G20380. En l’honneur de 2012
Choisir 1006 objets parmi 2012 peut se faire deN façons. Quels sont a) le nombre de chiffres de N? b) le premier chiffre de N? c) le dernier chiffre non nul deN?
Solution
La formule de Stirling donne pour C2kk l’approximation 4k/√
πk, soit pour k= 1006 la valeur 8,365·10603 :N a 604 chiffres dont le premier est un 8.
Pour étudier les derniers chiffres de
N = (2012·2011· · ·1007)/(1006·1005· · ·1), j’apparie les termes selon leur reste modulo 5 ou une puissance de 5 : k et k+ 1005 pour k non multiple de 5, de k = 2 à k = 1006 ; k et k+ 1000 pour k multiple de 5 mais non de 125, dek= 10 à k= 1005. La contribution de ces paires est de la forme (1 + 5p)/(1 + 5q). Les termes multiples de 125 donnent, après simplification par 125, ceux de C168 = 70. Les termes de N non encore comptés sont (2012·2010)/(5·1), de reste 4 modulo 5. AinsiN est le produit de 4·70 = 280 par un facteur 1 + 5m. Ses derniers chiffres sont 0 (unités), 8 (dizaines), et un chiffre pair (centaines).
Remarque. Jean-Claude Wanner a mené à bien le calcul complet du nombre C20121006, et mentionne à ce propos les propriétés mathématiques, nouvelles peut-être, qu’il présente sur son site jcwanner: avis aux amateurs !
