Physiks & Chimie

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Terminale S Physique – Partie B – Chapitre 4 : Décroissance radioactive Page 1 sur 4

1. Stabilité et instabilité des noyaux

1.1. Composition d’un noyau et notation

Rem. 1 : A est appelé nombre de masse (la masse (en g) d’une mole de noyau est proche de la valeur de A).

Rem. 2 : Z est appelé nombre de charge ou numéro atomique pour un atome.

Exemple : ²⁰⁶₈₂Pb : le noyau contient 82 protons et 206 – 82 = 124 neutrons

1.2. L’isotopie

Rem. : il existe 90 éléments chimiques naturels et 350 nucléides naturels (on parle de nucléide pour des noyaux strictement identiques : même nombre de protons et de neutrons). On connait environ 1500 nucléides.

Exemple : ²⁰⁶₈₂Pb et ²⁰⁸₈₂Pb : ces nucléides sont deux isotopes du plomb Pb.

206

82Pb et ²⁰⁶₈₃Bi : ces nucléides ne sont pas isotopes l’un de l’autre.

1.3. Les noyaux radioactifs

Les deux nucléides ¹²₆C et ¹⁴₆C, bien qu’isotopes, ne possèdent pas les mêmes propriétés. En effet le carbone 12 est un nucléide stable alors que le carbone 14 est un nucléide instable (on parle alors de radionucléide) : il peut se désintégrer spontanément pour se transformer en un autre noyau.

Lors de sa désintégration, il émet une particule.

1.4. Le diagramme

^{(N, Z)}

de Segré

Sur le document ci-contre, sont reportés les noyaux avec en abscisse le numéro atomique Z et en ordonné le nombre de neutrons N¹. Les nucléides stables sont en rouge et occupent la partie centrale appelée vallée de stabilité.

Jusqu’à Z = 20, les nucléides stables se situent au voisinage de la droite N = Z : ils possèdent autant de protons que de neutrons.

2. La radioactivité

2.1. Lois de conservation (lois de Soddy)

Le noyau radioactif² est appelé le noyau père. Il se transforme en un noyau fils en émettant une particule.

Cette réaction nucléaire obéit à des lois de conservation (dite loi de Soddy) :

1 Retrouver ce diagramme sur l’animation d’Adrien Willm sur le site Ostralo : http://www.ostralo.net/3_animations/swf/diagrammeNZ_1.swf Autre animation sur le site d’Adrien Willm concernant le diagramme (N,Z) : http://www.ostralo.net/3_animations/swf/diagrammeNZ_2.swf

2 Voir l’animation sur la radioactivité sur le site du CEA : http://www.cea.fr/UserFiles/File/Animations/animations/atome.html

 Conservation de la charge électrique (mais pas du n^bre de protons).

 Conservation du nombre de nucléons.



Un noyau radioactif peut se transformer spontanément en un noyau différent, avec émission d’un « rayonnement ».

Des noyaux isotopes sont des noyaux possédant même nombre de protons Z (ils appartiennent donc au même élément chimique) mais des nombres de nucléons A différents (ils ne différent que par leur nombre de neutrons).

Le noyau d’un atome est noté sous la forme : ^A_ZX.

X représente le symbole de l’élément considéré.

A représente le nombre de nucléons qui constituent le noyau (protons + neutrons).

Z représente le nombre de charges (pour un atome : nombre de protons du noyau).

Le nombre N de neutrons se détermine donc par l’expression : N = A – Z

Chapitre 4 : Décroissance radioactive

Partie B : Transformations nucléaires

Notation des particules : électron : _–1⁰e : 0 nucléon ; charge –1 positon : ⁰₁e : 0 nucléon ; charge +1 proton : ¹₁p : 1 nucléon ; charge +1 neutron : ₀¹n : 1 nucléon ; charge 0

Frederick Soddy Prix Nobel en 1921

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2.2. La radioactivité ^

Les noyaux très lourds (Z et N très grands) ont un excédent de nucléons. Pour se rapprocher de la vallée de stabilité, ils éjectent une particule , constituée de deux protons et deux neutrons (noyau d’hélium : ⁴₂He).

Ces noyaux sont radioactifs .

Ex : le bismuth 209 est radioactif  : ²⁰⁹₈₃Bi  ²⁰⁵₈₁Tl + ⁴₂He Conservation du nombre de nucléons : 209 = 205 +4 Conservation de la charge : 83 = 81 + 2

2.3. La radioactivité ^

^

Les noyaux situés au dessus de la vallée de stabilité ont un excédent de neutrons N. Ils éjectent un électron (_–1⁰e ou particule ^–).

Ces noyaux sont radioactif ^–. Exemple : le thallium 208 est radioactif ^– : ²⁰⁸₈₁Tl  ²⁰⁸₈₂Pb + _–1⁰e (Pb est le plomb).

Rem. : Lors d’une désintégration ^–, X et Y possèdent autant de nucléons (208 dans ce cas), mais le nombre de protons du

noyau fils augmente d’une unité. Cette désintégration correspond donc à un neutron du noyau qui s’est spontanément transformé en un proton avec éjection d’un électron : ¹₀n  ¹₁p + _–1⁰e (radioactivité ^–)

2.4. La radioactivité ^

^

Les noyaux situés en dessous de la vallée de stabilité ont un excédent de protons (Z trop grand). Ils éjectent un positon – ou positron – (⁰₁e ou particule ⁺). Ces noyaux sont radioactif ⁺.

Ex : le bismuth 206 est radioactif + : ²⁰⁶₈₃Bi  ²⁰⁶₈₂Pb + ⁰₁e.

Rem. : Lors d’une désintégration ⁺, X et Y possèdent autant de nucléons (206 dans ce cas), mais le nombre de protons du noyau fils diminue d’une unité. Cette désintégration correspond donc à un proton du noyau qui s’est spontanément transformé en un neutron avec éjection d’un positon : ¹₁p  ¹₀n + ⁰₁e (radioactivité ⁺)

2.5. Le rayonnement ^

Lors de désintégrations  ou , le noyau fils Y est généralement produit dans un état « excité » : il possède un excédent d’énergie par rapport à son état fondamental et est noté Â_ZY^*. Ce noyau libère un photon  de très faible longueur d’onde (_ < 10^–12 m), emportant l’excédent d’énergie : Â_ZY^*  Â_ZY + 

3. Loi de décroissance

3.1. Un phénomène aléatoire

Un noyau radioactif ne vieillit pas : la probabilité qu’un noyau radioactif se désintègre est indépendante de son

« âge ». Elle ne dépend que du type de noyau considéré. Par exemple un noyau de carbone 14, apparu il y a 1000 ans a la même probabilité de se désintégrer, dans un même laps de temps, qu’un noyau apparu il y a 5 minutes.

3.2. Activité d’une source radioactive

Notons N(t) le nombre de noyau radioactif d’un échantillon à l’instant t et N(t + t) le nombre de noyau radioactif du même échantillon, à t + t.

Pendant la durée t, La variation du nombre de noyaux radioactifs de la source est : N = N(t+t) – N(t) < 0 : il a disparu –N noyaux radioactifs.

3



A = – N

t  : activité en becquerel⁴ (Bq)

 : variation du n^bre de noyau

t : durée en seconde (s) Rem. : 1 Bq est équivalent à 1 désintégration/s. 1 Bq  1 s^–1. C’est une grandeur moyenne !

3 Animation sur le site du CEA : http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/anim_radioactivite_popup.htm

4 Animation sur le site du CEA : http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/becquerel.html

N 207

80Hg ²⁰⁸₈₁Tl ²⁰⁹₈₂Pb ²¹⁰₈₃Bi ²¹¹₈₄Po 126 ²⁰⁶₈₀Hg ²⁰⁷₈₁Tl ²⁰⁸₈₂Pb ²⁰⁹₈₃Bi ²¹⁰₈₄Po

125 ²⁰⁵₈₀Hg ²⁰⁶₈₁Tl ²⁰⁷₈₂Pb ²⁰⁸₈₃Bi ²⁰⁹₈₄Po

124 ²⁰⁴₈₀Hg ²⁰⁵₈₁Tl ²⁰⁶₈₂Pb ²⁰⁷₈₃Bi ²⁰⁸₈₄Po

123 ²⁰³₈₀Hg ²⁰⁴₈₁Tl ²⁰⁵₈₂Pb ²⁰⁶₈₃Bi ²⁰⁷₈₄Po

80 81 82 83 Z

Source radioactive Activité (Bq)

homme (70 kg) 8000

1L de lait 80

1 kg de granite 8000 1 L d’eau de mer 10 1 kg de plutonium 2.10¹² L’activité d’un échantillon radioactif, mesure le nombre moyen

de désintégrations survenus par seconde.

Écriture générale : Â_ZX  _Z–1ÂY + ⁰₁e Écriture générale : Â_ZX  _Z+1ÂY + _–1⁰e

Écriture générale : ^A_ZX  ^A–4_Z–2Y + ⁴₂He





^





^



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3.3. Loi d’évolution temporelle

Expérimentalement, on constate que l’activité (nombre moyen de désintégrations par seconde) est proportionnelle au nombre de noyaux N(t) présents à l’instant t et à la nature des noyaux radioactifs. Ainsi : A(t) = N(t).

 est une constante, appelé constante radioactive (en s^–1), qui ne dépend que de la nature des noyaux radioactifs :  reste constant dans le temps (les noyaux « meurent » sans vieillir).

Ainsi : N

t = – N(t). À la limite, lorsque t tend vers 0, on peut écrire : dNt

dt = – N(t).

On montre en mathématiques qu’une solution de cette équation (appelée équation différentielle) est de la forme : N(t) = K.e^–t. Or si l’on note N0, le nombre de noyaux radioactifs présents à t = 0 alors N(0) = N0 = K.e⁰ = K.

Rem. : L’activité (A(t) = N(t)) de l’échantillon radioactif peut alors s’écrire : A(t) = A0.e^–.t avec A0 = N0

Par ailleurs, à la limite, lorsque t tend vers zéro on écrit : A = lim

t 

 – N

t = – dN dt

3.4. Représentation graphique

3.5. La constante de temps ^

Nous avons remarqué que la constante radioactive  est homogène à l’inverse d’un temps. On définit la constante de temps ⁵ par l’expression :   

 ( en s) : Cette constante de temps est caractéristique de la désintégration.

Rem. 1 :  représente une durée : la durée nécessaire à la désintégration de tous les noyaux radioactifs si l’activité restait constamment égale à A₀.

Rem. 2 : N(t) = N0.e^–.t donc N() = N0.e^–. = N0.e^–1 (car  = 

 donc .=1) ainsi N() = N

e = 0,37.N0

Rem. 3 : Si t = 5., N(5.) = N0.e^–.5. N0.e^–5 = 6,7.10^–3.N0 : 99,3 % des noyaux radioactifs se sont désintégrés.

3.6. La demi-vie

6

A(t1/2) = A

 ou N(t1/2) = N

 = N0.e^–^.t1/2 donc e^–^.t1/2 = 1 2. Par suite : –.t1/2 = ln 1

2 = – ln 2. Ainsi : t1/2 = ln 2

 = .ln 2

4. Effet biologique

Effets ionisants nocifs et utilisation médicale (radiodiagnostic et radiothérapie) http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/rayon.htm

5. La datation

t = 

.lnA_

At ou t = 

.lnN_

Nt Voir exercices n°21, 22, 23 et 24 p104 – 105 et Sujets bac page 107

5 Voir une animation montrant l’influence de  (donc de t1/2 ou de ) : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/equadiff/ordre1.swf

6 Voir une animation sur le site du CEA : http://www.cea.fr/var/cea/storage/static/fr/jeunes/animation/animations/DecroissanceRadioFr.swf

élément

radioactif demi-vie

bore 13 17 ms

radon 220 58 s iode 123 13,2 h iode 131 8,1 jours carbone 14 5730 ans uranium 238 4,5.10⁹ ans La demi-vie t1/2 d’un échantillon radioactif est la durée nécessaire pour que son activité soit divisée par deux.

La loi de décroissance radioactive donne le nombre de noyaux radioactifs présents à l’instant t : N(t) = N0.e^–.t

Formulaire mathématique : eâ+b = eâ×e^b e⁰ = 1 (eâ)^b = eâ×b ln 1 = 0

ln a + ln b = ln (a×b) ln a – ln b = ln a

b – ln a = ln 

a ln a^b = b×ln a ln e^a = a et e^{ln a} = a N(t)

t (s) N0

N0

2

N0

4 N0/8

t1/2 2t1/2 3t1/2 4t1/2

N0/16



N0

e = 0,37.N0

tangente à la courbe à l’instant t = 0

constante de temps  : abscisse de la tangente lorsqu’elle coupe l’axe des abscisses

demi-vie

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Annexe 1

La démonstration suivante n’est pas à connaître pour l’épreuve de physique au bac.

dNt

dt = – N(t)  dNt

N(t) = – dt (1) si N(t)  0

Intégrons cette expression (1) entre l’origine des dates t = 0 et l’instant t :





 tdNt

N(t) = 



t–dt

Or  est une constante indépendante du temps t, donc





 tdNt

N(t) = – _^t^dt (2) L’expression dNt

Nt est la forme différentielle de la fonction logarithme népérien. En effet : d(ln N(t)) = dNt

Nt. Par conséquent (2) devient : [ln N(t)]_^t = – [t]_^t. C’est-à-dire :

ln N(t) – ln N(0) = – (t – 0)  ln Nt

N = – t (3)

Appliquons la fonction exponentielle aux deux membres de l’équation (3) : e^ln

N (t)

N 0 = e^−λ.t. Ainsi : Nt

N_ = e^−λ.t et donc N(t) = N₀.e^–.t Annexe 2

La démonstration suivante n’est pas exigible au baccalauréat. Mais elle peut éclairer les esprits.

La tangente à la courbe de décroissance radioactive à l’instant initial t = 0 est une droite dont la pente est égale à la dérivée de la courbe de décroissance à l’instant t = 0.

En notant y = a.x + b l’équation de cette droite, la pente (ou coefficient directeur) de cette droite est a =



 dN

dt ^{t = 0} avec N = N0.e^–.t. Ainsi : a =



 dN.e^–.t

dt ^{t = 0} = –.N0.e⁰ = –.N0

En effet d(N0e^–.t)

dt = N₀.d(e^–.t)

dt = N₀.–.e^–.t = –N₀.e^–.t Propriété mathématique : de^a.x

dx = a.e^a.x b est l’ordonnée à l’origine de la tangente. De toute évidence, b est en l’occurrence égale à N₀ : b = N₀.

Ainsi l’équation de la tangente à la courbe à t = 0 est : y = –.N0.x + N0.

La tangente coupe l’axe des abscisses pour y = 0, c’est-à-dire –.N0.x + N0 = 0. Donc x = 

 = 