Le théorème de Thalès
Troisième / Quatrième
Si
❏ Les points A, M, B et A, P, C sont alignés sur deux droites sécantes en A;
❏ Les droites(BC)et(M P)sont parallèles.
Alors AM
AB = AP
AC = M P BC Théorème 1(Théorème de Thalès)
A
×?
×
B
15
×
C
M
×P
×4 3
6 ?
×
A
×
P
×
M
×
C
×
B 7
4
?
6
? 15
Calculons MP et AC.
• Données
( ❏ Les points A, M, B et A, P, C sont alignés sur deux droites sécantes en A;
❏ Les droites(BC)et(M P)sont parallèles.
• Le théorème
Donc d’après lethéorème de Thalèson a :
AM
AB = AP
AC = M P BC Puis en remplaçant par les valeurs
4 7 = 6
AC = M P 15 On a donc 3 égalités utilisables, deux vont suffire
Pour calculerM P Pour calculerAC
4 7 =M P
15
4 7 = 6
AC puis par produit en croix puis par produit en croix
M P =4×15
7 AC= 7×6
4
M P =60
7 ≈8,6cm à0,1cm près AC=42
4 = 10,5cm Exemple 1(Application directe du théorème de Thalès)
Troisième / Quatrième Le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès - Réciproque et contraposée
Si
❏ Les points A, M, B et A, P, C sont alignés dans cet ordre sur deux droites sécantes en A;
❏ AM
AB 6= AP AC
Alors Les droites(BC)et(M P)ne sont pas parallèles . Théorème 2(Contraposée du théorème de Thalès)
×
A
×
P
×
M
C
××
B 7
4 8 6
Exemple 2 : Les droites (MP) et (BC) sont-elles parallèles ?
• Données.
Les points A, M, B et A, P, C sont alignés dans cet ordre sur deux droites sécantes en A.
• Le test, avec mise au même dénominateur.
AM
AB = 4
7 = 16 28 AP
AC = 6
8 = 3 4 = 21
28
• Conclusion.
On n’a donc pas égalité,AM AB 6= AP
AC. De ce fait, d’après lacontraposée du théorème de Thalès, Les droites(BC)et(M P)ne sont pas parallèles.
Exemple 2(Rédaction type)
Si
❏ Les points A, M, B et A, P, C sont alignés dans cet ordre sur deux droites sécantes en A;
❏ AM
AB = AP AC
Alors Les droites(BC)et(M P)sont parallèles . Théorème 3(Réciproque du théorème de Thalès)
A
××
B
×
C
M
×P
×4 3
6 4,5
Exemple 3 : Les droites (MP) et (BC) sont-elles parallèles ?
• Données.
Les points A, M, B et A, P, C sont alignés dans cet ordre sur deux droites sécantes en A.
• Le test, avec mise au même dénominateur.
AM
AB = 4
7 = 12
21 AP
AC = 6
10,5 = 12 21
• Conclusion.
On a donc égalité, AM AB = AP
AC. De ce fait, d’après laréciproque du théorème de Thalès, Les droites(BC)et(M P)sont parallèles.
Exemple 3(Rédaction type)
www.math93.com / M. Duffaud 2/2
