TD 1 : Rappels de probabilités : corrigé

mathématiques - S3

TD 1 : Rappels de probabilités : corrigé

1. Les anniversaires communs

Quelle est la probabilité pour que deux des 25 étudiants d’un groupe du département Mesures Physiques aient le même jour d’anniversaire ?

Et pour une promo de 80 étudiants de deuxième année ?

corrigé succint : L’universΩétudié est l’ensemble des listes de 25 dates (jour et mois) de naissance chosies parmi les 365 possibles (on ne prend pas en compte les 29 février...). Le cardinal deΩest donc365²⁵. L’événementAétudié est le sous-ensemble constitué des listes dans lesquelle l’une des dates revient au moins deux fois. Le cardinal deA¯est donc facile à déterminer par l’arrangement

A²⁵365= 365!

(365−25)!.p( ¯A)est donc égale à 365!

365²⁵×340! =341×342×. . .×364×365

365²⁵ , soit approximativement 0.431. Ainsi,p(A) est proche de 0.569.

Remarque : l’exercice suppose que les dates de naissance soient équitablement réparties parmi la population...ce n’est pas tout-à-fait vrai, mais l’ordre de grandeur des résultats reste vrai.

Si l’effectif est de 80, on trouve une quasi-certitude :p( ¯A)≃0,00008566.., doncp(A)≃1.

2. Deux lampes

Le responsable de l’entretien d’un immeuble doit remplacer deux lampes fluores- centes dans un bureau.

Pour cela il descend au sous-sol chercher deux nouvelles lampes dans une boîte de 24 dont deux sont défectueuses, puis il remonte dans le bureau. Quelle est la probabilité qu’il doive redescendre ?

corrigé succint : Le responsable devra redescendre si et seulement si il choisit au moins une lampe défectueuse. On peut calculer plus facilement la probabilité que les deux lampes choisies fonctionnent : le nombre de choix est ²²2

= 22×21

2 = 231, alors que le nombre de choix total est ²⁴2

=24×23 2 = 276.

La probabilité qu’à le responsable de devoir redescendre est donc de1−231 276 = 45

276, soit approximativement 0.163.

3. Deux empaqueteuses

Deux empaqueteuses fonctionnent indépendemment dans une usine. Pour une jour- née donnée, la probabilité que l’empaqueteuse 1 soit en panne est de 0,025, et de 0,02 pour l’empaqueteuse 2.

(a) Quelle est la probabilité pour qu’aucune ne fonctionne ?

(b) Le technicien responsable de l’entretien mentionne qu’il y a plus de 9 chances sur 10 pour que les deux empaqueteuses fonctionnent simultanément. A-t-il rai- son ?

corrigé succint : SoitAl’événement "l’empaqueteuse 1 tombe en panne" etBl’événement "l’empaqueteuse 2 tombe en panne". On ap(A) = 0.025etp(B) = 0.02.

(a) L’événement "aucune empaqueteuse ne fonctionne" estA∩B.AetBsont indépendants, doncp(A∩B) =p(A)×p(B) = 0.0005.

(b) L’événement "les deux empaqueteuses fonctionnent simultanément" estA¯∩B, et donc¯ p( ¯A∩B¯) =p( ¯A)p( ¯B) = (1−p(A))(1−p(B)) = 0.975×0.98 = 0.9555 4. Un jeu télévisé

On propose à un candidat trois enveloppes identiques ; une seule d’entre-elles contient un gros chèque. Le candidat commence par désigner une des enveloppes ; le présentateur ouvre alors une autre enveloppe, qui est vide.

Le candidat peut alors choisir d’ouvrir l’enveloppe qu’il avait initialement désignée, ou bien ouvrir la troisième enveloppe. Quel est son intérêt ?

corrigé succint : (objet d’un jeu télévisé américain, ce « problème » avait dans les années 50 passionné le grand public) Initialement, le candidat a une chance sur trois de gagner. Cela reste évidemment le cas s’il applique comme stratégie de ne rien changer.

S’il applique la stratégie de changer systématiquement d’enveloppe, il transforme les gains en pertes et les pertes en gain, et par conséquent sa probabilité de gagner est de2/3.

Ainsi, le candidat a intérêt à ouvrir systématiquement la troisième enveloppe.

5. Douze pièces

Dans une boîte il y a 12 pièces : uns vis et un écrou de diamètred₁, une vis et un écrou de diamètred2, . . ., une vis et un écrou de diamètred6.

(a) On choisit deux pièces au hasard. Calculer la probabilité : i. De pouvoir reconstituer un boulon.

ii. Qu’il s’agisse d’un vis et d’un écrou.

(b) On choisit quatre pièces au hasard. Calculer la probabilité que l’on ait : i. Deux boulons.

ii. Aucun boulon.

iii. Un seul boulon.

corrigé succint : (a) Il y a donc ¹²₂

= 66tirages possibles.

i. 6 tirages sont constitués de pièces de même diamètre, donc la probabilité est de 6/66 = 1/11.

ii. Choisir un tirage constitué d’un vis et d’un écrou revient à choisir une vis parmi 6 et un écrou parmi 6. La probabilité cherchée est ainsi

6 1

× ⁶

1

12 2

= 6/11.

(b) Le nombre de tirages possibles est de ¹²₄

= 495.

i. Choisir un tirage constitué de deux paires vis-écrou de même diamètre revient à choisir deux diamètres distincts parmi 6. La probabilité cherchée est donc de

6 2

/495 = 1/33.

ii. On peut, pour répondre directement, énumérer les couples correspondant aux quatre situations possibles (4 vis, 3 vis et un écrou de diamètre différent, 3 écrous et une vis de diamètre différent, 2 écrous et 2 vis de diamètres différents). C’est long. On peut aussi répondre d’abord à la question suivante et terminer par une soustraction...

Dans tous les cas on doit trouver16/33.

iii. Choisir un tirage constitué d’une unique paire vis-écrou de même diamètre revient à choisir un diamètre parmi 6, puis parmi les dix pièces restantes de choisir deux pièces qui ne soient pas de même diamètre (soit10×8/2possibilités), donc la probabilité cherchée est de6×5×8

495 = 16/33.

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