j ) . On note

Énoncé

Dans ce problème, la partie V est indépendante des autres.

Un plan est rapporté à un repère R = (A, − → i , − →

j ) . On note

−

→ e θ = cos θ − →

i + sin θ − → j

Soit a et c deux réels strictement positifs. On introduit, pour θ ∈] − π, π] , les éléments suivants :

le point B de coordonnées (2c, 0) le point C θ déni par :

−−→ AC _θ = 2a − → e _θ la médiatrice D θ de [B, C θ ] .

le milieu H θ de [B, C θ ] .

le point d'intersection M θ (lorsqu'il existe) des droites D θ et (AC θ ) . l'ensemble C des points M θ .

le nombre θ

= arccos ^a _c lorsque a < c . Ces notations sont valables dans tout le problème.

Partie I. Situation géométrique. Calculs complexes.

Lorsque M est un point quelconque du plan, on note z(M ) l'axe de M relative au repère R .

1. Faire une gure dans chacun des trois cas :

0 < c < a, 0 < c = a, 0 < a < c

2. Quel est l'ensemble C lorsque c = a ? Dans toute la suite du problème, on supposera c 6= a .

3. Calculer les axes de A , B , C θ , H θ . Quel est l'ensemble des H θ lorsqe θ décrit ]−π, π] ? 4. a. Justier l'existence d'un λ ∈ R tel que z(M θ ) = λe ^iθ .

b. Montrer que

(λ − a − ce

)(a − ce ^iθ ) ∈ i R c. Préciser les θ pour lesquels M θ existe et calculer z(M θ ) . 5. Dans les cas c < a puis a < c , former le tableau des signes de

a

− c

a − c cos θ pour θ ∈] − π, π]

Partie II. Dénition bifocale.

1. Montrer que

−−−→ M θ C θ

=

−−−→ M θ B

2. En discutant de la position relative des trois points alignés A , M _θ et C _θ , montrer que C est une conique de foyers A et B . On fera une gure dans chaque cas.

Partie III. Enveloppes.

Dans cette partie, I est un intervalle de R et U , V , W sont trois fonctions dérivables dénies dans I (à valeurs dans R) telles que, pour tous les t de I :

U (t)V

(t) − U

(t)V (t) 6= 0, (U

(t), V

(t)) 6= (0, 0) On dénit les droites ∆ _t et ∆

_t par leurs équations :

∆ t : U (t)x + V (t)y + W (t) = 0

∆

_t : U

(t)x + V

(t)y + W

(t) = 0

1. Montrer que les droites ∆ _t et ∆

_t se coupent. On note f (t) leur point d'intersection.

La courbe paramétrée f est appelée enveloppe de la famille de droites. Le support de la courbe paramétrée f est noté F .

2. Montrer que ∆ t est tangente en f (t) à F .

3. Exemple. Soit C

un cercle de centre O (coordonnées (0, 0) ) et de rayon R et S un point de coordonnées (s, 0) . On supposera 0 < s < R .

a. Soit M un point de coordonnées (R cos t, R sin t) , former l'équation cartésienne de la droite (notée ∆ t ) perpendiculaire à (SM) et passant par M .

b. Former la courbe paramétrée f enveloppe de ces droites comme en 1.

Partie IV. Médiatrices.

1. Former l'équation de D θ .

2. On note D _θ

l'équation obtenue à partie de D θ en dérivant chaque coecient (comme en III). Montrer que D θ et D

_θ se coupent en M _θ . En déduire que D θ est tangente en M _θ à C .

3. Calculer le produit des distances

d(A, D _θ )d(B, D _θ )

des points A et B à la droite D θ .

4. Quelle est la courbe formée par la projection d'un foyer sur les tangentes à une hyper- bole ou une ellipse ? (Une telle courbe est appelée podaire)

Partie V. Podaire d'un foyer sur une parabole.

Soit P une parabole de foyer F et de directrice D . On choisit un repère dans lequel : l'équation de D est

x + p 2 = 0 les coordonnées de F sont ( ^p

, 0)

1. a. Former l'équation cartésienne de P .

b. Montrer que P est le support de la courbe paramétrée u → M _u dénie dans R où M _u est le point de coordonnées (2pu

, 2pu) .

2. Écrire une équation cartésienne de la tangente T u en M u à P . On note dans toute la suite K u le projeté orthogonal de M u sur D .

3. Calculer la distance de F à T u , calculer la distance de K u à T u . Que peut-on en déduire ? 4. Quel est l'ensemble des projetés orthogonaux de F sur les tangentes à la parabole ?

A B

C

M

H

Fig. 1: I.1. Cas 0 < c < a .

Corrigé

Partie I.

1. Voir Fig. 1, Fig. 2, Fig.3 .

2. Lorsque c = a , comme B et C θ sont sur le même cercle (Fig. 2.) de centre A , l'inter- section de la médiatrice de [BC θ ] avec la droite (AC θ ) est toujours A .

C = {A}

3. Les calculs sont évidents :

z(A) = 0, z(B) = 2c, z(C θ ) = 2ce ^iθ , z(H θ ) = c + ae ^iθ Lorsque θ varie, le point H _θ décrit le cercle de centre de point de coordonnées (c, 0) et de rayon a .

4. a. Comme M θ est sur la droite (AC θ ) , il existe un réel λ tel que z(M _θ ) = λe ^iθ

b. Écrivons l'orthogonalité de − −−− →

H θ M θ et −−→

BC θ avec les axes complexes : λe ^iθ − c − ae ^iθ

2ae ^iθ − 2c ∈ i R

A B C

M

H

Dθ

Fig. 2: I.1.Cas 0 < c = a .

A B

C_θ

M_θ

H_θ

D_θ

Fig. 3: I.1. Cas 0 < a < c .

Le 2 qui se met en facteur au dénominateur ne change pas la condition d'être imaginaire pur. On le fait donc disparaitre. On multiplie par e

en haut et en bas. La condition devient :

λ − a − ce

a − ce

∈ i R

Si on multiplie en haut et en bas par la quantité conjuguée du dénominateur, celui ci devient un réel sctrictement positif et peut donc disparaitre de la condition.

On obtient alors :

(λ − a − ce

)(a − ce ^iθ ) ∈ i R

c. Le point M θ existe lorsque la médiatrice de BC θ coupe AC θ . Le point n'est pas correctement déni lorsque ces droites sont parallèles c'est à dire lorsque le triangle AC θ B est rectangle en C θ . Cela ne peut se produire que si

c > a cos θ = a

c Il existe donc un point M _θ

pour tous les θ lorsque c < a

pour tous les θ autres que θ

et −θ

lorsque c > a . Calculons M θ dans ces cas.

D'après b., l'axe de M θ est de la forme λe ^iθ avec λ vériant : (λ − a − ce ^iθ )(a − ce ^iθ ) ∈ i R

Écrivons que la partie rélle est nulle :

(λ − a − c cos θ)(a − c cos θ) − (c sin θ)(−c sin θ) = 0 ⇔ λ = a

− c

a − c cos θ 5. Lorsque c < a , pour tous les θ : λ > 0 .

Lorsque a < c , on peut former le tableau :

−π −θ

θ

π

− k + k − Partie II.

1. Par construction, le point M _θ est sur la médiatrice de BC _θ donc M _θ C _θ = M _θ B .

A B C

M

Fig. 4: Dénition bifocale : ellipse c < a

2. D'après les questions précédentes, l'axe de M θ est λe ^iθ avec λ = a

− c

a − cos θ

L'ordre dans lequel sont placés les points alignés A , M _θ , C _θ dépend du signe de λ et de 2a − λ .

Dans le cas où c < a , ces deux réels sont strictement positifs. Les points A , M _θ , C _θ sont alignés dans cet ordre avec

AM _θ + BM _θ = AM _θ + M _θ C _θ = 2a

Le point M θ décrit alors une ellipse de foyers A et B et de grand axe 2a (Fig.4) Lorsque a < c , le point M _θ décrit les branches d'une hyperbole de foyers A et B (Fig.

A M

C

B θ

< θ < θ

θ

< θ < π

−π ≤ θ < −θ

Fig. 5: Dénition bifocale : branches d'hyperbole a < c

5). Le détail est présenté dans un tableau :

−π −θ

θ

π

λ | − k + k −

2a − λ | + k − k +

alignement | M AC k ACM k M AC

2a = | M B − M A k M A − M B k M B − M A

Partie III.

1. L'intersection des deux droites est régie par un système de deux équations linéaires dont le déterminant est

U (t)V

(t) − U

(t)V (t) 6= 0

Ce système admet donc pour chaque t un unique couple solution. On le note (a(t), b(t)) .

2. Il ne faut surtout pas chercher à préciser lescoordonnées (a(t), b(t)) du point f (t) . Écrivons que f (t) ∈ ∆ t puis dérivons cette relation :

0 = U (t)a(t) + V (t)b(t) + W (t)

0 = (U

(t)a(t) + V

(t)b(t) + W

(t)) + U (t)a

(t) + V (t)b

(t)

La parenthèse est nulle car f (t) ∈ ∆

_t . Le reste de la relation traduit l'orthogonalité de − →

f

(t) avec le vecteur de coordonnées (U (t), V (t)) . Or ce vecteur est normal à ∆ _t (d'après son équation), on en déduit donc que − →

f

(t) est dans la direction de ∆ _t ce qui assure que c'est la tangente car elle contient f (t) .

3. a. Pour former l'équation de ∆ t , on écrit la nullité du produit scalaire des vecteurs de coordonnées

x − R cos t y − R sin t

R cos t − s R sin t

On obtient après calculs :

équation de ∆ _t : (R cos t − s)x + R sin ty − R

+ Rs cos t = 0 b. Les coordonnées de f (t) sont les solutions du système

( (R cos t − s)x + R sin ty − R

+ Rs cos t =0

−R sin tx + R cos ty − Rs sin t =0

Que l'on résoud (après division de la deuxième équation par −R ) à l'aide des formules de Cramer. On obtient

x = R s − R cos t

s cos t − R y = (s

− R

) sin t s cos t − R Sur la gure 6, on voit se dessiner une ellipse.

Partie IV.

1. Par dénition, D θ est la médiatrice de B et de C θ . Pour obtenir l'équation, écrivons l'égalité des carrés des distance à ces deux points

(x − 2a cos θ)

+ (y − 2a sin θ)

= (x − 2c)

+ y

après simplications

équation de D θ : (c − a cos θ)x − a sin θy + a

− c

= 0

2. On forme l'équation de D _θ

en dérivant les coecients a sin θx − a cos θy = 0

On résout le système constitué par les deux équations avec les formules de Cramer :

c − a cos θ −a sin θ sin θ − cos θ

= − c cos θ + a

−a

+ c

−a sin θ 0 − cos θ

=(a

− c

) cos θ

c − a cos θ −a

+ c

sin θ 0

=(a

− c

) sin θ Les coordonnées du point d'intersection sont donc

a

− c

a − c cos θ cos θ, a

− c

a − c cos θ sin θ

ce qui correspond bien à l'axe complexe de M _θ trouvée en I. D'après la partie III, la courbe C est l'enveloppe des droites D _θ . Chacune de ces droites est donc tangente à C en M _θ .

3. La distance d'un point à une droite s'obtient en utilisant l'équation de cette droite (obtenue en 1.)

d(A, D θ )d(B, D θ ) = (a

− c

) (c − a cos θ)2c + a

− c

(c − a cos θ)

+ a

sin

θ = a

− c

4. Comme D θ est tangente à la conique et orthogonale à C _θ B , la projection orthogonale sur la tangente en M _θ est H _θ . L'axe de ce point est

c + ae ^iθ

Il décrit un cercle de centre B et de rayon a . La podaire d'un foyer sur une conique (ellipse ou hyperbole) est donc un cercle. Le cas d'une parabole est examiné dans la dernière partie.

Partie V.

1. a. Pour obtenir l'équation cartésienne de P , on écrit que M de coordonnées (x, y) est sur P si et seulement si d(M, D) = M F

|x + p 2 | =

r (x − p

2 )

+ y

⇔ (x + p

2 )

= (x − p

2 )

+ y

⇔ y

= 2px

b. Les coordonnées de M u vérient l'équation cartésienne de la parabole.

2. On connait les coordonnées de M u et de sa dérivée : M u : (2pu

, 2pu) − →

M u : (4pu, 2p)

On en déduit l'équation de la tangente en M u : équation de T u :

x − 2pu

2u y − 2pu 1

= 0 ⇔ x − 2uy + 2pu

= 0

3. Les coordonnées de K _u sont (− ^p

, 2pu) , écrivons encore une fois les distances à la droite avec son équation :

d(F, T u ) =

p

+ 2pu

√ 1 + 4u

d(K _u , T u ) =

− ^p

− 2u(2pu) + 2pu

√

1 + 4u

= d(F, T u ) On en déduit que T u est la médiatrice de [K u , F ] .

4. Comme T u est la médiatrice de [K u , F ] , le projeté H u de F sur la tangente T u est le milieu de [F, K u ] . Par conséquent, comme F a pour coordonnées ( ^p

, 0) , lorsque K u

décrit D (d'équation x = ^p

), le point H u décrit l'axe Oy (Fig. 7).

Fig. 6: III.3.b Enveloppe d'une famille de droites

D

M

K

H

F

Fig. 7: Podaire d'un foyer sur une parabole