PCSI1 Lycée Michelet
BATTEMENTS
Dans ce chapitre nous allons à nouveau considérer la superposition de signaux sinusoïdaux.
Jusqu’à présent nous avons additionné des signaux de même fréquence.
On s’intéressera ici à la superposition d’onde de fréquences différentes, mais proches et on étudiera les propriétés particulières du signal perçu en un point donné.
I. Constatations expérimentales
– On dispose de deux diapasons identiques dont l’un est un peu lesté (et donc vibre à une fréquence légèrement différente du premier) : quand on frappe les deux diapasons on entend des variations d’intensité du son dont la période est de l’ordre de la seconde. C’est ce que l’on nomme un phénomène de battements.
– Pour obtenir un signal plus puissant, on peut utiliser deux haut-parleurs, alimentés par deux GBF de fréquences très proches et d’amplitudes comparables. On perçoit alors une variation d’intensité du son, dont la période augmente quand on rapproche les deux fréquences.
- Avec deux sources ultrasonores (cf TP) Lorsqu’on place un récepteur à égale distance de deux émetteurs de fréquences proches et que l’on observe le signal reçu sur un oscilloscope, on constate que l’am- plitude des oscillations varie au cours du temps. Si l’on rapproche le récepteur de l’un des deux émetteurs, les battements existent toujours mais le mimimum des oscillations n’est plus nul.
En un point donnél’amplitude du signal résultant varie périodiquement au cours du temps.
II. Interprétations. Calcul de la fréquence des battements.
1. Analyse du problème
Soit f1 la fréquence de la première onde.
Soit f2 la fréquence de la seconde. On supposeraf2 > f1.
En un point M donné, les signaux reçus seront de la forme : s1(M, t) =a1cos(ω1t+ϕ1) =s1(t)
s2(M, t) =a2cos(ω2t+ϕ2) =s2(t) avec ω1 = 2πf1 et ω2 = 2πf2.
Par linéarité, le signal total perçu s(t) enM s’écrira :
s(t) =s1(t) +s2(t) =a1cos(ω1t+ϕ1) +a2cos(ω2t+ϕ2)
On peut définir une fréquence moyenne et une pulsation moyenne : fm = f1+f2
2 et ωm= 2πfm = ω1+ω2 2 On note ∆f =f2−f1, l’écart en fréquence. On peut vérifier que
f1 =fm−∆f
2 f2 =fm+∆f 2
On pourra considérer que les fréquences sont proches si leur écart relatif est inférieur à 10%
∆f
fm <0,1.
2. Première interprétation : représentation de Fresnels
On note−→ S1 et−→
S2 les vecteurs de Fresnel associés respectivement à chacun des deux signaux.
Le vecteur de Fresnel associé au signal résultant est −→ S =−→
S1+−→ S2.
Il tourne à une vitesse angulaire comprise entre ω1 et ω2 mais son amplitude varie au cours du temps : elle est maximale lorsque −→
S1 et−→
S2 sont colinéaires de de même sens.
Supposons f2 > f1. Le vecteur −→
S2 tourne plus vite que le vecteur −→
S1. Sa vitesse angulaire par rapport à la direction de −→
S1 estω =ω2−ω1.
On peut suivre le mouvement relatif des deux vecteurs sur l’animation :
http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/repfresn.
html
On peut choisir l’origine des temps t = 0 lorsque les deux vecteurs sont colinéaires (dans ce casϕ1 =ϕ2). On peut choisir une origine des angles telle que ϕ1 =ϕ2 = 0.
À t = 0, les deux vecteurs sont colinéaires, l’amplitude est maximale amax = a1 +a2. −→ S2 ayant une vitesse de rotation légèrement supérieure à celle de −→
S1, il va progressivement se décaler jusqu’à atteindre une direction opposée à celle de −→
S1(l’amplitude est alors minimale amin =|a2−a1|) puis redevenir colinéaire et de même sens que −→
S1, ceci au bout d’un temps Tb correspondant à la période de rotation de −→
S2 par rapport à la direction de −→ S1, soit :
Tb = 2π
ω = 2π ω2−ω1
La fréquence fb des battements vaudra donc : fb = ω
2π = ω2−ω1
2π =f2−f1 car ω1 = 2πf1 etω2 = 2πf2.
Ainsi, lorsqu’on additionne deux signaux sinusoïdaux de fréquences proches f1 et f2, la fré- quence des battements observés est égale à la valeur absolue de la différence des fréquences des deux signaux :
fb = 1
Tb =|f2−f1|
Conséquence : plus les fréquences f1 et f2 sont proches, plus la fréquence des battements est faible et donc plus leur période est grande.
Quand les deux signaux ont même amplitude,S~ est suivant la bissectrice de l’angle(−→
S1, ~S2)et donc l’angle(~ux,−→
S) =ω1t+(ω2−ω2 1)t = (ω2+ω2 1)t.S~ tourne uniformément à la vitesse angulaire
(ω2+ω1)
2 et on peut l’associer à un signal sinusoïdal de pulsation ωm = (ω2+ω2 1) et donc de fréquence fm = f1+f2 2. Dans ce cas les minima sont nuls.
Quand les deux signaux sont d’amplitudes différentes, l’angle(−→
S1, ~S2)ne varie pas linéairement au cours du temps. Cependant, la rotation de −→
S est quasi-uniforme de vitesse angulaire
ωm = (ω2+ω2 1). Le signal associé est donc quasi-sinusoïdal de pulsation ωm et les minima ne sont plus nuls.
Tracé dans le cas oùa2 = 2a1
Tracé dans le cas où a1 =a2 Bilan :
La superposition de deux signaux sinusoïdaux de fréquencesf1 etf2 voisines donne un signal quasi-sinusoïsal dont la fréquence est la moyenne fm = f1+f2 2 des deux fréquences et dont l’amplitude est modulée dans le temps à la fréquence
fb =|f2−f1| fb est appelée fréquence des battements.
L’amplitude maximale observée est amax =a1+a2 et l’amplitude minimale amin =|a1−a2|.
3. Deuxième interprétation.
On utilise les formules de trigonométrie.
s(t) =s1(t) +s2(t) =a1cos(ω1t+ϕ1) +a2cos(ω2t+ϕ2)
pour alléger un peu l’écriture on prend ϕ1 = ϕ2 = 0. On se place dans le cas où les deux signaux ont même amplitude a1 =a2 =a0, (sinon le calcul n’est pas possible).
s(t) =s1(t) +s2(t) =a0(cos(ω1t) + cos(ω2t))
en utilisant la relation bien connue de tous cosp+ cosq = 2 cosp+q2 cosp−q2 on trouve s(t) = 2a0cos
ω1+ω2 2 t
cos
ω1−ω2 2 t
en posant ωm = ω1+ω2 2 la pulsation moyenne, et ∆ω =ω2−ω1, on obtient, s(t) = 2a0cos(ωmt) cos
∆ω 2 t
avec, lorsque les fréquences sont proches, |∆ω| ωm, ( et donc ωm 'ω1 'ω2).
s(t) = 2a0cos ∆ω
2 t
| {z }
variation lente
cos(ωmt)
| {z }
variation rapide
la fonction cos(ωmt) est modulée en amplitude par la fonction2a0cos ∆ω2 t .
La période des battements correspond à une demi-période de la fonction enveloppe2a0cos ∆ω2 t Tb = 1
2
2π
∆ω 2
= 2π ω2−ω1
d’où la fréquence des battements : fb = 1
Tb = ω2−ω1
2π =f2−f1 on retrouve la relation :
fb = 1
Tb =|f2−f1|
Remarque : la méthode des battements est utilisée pour accorder certains instruments de mu- sique. Sur un piano, la même note peut être produite par deux ou trois cordes différentes. Si une des cordes est accordée, on peut accorder la deuxième écoutant les battements produits par la mise en vibration des deux cordes. On modifie la tension de la corde à accorder de manière à augmenter leur période, jusqu’à ne plus les entendre (les cordes vibrent alors à l’unisson).
Pour visualiser et écouter les battements :
http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/meca/battement.
html
Culture Science physique ENS Lyon qui propose une troisième démonstration de la formule des battements.
