Université de Bordeaux Master CSI
Année 2016-1017 Arithmétique
Devoir Surveillé, 9 novembre 2016 Durée 2h00, documents interdits
Exercice 1 –
1)À l’aide de la factorisation deX9−X dansF3[X], calculer le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré 2 de F3[X].
2)Les déterminer explicitement.
3)On considère l’anneau A= F3[X]
hX4+ 1i. Montrer queA n’est pas un corps.
4) Comme à l’accoutumée on note A× le groupe multiplicatif des inversibles de A.
Déterminer |A×|.
5)Soit α la classe deX dansA. Montrer que α∈A× et déterminer son ordre dans ce groupe.
6)Montrer que pour toutx∈A on ax9 =x.
7)Le groupe A× est-il cyclique ?
Exercice 2 –
1)Montrer que F5[X]
hX3+X+ 1i est un corps que l’on identifiera à F125.
2)Soit x∈F125\F5. Quel est le degré de x surF5? 3)Combien y a-t-il dansF125 d’éléments primitifs ?
4) On note α la classe de X dans F125. L’élément α est-il primitif ? Indication : on pourra calculer successivement α3,α4,α5,α15,α30 etα31.
5)Montrer que β= 2α est un élément primitif deF125.
6)En déduire un polynôme unitaire irréductible primitif de degré 3 deF5[X].
7)Exprimer les racines deX3+X+ 1dansF125 comme polynômes enα de degré62.
8)Quel est le polynôme minimal de α+ 1surF5?
Exercice 3 – Figure ci-dessous le schéma des sous-corps de F230. Dans ce schéma A−→ B signifie que A etB sont des sous-corps deF230 vérifiant A(B et qu’il n’y a pas de sous-corps C de F230 vérifiant A(C(B.
N F210 M F230
L K F22
F2
1)Quels sont les corps K, L, M, N?
2)Quels sont les degrés des extensionsN/L etF230/K?
3)On admettra ici queX10+X3+ 1 est irréductible primitif dansF2[X]. On identifie F210 à F2[X]/hX10+X3 + 1i. On note α la classe de X dans F210 et on pose β = α7+α6+α5+α3+α2. Montrer queβ appartient à un sous-corps strict deF210 distinct de F2 que l’on précisera.
4)Trouver un élément appartenant à l’autre sous-corps strict deF210 distinct deF2, et l’exprimer comme polynôme enα de degré69.
5) Quelle est la forme de la décomposition en produit d’irréductibles (leur nombre et leurs degrés respectifs) de P(X) =X8+X7+X6+X5+X4+X3+X2+X+ 1dans F2[X]?
6)Montrer que P(X) est scindé à racines simples dansM.
Exercice 4 –
1)Montrer que P(X) =X5+X3+ 1∈F2[X]est irréductible dans F2[X].
2)En remarquant que 31 est premier, prouver queP(X) est primitif.
3) On considère la suite (si)i>0 définie par s0 = s1 = s2 = s3 = s4 = 1 et la relation si+5 =si+3+si pour tout i>0. Montrer que(si)i>0 est périodique et déterminer sans calcul sa période.
4)Soitα la classe deXdansF2[X]/hP(X)ique l’on identifie àF32. Six∈F32, on note Tr(x)la trace de x dansF32. Calculer Tr(1), Tr(α), Tr(α2), Tr(α3)et Tr(α4).
5) Calculer les premiers termes de (si)i>0 et en déduire un entier k > 0 tel que si = Tr(αi+k) pour touti>0.
