Études expérimentale des excitations topologiques de l'effet Hall quantique dans les hétérostructures semiconductrices à double puits quantiques

topologiques de l’effet Hall quantique à ν = 1 dans les hétérostructures semiconductrices à

double puits quantique

par

Serge Charlebois

Thèse présentée au Département de physique en vue de l’obtention du grade de docteur es sciences (Ph. D.)

Faculté des sciences Université de Sherbrooke

Sherbrooke, Québec, Canada, 13 mars 2002

De nombreux travaux théoriques et expérimentaux ont été publiés sur les excitations topologiques de gaz électroniques bidimensionnels (GE2D), appellées skyrmions, dans le régime de l’effet Hall quantique à remplissage unitaire. On attend des excitations semblables appellées bimérons dans les systèmes formés de deux GE2D couplés. Contrairement au cas des GE2D simples, aucune expérience n’a, à notre connaissance, présenté la mesure d’une propriété spécifique aux bimérons. Nous présentons dans cette thèse des travaux expérimentaux ayant pour objectif l’étude d’excitations topologiques dans les hétérostructures à double puits quantique.

Une manifestation attendue des bimérons est la présence d’une anisotropie dans la conductivité à travers une constriction. Nous avons conçu un dispositif original à point de contact à trois grilles non-coplanaires. Ce dispositif à trois grilles a la particularité de permettre la création d’une constriction étroite dans le double GE2D tout en permettant l’équilibrage de la densité électronique entre les deux puits dans l’étroit canal de conduction.

Nous avons fabriqué ce dispositif de taille submicronique par électrolithographie sur des hétérostructures à double puits. Les dispositifs ainsi fabriqués ont été étudiés à basse température (0.3 K) et ont montré un fonctionnement conforme aux attentes. Les travaux n’ont pas permis de mettre en évidence une anisotropie de transport révélatrice de l’existence de bimérons. Cette thèse est à notre connaissance la première étude expérimentale visant la réalisation de l’expérience d’anisotropie de transport et est ainsi une contribution significative à l’avancement des connaissances dans ce domaine.

Les travaux théoriques que nous présentons ont permis de montrer l’effet des excitations topologiques sur la capacité grille-GE2D du système. Ces travaux ouvrent la voie de la détection des bimérons par l’intermédiaire de la mesure de la capacité grille-GE2D ou encore de la susceptibilité électrique du GE2D. Poursuivant cet objectif, nous avons conçu, réalisé et testé un dispositif de mesure in situ de la capacité grille-GE2D d’une hétérostructure.

Nous avons également suggéré d’autres méthodes expérimentales pour la mise en évidence des bimérons par le couplage de la texture de pseudospin à la capacité du GE2D.

Je me dois en premier lieu de souligner mon appréciation à l’égard de Jean Beerens qui m’a reçu au doctorat. Les années passées à ses côtés m’ont permis d’apprécier ses qualités humaines et scientifiques. La rigueur de sa pensée et de son travail sont pour moi une source d’inspiration. Même par un travail acharné, l’apprenti ne saurait s’élever sans que le maître n’y soit pour quelque chose. C’est aussi pour ce quelque chose que je lui suis gré. Je dois aussi souligner mon appréciation à l’égard de René Côté. Armé de patience, il m’a initié à l’art de la recherche théorique en physique. J’ai beaucoup appris de la confrontation de nos deux mondes. Je tiens à souligner l’appui indéfectible de mes directeurs de recherche tout au long de la rédaction. Sans broncher, ils se sont pliés à mes échéanciers ambitieux.

Je remercie également les membres du jury, les docteurs Marie D’Iorio, Denis Morris et André-Marie Tremblay, qui ont accepté d’évaluer mon travail. Je m’en remets confiant à leur jugement.

L’ensemble des travaux de fabrication n’aurait pu être accompli sans la complicité du professeur Jacques Beauvais et de l’équipe des salles blanches du Groupe de microélectronique de Sherbrooke (Département de génie électrique et de génie informatique). Une mention toute spéciale doit être faite pour souligner mon appréciation du travail et du savoir faire d’Éric Lavallée qui a initié les travaux de fabrication et qui m’a appuyé tout au long de mon apprentissage de son art.

Le travail dévoué des techniciens et professionnels du Département de physique fut aussi essentiel à notre entreprise scientifique. Je tiens à souligner le travail minutieux, continu et rapide de Marcel Zakorzermy et de Luc Lalibertée ainsi que le soutien occasionnel de Mario Castonguay¹, Stéphane Pelletier et Daniel Auger. Je remercie également Alain Veilleux, Mehdi Bozzo-Rey et leurs acolytes (Linux et GNU compris) pour leur appui à un expérimentateur partiellement converti. Je ne pourrais pas passer sous silence le travail

1 Avis aux journalistes : vous pouvez citer cette phrase !

d’orfèvre et la patience de Jacques Corbin. Mais c’est de son amitié dont je garde le souvenir le plus cher.

Une salutation particulière s’adresse à Jacques Renaud pour ses question incessantes mais très sensées, pour son appui continuel au laboratoire et aux salles blanches et pour les ritournelles retrouvées de la musique de chez nous.

J’aimerais aussi remercier les membres de l’Institut des sciences des microstructures qui ont collaboré à nos travaux : Andy Sachrajda pour nous avoir permis de réaliser quelques expériences à Ottawa ainsi que Charles Gould et Piotr Zawadzki pour leur réalisation ; Zbig Wasilewski pour la croissance des hétérostructures ; Yan Feng pour la fabrication de quelques échantillons ; Dr Peter Coleridge pour d’intéressantes discussions.

De nombreux stagiaires ont participé de près et de loin à nos travaux expérimentaux, théoriques et à la fabrication des échantillons. J’aimerais souligner les contributions de Vincent Bernard, Michel Bélanger, Dominic Groulx, Loïc Franchomme-Fossé et de Jessica Gauthier.

Voilà maintenant douze années que je hante les corridors du département de physique de l’Université de Sherbrooke. J’y ai fait la connaissance de gens de grande qualité qui m’ont beaucoup appris de la nature et de la vie. J’ai vu monalma mater traverser quelques crises et j’ai essayé, à mon humble mesure, de contribuer à son développement. Soyez assurés de mon entier dévouement à votre cause.

À ma douce Patricia, à mes parents et à ma soeur,finalement, j’exprime le profond regret de ma présence éthérée durant cette dernière année mais surtout ma gratitude pour leur soutien et leur amour inconditionnel.

Sommaire. . . iii

Remerciements. . . iv

Table des matières. . . vi

Liste des figures. . . ix

Liste des tableaux . . . xv

Introduction . . . 1

Chapitre 1 Les excitations chargées de l’effet Hall quantique à remplissage unitaire . . . 13

1.1 Description Hartree-Fock des états cohérents du double puits . . . 14

1.2 Modèleσ non linéaire . . . 30

1.3 Diagramme de phase des excitations . . . 38

1.4 Effet des excitations topologiques sur la capacité grille-GE2D . . . 46

Chapitre 2 Considérations générales concernant les systèmes à double gaz électronique bidimensionnel . . . 54

2.1 Deux types d’hétérostructures à double GE2D . . . 54

2.2 Représentation électrostatique du double GE2D . . . 58

2.3 Fonctions d’onde électroniques du double puits quantique . . . 64

2.4 Profil de bande d’une hétérostructure . . . 69

Chapitre 3 Caractérisation expérimentale d’hétérostructures à double puits quantique . . . 81

3.1 Magnétorésistivité longitudinale en fonction de la polarisation de la grille supérieure . . . 82

3.2 Activation de l’effet Hall quantique . . . 92

3.3 Résistivité longitudinale en fonction de la polarisation de la grille supérieure (à B=0) . . . 99

3.4 Magnétorésistivité longitudinale en champ magnétique strictement parallèle . . . 102

Chapitre 4 Travaux expérimentaux visant l’observation de signatures caractéristiques des bimérons. . . 116

4.1 Hétérostructures étudiées . . . 116

4.2 Mesure de l’anisotropie de transport . . . 123

a) Fonctionnement du dispositif expérimental . . . 137

b) Protocole expérimental . . . 148

c) Résultats expérimentaux . . . 150

4.3 Mesure de la capacité grille-GE2D . . . 155

a) Description du pont semi-capacitif . . . 157

b) Résultats expérimentaux . . . 161

c) Autres approches pour la mesure de la magnétocapacité grille-GE2D . . . 167

Conclusion. . . 170

Annexe I Fabrication des dispositifs . . . 172

Annexe II Capacité grille-GE2D. . . 180

Annexe III Solution autocohérente de l’équation de Schrödinger-Poisson. . . 185

Annexe IV Oscillations de Shubnikov-de-Haas . . . 189

Bibliographie . . . 199

Index . . . 203

1 Illustration unidimensionnelle de la formation des excitations topologiques 5

2 Représention d’un skyrmion 5

3 Observation de la dépolarisation du GE2D par la présence de skyrmions 6 4 Énergie d’activation du minimum de résistivité à ν = 1 en fonction du

facteur gyromagnétique électronique 6

5 Diagramme de phase normalisé d−∆_SAS de l’EHQ à ν = 1 d’après

Murphy et al. 8

6 Transition de phase de l’EHQ à ν = 1causée par la présence d’un champ

parallèle au GE2D 9

7 Algorithme de calcul des phases du GE2D dans l’approximation

Hartree-Fock 31

8 Illustration des quatre saveurs de méron 34

9 Illustration du biméron comme paire de mérons. 37

10 Illustration du trajet fermé qui couple le champ magnétique parallèle au

terme tunnel. 37

11 Cristal de Wigner supercohérent 41

12 Réseau carré de bimérons antiferromagnétique (RCA) pour dfaible 42 13 Réseau carré de bimérons antiferromagnétique (RCA) pour délevé 43 14 Réseau triangulaire de bimérons non-frustré (RT120) pourdfaible 44 15 Réseau triangulaire de bimérons non-frustré (RT120) pourdélevé 45 16 Réseau carré de quatre mérons antiferromagnétique (RCMA) 47

17 Diagramme de phase des excitations chargées de l’EHQ àν = 1(d= 0). 48 18 Contribution du cristal de bimeron RCA à la capacité grille-GE2D. 52 19 Figure montrant le profil de bande d’un double puits et les fonctions d’onde 56 20 Profil de bande et fonctions d’onde d’un puits large 57 21 Représentation simplifiée de l’hétérostructure utilisée pour l’analyse

électrostatique 59

22 Densité électronique des puits en fonction de la densité totale

(représentation électrostatique) 62

23 Énergie électrostatique obtenue par la représentation en plan de charges

d’une hétérostructure à double GE2D 63

24 Énergie des états symétriques et antisymétriques en fonction de la distance

interpuits 66

25 Profil de bande et fonction d’onde d’un double puits en présence d’un

champ électrique uniforme 68

26 Évolution du gap ∆_LAL en fonction d’un champ électrique externe

produisant un biais de potentiel entre les puits 70

27 Hybridation des fonctions d’onde en fonction de la distance entre les puits 72 28 Évolution du gap symétrique-antisymétrique en fonction de la distance

entre les puits 73

29 Fonctions d’onde du double puits pour trois distances interpuits 74 30 Évolution du gap ∆_LAL en fonction d’un champ électrique externe

produisant un biais de potentiel entre les puits (solution auto-cohérente) 76 31 Diagramme présentant la densité des sous-bandes liantes et anti-liantes en

fonction de la densité totale 78

32 Variation de la densité totale en fonction de la différence de potentiel

appliquée entre la grille et le GE2D 79

33 ∆_LAL en fonction de la différence de potentiel entre la grille supérieure et

le GE2D 80

34 Résistivités longitudinale et transversale montrant les oscillations de

Shubnikov-de-Haas et l’effet Hall quantique 85

35 Transformée de Fourier de ρ_xx¡ B⁻¹¢

86 36 Diagramme densité-densité expérimental et comparaison avec le calcul

autocohérent du profil de bande 87

37 Estimation de la mobilité quantique 91

38 Diagramme des niveaux de Landau du double puits quantique 95 39 Illustration des méthodes expérimentales de mesure de l’activation de l’EHQ 97

40 Disparition de l’EHQ àν = 1à forte densité 98

41 Observation de la transition commensurable-incommensurable 100 42 Résonance de résistance montrant une inflexion lors de la déplétion du

puits supérieur 101

43 Démonstration qualitative de la résonance de résistance 103 44 Relation de dispersion et densité d’états du double GE2D en présence d’un

champ magnétique strictement parallèle 106

45 Relation de dispersion et surface de Fermi du double GE2D 107 46 Magnétoconductivité longitudinale en champ parallèle 109 47 Étude de l’antirésonance enB_k en fonction de la tension de grille 110 48 Surface de Fermi des deux sous-bandes sans tenir compte du recouvrement

des fonctions d’onde (t= 0) 111

49 Temps de diffusion obtenus par l’analyse de la résonance de résistance 113 50 Magnétorésistivité en champ parallèle en fonction de la température 115

51 Profil de bande de l’hétérostructure MBE1738 comprenant les couches de

surface 119

52 Illustration de la gaufre à gradient de paramètre MBE2088 121 53 Diagramme de phase normaliséd−∆_SAS de l’EHQ àν = 1 122 54 Représentation du biméron comme une paire liée de mérons 125 55 Longueur du biméron en fonction deγ=B_k/B^c_k pour MBE1738 126 56 Description de l’expérience proposée par Moon et Mullen et anisotropie du

coefficient de transmission à travers une constriction 127 57 Anisotropie du coefficient de transmission à travers la constriction calculée

pour la gaufre MBE1738 130

58 Anisotropie du coefficient de transmission à travers la constriction calculée

pour la gaufre MBE1738 à l’aide de l’équation modifiée 132 59 Comparaison entre l’anisotropie de transport pour les deux hypothèses de

calcul 133

60 Représentation schématique de deux niveaux de Landau à ν = 1 135

61 Schéma illustrant le PCQ gravé 139

62 Micrographie par faisceau d’électrons d’un PCQ gravé 139 63 Dispositif à trois grilles coplanaires utilisé par Castleton et Thomas 140 64 Coupes du potentiel électrostatique causé par le dispositif à grilles

coplanaires sur le GE2D 141

65 PCQ non-coplanaire utilisé pour notre étude 143

66 Potentiel électrostatique causé par les grilles dans la région des puits 143 67 Coupes du potentiel électrostatique causé par le dispositif à grilles

non-coplanaires sur le GE2D 144

68 Photographie d’un échantillon à PCQ à trois grilles non-coplanaires 145 69 Micrographie par faisceau d’électrons montrant les trois grilles du dispositif

non-coplanaire 146

70 Porte-échantillons à 2 axes de rotation 148

71 Effet de la grille d’équilibrage sur la conductivité du canal du PCQ (B= 0) 154 72 Effet de la grille d’équilibrage sur la conductivité du canal du PCQ à

B'1.25 T 154

73 Magnétoconductivité en champ parallèle pour plusieurs valeurs de

polarisation des grilles du PCQ 156

74 Circuit correspondant au pont semi-capacitif utilisé pour la mesure de la

capacité grille-GE2D 158

75 Circuit complexe correspondant au pont semi-capacitif 160 76 Micrographie optique du pont semi-capacitif fabriqué sur un échantillon

tiré de MBE2088 162

77 Micrographie optique montrant le condensateurC₂ du pont semi-capacitif 163 78 Mesure expérimentale de la magnétocapacité grille-GE2D 165 79 Simulation du fonctionnement du pont semi-capacitif en ne considérant

que la magnétorésistivité 166

80 Dispositif de mesure de la compressibilité d’un double GE2D basé sur les

travaux d’Eisenstein et al. 168

81 Motif servant à l’électrolithographie de nos échantillons 173 82 Illustration des avantages de la méthode d’électrolithographie multicouche 177 83 Photo d’un profil de résine multicouche en porte-à-faux 178 84 Algorithme de résolution autocohérente des équations couplées de

Schrödinger et de Poisson 188

85 Relation de dispersion électronique d’un GE2D simple et double en

présence ou non de champ magnétique perpendiculaire 193 86 Diagramme d’énergie des niveaux de Landau et densité d’état d’un double

GE2D 194

87 Densité d’état de deux niveaux de Landau tenant compte d’un

élargissementΓ en fonction porte 197

1 Tableau résumant les similitudes et différences entre les excitations du

puits simple et du double puits à remplissage unitaire. 12 2 Correspondance entre certaines combinaisons linéaires des états |↑i et |↓i,

le pseudospin et l’état électronique 23

3 Description de l’hétérostructure MBE1738 117

4 Comparaison entre la valeur nominale des paramètres de l’hétérostructure

et les résultats des calculs autocohérents du profil de bande 119

5 Description de l’hétérostructure MBE2088 120

6 Comparaison entre la valeur nominale et les mesures expérimentales de

certains paramètres d’échantillons tirés de l’hétérostructure MBE2088 123 7 Paramètres de l’hétérostructure proposée pour la mesure de la

compressibilité du GE2D à la manière d’Eisenstein et al. 168

Nous présentons dans cette thèse des travaux expérimentaux ayant pour objectif l’étude d’excitations topologiques dans un système formé de deux gaz électroniques bidimensionnels (GE2D) couplés. Ils s’inscrivent parmi les nombreux ouvrages tant théoriques qu’expérimentaux qui traitent des interactions électroniques dans les systèmes à dimensionalité réduite. Plus précisément, nos travaux contribuent à l’exploration des nombreuses et singulières facettes de l’effet Hall quantique (EHQ) découvert par K. von Klitzing en 1980. À plusieurs égards, comme le souligne Ezawa[1], les systèmes qui présentent l’EHQ permettent la réalisation en laboratoire d’expériences capables de valider des concepts physiques et mathématiques abstraits. Ces systèmes sont ainsi un des exemples où cohabitent la physique de la matière condensée et la physique des particules. C’est notamment de ce côté que s’orientent nos travaux qui visent l’observation de signatures expérimentales de l’existence, dans l’EHQ d’un double GE2D, d’excitations topologiques chargées résultant des interactions n-corps entre électrons.

Nous présentons en guise d’introduction un rappel des attentes et observations faites dans le cas des excitations n-corps du GE2D simple pour ensuite faire état des travaux sur le double GE2D. Cette introduction nous permettra de souligner les similitudes et les différences entre ces deux systèmes. Nous exposons ensuite au premier chapitre les fondements théoriques permettant de décrire ces excitations. Des considérations générales concernant les doubles GE2D feront ensuite l’objet du second chapitre. Nous aborderons au chapitre 3 les différentes techniques de caractérisation pertinentes pour les systèmes à double GE2D que nous avons utilisées pour nos échantillons. Le chapitre 4 présente les travaux expérimentaux visant l’observation de signatures caractéristiques des excitations topologiques du double GE2D. Nous y présentons également les dispositifs originaux conçus et réalisés pour cettefin.

Le cas du puits quantique simple

Les hétérostructures à puits quantique sont formées d’un empilement de couches de matériaux différents arrangés de telle sorte que les électrons soient confinés dans l’une de ces couches. Le mouvement des électrons est ainsi libre dans le plan de cette couche mais fortement restreint dans la direction perpendiculaire (axe de croissance des couches).

Ce confinement des électrons à un espace bidimensionnel (puits) amène la quantification de l’énergie cinétique en un ensemble d’états appeléssous-bandes électriques. La densité d’états s’en trouve grandement modifiée ce qui a pour conséquence d’augmenter les interactions entre électrons à un point tel que celles-ci dominent la dynamique des électrons dans plusieurs situations.

En présence d’un champ magnétique perpendiculaire au GE2D, la densité d’états est à nouveau grandement modifiée. En effet, le champ quantifie l’énergie cinétique en niveaux de Landau de dégénérescence N^φ très prononcée S/2πl_⊥² où S est la surface du GE2D et l_⊥ est la longueur magnétique. Définissons le facteur de remplissage ν =N/Nφ comme le ratio du nombre d’électrons sur le nombre d’états à une particule d’un niveau de Landau.

À champ magnétique suffisamment fort, la dégénérescence atteint même le point oùν = 1 (remplissage unitaire). En tenant compte du spin électronique, les électrons d’un puits quantique simple occupent alors pleinement le premier niveau de Landau associé à l’état de spin d’énergie minimale². Le GE2D est dans un état ferromagnétique où tous les spins sont parallèles. Cet état est énergétiquement favorable à cause des interactions d’échange.

En effet, considérons la fonction d’onde d’un ensemble de N électrons dont le spin est complètement polarisé telle que

Ψ(z₁, z₂, ..., z_N) =χ(z₁, z₂, ..., z_N)|↑↑...↑i (1)

La partie de l’espace d’états associée au spin est par conséquent symétrique sous échange de particule. Or, comme nous avons affaire à des fermions, la fonction d’onde globale doit être antisymétrique (principe d’exclusion de Pauli). La configuration ferromagnétique du spin

2 Dans leGaAs, le facteur gyromagnétiqueg^∗est négatif. L’état de plus faible énergie en présence d’un champ magnétique est doncSz= +1/2(↑). Nous adoptons cette convention pour discuter des états de spin.

force donc la partie spatiale de la fonction d’onde χ(z₁, z₂, ..., z_N) à être antisymétrique.

Ceci étant, la fonction d’onde tend à s’annuler lorsque deux électrons s’approchent l’un de l’autre, limitant ainsi les interactions de Coulomb. Girvin propose la forme suivante pour la fonction d’onde du système en première quantification[2] :

Ψ(z₁, z₂, ..., z_N) = YN i<j

(z_i−z_j) exp Ã

−1 4

X

k

|z_k|²

!

|↑↑...↑i, (2)

oùz=x+iyreprésente la position d’un électron dans le planxy. L’énergie d’échange dont l’origine vient de la nature n-corps du problème est par conséquent un terme dominant de la dynamique du système. Ce n’est pas le cas dans un métal normal dont la relation de dispersion électronique est quadratique. Dans ce cas, le coût en énergie cinétique lié à la polarisation ferromagnétique des électrons est de loin supérieur au gain en énergie d’échange. C’est donc le fait que l’énergie cinétique des électrons d’un niveau de Landau

soitfigée qui entraîne la polarisation spontanée des électrons dans l’état ferromagnétique.

Qu’arrive-t-il lorsque le système est à remplissage plus qu’unitaireν = 1⁺? La configuration la plus simple consiste à remplir complètement le premier niveau de Landau de spin ↑ et à peupler le premier niveau de Landau de spin ↓ des quelques électrons restants (figure 1 a). Il n’est cependant pas évident que cette configuration minimise l’énergie.

En effet, les électrons (↓) en surplus n’étant pas dans le même état de spin que ceux du premier niveau (↑), le principe d’exclusion de Pauli ne contribue pas à minimiser leurs interactions de Coulomb. En fait, de nombreux travaux théoriques[3—8] ont montré que des textures de spin apparaissent pour minimiser l’énergie du système (figure 1 b). Ces textures continues et graduelles tirent profit de l’interaction d’échange pour minimiser l’énergie de la configuration de spin. On explique cela par le fait que les spins électroniques sont presque parallèles entre proches voisins. La réduction de l’énergie d’interaction de spin qui en résulte entre toutefois en compétition avec le fait qu’un plus grand nombre d’électrons voient leur spin modifié (gain en énergie Zeeman). Ces textures contribuent notamment à diminuer la polarisation électronique du GE2D puisqu’elles constituent un grand nombre d’électrons renversés.

Dans un puits quantique simple, les excitations topologiques du GE2D àν = 1portent le

nom deskyrmions³. Lafigure 2 montre la densité électronique et la texture de spin associée au skyrmion. On remarque d’une part l’inversion du spin au maximum de densité et d’autre part l’antivortex dans le planxy. Nous verrons que l’on peut associer à cette texture une charge topologique, elle-même reliée à la charge électrique de l’excitation.

Des travaux expérimentaux ont permis de confirmer la présence de ces excitations chargées dans le puits simple àν = 1. La première de ces expériences met à profit le couplage entre le spin électronique et la magnétisation du GE2D. En effet, la présence d’une texture de spin dépolarise le GE2D plus efficacement que ne le prévoit une approche sans interaction.

L’expérience réalisée par Barrett et al.[9] en 1995 montre cette dépolarisation du GE2D par la mesure du Knight-shift⁴ des atomes deGadu puits quantique (figure 3). Les travaux théoriques de Brey et al.[5] confirment cette interprétation.

La seconde expérience réalisée par Maude et al. en 1996 [10] fait appel à la possibilité de faire varier le facteur gyromagnétiquegdu GaAs en appliquant une pression hydrostatique sur l’hétérostructure. Les auteurs ont mesuré l’énergie d’activation de l’EHQ àν = 1pour différentes valeurs deg entre−0.1et+0.1(figure 4). Les résultats de cette étude indiquent également une dépolarisation significative du GE2D par la présence de skyrmions.

Comparaison avec le cas du double puits quantique

L’effet Hall quantique dans les systèmes à double GE2D a aussi fait l’objet de plusieurs études théoriques et expérimentales. Les systèmes à double GE2D se distinguent des systèmes à gaz simple par un degré de liberté supplémentaire (correspondant à la possibilité pour un électron d’être dans un puits ou dans l’autre), par la distance interpuits d qui modifie les interactions de Coulomb et par la possibilité d’un effet tunnel entre les puits.

Voyons d’abord comment se comporte l’EHQ àν = 1en fonction de ces paramètres.

3 En fait, le terme skyrmion ne s’applique qu’à facteur gyromagnétique nul. C’est donc par extension qu’on utilise ce vocable pour désigner les excitations topologiques du puits quantique simple pourg6= 0.

4 Le « Knight-shift » correspond au décalage de la fréquence de résonance nucléaire d’un atome, mesuré par résonance magnétique nucléaire (RMN), causé par la polarisation du nuage électronique qui l’entoure.

a)

b)

Figure 1 : Illustration unidimensionnelle de la formation des excitations topologiques.a) À remplissage unitaire, un électron est ajouté dans l’état↓.b)L’interaction d’échange favorise la création d’une texture de spin.

Figure 2 : Représention d’un skyrmion, excitation topologique du puits quantique simple à remplissage unitaire. La surface représente la densité électronique et les vecteurs l’orientation du spin. On constate qu’il y a inversion du spin sur le pic de densité. Une vue du planxyfigure en médaillon. Les lignes de niveaux correspondent à la densité électronique.

Figure 3 : Observation de la dépolarisation du GE2D par la présence de skyrmions. Le graphique montre la mesure du Knight-shift en fonction du facteur de remplissage. Le trait continu correspond à un facteur de dépolarisation de 1 spin par électron alors que le trait discontinu correspond à un facteur de 3.6 spins par skyrmion. Tiré de Barrettet al. [9].

Figure 4 : Énergie d’activation du minimum de résistivité àν= 1en fonction du facteur gyromagnétique électronique. Les segments de droite représentent le résultat attendu pour des facteurs de dépolarisation de 7et33spins par skyrmion. Tiré de Maudeet al.[10]

Lorsque la distance interpuits est grande, les fonctions d’onde associées à chaque puits ne s’hybrident pas et les électrons ne peuvent changer de puits par effet tunnel. De plus, les interactions de Coulomb entre les électrons sont négligeables. À ν = 1, le premier niveau de Landau de chaque puits n’est qu’à demi-peuplé. L’absence d’interaction entre les puits nous amène à conclure qu’on ne peut observer l’EHQ dans ces conditions. À l’opposé, lorsque les puits sont très rapprochés, les fonctions d’onde de chacun s’hybrident et donnent naissance à un état symétrique et à un état antisymétrique séparé d’une énergie∆_SAS. Ces états sont délocalisés sur les deux puits. À fort champ magnétique, il devient possible pour tous les électrons de n’occuper que le niveau de Landau associé à l’état symétrique.

L’EHQ à ν = 1 est donc possible à fort couplage entre les puits. Ajoutons qu’à très fort couplage, le double puits se comporte comme un puits simple (∆_SAS À0) et les interactions électroniques n’influencent que très peu l’EHQ. Entre ces deux extrêmes, les mécanismes qui donnent naissance à l’EHQ àν= 1trouvent leur origine dans les interactions n-corps entre électrons. Notamment, même en absence d’effet tunnel, les interactions de Coulomb peuvent lever la dégénérescence des états des deux puits si la distance interpuits d est inférieure à une distance critique⁵. Les degrés de liberté propres aux doubles GE2D donnent ainsi naissance à un diagramme de phase particulier rapporté par plusieurs auteurs. [12—15] Nous reproduisons à la figure 5 celui présenté par Murphy et al.[15] Ezawa discute amplement de ce diagramme de phase et des divers mécanismes qui donnent naissance à l’EHQ dans les doubles puits quantiques.[1]

Considérons un double puits quantique qui présente l’EHQ à ν = 1 (d 6= 0, ∆_SAS 6= 0).

À ce remplissage légèrement plus qu’unitaire (ν = 1⁺), les électrons occupent tous les états du premier niveau de Landau symétrique des puits et certains occupent le niveau de Landau antisymétrique. Cette configuration est tout à fait analogue à celle décrite précédemment pour l’EHQ d’un puits simple. Cette fois cependant, les états en jeu ne correspondent pas au spin électronique mais à deux états résultants du confinement par les puits. Pour cette raison, il est intéressant d’utiliser une représentation basée sur la notion

5 On observe le même phénomène dans le cas du puits simple. En effet, comme le montre lafigure4, l’EHQ est présent même lorsque le facteur gyromagnétiqueg^∗est nul. Ce sont les interactions n-corps qui renormalisent g^∗(voir par exemple [11]).

depseudospinplutôt que sur l’indice de puits. L’état lié d’un des puits|Ricorrespond alors au pseudospin|↑i, l’état de l’autre puits|Lià|↓i, l’état symétrique à|→i= [|↑i+|↓i]/2et l’état antisymétrique à |←−i= [|↑i−|↓i]/2. Il devient alors évident que le système est le siège de phénomènes formellement comparables à ceux décrits précédemment pour le puits simple.

L’état fondamental du système à ν = 1 est complètement polarisé en |→i par l’énergie d’échange et ce, même pour ∆_SAS = 0. Cela veut dire que même en l’absence d’effet tunnel, on ne peut déterminer dans quel puits se trouve un électron. Ainsi, bien que le nombre d’électrons N_↑ +N_↓ soit connu, la différence N_↑ −N_↓ de peuplement des puits reste indéterminée. Nous sommes en présence d’un bris de symétrie de jauge comparable à celui présent dans la supraconductivité. À partir de ce principe, Wen et Zee[16] ont prédit l’existence d’une anomalie à tension d’excitation nulle dans le courant tunnel d’un échantillon présentant un ∆SAS 6= 0. De récents travaux par Spielman et al.[17, 18] ont

Figure 5 : Mesures expérimentales montrant l’absence de l’effet Hall quantique àν= 1pour un échantillon de plus forte densité électronique. En médaillon figure le diagramme de phase normalisé d−∆SAS. Les symboles pleins positionnent des échantillons qui présentent l’EHQ à ν = 1alors que les symboles vides correspondent à des échantillons pour lesquels l’EHQ à ν = 1 est absent. La courbe continue (pointillée) correspond à l’étoile pleine (vide) à l’extrême gauche de lafigure en médaillon. Tiré de Murphyet al.[15]

montré l’existence de ce phénomène très comparable à l’anomalie observée dans une jonction Josephson supraconductrice.

L’origine n-corps de l’EHQ à ν = 1 est également remarquablement démontrée par l’expérience réalisée par Murphy et al.[15], où un champ magnétique est appliqué parallèlement au GE2D (en plus du champ de quantification perpendiculaire). Le couplage du double GE2D avec le champ magnétique parallèle est un trait distinctif de ce système par rapport aux GE2D simples. Cette expérience, dont le résultat est reproduit à lafigure 6, a mis en évidence une transition de phase qui survient pour un champ magnétique parallèle relativement faible. L’effet du champ magnétique parallèle peut être modélisé par l’ajout d’un champ magnétiquefictif tournant dans l’espace et qui se couple au pseudospin⁶. Nous verrons que cette transition sépare une phase à bas champ dite commensurable, où le pseudospin s’aligne sur la rotation du champ fictif, et une phase dite incommensurable, où le pseudospin n’arrive plus à suivre le champfictif et restent tous alignés dans la même direction. Certains auteurs discutent également de la présence de défauts topologiques dans la phase incommensurable.[19]

6 Voir la page 36.

Figure 6 : Transition de phase de l’EHQ àν= 1causée par la présence d’un champ parallèle au GE2D. La figure présente l’énergie d’activation du minimum de résistivité àν= 1en fonction de l’angle d’inclinaison de l’échantillon par rapport au champ. La composante parallèle au GE2D du champ magnétique est B_k=Bcosθ. Le trait discontinu représente la variation attendue de l’énergie d’activation sans effet n-corps.

Tiré de Murphyet al.[15]

Dans notre cas, nous nous intéressons principalement aux excitations topologiques présentes dans le double puits près de ν = 1. Là encore, comme dans le cas du puits simple, l’interaction d’échange favorise la création d’une texture de pseudospin pour minimiser l’énergie à ν = 1⁺. La distance interpuits introduit une anisotropie dans l’amplitude des interactions de Coulomb. En effet, l’interaction de Coulomb entre un électron d’un puits et un électron de l’autre puits est forcément réduite par la distance interpuits par rapport à l’interaction de Coulomb entre électrons d’un même puits. Cette anisotropie modifie la nature des excitations topologiques qui porte le nom debiméronsdans le double GE2D⁷. Le biméron est topologiquement équivalent au skyrmion lorsque la distance interpuits est nulle.

Toutefois, alors que la charge et la texture de spin du skyrmion sont isotropes, la charge et la texture de spin du biméron sont anisotropes. En fait, on peut même dans certaines limites représenter le biméron comme un paire liée demérons, une autre excitation topologique du double GE2D.

Malgré les nombreux travaux théoriques sur le sujet, aucune expérience n’a, à notre connaissance, présenté la mesure d’une propriété spécifique des bimérons. En fait, c’est l’accord entre l’expérience de Murphy et al.[15] (figure 6) et les travaux théoriques sur la transition commensurable-incommensurable qui confirment les bases théoriques sur lesquelles l’existence des bimérons est fondée. Compte tenu de l’activité scientifique tant théorique qu’expérimentale entourant l’EHQ, la réalisation d’expériences équivalentes à celles de Barrettet al. et Maudeet al. adaptées au double puits quantique a une pertinence incontestable. Le principal obstacle à la réalisation de telles expériences provient du fait que, contrairement au couplage du spin électronique à la magnétisation, il est difficile de trouver une sonde expérimentale qui se couple au pseudospin. En effet, rappelons que le pseudospin représente une combinaison linéaire des états des sous-bandes électriques de chaque puits. Récemment, Côté[20] a montré que les modes de vibration du pseudospin peuvent être détectés par une expérience d’absorption optique. Nous avons donc envisagé la détection de modes de vibrations des cristaux de bimérons. Toutefois, cette expérience est très difficile à réaliser en pratique.

7 Voir les pages 33 et suivantes ainsi que lesfigures9et8.

Une expérience suggérant la mesure d’une anisotropie dans la conductivité longitudinale d’un double GE2D a été proposée par Moon et Mullen[21]. Cette anisotropie de transport serait due à l’anisotropie intrinsèque des bimérons mise en évidence par le passage de ces derniers à travers une constriction très étroite en présence d’un faible champ magnétique parallèle. Nos travaux expérimentaux portent principalement sur la conception et la réalisation du dispositif expérimental permettant la réalisation de l’expérience proposée par Moon et Mullen. Nous présentons également l’analyse des considérations théoriques complexes sous-jacentes à cette expérience et discutons de sa réalisation. Ces travaux d’analyse, de conception et de fabrication des dispositifs submicroniques ainsi que nos travaux expérimentaux de caractérisation de ces dispositifs constituent une contribution significative à l’avancement des connaissances dans ce domaine.

Nous proposons également l’étude de lacapacité grille-GE2D pour la mise en évidence des bimérons à ν = 1. Nous pouvons en effet considérer comme un condensateur le système formé des GE2D et d’une grille métallique placée en surface de l’échantillon. La grille forme l’une des plaques du condensateur et les GE2D l’autre. Une illustration simple du couplage entre le pseudospin et la capacité se base sur le fait que celle-ci est inversement proportionnelle à la distancep entre les plaques,C ∝p⁻¹. Un électron placé dans le puits le plus près de la grille de surface contribue donc à raison de (p−d/2)⁻¹ à la capacité alors qu’un électron du puits le plus éloigné de la surface contribue à raison de(p+d/2)⁻¹. Ainsi, malgré la symétrie du double puits, la contribution à la capacité des électrons de chacun des puits n’est pas équivalente. Le pseudospin décrivant justement la localisation des électrons entre les puits, on s’attend à ce que la texture de pseudospin se couple à la capacité grille-GE2D. Nous présentons à ce sujet une analyse théorique du problème ainsi que la réalisation d’un dispositif expérimental adapté à la mesure de la capacité grille- GE2D. Ces travaux ouvrent ainsi la voie de la détection des bimérons par l’intermédiaire de la mesure de la capacité grille-GE2D.

Le tableau 1 résume plusieurs aspects des excitations topologiques de l’EHQ dans les puits simples et les doubles puits quantiques.

Excitations topologiques à ν= 1

Puits quantique simple Double puits quantique Interactions de Coulomb isotropes Interactions de Coulomb anisotropes :

intrapuits6=interpuits Symétrie de l’hamiltonien : SU(2) Symétrie de l’hamiltonien :≤U(1)

Skyrmion Biméron

Base :|↑iet|↓i Base :|Riet|Li

Texture de spin électronique Texture de pseudospin : - Dépolarisation du spin - Texture dans la localisation

des électrons entre les puits - Texture isotrope de charge et de spin - Texture anisotrope de charge et de spin

Couplage à la magnétisation Couplage à la capacité Correspondance entre les expériences réalisées et proposées Expérience réalisée par Maudeet al.

(activation)

Expériences réalisées par Murphy et al.

(diagramme de phase et activation en champ parallèle) Expérience réalisée par Barrettet al.

(mesure de la polarisation par RMN)

Mesure de la capacité

(mesure de la polarisation du pseudospin) (aucun équivalent car la charge et la texture

de spin du skyrmion est isotrope)

Mesure de l’anisotropie de transport proposée par Moon et Mullen (caractéristique propre aux bimérons)

Tableau 1 : Tableau résumant les similitudes et différences entre les excitations du puits simple et du double puits à remplissage unitaire.

Les excitations chargées de l’effet Hall quantique à remplissage unitaire

Nous décrirons dans la section 3.2 les bases de l’effet Hall quantique du point de vue de l’expérimentateur. Ce premier chapitre adopte un point de vue davantage utilitaire de l’effet Hall quantique. La théorie qui sert à l’étude des excitations chargées de l’EHQ ne tient pas compte des mécanismes qui lui donnent naissance (ex. la ségrégation des états localisés et délocalisés). En fait, le champ magnétique sert uniquement à former des niveaux discrets fortement dégénérés (les niveaux de Landau) et la densité d’états qui les accompagne.

Nous ne nous intéresserons qu’aux deux premiers niveaux de Landau présents dans le système en considérant une densité d’états en delta de Dirac centrée sur ces niveaux. Ainsi, la théorie que nous présentons décrit l’effet des interactions entre électrons sur l’énergie d’un système bidimensionnel à deux niveaux.⁸ L’un des paramètres fondamentaux de cette étude est le facteur de remplissage ν qui, comme son nom l’indique, exprime le degré d’occupation des états par des électrons. Le facteur de remplissageν est donné par N/Nφ

où N est le nombre d’électrons et Nφ la dégénérescence des niveaux de Landau S/2πl²_⊥. Nous étudierons les excitations présentes près du remplissage unitaire (ν = 1), soit lorsque le niveau inférieur est complètement rempli et que le niveau supérieur est complètement vide. Nous nous limiterons dans ces pages à étudier un système de double puits où le clivage de spin électronique est supérieur au gap symétrique-antisymétrique (g^∗µ_BB >∆_SAS). À ν = 1 dans ce contexte, tous les électrons occupent le même état de spin (↓ dans le cas du GaAs). Le GE2D est donc complètement polarisé, éliminant ainsi de nos calculs tout nombre quantique associé au spin.

8 Ce chapitre est inspiré des notes et travaux de René Côté. [4, 6, 22]

1.1 Description Hartree-Fock des états cohérents du double puits

À remplissage unitaire (ν = 1), le gaz électronique est dans une phase liquide. Il n’existe aucune modulation de la densité électronique dans cette phase car tous les électrons siègent dans le niveau de Landau symétrique, l’état de plus basse énergie⁹. En s’éloignant légèrement du remplissage unitaire, par exemple ν = 1 +δ, certains électrons occupent les états du niveau de Landau antisymétrique. Sans interaction n-corps entre les électrons, le niveau symétrique aurait un remplissage 1 et le niveau antisymétrique, un remplissage δ. Si on tient compte des interactions entre électrons, un ordre peut s’établir dans le gaz électronique donnant naissance à de nombreuses phases «cristallines» ayant sur chaque site une excitation du GE2D. Ce sont ces phases cristallines, dites états cohérents, que nous désirons étudier car dans la limite où δ → 0, la maille cristalline diverge, conduisant à l’extinction des interactions entre les excitations du GE2D.

Hamiltonien et approximation Hartree-Fock

On pourrait procéder à ces calculs à partir des états symétriques et antisymétriques tel que le suggérait la discussion précédente. Toutefois, cette approche qui nécessite le calcul numérique des valeurs et fonctions propres du double puits nous priverait d’éléments intuitifs importants pour l’analyse des résultats. Ainsi, nous utilisons l’approximation des liaisons fortes avec comme fonctions de base les fonctions d’onde des puits pris séparément.

[22, 23]

Posons le potentiel de confinement du double puits symétrique comme la somme du potentiel de puits simples identiques décalés de part et d’autre de l’origine d’une distance

9 L’état ferromagnétique|−→−→...−→in’est l’état fondamental que pourd= 0dans le double puits. Cette considération ne modifie toutefois pas fondamentalement la discussion tant que d reste inférieur à une valeur critique d’environ1.5au-delà de laquelle le système ne présente plus d’effet Hall quantique et l’état ferromagnétique n’est plus l’état fondamental.

d/2telle que

V (z) =V_o(z+d/2) +V_o(z−d/2). (3)

Nous supposons connues les valeurs propresE_o,net les fonctions d’ondeχ_o,n(z)deV_o(z)¹⁰. Nous simplifions davantage en ne considérant que la première sous-bande électrique. On omet donc l’indicendans la suite des calculs. Cherchons maintenant les valeurs propres et fonctions propres de l’hamiltonien

H_o = P_z²

2m +V_o,R(z) +V_o,L(z) (4)

= P_z²

2m +Vo(z−d/2) +Vo(z+d/2), (5) en utilisant la combinaison linéaire

χ = αχ_o,R(z) +βχ_o,L(z), (6)

= αχ_o(z−d/2) +βχ_o(z+d/2), (7)

avecα²+β² = 1. Dans ce contexte, l’équation aux valeurs propres se réduit à un système d’équations linéaires

µ E_o−E+s (E_o−E)r+t (Eo−E)r+t Eo−E+s

¶ µ α β

¶

= µ 0

0

¶

, (8)

où r représente le recouvrement des fonctions d’onde des puits etset tdivers éléments de matrice du potentiel de confinement¹¹. Les solutions sont

10 On peut traiter comme une perturbation la présence d’un champ électrique en plus du potentiel du double puits en introduisant des valeurs propres différentes pour chaque puits de telle sorte que le champ électrique soit donné parEb= (ER,n−EL,n)/d(voir page 69 de la section 179). On considère toutefois les fonctions d’ondes χ_n(z) comme identiques dans chaque puits. Nous n’étudierons pas l’effet du biais sur les phases cristallines des excitations de l’EHQ.

11 On peut montrer quetest toujours négatif. Toutefois, pour simplifier la notation, nous omettrons d’utiliser explicitement|t|tout au long du texte.

E_(S,AS) = E_o∓ |t|

1±r + s

1±r, (9)

r = hχ_o(z+d/2)|χ_o(z−d/2)i, (10) s = hχ_o(z+d/2)|V⁰(z−d/2)|χ_o(z+d/2)i, (11) t = hχ_o(z+d/2)|V⁰(z+d/2)|χ_o(z−d/2)i. (12)

où nous utilisons E_S et E_AS pour désigner respectivement l’énergie de l’état symétrique et antisymétrique. Il est habituel de considérer l’approximation r → 0 et s → 0 pour simplifier les expressions. On obtient alors l’écart d’énergie entre les états symétrique et antisymétrique

∆_SAS =E_AS−E_S '2t. (13)

Le paramètre t est fondamental dans l’étude des phases des excitations de l’EHQ. Il est fonction de la distance interpuits d par l’intermédiaire du potentiel de confinement. En principe, pourddonné, il est donc possible de choisirV(z)de sorte à couvrir toute la gamme accessible det∼[0,(E_o,2−E_o,1)/2](voir lafigure 24). La réalité est évidemment tout autre principalement à cause des limitations des méthodes de croissance des hétérostructures.

Malgré cela, dans l’approche théorique que nous décrivons, nous considérons tetdcomme deux paramètres indépendants.

Nous connaissons maintenant l’expression de l’hamiltonien sans interaction Ho et de ses solutions. L’hamiltonien de seconde quantification complet prend la forme

H = H_o+H_e++H₊₊ (14)

+1 2

X

i,j

Z du

Z

du⁰Ψ^†_i(u)Ψ^†_j¡ u⁰¢

V ¡

u−u⁰¢ Ψj

¡u⁰¢

Ψi(u) (15)

où u = (x, y, z), i, j = R, L sont les indices de puits et V (u−u⁰) = e²/²|u−u⁰| est l’interaction de Coulomb dans un matériau de constante diélectrique². Les termes He+ et H++ sont respectivement les hamiltoniens d’interaction entre les électrons et les plans de dopants et entre les plans de dopants entre eux¹².

12 Précisons que nous considérons le système électriquement neutre, les électrons du GE2D étant fournis par

Comme nous nous intéressons aux modulations du GE2D dans le plan des puits et puisque nous considérons que seul le potentiel de confinement varie suivant z, nous exprimons les opérateurs de champΨ_i comme

Ψi(u) =χ_i(z)Φi(r), (16)

où r = (x, y). Φi est un opérateur qui détruit un électron du puits i à la position r. En introduisant cette expression dans l’hamiltonien d’interaction de Coulomb, on obtient pour ce terme

1 2

X

i,j

Z

dzχ^∗_i (z)χ_i(z) Z

dz⁰χ^∗_j¡ z⁰¢

χ_j¡ z⁰¢

(17)

× Z

dr Z

dr⁰Φ^†_i(r)Φ^†_j¡ r⁰¢

V¡

u−u⁰¢ Φ_j¡

r⁰¢

Φ_i(r) (18)

= 1 2

X

i,j

Z dr

Z

dr⁰Φ^†_i(r)Φ^†_j¡ r⁰¢

V_i,j¡ r−r⁰¢

Φ_j¡ r⁰¢

Φ_i(r), (19)

Pour ce faire, nous avons défini le potentiel d’interaction bidimensionnel de Coulomb V_i,j(r−r⁰)

V_i,j¡ r−r⁰¢

= 1 S

X

q

V (q)Λ_i,j(q)e^iq·(r−r0), (20) V (q) = 2πe²

²q . (21)

qui tient compte d’un facteur de forme Λi,j qui provient de l’étendue des fonctions d’onde suivant z

Λi,j(q) = Z

dzχ^∗_i (z)χ_i(z) Z

dz⁰χ^∗_j¡ z⁰¢

χ_j¡ z⁰¢

e^−q|z−z0|. (22)

L’évaluation de ce facteur de forme requiert le calcul de la fonction d’onde des puits.

Toutefois, comme il ne s’agit que d’un terme qui renormalise l’interaction coulombienne, nous préférons utiliser l’approximation triviale où les fonctions d’onde sont des fonctions

des plans de dopants situés de part et d’autre du double puits. Bien que ces termes ne soient pas essentiels à la formation des états cohérents, ils sont requis pour s’assurer que l’énergie du système neutre soitfinie.

Nous discutons de ces questions à la section 2.2.

deltaχ_R,L(z)≈δ(z∓d/2). Le facteur de forme devient Λ_i,j(q) =

½ 1 si i=j

e^−|q|d si i6=j . (23)

Nous disposons maintenant d’un hamiltonien «bidimensionnel» pour décrire l’énergie du gaz électronique. Toutefois, le terme coulombien est biquadratique dans les opérateurs de champ. Nous avons recours à l’approximation Hartree-Fock pour le simplifier à l’aide des appariements suivants :

Φ^†_i(r)Φ^†_j¡ r⁰¢

Φj

¡r⁰¢

Φi(r) → 2 D

Φ^†_i(r)Φi(r) E

Φ^†_j¡ r⁰¢

Φj

¡r⁰¢

(24)

−2D

Φ^†_i(r)Φ_j¡ r⁰¢E

Φ^†_j¡ r⁰¢

Φ_i(r) (25)

Cette forme est valide pour notre hamiltonien car nous sommons sur les indicei,jet parce que V est symétrique en q. L’approximation Hartree-Fock fait apparaître la combinaison D

Φ^†_i(r)Φi(r) E

(dite de Hartree) qui représente la densité électronique en r du puits i.

L’autre combinaisonD

Φ^†_i(r)Φj(r⁰) E

(dite de Fock) fait intervenir l’échange de particules à l’intérieur d’un même puits et entre les puits.

Nous avons maintenant besoin de la forme précise des opérateurs de champ que l’on exprime en fonction des étatshr|0, Xidu premier niveau de Landau¹³

Φ_i(r) =X

X

hr|0, Xic_X,i. (26)

L’opérateur c^†_X,i crée un électron dans le puits i de nombre quantique X (centre de la fonction d’onde dans la jauge de Landau). Définissons l’opérateur densité

ni,j(r) =Φ^†_i(r)Φj(r) (27)

13 En se limitant au premier niveau de Landau, nous négligeons les éléments de matrices hors-diagonaux des opérateurs que nous utilisons. De plus, d’autres auteurs ont montré que les excitations topologiques pour les niveaux de Landau supérieurs ne sont pas énergétiquement favorable.

dont l’expression dans l’espace réciproque est n_i,j(q) =

Z

drΦ^†_i(r)e^−iq·rΦ_j(r) (28)

= X

X,X⁰

h0, X|e^−iq·r¯¯0, X⁰®

c^†_X,ic_X0,j (29)

= X

X

e^{−i2qx(X+X0)}F00(−q)c^†_X,ic_X−qyl²

⊥,j (30)

= NφF₀₀(−q)ρ_i,j(q). (31)

Nous avons utilisé le fait que¹⁴ h0, X|e^−iq·r¯¯0, X⁰®

= e^{−2iqx(X+X0)}F00(q)δ_X,X0−qyl²_⊥ (32) F₀₀(q) = exp

µ−q²l_⊥² 4

¶

. (33)

Ce calcul nous a permis de définir ρ_i,j(q) = 1 N^φ

X

X

e^−iqxXe^iqxqyl2⊥/2c^†_X,ic_X−qyl²

⊥,j, (34)

un ensemble d’opérateurs fondamentaux pour notre étude. On peut montrer dans une approche semi-classique que­

ρ_i,i(r)®

correspond à la densité d’orbites cyclotrons au point r. Puisque nous désirons décrire des phases ordonnées du GE2D, il serait avantageux d’exprimer l’hamiltonien dans l’espace réciproque en fonction des ρ_i,j(q) qui représentent en fait les composantes de Fourier de la densité. En fait, comme nous le verrons, lesρ_i,j(q) vont jouer le rôle de paramètre d’ordre des différentes phases. Notons les propriétés de symétrie suivantes de ρ_i,j :

­ρ_i,j(−q)®

=­

ρ_j,i(q)®_∗

, ∀i, j. (35)

14 Nous considérons la situation où seul un champ magnétique perpendiculaire au GE2D est présent. Il est possible de faire le développement qui suit pour un champ quelconque.[22]

Procédons au passage du terme de Hartree de l’hamiltonien vers l’espace réciproque.

1 2

X

i,j

Z dr

Z dr⁰D

Φ^†_i(r)Φ_i(r)E V_i,j¡

r−r⁰¢ Φ^†_j¡

r⁰¢ Φ_j¡

r⁰¢

(36)

= 1 S

X

i,j

X

q

V (q)Λ_i,j(q) Z

dr Z

dr⁰D

Φ^†_i(r)Φ_i(r)E

e^iq·(r−r0)Φ^†_j¡ r⁰¢

Φ_j¡ r⁰¢

, (37)

= 1 S

X

i,j

X

q

V (q)Λ_i,j(q) Z

dre^iq·rhn_i,i(r)i Z

dr⁰e^−iq·r0n_j,j¡ r⁰¢

, (38)

= 1 S

X

i,j

X

q

V (q)Λ_i,j(q)hn_i,i(−q)in_j,j(q), (39)

= Nφ²

S X

i,j

X

q

V (q)Λ_i,j(q)F₀₀(q)F₀₀(−q)­

ρ_i,i(−q)®

ρ_j,j(q). (40)

Quant au terme de Fock, son expression dans l’espace réciproque est

−X

i,j

Z dr

Z dr⁰

D

Φ^†_i(r)Φj

¡r⁰¢E Vi,j

¡r−r⁰¢ Φ^†_j¡

r⁰¢

Φi(r) (41)

= −1 S

X

i,j

X

q

Λ_i,j(q)V (q) Z

dr Z

dr⁰D

Φ^†_i (r)Φ_j¡ r⁰¢E

e^iq·(r−r0)Φ^†_j¡ r⁰¢

Φ_i(r), (42)

= −Nφ

S X

i,j

X

q,p

Λi,j(p)V (p)F00(p)F00(−p)e^{−ip×ql2⊥}­

ρ_i,j(−q)®

ρ_j,i(q). (43)

où p×q=p_xq_y −p_yq_x. Quant à l’hamiltonien sans interaction, son expression est : H_o = Nφ

X

i

E_iρ_i,i(0)−Nφ

t 2

X

i

h

ρ_i,i(0) +ρ_i,i(0)i

, (44)

= NφE_o£

ρ_R,R(0) +ρ_L,L(0)¤

−Nφt£

ρ_R,L(0) +ρ_L,R(0)¤

. (45)

où i = L, R lorsque i = R, L et où le premier terme compte le nombre d’électrons dans l’état fondamental de chaque puits. Le second terme tient compte de la différence entre le nombre d’électrons dans les états symétrique et antisymétrique.

Définissons les potentiels adimensionnels d’interactions de Hartree et de Fock (avece²/²l_⊥ comme unité d’énergie) :