mesure extérieure.

2. b –Mesures positives définies sur un Anneau : 2. b.1- Définition:

ℜ Étant un anneau sur Ω et µ une mesure positive sur ℜ . a) µ est dite finie si pour tout A ∈ℜ ,µ (A) ∈ R+ .

b) µ est dite bornée s'il existe M > 0 tel que µ (A) <M, pour tout A de ℜ . c) µ est dite σ - finie s'il existe une suite (An)n ∈ N dans ℜ telle que

Ω =

0

( )

n n

n

A avec µ A

∞

=

< +∞

U

^{∀n ≥0}

1) Si µ( ) 1 µ est dite une probabilité

2 ) Toute mesure bornée est finie,et toute mesure finie sur une algèbre est bornée.

3 )Toute mesure finie sur une classe C est aussi finie sur R(C).

Ω =

Les propriétés les plus immédiates d'une mesure positive définie sur un anneau ℜ sont rassemblées dans la proposition suivante.

2. b.2- Proposition.

i.) µ est croissante

ii.) Si A ∈ℜ et B ∈ℜ avec A ⊆ B, et µ (A) <+∞ alors µ (B- A) =µ(B)-µ(A).

iii.) Si A ∈ℜ et B ∈ℜ alors µ (AUB) + µ (A∩B)=µ(A)+µ(B).(♠) iv.) µ est σ - sous additive i.e : Si (An)n ∈ N∈ℜ avec ∈

U

∈_N

n An ℜ alors:

∑

^∞

∈ =

⎟≤

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

0 ( )

n n

N

n An µ A

µ

U

^{) (♠♠)}

Preuve :

i.) Évident car µ(B) = µ(A)+µ(B- A).

ii.) C'est une évidence.

iii.) Si µ (A) = +∞ ou µ(B) = + ∞ .(♠) est vraie. Si maintenant µ (A)< +∞ et µ(B)<

+∞

Alors : µ (AUB) = µ (A) + µ(B- A) = µ(A)+µ(B)-µ(A∩B).

C.Q.F.D.

iv) ¹

0

ⁿ

n n n n i

n N n N i

A ^• B où B A ⁻ A

∈ ∈ =

⎛ ⎞

= = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

U U U

^{Via la σ} - additivité (♠♠) devient triviale.

Signalons que dans le cas pratique, la σ- additivité n'est pas une chose facile à montrer. La proposition suivante nous propose un critère de σ- additivité plus souple.

2. b. 3 Proposition.

ℜ Étant un anneau sur Ω ; µ: ℜ→ R +

U

{+∞ }. Les assertions suivantes sont équivalentes.

a) µ est une mesure positive surℜ . b) µ vérifie les 3 points :

i.) µ(∅)=0.

ii.) µ (A

U

^{• B}) =µ (A)+ µ(B). (additivité)

iii)(♣)∀(An )n ∈ N croissante dans ℜ : ( ) ( _n)

N n

n An imµ A

µ →+∞

↑

∈

=l

U

. (continuité

supérieure) .

Preuve:

a) → b) ii) est assurée par la σ – additivité, iii ) aussi et seulement si . En effet :

0

1 0 0

1 0

0

le cas où les µ(A ) tous

( ) ( ) ( ) ( )

le cas où il existe n ( ) ; ) au

n n n n n

n N n N

n n

n n n i i n n

i

n N n N

n

A B avec B A A B A

Dans sont

µ A µ B im µ A A im µ A

Dans avec µ A iii est acquise

↑ •

−

∈ ∈

•

→+∞ = − →+∞

∈ ∈

= = − =

< +∞

= = − =

= +∞

∑

l l

U U

U U

tomatiquement b) → a):

0

n n n i

n N n N i n

A B B A

• ↑ •

∈ ∈ ≤ ≤

= = ∈

U U U

^{ℜ .}

( )

^{( ) ( )}

) ( ) (

0

∑

∑

= ∈

+∞

→ +∞

→

↑

∈

•

∈

=

=

=

=

N

n n

n

i i

n n N n

n n

N

n An µ B imµ B im µ A µ A

µ

U U

l l C.Q.F.D.

Nous terminons par un critère suffisant qui assure la σ - additivité via la continuité inférieure.

2. b.4 : Proposition.

Si µ est additive et vérifie la condition suivante.

(♣♣) ∀

( )

A_{n n≥0} ↓_∅ dansℜ

( ) = 0

+∞

→ n

n

im µ A

l

(Continuité inférieure), alors µ est σ - additive.

Preuve:

Soit

(A

n

)

n∈ N une suite disjointe de ℜ telle que ^•

∈

U

_n≥₀

^A

^{n ℜ .Alors Bn =}

U

_if^•_n

^A

^{i ∈}

ℜ .

car : _n

U

_∈^•_N^{An = (}

U

_i=ⁿ₀ ^{Ai )}

U

^{• Bnet donc µ⎜}_⎝^⎛_n

U

^•_≥0^An⎟_⎠^{⎞= µ(}

U

_i=ⁿ₀ ^{Ai)+ µ}

^{( )}

^Bn

Via l'additivité de µ on a donc : i n

( )

n

n

n i n

n im µ A imµ B

A

µ →+∞ = →+∞

•

≥

+

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

U

₀ l

∑

₀ ^{( )} l ^{Or les}

^B

ⁿ

constituent une suite décroissante dans ℜ qui converge vers∅; donc ( ) 0 '_n

n im µ B D où

→+∞ =

l : La σ - additivité de l'application µ.

Remarque:

La σ - additivité n'implique pas toujours la continuité inférieure.

Exemple :

A

n

= [n, + ∞ [ ↓∅

^mais λ(Αn) ne tend pas vers zéro. Toute fois si

∃ n

o

tel que µ(A

no

) <+ ∞ . Alors, A

n

↓∅ ⇒ µ ( Α

n

) ↓ 0 .

En effet : An

↓∅

⇒

0

(

0

)

0 0

0 0

( ) ( ) ( )

' 0 ( )

n n n n n n n n

n n n n

n n

A A A A µ µ A im µ A A

D où im µ A

↑

≥ →+∞

→+∞

= − − ⇒ ∅ = − −

=

f

l l

I U

Exemples d’application.

M+(Ω ;ℜ ) étant l'ensemble de toutes les mesures positives définies sur l'anneau ℜ .

∈

∀

⇔

≤ A

µ

ν

ℜ µ(A)≤

ν

(A).

a) Si (µn) n>0↑dans M+(Ω ;ℜ), alors

Sup(µ

n

)

∈ M+(Ω ;ℜ). b) Si

(µ

n

)

n>0∈ M+(Ω ;ℜ ), alors

∑

^∞

∈

=1

n

µ

n M+(Ω ;ℜ). c) Si (µn) n>0 ∈ M+(Ω ; ℜ ).

d) Si im µ_n A existe

n ( )

+∞

l→ ∀Α∈ℜ, et si ∀n>0 µn ≤λ où λ est une mesure finie alors la Limite simple de (µn) ∈ M+(Ω ;ℜ )

Preuve : (Laissée à titre d’exercice).

2. c- Mesures extérieures et prolongement de mesures .

2. c.1- Définition.

µ: P(Ω ) → R+U{+∞} est une mesure extérieure si et seulement si:

i.) µ (∅)=0.

ii.) µ (A) ≤ µ (B) si A ⊆ B.

iii.) µ (

)

U

_n^∞₌0

^A

^{n ≤}

∑

^∞

=0

) (

n

µ A

n . (σ – sous additivité).

Remarques:

* Le domaine de définition d'une mesure extérieure est toujours P (Ω ).

* Une mesure extérieure n'est pas une mesure positive, sauf si elle est additive.

Par contre une mesure positive définie sur P (Ω ) est une mesure extérieure.

* Nous allons voir que pour chaque mesure extérieure on peut trouver une sous tribu de P(Ω sur la quelle µ devient une vraie mesure. D'autre part pour chaque