Logique et Raisonnement
Feuille de TD 1 2020–2021
Exercice 1
1. Soitn∈N.On considère la propositionI: cos(n π2) = 1 =⇒n pair.
(a) Écrire la négation, la contraposée puis la réciproque deI.
(b) La propositionIest elle vraie pour toutn∈N?
(c) Même question pour la contraposée puis pour la réciproque deI.
2. SoitP,QetR trois propositions. Écrire la négation des assertions suivantes : (a) P ⇒(QetR).
(b) P ou(Q⇒R).
(c) (P etQ)⇒R.
Exercice 2
SoitP,Q, RetT quatre propositions. Démontrer les assertions suivantes (avec ou sans table de vérité) 1. ((P ouQ)⇒R)⇔((P ⇒R)et (Q⇒R)).
2. ((P et Q)⇒R)⇔(P⇒(Q⇒R))⇔(Q⇒(P ⇒R)).
Exercice 3
Quel lien logique existe-t-il entre les propositionsP etQsuivantes ? Dire siPest une condition nécessaire, suffisante ou nécessaire et suffisante pourQ.
1. Soitxun réel.P : "x4= 16" etQ: "x= 2 oux=−2".
2. Soitzun nombre complexe. P : "z4= 16" etQ: "z= 2ouz=−2".
3. Soitf une fonction deRdansR.P :f est une fonction continue enx= 0,Q:f est une fonction dérivable enx= 0.
4. Soit (un)n∈N une suite de réels. P : La suite (un)n∈N est monotone. Q : La suite (un)n∈N est croissante.
5. Soitxet ydeux réels.P : x >0et y >0.Q:xy >0.
6. SoitA,B etC trois points distincts du plan.P :ABC est un triangle rectangle enA.
Q:AB2+AC2=BC2.
Exercice 4
Traduire en langage quantifié les assertions suivantes puis démontrer si elles sont vraies ou fausses.
1. Le produit de deux entiers naturels quelconques est supérieur ou égal à1.
2. Il existe dans[0,2π]un unique angle dont la somme du sinus et du cosinus vaut0.
3. La valeur absolue de tout réel négatif est égale à l’opposé de ce réel.
4. La somme de deux réels quelconques est positive si et seulement si les deux réels sont positifs.
Exercice 5
On considère les trois assertions suivantes : (a) (∃x∈N)(∀y ∈N∗)(|x−y|>1).
(b) (∀x∈N)(∃y ∈N∗)(|x−y|>1).
(c) (∀x∈N)(∀y ∈N∗)(|x−y|>1).
Écrire la négation de ces trois propositions et démontrer celles parmi les 6 qui sont vraies.
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Exercice 6
Traduire en langage quantifié les assertions suivantes.
1. La fonctionf définie deRdansRest majorée.
2. La fonctionf définie deRdansRn’est pas majorée 3. La fonctionf définie deRdansRest bornée.
4. La fonctionf définie deRdansRn’est pas bornée.
5. La fonctionf définie deRdansRne s’annule jamais.
6. La fonctionf définie deRdansRn’est pas la fonction nulle.
Exercice 7
Soitf1,f2etf3 trois fonctions définies deRdansR. Traduire graphiquement les assertions suivantes (on s’appliquera à ne pas faire deux graphiques identiques) :
1. ∃a∈R, ∃i∈ {1,2,3}, fi(a) = 0 2. ∀a∈R, ∀i∈ {1,2,3}, fi(a) = 0 3. ∃a∈R, ∀i∈ {1,2,3}, fi(a) = 0 4. ∀a∈R, ∃i∈ {1,2,3}, fi(a) = 0 5. ∃i∈ {1,2,3}, ∀a∈R, fi(a) = 0 6. ∀i∈ {1,2,3}, ∃a∈R, fi(a) = 0
Exercice 8 (Raisonnement par contre-exemple) Etudier la véracité de l’assertionP suivante :
P: Toute suite de réels strictement décroissante converge vers0.
Exercice 9 (Raisonnement par contraposée)
Démontrer l’assertion suivante oùaest un réel donné :
(∀ǫ >0, |a|< ǫ)⇔(a= 0)
Exercice 10 (Raisonnement par l’absurde)
SoitC={(x, y)∈R2, x2+y2= 4} etD={(x, y)∈R2, y=−x+ 4}. Montrer queC ∩ D=∅.
Exercice 11 (Raisonnement par disjonction de cas) 1. Montrer que pour tout réelx,|x−1|< x2+ 2x+ 4.
2. (a) Par analogie avec l’assertion justifiant la disjonction en 2 cas vue en cours, écrire une assertion justifiant la disjonction en 3 cas et une assertion justifiant la disjonction en 4 cas.
(b) Montrer que pour tout entiern, 1−cos(nπ2)
sin((n−1)π2) 1−cos((n−2)π2
= 0.
Exercice 12 (Raisonnement par récurrence)
Soitu0∈[0,1]. On définit par récurrence la suite(un)n∈Npar∀n∈N, un+1=u2n. Montrer que pour tout n∈N,un∈[0,1].
Exercice 13 (Raisonnement par récurrence).
1. Est-il vrai que∀n∈N,2n>n2?
2. Déterminer n0 ∈ N pour que ∀n ∈ N, n >n0, 2n > n2 soit vraie. Démontrer que pour ce n0,
∀n∈N, n>n0, 2n>n2.
Exercice 14 (Raisonnement par récurrence)
Soitu0 =u1 = 1et la suite (un)n∈N définie par∀n ∈N∗, un+1 = 2un+un−1. Montrer par récurrence que∀n∈N, un >n.
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Pour aller plus loin :
Exercice 15
On définit les propositions suivantes :
(P) "Simon mange des caramels" (S) "C’est le printemps"
(Q) "Simon a mal aux dents" (T) "J’éternue"
(R)] "Simon va chez le dentiste" (U) "Je prends un médicament contre le rhume des foins"
Donner les correspondances entres les expressions logiques et les phrases ci-dessous.
1)T ⇐⇒(S et(nonU)), 2) (non R)et(nonU), 3)P etQet R, 4)S etT etU,
5)Q⇐⇒P, 6) (S ⇒Q)⇒(S⇒R), 7)P ⇒(QetR), 8)S⇒nonP,
9)S ⇐⇒P, 10)non(S⇒T).
a) Il est faux de dire que j’éternue si c’est le printemps,
b) Quand Simon mange des caramels, il a mal aux dents et va chez le dentiste, c) Simon mange des caramels, a mal aux dents et va chez le dentiste.
d) J’éternue si et seulement si c’est le printemps et que je ne prends pas de médicaments contre le rhume des foins,
e) De deux choses l’une, ou bien c’est le printemps et Simon mange des caramels, ou bien c’est une autre saison et il n’en mange pas,
f) Simon ne va pas chez le dentiste et je ne prends pas de médicaments contre le rhume des foins, g) C’est le printemps, je prends un médicament contre le rhume des foins et j’éternue,
h) Simon a mal aux dents si et seulement si il mange des caramels,
i) Si, quand c’est le printemps, Simon a mal aux dents, alors, quand c’est le printemps, il va chez le dentiste,
j) Au printemps, Simon ne mange pas de caramels.
Exercice 16
On considère les quatres assertions suivantes :
(a) (∃x∈R)(∀y∈R)(xy>0) (c) (∀x∈R)(∃y ∈R)(xy >0) (b) (∃x∈R)(∀y ∈R)(xy >0) (d) (∀x∈R)(∀y∈R)(xy >0) Écrire la négation de ces propositions et démontrer celles parmi les 8 qui sont vraies.
Exercice 17
Soitϕ : N→Nune fonction strictement croissante. Montrer que∀n∈N, ϕ(n)>n.
Exercice 18
Soit a∈ N un entier impair. Démontrer par récurrence sur n∈ N∗ que2n+2 divise l’entier am−1 où m= 2n.
Exercice 19
Soitu0 = 0,u1 = 1 et la suite(un)n∈N définie, pour toutn∈ N∗, par un+1 =un+un−1. Montrer par récurrence que∀n∈N, u2n+2=u2n+u2n+1 etu2n+3=un+1(un+un+2).
Exercice 20
Soitu0=−3etu1= 2et la suite(un)n∈Ndéfinie par∀n∈N, un+2= 2un+1−un. Montrer par récurrence que∀n∈N∗, 06un65n.
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