Enoncé

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

Devoir à la maison n°11

• Le devoir devra être rédigé sur des copiesdoubles.

• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.

• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.

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Problème 1 – E3A MP 2020�

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Questions de cours

1 On considère le trinôme du second degré à coefficients complexes 𝑎X²+ 𝑏X + 𝑐dont on note𝑠₁ et𝑠₂ les racines.

Donner, sans démonstration, les expressions deσ₁= 𝑠₁+ 𝑠₂et deσ₂= 𝑠₁𝑠₂à l’aide des coefficients𝑎, 𝑏et𝑐.

2 Soient𝑎et𝑏deux réels et(𝑢_𝑛)_𝑛∈ℕune suite réelle définie par𝑢₀∈ ℝ,𝑢₁∈ ℝet la relation de récurrence :

∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛+2 = 𝑎𝑢_𝑛+1+ 𝑏𝑢_𝑛

On note𝑟₁et𝑟₂les racines dansℂde l’équation caractéristique associée à cette suite.

Soit𝑛 ∈ ℕ. Exprimer𝑢_𝑛en fonction de𝑟₁,𝑟₂et𝑛.

On sera amené à distinguer trois cas et il n’est pas demandé d’exprimer les constantes qui apparaissent en fonction de𝑢₀et de𝑢₁.

Exercice

On note𝒞l’ensemble des suites réelles𝑥 = (𝑥_𝑛)_𝑛∈ℤindexées parℤtelles que les sous-suites(𝑥_𝑛)_𝑛∈ℕet (𝑥_−𝑛)_𝑛∈ℕconvergent.

On admettra que l’ensembleEdes suites réelles indexées parℤest unℝ-espace vectoriel.

L’endomorphisme identité de l’espaceEsera noté IdE. On définit les applicationsSetTde𝒞dansEpar :

∀𝑥 ∈ 𝒞, S(𝑥) = 𝑧, avec ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑧_𝑛 = 𝑥_−𝑛 et

∀𝑥 ∈ 𝒞, T(𝑥) = 𝑦, avec ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑦_𝑛= 𝑥_𝑛−1+ 𝑥_𝑛+1 3 Donner un exemple de suite non constante, élément de𝒞.

4 Montrer que𝒞est un sous-espace vectoriel de l’espace vectorielE.

5 Prouver que si une suite𝑥est dans𝒞, elle est bornée.

6 Montrer queTest un endomorphisme de𝒞. On admettra qu’il en est de même deS. 7 SoientF = {𝑥 ∈ 𝒞, ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑥_𝑛 = 𝑥_−𝑛}etG = {𝑥 ∈ 𝒞, ∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑥_𝑛= −𝑥_−𝑛}.

Montrer queFetGsont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de𝒞.

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© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

8 Étude de l’endomorphismeS

Prouver queSest une symétrie de𝒞dont on précisera les éléments caractéristiques.

9 Etude de l’endomorphismeT

On rappelle qu’une suite𝑥est dans𝒞lorsque les deux sous-suites(𝑥_𝑛)_𝑛∈ℕet(𝑥_−𝑛)_𝑛∈ℕsont convergentes.

9.a Soitλun réel. Montrer que siλ ∉ {−2, 2}, Ker(T − λId𝒞) = {0_𝒞}où0_𝒞désigne le vecteur nul de𝒞.

On pourra utiliser les questions de cours.

9.b L’endomorphismeTest-il injectif?

9.c Déterminer Ker(T − 2Id𝒞)et Ker(T + 2Id𝒞).

9.d Déterminer alors l’ensemble de toutes les valeurs propres de l’endomorphismeT. 10 On munit𝒞de la norme infinie : si𝑥 ∈ 𝒞,‖𝑥‖_∞= sup

𝑛∈ℤ

|𝑥_𝑛|.

SoitNl’application qui, à tout élément𝑥de𝒞, associeN(𝑥) =

+∞

∑

𝑛=0

|𝑥_𝑛| + |𝑥_−𝑛| 2^𝑛 . 10.a Vérifier que, pour tout𝑥de𝒞,N(𝑥)existe.

10.b Démontrer que l’on définit ainsi une norme sur l’espace𝒞.

10.c Montrer queSest une isométrie de l’espace vectoriel normé(𝒞, N). Est-elle continue?

10.d Prouver que, dans cet espace normé, les sous-espaces vectorielsFetGsont des fermés.

10.e Les deux normes‖ ‖_∞etNsont-elles équivalentes?

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