Antennes
J.-M Friedt, 9 avril 2016
Un compte rendu sera transmis au format num´erique pour le 12 Mai au plus tard, `a [email protected]. Il s’agit d’un travail personnel donnant lieu `a une notation individuelle : aucune redondance susceptible d’indiquer une copie entre les r´eponses ne sera tol´er´ee.
Comme tout syst`eme ´electromagn´etique, deux approches du comportement de syst`emes sont envisa- geables, en consid´erant soit un comportement ondulatoire de la propagation de l’onde ´electromagn´etique, soit l’approche corpusculaire. Nous nous proposons d’aborder ces deux aspects de la mod´elisation des antennes.
1 R´ eflecteur sph´ erique : trac´ e de rayons
Nous avons vu qu’un parabolo¨ıde de r´evolution a la pro- pri´et´e de faire converger les faisceaux incidents parall`eles `a son axe de r´evolution vers son foyer. Technologiquement, il est cependant plus facile de fabriquer un r´eflecteur de forme sph´erique : reprendre le calcul de trac´e de rayon, pour un fais- ceau incident selon diverses directions, et ´evaluer l’impact de la forme sph´erique du r´eflecteur par rapport `a un r´eflecteur parabolique, par une m´ethode de lancer de rayons (raytra- cing). On pourra, pour ce faire, identifier l’angle entre l’axe de la calotte sph´erique et sa surface en fonction de l’abscisse du rayon incident, et en d´eduire l’angle de r´eflexion ajust´e de l’angle d’incidence.
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
in and off-axis
Figure 1: Exemple de trac´e de rayon dans et hors axe dans le cas d’un r´eflecteur de forme de chaˆınette (cosh)
1. tracer les rayons dans le cas d’un faisceau de rayons parall`eles `a l’axe de r´evolution d’une calotte sph´erique,
2. tracer les rayons dans le cas d’un faisceau de rayons incidents inclin´es de 5◦ par rapport `a l’axe de r´evolution d’une calotte sph´erique,
3. tracer les rayons dans le cas d’un faisceau de rayons parall`eles et inclin´es de 5◦ par rapport `a une section de calotte sph´erique compatible avec une localisation du r´ecepteur en dehors du chemin des rayons incidents.
4. Bonus : le radiot´elescope d’Arecibo est form´e d’un immense grillage tendu dans une vall´ee au dessus duquel sont plac´es les r´ecepteurs radiofr´equence mobiles pour s´electionner la r´egion de l’espace observ´ee, en profitant par ailleurs de la rotation de la Terre pour pointer dans diverses directions. Si le grillage n’´etait pas ajust´e pour prendre la forme sph´erique attendue1, il prendrait la forme naturelle d’une membrane fix´ee sur sa circonf´erence. Dans le cas d’une membrane mince, la solution est une parabole qui a ´et´e vue en cours. Dans le cas d’une plaque, la solution2 de la d´eflexion W en fonction du rayon ξ est de la forme W(ξ) = 0,174·P ·(1−ξ2)2 soit une
´equation du quatri`eme degr´e. Tracer les faisceaux r´efl´echis par une telle surface, dans et hors axe, en choisissant une valeur deP qui rende le trac´e exploitable.
2 R´ eflecteur : m´ ethode des moments
Un r´ecepteur de liaison de t´el´evision radiofr´equence entre un satellite g´eostationnaire (10 GHz) et le sol est souvent form´e d’un r´ecepteur (dipˆole) au foyer d’une parabole de 60 cm de diam`etre.
1. Proposer, dans le langage qui vous semble le plus appropri´e compte tenu de vos connaissances, un g´en´erateur de fichier au format compr´ehensible par NEC2, qui d´ecrive un segment de parabolo¨ıde de r´evolution. Valider ce fichier par un affichage en alimentantxnecview(ou tout autre visualisa- teur de fichier compatible NEC) du fichier de description d’antenne. Fournir le code source de ce programme pour validation. On s’efforcera de v´erifier les conditions de simulation propos´ees dans http://www.qsl.net/4nec2/Tutorial.pdf, `a savoir une longueur de fil inf´erieur au 10`eme de
1. D. Campbell, L. Baker, J. Maldonado, P. Perillat & F. Soberal,Resetting Arecibo’s reflector surface using photo- grammetry, `a urlhttp ://www.ursi.org/Proceedings/ProcGA02/papers/p1394.pdf
2. M. Sheplak & J. Dugundji,Large Deflections of Clamped Circular Plates Under Initial Tension and Transitions to Membrane Behavior, Journal of Applied Mechanics 65(March 1998), 107–115, ou A. Delaplace, F. Gatuingt & F.
Ragueneau,M´ecanique des structures – r´esistance des mat´eriaux, Dunod (2008), p.138
1
la longueur d’onde, et un rayon inf´erieur au centi`eme de la longueur d’onde et au huiti`eme de la longueur du segment.
2. Placer un dipˆole au foyer de cette antenne et effectuer la mod´elisation du diagramme de rayon- nement. Quel gain est observ´e ? Est-ce coh´erent avec la th´eorie ? Analyser la d´ependance avec les param`etres de simulation (nombre de points par segment, diam`etre des fils) et l’impact sur le temps de calcul.
On prendra en particulier soin, si la mod´elisation du r´eflecteur parabolique se fait par un grillage “fin”, de res- pecter quelques r`egles de conception quant au diam`etre du fil qui repr´esente chaque ´el´ement de surface selon une r`egle de surface du cylindre ´egale `a la surface de l’´el´ement mod´elis´e.
Ce point est d´ecrit en d´etail dans la r´ef´erenceOn Wire-Grid Representation of Solid Metallic Surfaces de A. Rubinstein, F. Rachidi &al., IEEE Trans. on Electromagnetic Compatibi- lity47(1), pp.192-195 (2005), disponible `ajmfriedt.free.
fr/Rubinstein-et-al-IEEETrans2005.pdf
X
Y 2 13
4 5 6 87
9 10
11 1213 1415171618
19 20 21 22 23 24 25 26 2728 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38
39 40
41 42
43 44
46 45 48 47
49 50
52 51 5453
5655 5857 5960616263 6465 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 7778 79
80 81
82 83 84 85 86 87 88
89 90
91 92
93 94
95 96
97 98
99 100
101 102
104103106105 108107109110111112 113114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
126 127
128 129
130
131 132
133 134
135 136
137 138
139 140
141 142
143 144
145 146
147 148
149 150
151
152 154153 156155 157158 159160
161162 163 164 165 166 167 168 169 170 171
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181 182
183 184
185 186
187 188
189 190
191 192
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194 195
196 197
198 199
200 203 204 205 207 206
208 209 210 211 212 213 214 215
240
Figure 2: Exemple de maillage de parabole, et son dipole
Il semblerait que nec2c(paquet du mˆeme nom dans
Debian/GNU Linux, ouhttp://www.qsl.net/5/5b4az//pkg/nec2/nec2c/) r´esolve quelques probl`emes rencontr´es avec nec2 lors de la mod´elisation de surfaces par un maillage fin de fils. Il peut donc ˆetre judicieux d’utiliser ce premier outil : au lieu d’appeler le programme comme nous l’avons fait en cours parnec2 entree.nec sortie.outnous utilisonsnec2c -i entree.nec -o sortie.out.
3 R´ eseau d’antennes
-100 -50 0 50 100
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
angle theta (degres)
puissance normalisee (sans unites)
Figure 3: Diagramme de rayonnement pour -30, 0, +30 et +60 degr´es de d´epointage.
Une antenne unique ´emet un signal p´eriodique, de pulsation ω, selon un diagramme de rayonne- ment F(ϑ). La mise en r´eseau de ces antennes ce traduit par une somme de signaux d´ephas´es, et nous avons vu que la suite g´eom´etrique dans le cas d’antennes align´ees et ´equidistantes se r´esoud ana- lytiquement pour donner la fonction de r´eseau par laquelle multiplier F(ϑ). Pour mieux comprendre, on lira en d´etail le chapitre 6 de l’ouvrage de Bala- nis, dans lequelF est not´e commeAF pour Array Factor, disponible `a http://jmfriedt.free.fr/
Balanis_AntennaTheory.pdf.
E~total=F(ϑ, f)·E~elem(ϑ, f)
On calculera le diagramme de rayonnement, normalis´e de la puissance rayonn´ee, par diagramme(ϑ, f) = 4π·r2· |E~total(ϑ, f)|2
auquel on pr´ef`erera une repr´esentation logarithmique pour mettre en valeur les lobes secondaires diagrammedB(ϑ, f) = 10×log10(diagramme(ϑ, f))
Etablir le diagramme de rayonnement de´ N antennes ´equidistantes de d. On prendra par exemple N = 7 etd=λ/2, puis d=λ/4. Dans un premier temps on consid`erera le cas de l’antenne isotrope
E~elem= exp(−jkr) r√
2π
pour valider le calcul de la fonction de r´eseau, puis le cas du dipˆole de longueurL(deux brins deL/2).
On prendra comme expression du dipˆole qui rayonne en direction de l’axe y (donc rotation de 90◦ par rapport `a l’expression “habituelle” du dipˆole orient´e versx)
E~eLem=ηjkI0exp (−jkr) 4πrcos(ϑ)
cos
kL
2 sin(ϑ)
−cos
kL
2
·~uϑ
en prenant garde au casϑ=π/2 qui n´ecessite un d´eveloppement limit´e explicite pour ne pas diverger num´eriquement.
2
