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LES EQUATIONS 1
Exercice
Résoudre les équations suivantes :
) = √ + 2 ) + = 2 ) 3+ 5² − 2 = 0 ) − ² − 1 = 0
) ln )+ 3 ln + 2 = 0 ) ² − 3 + 4 +8 − 6
− 2 = 0 ) + 2² − + 1
− 1 = 2 − + ² ℎ) |3 − 2| = |5 − |
") |2 + 1| − 3| + 2| = 4
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CORRECTION 2
#) $ = √$ + %
On cherche l’ensemble de définition de l’équation On résout ≥ 0
L(équation est définie sur ℝ6 Résolution :
= √ + 2
⇔ − √ − 2 = 0 ⇔ − √ − 2)² = 0² ⇔ ² − − 4 = 0
Calcul du discriminant ∆
∆= ² − 4 = −1)− 4 × 1) × −4) = 1 + 16 = 17
∆> 0 donc ² − − 4 = 0 admet deux racines.
@ =1 − √17
2 et = 1 + √17 2 A = B 1 − √17
2 ; 1 + √17 2 D
E) F$+ F$ = %
L’équation est définie sur ℝ.
+ = 2 ⇔ + − 2 = 0 ⇔ + 1
− 2 = 0 ⇔)² + 1 − 2
= 0
⇔ )² + 1 − 2 = 0
On effectue un changement de variable en posant G = Soit :
()² + 1 − 2= 0 ⇔ G− 2G + 1 = 0 Calcul du discriminant ∆
∆= ² − 4 = −2)− 4 × 1 × 1 = 4 − 4 = 0
∆= 0 donc G − 2G + 1 = 0 admet une racine.
GH = − 2 = 2
2 × 1 = 1
Or G = donc I = 1 ⇔ H = ln 1 ⇔ H = 0 A = 0
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3
J) K$L+ M$² − % = N
L’équation est définie sur ℝ. Résolution :
On effectue un changement de variable en posant G = ² Soit :
3+ 5² − 2 = 0 ⇔ 3G+ 5G − 2 = 0 Calcul du discriminant ∆
∆= ² − 4 = −5)− 4 × 3 × −2) = 25 + 24 = 49
∆> 0 donc 3G + 5G − 2 = 0 admet deux racines.
G@ =−5 − 7
2 × 3 = −2 et G =−5 + 7 2 × 3 =1
3
Or G = donc = −2 P = @ = −2 ⇒ "RSTUU" V
P = 1
3 ⇔ = 1
√3 TW = = − 1
√3 A = X− 1
√3; 1
√3Y
Z) $L− $² − [ = N
L’équation est définie sur ℝ. Résolution :
On effectue un changement de variable en posant G = ² Soit :
− − 1 = 0 ⇔ G− G − 1 = 0 Calcul du discriminant ∆
∆= ² − 4 = −1)− 4 × 1 × −1) = 1 + 4 = 5
∆> 0 donc G − G − 1 = 0 admet deux racines.
G@ =1 − √5
2 ≈ −0,62 et G = 1 + √5
2 ≈ 1,62
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4
^_ G = donc =1 − √5
2 P = 1 + √5 2 =1 − √5
2 ≈ −0,62 ⇒ "RSTUU" V_ W` __é UP PTWaTW_U STU"P"
P = 1 + √5
2 ⇔ =b1 + √5
2 TW = = −b1 + √5 2 A = c−b1 + √5
2 ;b1 + √5 2 d
F) ef $)%+ K ef $ + % = N
L’équation est définie sur g0; +∞i Résolution :
ln )+ 3 ln + 2 = 0
On effectue un changement de variable en posant G = ln Soit :
(ln )+ 3 ln + 2 = 0 ⇔ G+ 3G + 2 = 0 Calcul du discriminant ∆
∆= ² − 4 = 3− 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
∆> 0 donc G + 3G + 2 = 0 admet deux racines.
G@ =−3 − 1
2 = −2 et G =−3 + 1 2 = −1 Or G = ln donc ln @ = −2 et ln = −1 ln @ = −2 ⇔ @ =
P ln = −1 ⇔ = @=1 A = X ;1
Y
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j) $² − K$ + L +k − l$
5
$%− % = N
L’équation existe si − 2 ≠ 0 ⇔ n − √2on + √2o ≠ 0 ⇔ ≠ √2 TW ≠ − √2 L’équation est définie sur ℝ p−√2 ; √2q
Résolution :
² − 3 + 4 +8 − 6 − 2 = 0
⇔ ² − 3 + 4)− 2)
² − 2 +8 − 6 − 2 = 0
⇔ − 2 − 3+ 6 + 4 − 8 + 8 − 6
² − 2 = 0
⇔ − 3 + 2
² − 2 = 0 ⇔ ² − 3 + 2)
² − 2 = 0 ⇔ ² − 3 + 2) = 0
⇔ ² = 0 ou − 3 + 2) = 0
⇔ = 0 ou
Calcul du discriminant ∆ pour − 3 + 2 = 0
∆= ² − 4 = −3)− 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
∆> 0 donc − 3 + 2 = 0 admet deux racines.
@ =3 − 1
2 = 1 et =3 + 1 2 = 2 A = r 0 ; 1 ; 2 s
t) $K+ %$%− $ + [
$ − [ = % − $ + $² L’équation existe si − 1 ≠ 0 ⇔ ≠ 1 L’équation est définie sur ℝ \ r1s
+ 2− + 1
− 1 = 2 − + ⇔ + 2 − + 1
− 1 − 2 − + ) = 0 ⇔+ 2 − + 1
− 1 −2 − + ) − 1)
− 1 = 0
⇔ + 2− + 1
− 1 −2 − 2 − + + − ²
− 1 = 0
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⇔ + 2− + 1 − 2 + 2 + − − + ²
6
− 1 = 0
⇔4 − 4 + 3
− 1 = 0 ⇔ 4− 4 + 3 = 0 Calcul du discriminant ∆
∆= ² − 4 = −4)− 4 × 4 × 3 = 16 − 48 = −32
∆< 0 donc 4 − 4 + 3 = 0 n(admet pas de racines.
A = r∅s
x) |K$ − %| = |M − $|
L(équation est définie sur ℝ.
Rappel sur les valeurs absolues
une valeur absolue est toujours positive
la valeur absolue d'un nombre réel positif est égale à ce nombre.
la valeur absolue d'un nombre réel négatif est égale à l'opposé de ce nombre.
Propriétés
|$| = #
⇔ $ = # yz $ = −#
|$| = |{|
⇔ $ = { yz $ = −{
Résolution :
|3 − 2| = |5 − |
⇔ 3 − 2 = 5 − ou 3 − 2 = −5 − )
⇔ 3 − 2 − 5 + = 0 ou 3 − 2 = −5 +
⇔ 3 − 2 − 5 + = 0 ou 3 − 2 + 5 − = 0
⇔ 4 − 7 = 0 ou 2 + 3 = 0
⇔ = 7
4 ou = −3 2 A = X−3
2 ; 7 4Y
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|) |%$ + [| − K|$ − %| = L
7
Pour résoudre ce genre d’équations, on va établir un tableau nous permettant de connaître le signe de chaque membre (sans les valeurs absolues).
Etape 1
On cherche les valeurs qui annulent chaque membre.
2 + 1 = 0 ⇔ = −1
2 et − 2 = 0 ⇔ = 2 Etape 2
On remplit le tableau suivant en fonction du signe : −∞ −@ 2 +∞
2 + 1 − + +
|%$ + [| −%$ − [ %$ + [ %$ + [ − 2 − − +
| − 2| − + 2 − + 2 − 2
−K |$ − %| K$ − l K$ − l − K$ + l
|2 + 1| − 3 | − 2| − 7 5 − 5 − + 7 Etape 3
On reporte les résultats en fonction des intervalles.
|2 + 1| − 3| − 2| = }~
~ − 7 U" ∈ −∞; −1 2
5 − 5 U" ∈ −1 2 ; 2
− + 7 U" ∈ g2 ; +∞i Etape 4
On résout les trois équations suivantes sur les intervalles correspondants :
}~
~ − 7 = 4 sur −∞; −1 2
5 − 5 = 4 sur −1 2 ; 2
− + 7 = 4 sur g2; +∞i }~
~ = 11 sur −∞; −1
2 ⇒ ne convient pas =9
5 sur −1
2 ; 2 ⇒ convient = 3 sur g2 ; +∞i ⇒ convient
A = X 9 5 ; 3Y
