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M 31 07 - TD 1 : Statistiques – Rappels – Corrigé
Exercice 1 :
La distribution statistique du nombre de photocopies réalisées au premier trimestre de l’année 2017 par les employés d’une entreprise est donnée par les deux premières colonnes du tableau ci-dessous :
Nombre de photocopies Nombre d’employés 𝒏𝒊 Centre de classe 𝒙𝒊 Produit 𝒏𝒊𝒙𝒊
[0 ; 500[ 5 250 1 250
[500 ; 1 000[ 10 750 7 500
[1 000 ; 1 500[ 15 1 250 18 750
[1 500 ; 2 000[ 12 1 750 21 000
[2 000 ; 2 500[ 10 2 250 22 500
[2 500 ; 3 000] 8 2 750 22 000
Total : 60 93 000
1. Donner la nature du caractère statistique étudié.
C’est un caractère quantitatif (les modalités sont des nombres) et continu (les valeurs sont regroupées dans des intervalles ou classes)
2. Compléter le tableau statistique ci-dessus.
3. On considère que chaque employé a réalisé un nombre de photocopies égal au centre de classe dans laquelle il est compté.
a. Donner le nombre total de photocopies réalisées par les employés.
On obtient 93 000 d’après le tableau.
b. Calculer le nombre 𝑥̅ de photocopies.
𝑥̅ =93 000
60 = 1 550
4. Calculer le nombre d’employés qui ont réalisé au moins 1500 photocopies.
12 + 10 + 8 = 30 : 30 employés ont réalisé au moins 1 500 photocopies.
5. Calculer le nombre d’employés qui ont réalisé au plus 1500 photocopies.
5 + 10 + 15 = 30 : 30 employés ont réalisé au plus 1 500 photocopies.
6. Comparer les nombres obtenus aux deux questions précédentes. Nommer le paramètre de position dont la valeur est égale à 1 500.
La moitié des employés a effectué moins de 1 500 photocopies et l’autre moitié a effectué au plus 1 500 photocopies : le paramètre égal à 1 500 correspond à la médiane.
Exercice 2 :
1.Le prix d’un même produit dans plusieurs magasins est (en €) : 125 – 147 – 106 – 114 – 103 – 121 – 111 – 113 – 128 Quel est le prix médian ? Expliquer la méthode utilisée.
On commence par classer les nombres dans l’ordre croissant : 103 – 106 – 111 – 113 – 114 – 121 - 125 – 128 – 147
Il y a un nombre impair de valeurs (9), la médiane est la valeur centrale à savoir 114.
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 1 Page 2 2. Les tailles de douze enfants du même âge sont (en cm) :
148 – 157 – 129 – 145 – 135 – 138 – 141 – 153 – 140 – 147 – 151 – 143 Quelle est la taille médiane ? Expliquer la méthode utilisée.
Même méthode :
129 – 135 – 138 – 140 – 141 – 143 – 145 – 147 – 148 – 151 – 153 – 157
Il y a un nombre pair de valeurs (12), la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (la 6ème et la 7ème) : la médiane est donc 144.
Exercice 3 :
Afin de proposer un service de bus, une enquête a été réalisée sur la durée du trajet, en minutes, mis par les 400 employés de l'entreprise « Kintus » pour se rendre sur leur lieu de travail. Ce service sera mis en place si la durée moyenne du trajet est supérieure à 20 minutes.
1. Compléter le tableau statistique ci-dessous.
Durée du trajet (en min)
Nombre d'employés
ni
Effectifs cumulés croissants
Effectifs cumulés décroissants
Fréquences (en %)
Valeur centrale
xi
[0; 10[ 40 40 400 10 5
[10; 20[ 80 120 360 20 15
[20; 30[ 90 210 280 22,5 25
[30; 40[ 120 330 190 30 35
[40; 50[ 50 380 70 12,5 45
[50; 60] 20 400 20 5 55
N = 400 100
2. Déterminer le pourcentage d'employés dont la durée du trajet est supérieure à 20 minutes.
22,5 + 30 + 12,5 + 5 = 70 : 70% des employés ont une durée de trajet supérieure à 20 minutes.
3. En utilisant la valeur centrale des classes, calculer, en minute, la durée moyenne du trajet.
𝑥̅ =40 × 5 + 80 × 15 + 90 × 25 + 120 × 35 + 50 × 45 + 20 × 55
400 = 28 ∶ La moyenne est 28.
4. Indiquer si le service de bus sera mis en place par l'entreprise. Justifier la réponse.
La moyenne est supérieure à 20 minutes donc l’entreprise mettra en place un service de bus.
5. Dessiner le polygone des effectifs cumulés croissants et décroissants. (on prendra 1 cm ou 1 carreau pour 5 unités en abscisses et 1 cm ou 1 carreau pour 40 unités).
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 1 Page 3 6. Déterminer graphiquement la médiane de cette série statistique. Interpréter par une phrase le résultat obtenu.
Graphiquement, la médiane est 28.
Exercice 4 :
On a demandé à un groupe de 100 personnes, le nombre de jours par semaine où elles pratiquent un sport. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
Nombre de
jours 𝒙𝒊 Effectifs 𝒏𝒊 Produit 𝒏𝒊𝒙𝒊 𝒙𝒊− 𝒙 𝒏𝒊(𝒙𝒊− 𝒙)𝟐
0 15 0 -1,8 48,6
1 30 30 -0,8 19,2
2 25 50 0,2 1
3 20 60 1,2 28,8
4 10 40 2,2 48,4
TOTAL : 100 180 146
1. Compléter la 2ème colonne du tableau.
2. Quelle est la médiane de cette série ? Justifier.
Les valeurs de la série sont au nombre de 100, la médiane est la moyenne de la 50ème et de la 51ème valeur : elles sont toutes deux égales à 2 (15 valeurs égales à 0, 30 valeurs égales à 1, on est déjà à 45 valeurs… de la 46ème à la 70ème, on est à 2), la médiane est donc égale à 2.
3. Compléter la 3ème colonne du tableau et calculer la moyenne de cette série statistique.
180
100= 1,8 ∶ la moyenne est donc de 1,8.
4. Compléter la 4ème et la 5ème colonne du tableau et calculer l’écart type.
𝜎 = ≈ 1,21 : l’écart-type est d’environ 1,21.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
0 10 20 30 40 50 60
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 1 Page 4 Exercice 5 :
La pesée automatique de barquettes d’un produit alimentaire emballé a donné les résultats :
276 253 267 262 247 266 261 268 270
273 268 257 240 227 256 247 252 260
274 271 257 236 257 256 226 258 250
Masse en g Effectif 𝒏𝒊 Centre des classes 𝒙𝒊 Produit 𝒏𝒊𝒙𝒊
[225 ; 235[ 2 230 460
[235 ; 245[ 2 240 480
[245 ; 255[ 5 250 1250
[255 ; 265[ 9 260 2340
[265 ; 275[ 8 270 2160
[275 ; 285[ 1 280 280
TOTAL : 27 6970
1. Compléter le tableau précédent.
2. À l’aide de la dernière colonne du tableau, calculer la masse moyenne du produit emballé. (On donnera l’arrondi à l’unité).
6970
27 ≈ 258 ∶ la moyenne est d environ 258.
3. Calculer l’écart-type par la méthode de votre choix.
𝜎 = 230 × 2 + 240 × 2 + 250 × 5 + 260 × 9 + 270 × 8 + 280 × 1
27 − 6970
27 ≈ 12,5
Exercice 6 :
Le tableau ci-dessous donne les essais marqués par une équipe de rugby au cours des 20 derniers matchs qu’elle a joués :
1. Quel est le caractère étudié ? Caractère quantitatif discret.
2. Donner le nombre moyen d’essais marqués par cette équipe.
𝑥 =0 × 4 + 1 × 7 + 2 × 5 + 3 × 3 + 4 × 1
20 = 1,5
3. Donner le mode, la médiane, les quartiles, l’étendue et l’écart interquartile de cette série.
Mode = 1 (valeur la plus représentée, 7 fois) Me = 1 , 𝑄 = 1, 𝑄 = 2, étendue = 4 − 0 = 4 Écart interquartile = 𝑄 − 𝑄 = 2 − 1 = 1 Nombre
d’essais xi
Nombre de matchs ni
0 1 2 3 4
4 7 5 3 1
TOTAL : 20
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 1 Page 5 4. Dessiner le diagramme en boîte de cette série.
La médiane et le premier quartile étant égaux, le diagramme a peu d’intérêt.
5. Quel est l’écart-type de cette série ? L’écart-type est d’environ 1,1.
6. Construire le diagramme à barre de cette série.
Exercice 7 :
Un directeur de supermarché décide d’étudier le temps d’attente aux caisses de son établissement pour ajuster le nombre de caisses ouvertes à la demande.
Pour cela, il interroge le lundi et le vendredi 100 clients et note les temps d’attente approximatifs en minutes entières.
1. Le lundi, il obtient la répartition suivante : Temps d’attente en caisse
(en min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombre de clients 14 13 23 9 14 8 12 4 1 2
a. Calculer le temps moyen d’attente aux caisses du supermarché pour l’échantillon étudié.
𝑥̅ =14 × 1 + 13 × 2 + 23 × 3 + ⋯ + 1 × 9 + 2 × 10
100 =408
100= 4,08 b. Déterminer l’écart-type de la série statistique.
D’après la calculatrice, 𝑉 = − 4,08²= 5,1536 donc 𝜎 = 5,1536 ≈ 2,27.
Ou directement, l’affichage nous donne 𝜎 ≈ 2,27.
c. Déterminer la médiane et les quartiles de la série statistique.
L’effectif total étant égal à 100, la médiane sera la moyenne de la 50ème et de la 51ème valeur : la 50ème valeur est 3 et de la 51ème valeur est 4 donc 𝑀𝑒 = = 3,5.
= 25 donc le 1er quartile est la 25ème valeur : 𝑄 = 2.
× = 75 donc le 3ème quartile est la 75ème valeur : 𝑄 = 6.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 1 Page 6 d. Construire le diagramme en boîte de cette série.
e. Le directeur décide d’ouvrir une caisse supplémentaire si plus de 15 % des clients attendent 7 minutes ou plus en caisse. Doit-il ouvrir une nouvelle caisse le lundi ?
Il y a 19 clients qui attendent 7 minutes ou plus donc 19% des clients : il doit ouvrir une nouvelle caisse le lundi !
2. Le directeur décide de comparer les temps d’attente en début et en fin de
semaine. Il a donc relevé le vendredi les temps d’attente aux caisses d’un échantillon de 100 clients et obtient les résultats résumés dans le diagramme ci-contre : Calculer le temps moyen d’attente aux caisses du supermarché le vendredi pour l’échantillon étudié.
𝑥̅ = × × × ⋯ × × = = 5,77 3. Le directeur souhaite comparer les deux échantillons du lundi et du vendredi. Voici le diagramme en boîte de la série d’attente aux caisses le vendredi :
a. Comparer, à l’aide des diagrammes en boîte, les temps d’attente le lundi et le vendredi.
Tous les paramètres sont supérieurs le vendredi : les quartiles, la médiane, l’étendue,
l’intervalle interquartile … On peut rajouter qu’environ 50 % des clients attendent entre 2 et 6 minutes le lundi et entre 3 et 8 minutes le vendredi ce qui montre une différence notable et un temps d’attente plus important le vendredi.
b. Dans un questionnaire, les clients qualifient d’acceptable un temps d’attente compris entre 1 et 6 minutes. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse :
Affirmation A : le vendredi, exactement la moitié des clients attendent 5 minutes ou plus en caisse.
Sachant que la médiane est 5, d’après la définition cette affirmation est vraie. Cependant, on a la possibilité de compter le nombre de clients qui attendent 5 minutes ou plus : 66… Donc, en théorie, cette affirmation est vraie mais fausse en pratique !
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Temps d'attente (en min)
Effectif
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 1 Page 7 Affirmation B : le vendredi, au moins un quart des clients attendent au plus 3 minutes en caisse.
Sachant que le premier quartile est 3, l’affirmation est vraie par définition. De plus, le nombre de clients qui attendent au plus 3 minutes est de 26 : on a donc 26% des clients ce qui correspond bien à un peu plus d’1/4 .
Affirmation C : il y a autant de clients qui trouvent le temps d’attente acceptable le lundi que le vendredi.
81 clients trouvent le temps d’attente acceptable le lundi contre seulement 63 le vendredi, l’affirmation est donc fausse !
