12.1 Eau douce

(1)

École Polytechnique de l’UNS Polytech’Nice-Sophia

Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2^e année 2012–2013

Électromagnétisme

TD 12

Propagation dans les milieux lhi

Introduction :Le champ électrique d’une OPPM se propageant dans un milieu lhi sans pertes vers la directioneˆ_z est décrit par :

E~(~r, t) =E~₀cos(ωt−kz)

~˜

E(~r, ω) =E~₀e⁻^j^kz où le nombre d’onde k=ω√µǫ.

Dans le cas d’un milieuavec pertes (ohmiques ou diélectriques ; on ne s’intéresse pas ici aux pertes magnétiques) on définit une permittivité effective complexe :

˜

ǫreff,˜ǫr−j σ ωǫ0

=ǫ^′_r− j

ǫ^′′_r+ σ ωǫ0

=ǫ^′_reff− jǫ^′′_reff (1) oùσ(enS m⁻¹) est la conductivité du milieu etǫ^′′_r représente les pertes diélectriques.¹ Le nombre d’onde devient alors complexe et s’écrit sous la forme :

k˜=ωp

µ˜ǫeff,β− jα (2)

où

α=ω√µ0ǫ0

rµrǫ^′_reff 2



 s

1 + ǫ^′′_reff

ǫ^′_reff 2

−1





1/2

(3)

β =ω√µ0ǫ0

rµrǫ^′_reff 2



 s

1 + ǫ^′′_reff

ǫ^′_reff 2

+ 1





1/2

(4) et l’expression d’une OPPM devient

~˜

E=E~₀e⁻^{j ˜}^kz=E~₀e⁻^αze⁻^j^βz (5) et

E~=E~₀e⁻^αzcos(ωt−βz) (6) oùβ est la « constante de phase » (enrad m⁻¹) etαle « coefficient d’atténuation » (enNp m⁻¹).

1Souvent, on note˜ǫ_rà la place de˜ǫ_r_eff pour alléger les formules ; ici on préfère indiquer clairement la permittivité complexe due aux pertes diélectriques (˜ǫ_r = ǫ′

r− jǫ′′

r) et la permittivité complexe effective,ǫ˜_r_eff, une fois qu’on a assemblé aussi les pertes par conduction, la seule différence entre les deux étant au niveau de la partie imaginaire.

TD 12 – p.1 www.polytech.unice.fr/~aliferis

(2)

On reconnaît dans la dernière expression une onde se propageant verseˆ_z dont l’amplitude décroît de façon exponentielle ; à une distanceδ= 1/α, appelée « profondeur de peau », l’amplitude de l’onde est égale à e⁻¹≈0.37de sa valeur initiale.

La constante de phase βjoue le même rôle que le nombre d’onde réel dans un milieu sans pertes (cf. ex. 1.1). On peut donc reprendre tous les résultats relatifs aux milieux lhi sans pertes (indice de réfraction, vitesse de phase, longueur d’onde, impédance caractéristique) en utilisantβ=Re{k˜} à la place dek:

˜ n=p

µr˜ǫreff (7)

vφ= ω

β = c

Re{n˜} (8)

λ= 2π

β = λ0

Re{n˜} (9)

Z˜= r µ

˜ ǫeff

siµr=1

= Z0

˜

n (10)

On voit que, dans le cas des milieux avec pertes, on a besoin de calculer la racine de nombres complexes, ce qui peut donner des calculs longs — cf. formules (3) et (4) — si l’on veut obtenir directement les parties réelle et imaginaire. Une alternative est d’utiliser l’écriture polaire d’un nombre complexe, puisque :

√z˜= q

|z˜|e^j^φ=p

|z˜|e^j^φ/2=p

|z˜|cosφ 2 + jp

|z˜|sinφ 2

Notions : milieu lhi avec pertes, permittivité complexe, constante de phase, coefficient d’atténuation.

12.1 Eau douce

12.1.1 À 1 MHz

À la fréquence de 1 MHz, l’eau est un diélectrique pratiquement sans pertes, non magnétique, dont la permittivité relative est égale à81.

Calculer :

a. La constante de phaseβ. b. Le coefficient d’absorptionα.

c. L’indice de réfraction.

d. La longueur d’onde (comparer avec celle dans le vide).

e. La vitesse de phase.

f. L’impédance caractéristique de l’eau.

Donner les expressions du champ électromagnétique d’une onde se propageant seloneˆ_z(pola- risation linéaire selonˆe_x), dont l’amplitude maximale du champ électrique est égale à0.5 V m⁻¹.

(3)

Résultat:

a. β = 0.19 rad m⁻¹ b. α = 0 c. n = 9 d. λ = ^2π_β = 33 m; λ0 = _f^c = 300 m e. vφ= ^ω_β = 3.3×10⁷m s⁻¹ f. Z= 42 Ω

~˜

E= 0.5e⁻^j0.19zeˆ

x (V m⁻¹)

~˜

H=^0.5₄₂e⁻^j0.19zˆe_y (A m⁻¹)

E~= 0.5 cos(2π10⁶t−0.19z)ˆe_x (V m⁻¹) H~ = 11.9×10⁻³cos(2π10⁶t−0.19z)eˆ

y (A m⁻¹)

12.1.2 À 2.5 GHz

À des fréquences plus élevées, l’eau devient un milieuavec pertes diélectriques. La permittivité relative à2.5 GHz est égale à˜ǫr= 78−j 7.

Calculer les mêmes paramètres que précédemment ainsi que la profondeur de peau. Pourquoi a-t-on choisi cette fréquence pour le four à micro-ondes ?

Résultat:

a. β = 464 rad m⁻¹ b. α = 21 Np m⁻¹ c. ˜n = 8.84− j 0.39 d. λ = 1.4 cm; λ0 =

c

f = 12 cm e. vφ = ^ω_β = 3.38×10⁷m s⁻¹ f. Z˜ = (42.56 + j 1.91)Ω = 42.6e^{j 2.56}^◦Ω g. profondeur de peau δ= 1/α= 4.76 cm

~˜

E= 0.5e⁻^21ze⁻^j464zeˆ_x (V m⁻¹)

~˜

H=_42.6e^0.5_{j 2}.56◦e⁻^21ze⁻^j464zˆe_y= 11.7×10⁻³e⁻^21ze⁻^j(464z⁻^2.56^◦⁾eˆ_y (A m⁻¹) E~= 0.5e⁻^21zcos(2π2.5×10⁹t−464z)ˆe_x (V m⁻¹)

H~ = 11.7×10⁻³e⁻^21zcos(2π2.5×10⁹t−464z−2.56^◦)eˆ_y (A m⁻¹)

12.2 Communiquer avec un sous-marin

L’eau de mer est un milieu diélectrique caractérisé par ǫ^′_r ≈81 et µr = 1. La présence du sel sous forme d’ions Na⁺/Cl⁻ donne lieu à une conductivitéσ = 4 S m⁻¹ qui est principalement responsable des pertes (on peut donc ignorerǫ^′′_r devant le terme _ωǫ^σ₀).

Examiner la faisabilité d’une liaison radio entre une station de base et un sous-marin en utilisant les fréquences de 1 MHz ou de 10 Hz. Prendre en compte que a) plus la fréquence de communication est élevée, plus la quantité d’information transmise est importante b) les dimensions des antennes d’émission/réception sont comparables à la longueur d’onde utilisée c) l’atténuation déterminera la profondeur maximale du sous-marin pendant la communication.

Résultat:

i) À 1 MHz,δ≈25 cm,λ= 1.6 m ii) À10 Hz,δ≈80 m,λ= 500 m