Espaces de tentes, principe de domination et application à l'étude de la densité de l'intégrale d'aire

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à l’étude de la densité de l’intégrale d’aire

Éric Labeye-Voisin

To cite this version:

Éric Labeye-Voisin. Espaces de tentes, principe de domination et application à l’étude de la densité

de l’intégrale d’aire. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1999. Français.

�tel-00000882�

Je tiens, tout d’abord, à remercier Jean Brossard pour avoir dirigé mes recherches aimablement et avec patience.

Je suis très reconnaissant envers Rodrigo Bañuelos et Richard Gundy pour avoir accepté de rapporter sur ma thèse.

Les remarques de Lucien Chevalier m’ont permis d’améliorer ce texte. Je l’en re-mercie. Sa participation au jury est pour moi un grand plaisir.

Pierre Bérard, André Goldman et Marc Yor me font l’honneur de participer au jury. Je leur en suis infiniment reconnaissant.

Je souhaite également remercier Arlette Guttin-Lombard pour sa gentillesse et la patience avec laquelle elle a saisi ce texte.

Mes remerciements vont enfin à tous mes amis qui par leur présence et leur sou-tien ont grandement participé à la réalisation de ce travail.

Table des matières

I Introduction

7

1 Présentation générale 9

2 Petit aperçu probabiliste 11

3 Présentation de la densité de l’intégrale d’aire 13

II Une fonction maximale associée aux espaces de tentes

17

0 Introduction 19

1 Les espaces de tentes de Coifman, Meyer et Stein 19

2 Quelques estimations surπ 23

3 La fonction maximale. Définition et propriétés 29

3.1 Les domaines1

r-lipschitziens :

L

r . . . 29

3.2 La fonction maximaleπ . . . 29

3.3 Inégalité de bon-λet applications . . . 31

3.4 Retour sur la définition deπ . . . 39

III Un principe de domination

41

IV Régularité de la densité d’intégrale d’aire

53

1 Présentation des résultats 55 2 Préliminaires 56 2.1 Une formule remarquable de Gundy et Bañuelos, Moore . . . 57

2.2 Application aux accroissements de la fonction densité d’intégrale d’aire . . . . 64

2.3 Le lemme de Garcia, Rodemich et Rumsey (G.R.R.) . . . 68

3 Étude en moyenne de la régularité de a ֏_Da_u 73

4 Étude ponctuelle de la régularité de a֏_Da_u 77

4.1 Résultats préliminaires . . . 78 4.2 Preuve du théorème 4.1 . . . 82

5 Étude de la régularité de u֏(Dau, a∈R) 84

Première partie

Introduction

1. Présentation générale 9

1. Présentation générale

Jusqu’aux années 80, la théorie de Littlewood-Paley et l’étude des espaces de Hardy Hp de fonctions harmoniques u dans le demi-espaceRn+1

+ utilisait principalement deux types de fonctionnelles :

– Des fonctions maximales (par exemple la fonction maximale non-tangentielle N u ou la fonction maximale de Hardy-Littlewood M f ) ;

– Des intégrales d’aire (par exemple la fonction intégrale d’aire de Lusin Au ou la fonction

g∗de Littlewood-Paley).

En 1983 Gundy [17], s’inspirant de la notion probabiliste de temps local, introduisit la densité de l’intégrale d’aire (Da_{u, a ∈ R)et le maximum de cette densité D}∗_u

₌

_sup

a∈R

Dau. Il montra

avec Silverstein [19] que cette dernière permet, au même titre que N u et Au, de caractériser les espaces de Hardy Hp_{, 0 < p < ∞, c’est-à-dire que : pour toute fonction harmonique u} « nulle en l’infini » les normes1_Lp_{, 0 < p < ∞ des trois fonctionnelles N u, Au et D}∗_{u sont}

équivalentes. Ce que l’on peut écrire sous la forme

kukHp déf∼ kN uk_p ∼ kAuk_p∼ kD∗uk_p, 0 < p <∞ (1)

les deux premières équivalences provenant des résultats bien connus de Burkholder, Gundy et Silverstein.

Pour ce faire, Gundy et Silverstein montrèrent une inégalité de distribution « faible » entre

D∗u et N u. Ce qui redonne de manière classique une partie des inégalités de normes Lp(1),

l’autre partie provenant de l’inégalité (Au)2 _{N u × D}∗_{u qui est une conséquence triviale}

des définitions de ces fonctionnelles. Ces résultats furent améliorés par Bañuelos et Moore [4] sous la forme d’inégalités de bon-λde type exponentielles et même sous-gaussiennes entre Au,

N u et D∗u sur des domaines plus généraux que le demi-espace : des domaines lipschitziens

deRn+1. Ceci leur permit d’en déduire des résultats de Logarithme Itéré (ce que (1) ne peut fournir) qui permettent d’estimer l’amplitude des oscillations d’une fonction harmonique dans la pointe des cônes où ces fonctionnelles sont infinies.

Le propos de ce travail est d’améliorer (1) dans une autre direction. Il s’agit d’estimer la dépendance en la fonction harmonique u des fonctionnelles u֏ _Da_{u, a∈} R. Cette question met le doigt sur un des aspects de la complexité de

Dau, a∈R et D∗_{u .}

Ces fonctionnelles présentent en effet une particularité par rapport aux autres utilisées jusqu’à présent (N u et Au par exemple) : elles ne sont pas sous-linéaires.

En fait, il n’existe pas de relation connue (égalité ou inégalité) ponctuelle (dansRn) reliant, par exemple, D∗_(u

₊

_{v) à D}∗_{u et D}∗_{v. Dans ce sens la densité de l’intégrale d’aire n’entre}

pas directement dans la panoplie des outils issus de la théorie des opérateurs de Calderón-Zygmund, même si ceux-ci jouent un rôle important dans son étude (cf. [11], [12]).

Il est dès lors intéressant, dans un premier temps, de considérer le comportement en norme de Da_{u− D}a_{v, a ∈Ret de le comparer à la norme de u − v. C’est ce que nous ferons au IV.5.}

1. Pour 0< p<1, ce n’est évidemment plus une norme mais simplement une distance. Nous commettons cet abus de langage pour ne pas alourdir inutilement le discours.

Mon principal résultat est ainsi une estimation en norme Lp_{, 0 < p < ∞ de la distance} uniforme entre deux applications densité d’intégrale d’aire a ֏ _Da_{u et a} ֏ _Da_{v associées à} deux fonctions harmoniques u et v. Plus précisément :

T Pour tout 0 < p < ∞, il existe une constante cptelle que pour toutes fonctions harmoniques u et v : sup a∈R|D a_u−Da_{v| p} cp  kukHp

₊

kvk_Hp 1 2 ku−vk 1 2 Hp 1∨ log  kukHp

₊

kvk_Hp ku − vkHp !1 2 . (2)

Pour aboutir à ce résultat nous suivrons Gundy et Bañuelos, Moore en transformant (cf. IV.2.1) l’étude des densités d’intégrale d’aire en celles de certaines fonctions tentes (cf. II.1) plus aisées à manipuler. Pour en faciliter l’étude nous introduisons au chapitre II une fonc-tion maximale adaptée à ces foncfonc-tions tentes pour laquelle nous obtenons une inégalité de bon-λde type sous-gaussienne (II.3.3). Nous en tirons une inégalité maximale sur les espaces de tentes. Dans le chapitre III, nous montrons un principe de domination qui se trouve au cœur de la preuve de l’inégalité (2). Il nous permettra (IV.5) de passer d’estimations « grossières » sur nos fonctionnelles à des inégalités de normes conduisant directement à (2). Les chapitres II et III peuvent se lire indépendamment des questions liées à la densité d’intégrale d’aire aux-quelles ils ne font pas appel. Chemin faisant, nous exploiterons les outils mis en place, pour étudier en moyenne la Hölder-continuité et les variations des fonctions a ֏ _Da_{u (IV.3). Nous} considérerons aussi ponctuellement (dansRn) ces problèmes de continuité (IV.4). Ce qui nous conduira à énoncer un résultat de logarithme itéré pour a ֏ _Da_{u. (La nature de ce résultat} étant très différente des résultats de logarithme itéré de Bañuelos et Moore.)

Ces résultats trouvent leurs origines en probabilité dans l’étude du temps local telle qu’elle s’est développée depuis les premiers travaux de Lévy jusqu’aux résultats plus récents de Barlow et Yor ([6]) dont (1) et (2) s’inspirent.

Cependant les résultats d’analyse réelle tels que (1) et (2), analogues de résultats proba-bilistes ne se déduisent pas en général de ces derniers. Et même si leurs preuves trouvent en partie leur inspiration dans les grandes lignes de ceux-ci, il n’existe pas de méthode de trans-fert permettant de transcrire de manière automatique les théorèmes et preuves probabilistes en théorèmes d’analyse. Les énoncés sont proches mais ils ne parlent pas des mêmes choses et les outils à disposition ne sont pas les mêmes. Les probabilités bénéficient de la souplesse of-ferte par des notions telles que les processus, les temps d’arrêt et le calcul stochastique. Toutes choses que l’analyse réelle ne nous permet pas (ou peu).

Dans la lignée des travaux de Burkholder et Gundy dans les années 70, un certain nombre de techniques ont été développées et utilisées par de nombreux auteurs pour obtenir des ré-sultats d’analyse à partir de réré-sultats probabilistes correspondants. Toutefois dans le contexte qui nous intéresse, ces techniques se heurtent à de sérieuses difficultés et ne semblent pas opé-ratoires. C’est pourquoi notre démarche se placera entièrement dans le domaine de l’analyse réelle.

Il m’a semblé important malgré tout de brosser rapidement un tableau des résultats pro-babilistes qui ont inspiré tout le travail de cette thèse (section 2). Puis dans un second temps (section 3) de présenter la définition de la densité d’intégrale d’aire et les principaux résultats connus la concernant.

2. Petit aperçu probabiliste 11

2. Petit aperçu probabiliste

Plaçons-nous dans le cadre d’un espace probabilisé filtré (Ω,

F

_{, (}

F

_t), P) sur lequel on

considère une martingale continue (Mt, t ∈R+)issue de 0.

À une telle martingale on associe les processus adaptés suivants : – M∗

t

=

sup s t

|Ms| le supremum de |M | sur [0, t ] ;

– hM it la variation quadratique de M sur [0, t ] qui est aussi le processus croissant prévi-sible tel que M2

t − hM it, t ∈Rsoit une martingale (décomposition de Doob-Meyer) ; – La

t(M ), a ∈ Rle temps local en a à l’instant t de la martingale M . Il correspond à la désintégration dite « formule de densité d’occupation »

✁ t 0 f (Ms)dhM is

=

✁ R d a f (a)Lta (3)

valable pour toute fonction borélienne positive f ; – L∗

t (M )

=

sup a∈R

L_ta(M ) le maximum du temps local de M à l’instant t .

Un théorème de Trotter nous assure qu’une version bi-continue de (a, t )֏_Ltaexiste. C’est avec cette version que l’on travaille usuellement.

Depuis longtemps le parallèle a été fait entre le comportement des fonctionnelles N u (resp.

A2u) en analyse et le comportement des processus M∗(resp. hM i) en probabilité. On sait par exemple depuis longtemps que M∗_{et hM i}12 vérifient des propriétés d’intégrabilité similaires

et notamment que pour tout 0 < p < ∞

kM_∞∗kp∼ khM i

1 2

∞kp (4)

ce qui conduit comme en analyse à la construction d’espaces

H

_pde martingales continues

(nulles en 0). C’est avec ce lien à l’esprit que Gundy introduisit en 1983 la densité d’intégrale d’aire en analyse (comparer à cet effet les formules (3) et (21)).

Nous allons essayer de donner ici un bref aperçu des propriétés « essentielles » du temps local. Évidemment notre vision de l’essentiel semblera arbitraire à un probabiliste. Elle est gou-vernée par les limites naturelles que fixe le cadre de cette thèse : nous ne nous intéresserons qu’aux propriétés ayant obtenu une contrepartie en analyse, omettant ainsi un grand nombre des résultats se rapportant au temps local.

Le premier de ces résultats est une formule due à Tanaka qui exprime le temps local (La t, t ∈ R+)_{, a ∈} Rcomme étant le processus croissant prévisible intervenant dans la décomposition de Doob-Meyer de la sous-martingale continue (|Mt − a|, t ∈R+). Plus précisément

|Mt − a| − |M0− a|

=

✁ t 0 sgn(Ms − a)dMs

+

Lta (5) et aussi (Mt − a)+− (M0− a)+

=

✁ t 0 ✂ ]a,+∞[(Ms)d Ms

+

1 2L a t .

Cette formule est à rapprocher de la formule de Gundy et Bañuelos, Moore (section IV.2.1). Outre qu’elle permet de généraliser la formule d’Itô au cas des fonctions convexes, elle présente

un grand intérêt technique puisqu’elle permet de déduire nombre de propriétés des processus croissants La _{: t ֏L}a

t de celles des martingales c Ma : t ֏ ✁ t 0 sgn(Ms− a)dMs.

Ainsi par exemple Barlow et Yor ([7]) ont-ils montré que L∗_{pouvait conduire à une nouvelle}

caractérisation des espaces

H

_pde martingales continues nulles en 0, c’est-à-dire que

kL∗_∞kp∼ kM_∞∗kp∼ khM i

1 2

∞kpdéf∼ kM kH_p (6)

pour tout 0 < p < ∞. Le résultat (1) de Gundy, Silverstein est un analogue de (6) en analyse. Dans un autre ordre d’idée, on sait que L0_{fournit aussi un moyen de caractériser (presque}

sûrement) la convergence de Mt quand t tend vers l’infini. Plus précisément les assertions suivantes sont presque sûrement équivalentes

                     i) limt→∞Mt existe ii) M_∞∗<

₊

_∞ iii) hM i∞ <

+

∞ iv) L∗_∞<

₊

_∞ v) L0_∞<

₊

_∞. (7)

À nouveau ces résultats peuvent être comparés à ceux de Calderón, Stein (pour les caracté-risations ii) et iii)) et Brossard [8] (pour les caractécaracté-risations iv) et v)) en analyse.

Les problèmes auxquels nous allons nous intéresser dans cette thèse s’inspirent de résultats sur la régularité du temps local tant par rapport à sa variable d’espace (a ici) que par rapport à la martingale dont il est issu. Ils sont dus à Barlow et Yor ([7] et [6]) et à Mc Kean et Ray pour les résultats de logarithme itéré. Si pour E un espace de Banach, et pour toute application

f :R_{→ E ,}α>0 et d > 0 on note :

Hα(f )

=

sup

a,b∈R

| f (a) − f (b)|E |a − b|α

son module deα-Hölder-continuité

Vd(f )

=

sup  n k=1 | f (ai)− f (ai+1)|dE 1 d _{| n ∈N et a} 1<a2<· · · < an+1  sa d-variation.

Alors pour tout 0 < p < ∞ et tout 0 <ε< 1₂et d > 2

H1 2−ε (L•(M )) _p cp,ε (M_∞∗) 1 2+ε p (8) et Vd(L•(M )) _p cp,d M_∞∗ _p (9)

3. Présentation de la densité de l’intégrale d’aire 13

où ici L•_{(M ) est entendu comme application}

R -_{→ L}∞(R)

₌

E a 7-_{→ (Lt}a_{, t ∈}R) (8) exprime le caractère presque 1

2-hölderien, 1

2 −ε-hölderien pour tout 0 <ε < 1

2 en fait, du

temps local a ֏_La(M ).

Ce caractère presque 1

2-hölderien était déjà en partie connu puisque Mc Kean Jr et Ray

(cf. [20], p. 65) donnèrent dans les années 60 le comportement « infinitésimal » précis des trajectoires « spatiales » a֏_La(M ) du temps local d’une martingale, c’est-à-dire que

lim ε→0 a,b∈supR |a−b|<ε |Lbt(M )− Lta(M )| q |b − a| log_|b−1_a|

=

2 q L_t∗(M ) presque sûrement (10) et pour tout a ∈R lim ε→0sup |La+ε t _q(M )− Lta(M )| εlog log1 ε

=

2 q L_t∗(M ) presque sûrement. (11)

Nous obtiendrons des analogues de (8) et (9) au IV.3 et des résultats dans l’esprit de (10) et (11) au IV.4. Pour ces derniers, une différence sensible existe puisque nous trouverons les limites correspondantes en analyse nulles presque partout...

Le principal résultat auquel nous allons nous intéresser est l’équivalent d’un autre résultat de Barlow et Yor [6].

Il porte sur la façon dont le temps local (La_{(M ), a ∈R)dépend de la martingale M . Nous} savons déjà que (comme en analyse) cette dépendance est complexe et peu susceptible d’être estimée directement. Barlow et Yor obtiennent grâce à la formule de Tanaka et à la puissance du calcul stochastique une estimation en norme des différences L•_{(M )− L}•_{(N ). Celle-ci}

per-met ainsi d’évaluer dans un certain sens la convergence de L•_{(N ) vers L}•_{(M ) lorsque N tend}

vers M .

Plus précisément, leur résultat peut s’énoncer comme suit : pour toutes martingales conti-nues M , N et tout 0 < p < ∞, il existe une constante cpne dépendant que de p telle que :

sup a∈R t ∈R+ |Lta(M )− Lta(N )| _p (12) cp kM∗kp

+

kN∗kp
1 2 (_M− N )∗ 1 2 p  1 ∨ logkM∗kp

+

kN∗kp k(M − N )∗_kp 1 2 .

L’obtention d’une estimation similaire au IV.5 est la principale motivation du travail qui suit.

3. Présentation de la densité de l’intégrale d’aire

Plaçons-nous dans le cadre du demi-espace euclidienRn₊+1

₌

Rn_{×]0, ∞[ dont nous} iden-tifierons le bord∂Rn+1

+

=

R

n_{× {0} àR}n_{et dont on notera un point générique sous la forme de} z

=

(x, y) avec x ∈Rnet y > 0 et quelquefois (s, t ) avec s ∈Rnet t > 0. À toutα>0 et à toute

compact) on associe de manière classique les fonctionnelles suivantes : pour toute fonction u sur le demi-espace, et toutθ∈Rnon définit les fonctions maximales non-tangentielles

Nαu(θ)

=

sup

z∈Γα(θ) |u(z)| (13)

où Γα(θ)

=

z

=

(x, y)∈Rn_×R+_{| |x −}θ_{| <}αy et les « intégrales d’aires »

Aαu(θ)

=

✁ Γα(θ) y1−n∇u(x, y)2d x d y 1 2 (14)

et des versions plus « lisses » :

Aϕu(θ)

=

✁ yϕy(θ− x)∇u(x,y)2d x d y 1 2 (15)

oùϕy(x)

=

y−nϕ x_y
((14) correspondrait donc au casϕ

=

✂

B(0,α)).

Ces fonctionnelles ont été étudiées de manière intensive depuis déjà quelques décennies, et ont participé au développement des espaces de Hardy Hp_{, 0 < p < ∞ en analyse réelle.} Toutes deux conduisent à des caractérisations équivalentes de ces espaces en terme d’exten-sion harmonique grâce aux inégalités de Burkholder-Gundy-Silverstein :

cpkN ukp kAukp cpkN ukp

valable pour tout 0 < p < ∞ et toute fonction u harmonique sur le demi-espace s’annulant à l’infini.

Ce n’est que depuis le début des années 80, et l’introduction par Gundy de la densité d’in-tégrale d’aire, qu’une quatrième approche des fonctions harmoniques surRn+1

+ et donc des espaces Hp_{s’est développée. De par la nature même de ce nouvel outil, cette approche diffère} sensiblement des approches historiques basées essentiellement sur trois types d’instruments

– les transformées de Riesz – les fonctions maximales – les fonctions quadratiques

dont (13) et (14) sont respectivement des exemples adaptés au cadre que nous nous sommes fixé. Le premier résultat important fut l’obtention par Gundy et Silverstein [19] d’une caracté-risation équivalente des espaces Hp_{par la densité de l’intégrale d’aire.}

Nous suivons donc ces auteurs, et introduisons pour tout r ∈ R,_{θ ∈} Rn et_α > 0, u

harmonique Dαru(θ)

=

✁ Γα(θ) y1−n∆(u− r)+_{(d z)} (16) e t Drϕu(θ)

=

✁ yϕy(θ− x)∆(u − r)+(d z) (17)

les densités d’intégrales d’aire correspondant respectivement aux versions (14) et (15) de l’in-tégrale d’aire.

3. Présentation de la densité de l’intégrale d’aire 15

Ainsi que les densités maximales associées

Dα∗u(θ)

=

sup r∈R Drαu(θ) (18) D∗ϕu(θ)

=

sup r_∈R Dϕru(θ). (19)

Notons que la sous-harmonicité de (u −r)+_{fait de ∆(u −r)}+_{(d z) au sens des distributions une} mesure de Radon positive surRn₊+1ce qui assure que (16)–(19) sont bien définies et à valeurs dans [0,

+

∞].

L’origine du nom de ces fonctionnelles, analogues du temps local probabiliste (cf. 2), pro-vient de la formule de densité d’occupation dont une forme générale est la suivante [19]

✁ Rn+1 + ψ(z) f (u(z))|∇u(z)|2d z

=

✁ ∞ −∞ d r f (r ) ✁ Rn+1 + ψ(z)∆(u− r)+(d z) (20)

valable pour ψ et f fonctions boréliennes positives respectivement sur Rn+1

+ et Ret deux formes plus particulières :

i) (Aϕu(θ))2

=

✁ ∞ −∞ d r Drϕu(θ) (21) ii) ✁ Rn+1 + yϕy(θ− x) f (u(z))|∇u(z)|2d z

=

✁ ∞ −∞ d r f (r )Dϕru(θ).

(20) et (21) expriment les densités d’intégrales d’aire comme des décompositions de l’intégrale d’aire selon les surfaces de niveau de u.

Il est à noter, même si nous n’en n’aurons pas l’usage, que la décomposition de l’intégrale d’aire par la formule de co-aire des géomètres [14] conduit à la définition alternative

e Dϕru(θ)

=

✁ {u=r} yϕy(θ− x)|∇u(z)|σr(d z) (22)

(voir [8] et [19], [18] pour l’équivalence de ces deux définitions et les problèmes que cela pose) oùσrdésigne la mesure de surface sur l’hypersurface de niveau {u

=

r}.

Il apparaît très clairement au vu des définitions (16)–(19) et (22) que l’on ne peut espérer estimer simplement Dr_(u

+

v)(θ)ou D∗_(u

₊

_{v)(θ)à partir de a} ֏ _Dau(θ), a ֏ _Dav(θ) et D∗_{u(θ), D}∗_{v(θ)car si on peut retrouver la mesure ∆|u}

₊

_{v− r|(dz) à partir des mesures}

∆_{|u−a|(dz) et ∆|v −b|(dz), (a, b) ∈}R2l’intégrale sur un ensemble Ω de la mesure ∆|u

₊

_v−r| ne peut pas s’exprimer à partir des intégrales sur Ω des mesures ∆|u − a|(dz) et ∆|v − b|(dz), (a, b) ∈ R2. C’est là une des difficultés essentielles que l’on rencontre dans l’utilisation de ces fonctionnelles, et l’une des principales différences avec les fonctions maximales et quadra-tiques qui elles sont sous-linéaires (par exemple N (u

+

v) N u

+

N v).

Dès le début des années 80, Gundy [17] s’est attaché à montrer, à travers des inégalités de normes du type

kD∗ukp ∼ kAukp ∼ kN ukp, 0 < p <∞ , (23)

que la densité maximale de l’intégrale d’aire permettait d’obtenir une nouvelle caractérisation des espaces Hp_{. Comme bien souvent, c’est dans le demi-plan que furent obtenu les premiers}

résultats [17]. La démonstration s’appuyait fortement sur le résultat probabiliste de Barlow, Yor [6] et ne pouvait se généraliser en dimension supérieure. Une autre démonstration vit donc le jour en 85 [19] qui en n’utilisant que des arguments d’analyse réelle conduisit aux inégali-tés (23) dansRn+1

+ . Elle ne fournissait malheureusement pas d’inégalité de bon-λentre D∗u et

N u ou Au.

Dans les années qui suivirent d’autres résultats achevèrent de mettre la densité d’intégrale d’aire sur un pied d’égalité avec N u et Au. Dans un premier temps, il y eut les travaux de Bros-sard et Chevalier [9] qui établirent une caractérisation de la classe L log L comme sous-espace de H1_{au moyen de la condition :}

✁

Rn

D0u(x) log+D0u(x) d x <∞ (24)

(ici u désigne l’extension harmonique d’une fonction f ∈ H1_{). Brossard obtint aussi un}

ré-sultat du type théorème de Calderón-Stein reliant en presque tout point deRn l’existence de limite non-tangentielle à la finitude de la partie basse de la densité de l’intégrale d’aire en 0 (cf. [8]).

Puis au début des années 90, Bañuelos et Moore [5] étendirent les résultats de Gundy-Silverstein (23) en prouvant des inégalités de bon-λde type exponentielles et sous-gaussiennes entre Au, N u et D∗_{u sur}Rn+1

+ mais aussi sur des domaines lipschitziens. De tels résultats re-donnent de manière classique les inégalités de norme (23) mais aussi plus généralement : pour tout domaine lipschitzien W et toute fonction croissante modéréeφtelle queφ(0)

₌

0

✁ ∂W φ(D∗u) dσ _∼ ✁ ∂W φ(Au) dσ _∼ ✁ ∂W φ(N u) dσ. (25)

Et leur permit aussi de prouver un résultat de Logarithme Itéré inspiré par un résultat probabi-liste analogue dû à Kesten.

Deuxième partie

UNE FONCTION MAXIMALE

ASSOCIÉE AUX ESPACES DE TENTES

0. Introduction 19

0. Introduction

Nous introduisons dans cette partie, un grand nombre des outils qui nous seront néces-saires par la suite. Il s’agit tout d’abord (cf. 1) des espaces de fonctions « tentes » Tp_(Rn+1

+ ), 0 < p < ∞ de Coifman, Meyer et Stein [13] et d’un opérateur

π: Tp_(Rn+1

+ ) -→ H p_(Rn₎

pour lequel on rappelle un lemme d’intégrabilité exponentielle dû à Chang, Wilson, Wolff [10] et Bañuelos, Klemes, Moore [2], [3], [23]. Dans un second temps (cf. 2) nous développerons quelques lemmes techniques en rapport direct avec l’opérateurπ. Note but dans ce chapitre est de mettre en place des outils qui nous permettront de faire jouer à ces fonctions tentes un rôle similaire à celui des intégrales stochastiques en probabilité. Leur utilisation ne sera cependant pas aussi souple, ni aussi performante.

Dans cette optique, il est naturel de vouloir construire une fonction maximale semblable au processus maximal M∗

t

=

sup s t

|Ms| associé en probabilité à toute martingale continue M (et donc à toute intégrale stochastique). La fin du chapitre est dévolue à l’introduction de notre analogueπet à la démonstration de ses premières propriétés. Cette fonctionnelle fait interve-nir la valeur deπpour un ensemble non dénombrable de fonctions tentes (i.e. un ensemble non dénombrable de classes de fonctions des espaces de Hardy Hp_{, 0 < p < ∞).}

Nous serons donc obligé de faire des choix cohérents de représentants dans les classes de fonctions des espaces Hp_{, 0 < p < ∞. Ce sera avec ces représentants que nous travaillerons} dès lors. Nous démontrerons une inégalité de bon-λde type sous-gaussienne pourπet A. Nous en déduirons certaines propriétés d’intégrabilité pour le rapport π

A dont nous aurons l’usage au IV.4. Comme autre application de cette inégalité de bon-λ, nous montrerons une inégalité maximale dont nous ferons un usage important par la suite.

1. Les espaces de tentes de Coifman, Meyer et Stein

Commençons par préciser quelques notations. Dans toute la suite :

– on utilisera les notations (x, y) et (s, t ) pour désigner des points génériques deRn+1

+

=

Rn_×R∗

+(où l’on convient que x et s appartiennent àRnet y, t sont des réels strictement positifs).

– θdésignera un point deRnque l’on identifie avec le bordRn_{× {0} de}Rn₊+1. et pour toutα∈R+et tout intervalle I deR+on notera (cf. figure 1)

ΓI_α(x, y)

=

n(s, t )∈Rn+1

+ | |s − x| <α(t − y) et t ∈ I o

.

(26)

la tranche de cône de sommet (x, y) et d’ouvertureα. De même on notera : – pour tout borélien Ω deRn+1

+ : Ω

I

=

Ω_{∩ (}Rn_{× I ) ;} – pour toute fonction tente F : FI_(z)

Rn+1 + R+ Rn I y 0 x Γ_αI(x, y) Figure 1

Soit m ∈ N. À toute application F : Rn+1

+ → R

m _{localement intégrable on associe son} intégrale d’aire AαI(F ,θ)

=

  ✁ ΓI α(θ) d s dt t1−n|F (s, t )|2   1/2 ∈ [0,

+

∞]. (27)

où |F (s, t )| désigne la norme euclidienne dansRm. Soient r ∈R∗

+etφ∈

C

∞(R

n_,Rm₎ suppo-sés fixés dans la suite et tels que :

   − Supp(φ)

₌

θ_∈Rn _|φ(θ)≠0 _{⊂ B(0, r)} − _Rnφ(θ)dθ

=

0 . (28) L’écritureπI

φ(F ,θ)désignera alors la fonction deθ∈Rn:

π_φI(F ,θ)

₌

✁ Rn d s ✁ I dtφt(θ− s) · F (s, t )

=

✁ ΓI r(θ) d s dtφt(θ− s) · F (s, t ) (29) oùφt(s)

=

t−nφ _s t 

est à support dans le cône Γr(0) etφt(θ− s) · F (s, t ) désigne le produit scalaire dansRm deφt(θ− s) et F (s, t ). On notera aussi à l’occasion pourθ ∈ Rn et z

=

(x, y)∈Rn+1

+ :φθ(z)

=

φy(θ− x).

Il est clair qu’une telle fonction ne peut être bien définie a priori que pour des F et I parti-culiers (par exemple F ∈

C

_c∞(Rn+1

+ ,R

m_{)ou I compact de ]0,}

+

∞[).

Pour alléger les notations on conviendra que par défaut les valeurs deαet I sont respec-tivement 1 et ]0,

+

∞[ (i.e. A(F ,θ)désignera A]0,+∞[

1 (F ,θ)). On omettra aussi de rappeler la

dépendance enφdeπquand il n’y aura pas d’ambiguïté (i.e.π(F ,θ)désigneraπ]0,+∞[

φ (F ,θ)).

Dans toute la suiteφsera supposée vérifier les hypothèses présentées ci-dessus et F sera toujours au moins localement intégrable même si on ne le reprécise pas.

Dans les chapitres suivants, nous utiliserons essentiellement cet opérateur pour F (z) de la forme b(z)∇u(z) où b ∈ L∞₍Rn+1

1. Les espaces de tentes de Coifman, Meyer et Stein 21

amené à remplacer (quoiqu’imparfaitement) dans notre contexte les intégrales stochastiques par rapport à la martingale Mt

=

u(Bt). De tels opérateurs ont déjà été étudiés et on peut remarquer avec Gundy [18] (voir [29], chap. IV-6 aussi) que si F (s, t )

=

∇u(s, t ) avec u

exten-sion harmonique àRn+1

+ de f ∈ L2(Rn), alorsπφ vu comme opérateur agissant sur f (i.e.

Tφf (·)

=

πφ(∇u, ·)) est un opérateur d’intégrale singulière invariant par translation dont le

multiplicateur de Fourier mφ(ξ)est homogène de degré 0 (c’est-à-dire Tφf (ξ)

=

mφ(ξ) ˆf (ξ)

avec mφ(λξ)

=

mφ(ξ)pour toutλ>0). En fait

mφ(ξ)

=

✁

∞ 0

dt ˆφ(tξ)_{· (i}ξ,−|ξ|)e−t|ξ|.

On retrouve ainsi l’opérateur identité sur L2_(Rn_{)et les transformées de Riesz si on fait le bon} choix de noyauφ

=

(φ1, . . . ,φn+1)(par exemple pour j ∈ h1, n

+

1i, le choix de :φi ≡ 0 si i≠ _{j et}φjradiale donne Tφ

=

cRjsi j n et Tφ

=

c Id si j

=

n

+

1) ([18], pp. 18 à 30).

Ces notations s’inspirent de l’article de Coifman-Meyer-Stein [13] où les auteurs définissent des espaces notés Tp_{(« tent spaces »), associés à la version de l’intégrale d’aire que nous allons} utiliser, qui généralisent les espaces Hp_{habituels. Ils notent donc}

Tp

=

nF :Rn+1 + -→R m | Aα(F )∈ Lp(Rn) o , 0 < p <∞ (30)

et le munissent de la norme kF kTp

₌

kA_α(F )k_p. Cet espace ne dépend pas de l’ouvertureα du cône de référence et pour deux ouvertures de côneα,βdistinctes les normes associées sont équivalentes

(i.e. kAα(F )kp c(α,β, p)kAβ(F )kp, ∀α,β, p∈]0,

+

∞[) (31)

Les auteurs montrent de plus que pour n

n+1 < p <

+

∞ l’opérateur que nous avons notéπφ

s’étend en un opérateur linéaire de Tp_{sur H}p_{(rappelons que grâce à l’inégalité maximale H}p s’identifie avec Lp_{pour 1 < p < ∞).}

En fait, si on suppose des propriétés d’annulation supplémentaires àφon peut obtenir de telles extensions pour p n

n+1. Plus précisément, si pour N ∈N,φvérifie

  

xγφ(x)

=

0 pour tout multi-indice

γ

₌

(γ1, . . . ,γn)∈Nn tel que|γ|

=

γ1

+

· · ·

+

γn N . (32)

Alorsπφs’étend aussi en un opérateur linéaire de Tpsur Hppour tout p > _n+Nn₊₁ (cf. [13] et

[29], chap. IV.6).

Quelques remarques préliminaires sur la définition deπφsont nécessaires. Comme l’ont

montrés Coifman, Meyer et Stein, l’opérateurπφ n’est avant tout bien défini que sur l’espace

Tc des fonctions localement intégrables F : Rn₊+1 → Rm qui sont à support compact. Pour voir que cet opérateur s’étend en un opérateur borné de Tp_{sur L}p_{, 1 < p < ∞ les auteurs}

remarquent que Tcest dense dans Tpet que pour tout g ∈ Lp ′ , 1 p

+

1 p′

=

1 et F ∈ Tc∩ Tpon a ✁ Rn πφ(F ,θ)g(θ)dθ

=

✁ R₊n+1 F (x, y)φy ∗ g(x) dx dy

=

✁ Rn+1 + y F (z)· G(z) dz où G(z)

=

1 yφy ∗ g(x) cr ✁ Rn

dθAr(F ,θ)Ar(G,θ) (cf. lemme 2.3 pour les détails) crkAr(F )kpkAr(G)kp′

cφ,pkAr(F )kpkgkp′,

par un résultat classique de la théorie des intégrales singulières à valeurs vectorielles (cf. [28]). Ainsi kπφ(F )kp cφ,pkF kTppour F ∈ Tc. Ce qui permet d’étendreπφen un opérateur borné de Tp_{à valeurs dans L}p_{(1 < p < ∞).}

L’existence de cette extension n’assure pas a priori que l’on puisse écrire et manipuler se-reinement une formule comme φθ(z)· F (z) dz pour tout F ∈ Tpetθ ∈ Rn. C’est-à-dire

que cette écriture sous forme d’intégrale n’est qu’une notation : en effet cette intégrande n’est pas en général absolument intégrable et le procédé utilisé pour construire cette intégrale ne lui donne un sens qu’en tant que classe de fonctions dans les espaces Lp_{, 1 < p < ∞ et donc pas} en tout pointθdeRn(en presque tout point seulement).

Dès lors, toute notion faisant intervenir les valeurs deπφpour une famille non

dénom-brable de fonctions tentes ne peut avoir de sens (ponctuel, presque partout ou dans les es-paces Lp_).

Par exemple, si

L

_{est un ensemble non dénombrable de parties de}Rn+1

+ , et F ∈ S 1<p<_∞ Tp l’application Rn -_→R θ₇-_{→ sup} V∈L πφ(F ✂ V,θ) est mal définie.

Nous verrons dans la section 3.2, en application des résultats du § 2, que pour F ∈ S

0<p<∞

Tp

la fonctionφθ(z)· F (z) est en fait absolument intégrable loin du bord.

Nous exploiterons alors la régularité enθ, que ce résultat implique, pour donner un sens ponctuel à l’image parπd’un grand nombre de fonctions tentes (celles qui dans un certain sens sont nulles au voisinage du bord, cf. 3.2). Nous pourrons alors manipuler en même temps des familles non dénombrables de fonctions tentes et construire notre fonction maximale.

Pour étudier les propriétés d’intégrabilité de cette fonction maximale nous aurons besoin de contrôler correctement le comportement local deπ. À cet effet, rappelons un résultat d’in-tégrabilité exponentielle de la partie basse deπ dû à Chang, Wilson, Wolff [10] et Bañuelos, Klemes, Moore (cf. [2], [3], [23]).

P 1.1 (cf. [23] par exemple) Soitα> 32r. Pour toutβ> 0, il existe c₁et c2deux

2. Quelques estimations surπ 23 tente F on ait 1 |Q| ✁ Q dθexpπ]0,βℓ(Q)](F ,θ)_{− c1}A]0,α βℓ(Q)](F ,θ)2  c2

oùℓ(Q) désigne la longueur des côtés du cube Q.

Ce résultat est très proche de l’inégalité probabiliste E hexp(Mt − 1₂hM it) i

1 vérifiée par toute martingale continue M . La démonstration fait d’ailleurs appel aux probabilités et consiste à approcherπ]0,1](F ,·) par des martingales dyadiques (cf. [10], [2]).

Nous utiliserons ce résultat pour montrer, entre autre, une inégalité de norme entreπet A du même type que celle très connue de Davis qui en probabilité permet d’évaluer la meilleure constante dans les inégalités existant entre les différentes normes qui sont associées aux es-paces Hp_{, 0 < p < ∞ de martingales continues.}

À savoir kM∗_k

p cpkhM i1/2kppour M ∈ Hp avec cp

=

O(√p) quand p → ∞. Avant d’aborder ces résultats nous allons d’abord établir quelques lemmes de facture classique.

2. Quelques estimations sur

π

Les deux premiers lemmes nous seront utiles tout au long des chapitres à venir : il nous simplifieront la manipulation et l’estimation ponctuelle des valeurs deπ(F ,·).

Le lemme 2.3 est un résultat de dualité entre Tp _{et T}q _{pour 1 < p < ∞ et} 1

p

+

1

q

=

1 dû à Coifman, Meyer et Stein [13]. Il a déjà été utilisé (cf. définition des espaces de tentes). Le lemme 2.4 et son corollaire ne nous serviront que dans ce chapitre. Ils vont nous permettre (cf. 3) de définir ponctuellementπ(F ,θ)en toutθ∈Rnpour une famille suffisamment grande de fonctions tentes. Nous en déduirons un choix cohérent de représentants (dans les classes de

Hp) pour les images parπdes fonctions tentes. Notations.

Pour D ⊂ Rn+1, nous noterons dans toute la suite y_Dla borne inférieure de la projection orthogonale de D ∩Rn+1

+ sur l’axe des ordonnées. C’est-à-dire

yD

=

infy > 0| ∃x ∈Rn; (x, y) ∈ D et aussi

yD(θ)

=

yD∩Γr(θ). Ici, et dans la suite, on désignera par fonction1

r-lipschitzienne toute fonction f :Rn →Rtelle que :

| f (x) − f (y)| 1

r|x − y|, ∀x, y ∈R n_.

L 2.1 Il existe une constante c ne dépendant que deφet n telle que pour toute fonction tente F ✁ Rn+1 + |φy(θ− x)| |F (x, y)| dx dy c Ar(F ,θ) ✁ Γr(θ)✂ Supp(F)(x, y) d x d y yn+1 !1/2 .

Démonstration. C’est une conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz et du fait que kφyk∞

=

y−nkφk∞ et Supp(φθ(·))

=

Γr(θ). ✁ Rn+1 + |φy(θ− x)| |F (x, y)| dx dy   ✁ Rn+1 + y|φy(θ− x)| |F (x, y)|2d x d y   1/2 ×   ✁ Rn+1 + |φy(θ− x)| y ✂ Supp(F)(x, y) d x d y   1/2 kφk∞Ar(F ,θ) ✁ Γr(θ) d x d y yn+1 ✂ Supp(F)(x, y) !1/2 . C.

a) Il existe une constante c3ne dépendant que deφet n telle que : pour tout D ⊂ Γr(θ)et tout domaine V intersection de D avec l’épigraphe d’une fonction1_r-lipschitzienne on a la majoration

 π]yV,+∞[_{(F ,} ✂ D\V,θ) c3Ar]yV,+∞[(F ✂ D\V,θ) c3A ]yV,+∞[ r (F ,θ). b) Si le support de F est inclus dansRn_{× [a, b], b > a > 0 alors}

π(F ,θ) ✁ Rn d s ✁ b a dt|φt(θ− s)| |F (s, t )| < cAr(F ,θ) v u u tln b a ! .

Démonstration. Le a) provient de l’estimation de la mesure des tranches Ey

=

x∈Rn | (x, y) ∈ Γr(θ)∩ D\V

par :

|Ey| |B(θ, r y)| − |{x ∈Rn| (x, y) ∈ V }| cnrn yn− (y − yV)n

cnrnyn−1yV

car il y a au moins une boule de rayon y − yV dans chaque tranche {x ∈ Rn | (x, y) ∈ V } de V ; ce qui réintroduit dans le terme de droite du lemme 2.1, donne le résultat.

Le b) est évident.

L 2.2 Il existe une constante c4ne dépendant que deφet n telle que pour toutθ∈Rn

et tout D domaine on ait pour tout x ∈Rn_{et toute fonction tente F} |π(F ✂ D, x)−π(F ✂ D,θ)| c4| θ− x| yD (Ar(F ✂ D,θ)

+

Ar(F ✂ D, x)) et si D ⊂ Γr(θ) |π(F ✂ D, x)−π(F ✂ D,θ)| c4| θ− x| yD Ar(F ✂ D,θ).

2. Quelques estimations surπ 25 Démonstration du lemme 2.2. π(F ✂ D, x)−π(F ✂ D,θ) ✁ D |φt(θ− s) −φt(x− s)| |F (s, t )| ds dt ✁ D tn−1|φt(θ− s) −φt(x− s)|2d s dt !1/2 ✁ D∩(Γr(θ)∪Γr(x)) d s dt tn−1 |F (s, t )| 2 !1/2 kDφk∞|θ− x| ✁ D d s dt tn+3 !1/2 ✁ D∩(Γr(θ)∪Γr(x)) d s dt tn−1 |F (s, t )| 2 !1/2 q cnrnkDφk∞| θ− x| yD ✁ D∩(Γr(θ)∪Γr(x)) d s dt tn−1 |F (s, t )| 2 !1/2 .

L 2.3 Pour toutα>0, il existe c_αconstante ne dépendant que deαet n telle que pour toutes fonctions tentes F et G

✁ Rn₊+1 d z y|F (z)| |G(z)| cα ✁ Rn d x Aα(F , x)Aα(G, x) .

Démonstration du lemme 2.3. C’est une simple application du Théorème de Fubini et de

l’inégalité de Cauchy-Schwarz ✁ Rn+1 + d z y|F (z)| |G(z)|

=

cα ✁ Rn dθ ✁ Γα(θ) d z y1−n|F (z)| |G(z)| cα ✁ Rn dθAα(F ,θ)Aα(G,θ).

L 2.4 Pour tout borélien W ⊂Rn+1

+ , tout 0 < p 1 et toutα>− n

pil existe c constante positive ne dépendant que de n,α, p etφtelle que pour toute fonction tente F

✁ W |F (x, y)| yn+α d x d y c ✁ Rn dθAr(F ✂ W,θ)pyW(θ)−n−αp !1/p . C 2.5 Soit W ∈

L

_{ret F ∈ T}p_{, 0 < p <∞ notons E}

₌

_{θ∈Rn _{| w(}θ) >_0}2. i) _W φy(θ− x) · F (x, y)dx dy est absolument convergente en tout pointθde E et il existe une constante c ne dépendant que de n,φet p telle que

✁

W

|φy(θ− x)| |F (x, y)| dx dy cyW(θ)−n/pkF

✂

WkTp.

ii) L’applicationθ ֏ _W φy(θ− x) · F (x, y) dx dy a les mêmes propriétés de régularité (continuité et différentiabilité) queφen tout point de E

Démonstration du lemme 2.4. Soit

F

la famille des cubes dyadiques deRnc’est-à-dire

F =

     n i=1 h pi 2q, pi

+

1 2q i | pi ∈Z, 1 i n et q∈Z      . À chaque cube Q ∈

F

_{on associe le pavé de}Rn+1

+ TQ

=

Q× hℓ(Q) r , 2ℓ(Q) r h

oùℓ(Q) désigne la longueur des côtés de Q (cf. figure 2).

Remarquons que TQa été choisi de sorte que i) {TQ, Q∈

F

} forme une partition deRn₊+1; ii) TQ⊂ Γr(θ), ∀Q ∈

F

, ∀θ∈ Q.

Il est évident à partir de ii) que :

iii) si W ⊂Rn+1

+ et W ∩ TQ≠∅ alors yW(θ)

2ℓ(Q)

r , ∀θ∈ Q. En utilisant i) et la sous-additivité de x ֏_xppour p < 1 on obtient   ✁ Rn₊+1 |F (x, y)| yn+α ✂ W(x, y) d x d y   p Q∈F   ✁ TQ |F (x, y)| yn+α ✂ W(x, y) d x d y   p Q∈F   ✁ TQ |F (x, y)|2 yn−1 ✂ W(x, y) d x d y   p/2  ✁ TQ 1 yn+1+2α d x d y   p/2

d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁ ✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁ ✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁ ✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁✂✁ ✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄ ✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄ ✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄ ✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄✂✄ ☎ ☎ ✆ ✆ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝✂✝ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞✂✞ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟✂✟ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ ✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠✂✠ TQ Q θ Γ_r(θ) Rn Figure 2

D’après ii) la 1re_{intégrale du membre de droite est égale à A}

2. Quelques estimations surπ 27 d’où   ✁ Rn+1 + |F (x, y)| yn+α ✂ W(x, y) d x d y   p c Q_∈F 1 |Q| ✁ Q dθAr(F ✂ TQ∩W,θ) p_ℓ(Q)−αp

=

c ✁ Rn dθAr(F ✂ W,θ)p Q∈F TQ∩W≠∅ ℓ(Q)−n−αp ✂ Q(θ).

Or pourθ∈ Q, TQ∩ W ≠∅ implique queℓ(Q) r₂yW(θ)(d’après iii)). Ainsi

Q∈F

TQ∩W≠∅

ℓ(Q)−n−αp

✂

Q(θ) cn,ryW(θ)−n−αp

puisque la série du membre de gauche est une série géométrique de raison 2−n−αp _{< 1 et de} premier terme cn,r(yW(θ))−n−αp.

D’où le résultat.

Remarque. Le cas p

=

1 se déduit beaucoup plus directement du lemme 2.3 appliqué à

G(x, y)

=

_yn+1α+1

✂

W(x, y) pour lequel on vérifie sans peine que

Ar(G, x)   ✁ ∞ yW(x) d y y2n+2α+1   1/2

=

cnyW(x)n+α.

Démonstration du corollaire 2.5. Soitα>_0,θ0∈ E . Notons :

B

=

B θ0, r yW(θ0)
et W0

=

W ∩ [ θ∈B Γ_r(θ)

₌

W ∩ Γr θ0,−yW(θ0)
.

Comme W ∈

L

_r, on sait que B ⊂ B θ0, 2r yW(θ0)
⊂ E et donc que yW0

1 2yW(θ0)(cf. figure 3). W W0 θ0 Γ_r(θ0) B y Rn yW(θ0) yW0 −yW(θ0) Figure 3

De plus, puisque W0 ⊂ Γr(θ0,−yW(θ0))on sait aussi que pourθ ∉B on a yW0(θ) yΓr(θ0,−yW(θ0))(θ)

=

1 2 |θ−θ0| r − yW(θ0) ! . D’où au total yW0(θ) max 1 2yW(θ0), 1 2  |θ−θ0| r − yW(θ0) ! 1 2max  yW(θ0),| θ−θ0| 2r  . (33)

Remarquons que pour tout (x, y) ∈ Rn+1

+ et tout multi-indiceβ

=

(β1, . . . ,βn) ∈ N n_{, si on} note D_θβla dérivée partielle d’ordre |β_|

₌

β1

+

β2

+

· · ·

+

βnpar rapport àθ:

D_θβ

=

∂ |β| ∂θβ1 1 · · ·∂θ βn n alors Dβ_θ(φy(θ− x))

=

y−|β|(Dβφ)y(θ− x) .

Il nous suffit dès lors de constater la domination des fonctions y−β_|(Dβ_φ)

y(θ − x)|· |F (x, y)|

✂

W0(x, y) pourθ ∈ B par la fonction

|F(x,y)|

yn+|β|

✂

W0(x, y) et de montrer l’intégrabilité

de cette dernière pour obtenir la conclusion sur la régularité deπ(F

✂

W ,·)sur E .

∗ Si 0 < p 1 on applique simplement le lemme 2.4

✁ W0 |F (x, y)| yn+|β| d x d y ✁ Rn dθAr(F ✂ W0,θ) p yW0(θ) −n−|β|p !1/p cyW(θ0)− n p−|β|_kF ✂ WkTp d’après (33).

∗ Si p 1 on utilise le lemme 2.4 (avec p

=

1) et l’inégalité de Hölder pour obtenir

✁ W0 |F (x, y)| yn+|β| d x d y ✁ Rn dθAr(F ✂ W0,θ)yW0(θ) −n−|β| kAr(F ✂ W)kpky_W−n₀−|β|kp′ avec 1 p

+

1 p′

=

1 ; or d’après (33) kyW−n0−|β|kp′ c ✁ d x (|x| ∨ yW(θ0))−(n+|β|)p ′!1/p ′ cyW(θ0)− n p−|β|_.

Les affirmations i) et ii) découlent directement de ces estimations par les théorèmes classiques de dérivation sous le signe intégral.

3. La fonction maximale. Définition et propriétés 29

3. La fonction maximale. Définition et propriétés

Le but recherché est de construire un analogue dans notre cas de la fonction maximale classique en théorie des martingales :

M_t∗

=

sup

s t |M s|

où (Ms, 0 s <∞) désigne une martingale continue et de montrer pour notre fonctionnelle quelques résultats d’intégrabilité.

3.1. Les domaines1

r-lipschitziens :

L

r

Commençons donc par préciser la structure « temporelle » que nous allons utiliser dans notre situation.

Au vu des méthodes désormais classiques utilisées pour obtenir des inégalités de compa-raison (bon-λentre autres) entre les fonctionnelles N u et Au habituelles, il ne devrait guère être surprenant que l’on fasse jouer ce rôle aux «saw-tooth regions ». Soit r > 0 et

L

_{r ⊂}

C

0(Rn) l’es-pace (non vectoriel) des fonctions positives w,1

r-lipschitziennes surR

n_{(c’est-à-dire telles que} |w(x)−w(y)| 1r|x−y| pour tout x, y ∈Rn) et notons

L

r+

=



w∈

L

_{r | w(x) > 0, ∀x ∈}Rn .

L

_rest fermé dans

C

0(Rn)muni de la topologie associée à la convergence simple. On munit

L

_r

de la topologie induite. Notons que

L

_{r est métrisable (la convergence simple implique}

loca-lement de la convergence uniforme d’après le théorème d’Ascoli).

L

_r+est dense dans

L

_r. On

identifiera les éléments w ∈

L

_ravec leur épigraphe

W

=

(x, y)∈Rn_×R+_{| y > w(x)}

en convenant de les noter de la même lettre (en minuscule pour la fonction, en majuscule pour l’épigraphe associé).

L

_rest naturellement muni d’un ordre partiel défini par

(w1 ≺ w2)⇐⇒ w1(x) w2(x), ∀x ∈Rn et w16≡ w2

⇐⇒ W1 ⊋W2.

3.2. La fonction maximaleπ

Il est clair maintenant (cf. corollaire 2.5) que pour tout 0 < p < ∞ et toute fonction tente

F ∈ Tpà support dans un domaine1

r-lipschitzien W de

L

r+, l’intégrale d x d yφy(θ− x) · F (x, y) est absolument convergente pour toutθlocalement uniformément enθ((i) du corol-laire 2.5). Elle définit une fonction continue surRn((ii) du corollaire 2.5) qui s’identifie avec

π(F ) dans Hp. Nous choisirons dorénavant ce représentant naturel pour définir ponctuelle-mentπ(F ,·).

Nous pouvons dès lors définir pour toute fonction tente F ∈ Tp_{, notre fonction maximale} πen posant π(F ,θ)

₌

sup W∈L_r+ |π(F ✂ W,θ)|(∈ [0,

+

∞]) .

D’après ce qui précède, ce supremum non dénombrable a bien un sens en toutθ∈Rnpuisque pour chaque W ∈

L

_r+, F

✂

W vérifie bien les hypothèses de support dont il était question ci-dessus.π(F W,θ)est donc bien définie en toutθ ∈ Rnet continue. Ce qui fait deπ(F ) une