5 TD5 - Num´erisation du signal Questions •

5 TD5 - Num´ erisation du signal

Questions

• L’´echantillonnage corresponds `a discr´etiser l’axe des abscisses? ou l’axe des ordonn´ees? Et la quantifi- cation?

• Un oscilloscope num´erique comprends un ´echantillonneur `a la fr´equence f

kHz combien d’´echantillons sont pr´elev´es par second?

Exercice 5.1 Considerez le signal s(t) = sin(⇡↵t) o` u ↵ est un r´eel. On pr´el`eve des ´echantillons s(

) (o` u k est un entier). Quel est la fr´equence d’´echantillonnage? Est ce qu’il est possible de reconstruire ce signal avec un tel ´echantillonnage?

Exercice 5.2 On consid`ere un signal p´eriodique d´ecompos´e en 3 harmoniques (par s´erie de Fourier) s(t) = sin(2⇡t) +

sin(3 ⇤ 2⇡t +

) +

sin(5 ⇤ 2⇡t +

). Quelle est la fr´equence maximale du spectre du signal?

Quelle fr´equence d’´echantillonnage permettrait la reconstruction correcte d’un tel signal?

Exercice 5.3 Un capteur de vibration transforme les vibrations m´ecaniques d’une charpente m´etallique en signal ´electrique. Sa FFT donne le spectre illustr´e dans la figure suivante:

[Source J.R. Seigne]

1. Pour num´eriser ce signal, on choisit une fr´equence d’´echantillonnage f

= 80Hz, est ce que la condition de Nyquist - Shannon est respect´ee?

2. Sur le spectre du signal num´eris´e on trouver pour toute fr´equence f du signal original et pour tout entier n, les fr´equences nf

f et nf

+ f avec la mˆeme valeur de l’amplitude que f. Dessinez le spectre du signal num´eris´e dans l’intervalle [0, 240Hz].

3. On appelle fr´equence de Nyquist la fr´equence f

/2. Que remarquez vous par rapport au spectre du signal num´eris´e?

4. Avec un filtre passe-bas on veut ´eliminer toute les fr´equences sup´erieures ` a la fr´equence de Nyquist. Si la fr´equence d’´echantillonnage ´etait de 100Hz est ce qu’il nous faudrait un filtre plus puissant ou moins puissant?

5. On revient ` a la situation o` u la fr´equence d’´echantillonnage est 80Hz. Le signal subit un parasitage par le signal du r´eseau ´electrique ` a la fr´equence de 50Hz, dressez le spectre modifi´e.

6. Dans quel intervalle devrait se situer la fr´equence de coupure du filtre pour que le signal parasite n’introduise pas une distorsion du signal original?

Exercice 5.4 1. La voix humaine produit des fr´equences comprises entre 100 et 3400 Hz. Pour la t´el´ephonie, on choisit la fr´equence d’´echantillonnage F

= 8kHz, justifiez ce choix.

2. Pour la r´ealisation d’un CD audio, le signal est ´echantillonn´e ` a F

= 44.1kHz justifiez le choix.

3. Calculez la fr´equence de Nyquist dans les deux cas (t´el´ephonie et audio).

4. Dans les deux cas, on applique des filtres passe-bas dont la fr´equence de coupure f

est comprise entre f

et la fr´equence de Nyquist, le gain du filtre est d´efini par la fonction G(f ) =

1+(_fc^f)²

. Comparez l’att´enuation/amplification sur les fr´equences F

f

dans le cas du signal t´el´ephonique et celle du signal audio.

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