Description Hartree-Fock des états cohérents du double puits

À remplissage unitaire (ν = 1), le gaz électronique est dans une phase liquide. Il n’existe aucune modulation de la densité électronique dans cette phase car tous les électrons siègent dans le niveau de Landau symétrique, l’état de plus basse énergie⁹. En s’éloignant légèrement du remplissage unitaire, par exemple ν = 1 +δ, certains électrons occupent les états du niveau de Landau antisymétrique. Sans interaction n-corps entre les électrons, le niveau symétrique aurait un remplissage 1 et le niveau antisymétrique, un remplissage δ. Si on tient compte des interactions entre électrons, un ordre peut s’établir dans le gaz électronique donnant naissance à de nombreuses phases «cristallines» ayant sur chaque site une excitation du GE2D. Ce sont ces phases cristallines, dites états cohérents, que nous désirons étudier car dans la limite où δ → 0, la maille cristalline diverge, conduisant à l’extinction des interactions entre les excitations du GE2D.

Hamiltonien et approximation Hartree-Fock

On pourrait procéder à ces calculs à partir des états symétriques et antisymétriques tel que le suggérait la discussion précédente. Toutefois, cette approche qui nécessite le calcul numérique des valeurs et fonctions propres du double puits nous priverait d’éléments intuitifs importants pour l’analyse des résultats. Ainsi, nous utilisons l’approximation des liaisons fortes avec comme fonctions de base les fonctions d’onde des puits pris séparément.

[22, 23]

Posons le potentiel de confinement du double puits symétrique comme la somme du potentiel de puits simples identiques décalés de part et d’autre de l’origine d’une distance

9 L’état ferromagnétique|−→−→...−→in’est l’état fondamental que pourd= 0dans le double puits. Cette considération ne modifie toutefois pas fondamentalement la discussion tant que d reste inférieur à une valeur critique d’environ1.5au-delà de laquelle le système ne présente plus d’effet Hall quantique et l’état ferromagnétique n’est plus l’état fondamental.

d/2telle que

V (z) =V_o(z+d/2) +V_o(z−d/2). (3)

Nous supposons connues les valeurs propresE_o,net les fonctions d’ondeχ_o,n(z)deV_o(z)¹⁰. Nous simplifions davantage en ne considérant que la première sous-bande électrique. On omet donc l’indicendans la suite des calculs. Cherchons maintenant les valeurs propres et fonctions propres de l’hamiltonien

H_o = P_z²

2m +V_o,R(z) +V_o,L(z) (4)

= P_z²

2m +Vo(z−d/2) +Vo(z+d/2), (5) en utilisant la combinaison linéaire

χ = αχ_o,R(z) +βχ_o,L(z), (6)

= αχ_o(z−d/2) +βχ_o(z+d/2), (7)

avecα²+β² = 1. Dans ce contexte, l’équation aux valeurs propres se réduit à un système d’équations linéaires

µ E_o−E+s (E_o−E)r+t (Eo−E)r+t Eo−E+s

¶ µ α β

¶

= µ 0

0

¶

, (8)

où r représente le recouvrement des fonctions d’onde des puits etset tdivers éléments de matrice du potentiel de confinement¹¹. Les solutions sont

10 On peut traiter comme une perturbation la présence d’un champ électrique en plus du potentiel du double puits en introduisant des valeurs propres différentes pour chaque puits de telle sorte que le champ électrique soit donné parEb= (ER,n−EL,n)/d(voir page 69 de la section 179). On considère toutefois les fonctions d’ondes χ_n(z) comme identiques dans chaque puits. Nous n’étudierons pas l’effet du biais sur les phases cristallines des excitations de l’EHQ.

11 On peut montrer quetest toujours négatif. Toutefois, pour simplifier la notation, nous omettrons d’utiliser explicitement|t|tout au long du texte.

E_(S,AS) = E_o∓ |t|

où nous utilisons E_S et E_AS pour désigner respectivement l’énergie de l’état symétrique et antisymétrique. Il est habituel de considérer l’approximation r → 0 et s → 0 pour simplifier les expressions. On obtient alors l’écart d’énergie entre les états symétrique et antisymétrique

∆_SAS =E_AS−E_S '2t. (13)

Le paramètre t est fondamental dans l’étude des phases des excitations de l’EHQ. Il est fonction de la distance interpuits d par l’intermédiaire du potentiel de confinement. En principe, pourddonné, il est donc possible de choisirV(z)de sorte à couvrir toute la gamme accessible det∼[0,(E_o,2−E_o,1)/2](voir lafigure 24). La réalité est évidemment tout autre principalement à cause des limitations des méthodes de croissance des hétérostructures.

Malgré cela, dans l’approche théorique que nous décrivons, nous considérons tetdcomme deux paramètres indépendants.

Nous connaissons maintenant l’expression de l’hamiltonien sans interaction Ho et de ses solutions. L’hamiltonien de seconde quantification complet prend la forme

H = H_o+H_e++H₊₊ (14) l’interaction de Coulomb dans un matériau de constante diélectrique². Les termes He+ et H++ sont respectivement les hamiltoniens d’interaction entre les électrons et les plans de dopants et entre les plans de dopants entre eux¹².

12 Précisons que nous considérons le système électriquement neutre, les électrons du GE2D étant fournis par

Comme nous nous intéressons aux modulations du GE2D dans le plan des puits et puisque nous considérons que seul le potentiel de confinement varie suivant z, nous exprimons les opérateurs de champΨ_i comme

Ψi(u) =χ_i(z)Φi(r), (16)

où r = (x, y). Φi est un opérateur qui détruit un électron du puits i à la position r. En introduisant cette expression dans l’hamiltonien d’interaction de Coulomb, on obtient pour ce terme

Pour ce faire, nous avons défini le potentiel d’interaction bidimensionnel de Coulomb V_i,j(r−r⁰)

qui tient compte d’un facteur de forme Λi,j qui provient de l’étendue des fonctions d’onde suivant z

L’évaluation de ce facteur de forme requiert le calcul de la fonction d’onde des puits.

Toutefois, comme il ne s’agit que d’un terme qui renormalise l’interaction coulombienne, nous préférons utiliser l’approximation triviale où les fonctions d’onde sont des fonctions

des plans de dopants situés de part et d’autre du double puits. Bien que ces termes ne soient pas essentiels à la formation des états cohérents, ils sont requis pour s’assurer que l’énergie du système neutre soitfinie.

Nous discutons de ces questions à la section 2.2.

deltaχ_R,L(z)≈δ(z∓d/2). Le facteur de forme devient Λ_i,j(q) =

½ 1 si i=j

e^−|q|d si i6=j . (23)

Nous disposons maintenant d’un hamiltonien «bidimensionnel» pour décrire l’énergie du gaz électronique. Toutefois, le terme coulombien est biquadratique dans les opérateurs de champ. Nous avons recours à l’approximation Hartree-Fock pour le simplifier à l’aide des appariements suivants :

Cette forme est valide pour notre hamiltonien car nous sommons sur les indicei,jet parce que V est symétrique en q. L’approximation Hartree-Fock fait apparaître la combinaison D

Φ^†_i(r)Φi(r) E

(dite de Hartree) qui représente la densité électronique en r du puits i.

L’autre combinaisonD

Φ^†_i(r)Φj(r⁰) E

(dite de Fock) fait intervenir l’échange de particules à l’intérieur d’un même puits et entre les puits.

Nous avons maintenant besoin de la forme précise des opérateurs de champ que l’on exprime en fonction des étatshr|0, Xidu premier niveau de Landau¹³

Φ_i(r) =X

X

hr|0, Xic_X,i. (26)

L’opérateur c^†_X,i crée un électron dans le puits i de nombre quantique X (centre de la fonction d’onde dans la jauge de Landau). Définissons l’opérateur densité

ni,j(r) =Φ^†_i(r)Φj(r) (27)

13 En se limitant au premier niveau de Landau, nous négligeons les éléments de matrices hors-diagonaux des opérateurs que nous utilisons. De plus, d’autres auteurs ont montré que les excitations topologiques pour les niveaux de Landau supérieurs ne sont pas énergétiquement favorable.

dont l’expression dans l’espace réciproque est

Nous avons utilisé le fait que¹⁴ h0, X|e^−iq·r¯¯0, X⁰®

Ce calcul nous a permis de définir ρ_i,j(q) = 1

un ensemble d’opérateurs fondamentaux pour notre étude. On peut montrer dans une approche semi-classique que­

ρ_i,i(r)®

correspond à la densité d’orbites cyclotrons au point r. Puisque nous désirons décrire des phases ordonnées du GE2D, il serait avantageux d’exprimer l’hamiltonien dans l’espace réciproque en fonction des ρ_i,j(q) qui représentent en fait les composantes de Fourier de la densité. En fait, comme nous le verrons, lesρ_i,j(q) vont jouer le rôle de paramètre d’ordre des différentes phases. Notons les propriétés de symétrie suivantes de ρ_i,j :

­ρ_i,j(−q)®

=­

ρ_j,i(q)®_∗

, ∀i, j. (35)

14 Nous considérons la situation où seul un champ magnétique perpendiculaire au GE2D est présent. Il est possible de faire le développement qui suit pour un champ quelconque.[22]

Procédons au passage du terme de Hartree de l’hamiltonien vers l’espace réciproque.

Quant au terme de Fock, son expression dans l’espace réciproque est

−X l’état fondamental de chaque puits. Le second terme tient compte de la différence entre le nombre d’électrons dans les états symétrique et antisymétrique.

Définissons les potentiels adimensionnels d’interactions de Hartree et de Fock (avece²/²l_⊥ comme unité d’énergie) :

H_i,j(q) = 1

L’hamiltonien Hartree-Fock qui regroupe toutes les interactions des électrons est donné par :

L’énergie hH_HFi par particule du système est :

Pour obtenir la seconde forme de l’énergie, notons que l’opérateur nombre à q = 0 est ni,j(0) =N^φρ_i,j(0). Nous avons donc fait les associations suivantes :

­ρ_R,R(0)®

=νR, ­

ρ_L,L(0)®

=νL, (64)

où νR et νL représentent le facteur de remplissage de chaque puits de telle sorte que ν =ν_R+ν_L. Nous avons de plus défini l’énergie électrostatiqueΥ_e du système de charges qui comprend les interactions des électrons avec les plans de dopants et les termes de Hartree à q= 0:

où s est la distance entre les plans de dopants et le puits le plus près et d la distance interpuits (centre-à-centre). On remarque que bien qu’à q = 0 les termes de Hartree divergent, comme nous l’avons déjà souligné, les termes d’interactions avec les plans de

charge positives H_e+ et H₊₊ ont pour effet d’annuler ces divergences. Notons également que le termeE_o ne joue aucun rôle dans l’établissement de la modulation de densité. Nous l’omettons parfois dans la suite des travaux.

Représentation du pseudospin

Nous venons de développer un hamiltonien qui décrit l’énergie d’un système électronique à deux niveaux en présence d’interactions. Il existe par conséquent de grandes similitudes entre notre système et un système de spins. Posons d’abord l’association entre les états des puits (|Ri et|Li) et les états dits depseudospin (|↑i et|↓i)

|↑i→|Ri, |↓i→|Li. (66)

On peut alors exprimer un état quelconque du double puits (eq. 6) comme

|↑iu = cos

où uest un vecteur unitaire quelconque dont l’orientation est décrite par les anglesθ etϕ.

Ces combinaisons linéaires peuvent ainsi être représentées comme un vecteur S(θ,ϕ) =

Le tableau 2 relie les différentes combinaisons linéaires des états |↑i et |↓i aux fonctions d’onde du double puits.

Combinaison linéraire Orientation deS État

|↑i z Puits supérieur

|↓i −z Puits inférieur

|−→i= [|↑i+|↓i]/√

2 x État symétrique

|←−i= [|↑i−|↓i]/√

2 −x État antisymétrique

[|↑i ±i|↓i]/√

2 ±y États propres de S_y

Tableau 2 : Correspondance entre certaines combinaisons linéaires des états |↑i et |↓i, le pseudospin et l’état électronique

À partir de cette analogie, on définit les relations suivantes entre les opérateursρ_i,j et les

opérateurs de pseudospin :

Notons que ces opérateurs représentent une densité de pseudospins. Nous pouvons réécrire l’énergie par particule (eq. 55) à partir de cette notation de pseudospin :

EHF interactions interpuits. Pour simplifier l’analyse, considérons les termesq= 0de l’énergie :

E_HF

Pour d =t = 0, on remarque que l’énergie prend la forme de l’hamiltonien d’Heisenberg JS·S avec J = −X car H˜ = H et X˜ = X. Cet hamiltonien est isotrope, de symétrie SU(2), et permet un mode collectif d’oscillation de type Goldstone dont la dispersion est

enq². La symétrie de l’hamiltonien est réduite à U(1) lorsqued6= 0car l’énergie capacitive

d

l_⊥hρ_z(0)i² force le pseudospin à se coucher dans le plan xy. Notons que dans ce cas H˜ 6= H et X˜ 6= X. L’énergie prend la forme de l’hamiltonien d’Heisenberg anisotrope à plan d’aimantation facile,

JzS²_z+J_⊥£

S²_x+S²_y¤

, (82)

avec les constantes de couplage du pseudospin Jz = H −H˜ −X et J_⊥ = −X. Puisque˜ l’hamiltonien reste isotrope dans le plan xy, ce système permet également un mode de Goldstone dont la dispersion cette fois est en q. La symétrie de l’hamiltonien est réduite à nouveau lorsque t 6= 0. Le terme tunnel proportionnel à hρ_x(0)i oriente le pseudospin suivant l’axex. Puisque l’hamiltonien est complètement anisotrope, il n’y plus de mode de Goldstone et tous les modes collectifs possèdent une énergiefinie.

Calcul des paramètres d’ordre

Nous disposons maintenant d’une expression permettant de calculer l’énergie reliée à la texture de la densité électronique, dont les composantes de Fourier sont les {hn_i,j(q)i}, par l’intermédiaire des paramètres d’ordre ©­

ρ_i,j(q)®ª

. Pour ce faire, nous utilisons le formalisme des fonctions de Green à une particule à température finie. Voyons d’abord le lien entre les paramètres d’ordre et les fonctions de Green :

Gi,j

On note qu’au temps zéro, la fonction de Green prend la valeur G_i,j¡

X, X⁰,0⁻¢

=D

c^†_j,X0(0)c_i,X(0)E

. (85)

Or, l’équation 34 définit justement ρ_i,j(q) en fonction de l’opérateurc^†_j,X0(0)ci,X(0). Nous adoptons la définition suivante pour la transformée de Fourier de la fonction de Green en

regard des nombres quantiques X etX⁰ :

L’évolution des fonctions de Green est dictée par une équation du mouvement que l’on obtient, dans le formalisme de Matsubara, par la différentiation de Gpar rapport à τ.

} ∂

Pour différentier les opérateurs c_i,X etc^†_i,X, on utilise } ∂

∂τci,X(τ) = [K, ci,X(τ)] =e^Kτ/}[K, ci,X]e^−Kτ/} (96) oùK =HHF−µN,µest le potentiel chimique etN est le nombre d’électrons du système.

L’hamiltonien étant constitué des opérateursρ_i,j(q), ce terme de l’équation du mouvement

nous amène à calculer le commutateur suivant :

Ce résultat nous permet d’obtenir l’équation du mouvement pour la fonction de Green à une particule exprimée dans l’espace réciproque :

[i}ω_n−E_o−µ]G_i,j(q,ω_n) (99)

Méthode numérique de résolution de l’équation du mouvement

Nous avons donc obtenu une équation du mouvement qui met en relation les fonctions de Green par l’intermédiaire d’une interaction champ moyen dont l’expression fait appel aux paramètres d’ordre ­

ρ_i,j(q)®

recherchés. Puisque ces paramètres d’ordre sont eux-mêmes obtenus à partir des fonctions de Green, il nous faudra utiliser une méthode de résolution autocohérente de l’équation du mouvement. Cherchons d’abord à résoudre l’équation du mouvement pour obtenir les fonctions de Green. En regard des indices de puits, il existe quatre fonctions de Green (pour chaque valeur de q) que l’on regroupe dans une matrice 2×2 :

Jusqu’à présent, nous avons considéré que l’espace réciproque était discret et infini. Il est

évidemment impossible de résoudre numériquement un problème dont le nombre de degrés de liberté est infini. Ainsi, nous devons réduire l’espace réciproque {q} à un ensemble

fini de M éléments. Nous discutons du choix de ces éléments plus loin. Considérant cette

restriction sur{q}, nous développons la notation matricielle en représentant chaque élément de Gpar un vecteur dont les composantes sont[Gi,j(qk,ωn)]_k de telle sorte queGdevient

Il est possible d’exprimer l’équation du mouvement sous une forme matricielle

[(iω_n−µ/})I−T−U]G=Υ, (105)

où I_M est la matrice identité M×M. Nous avons également défini les potentiels Hartree-Fock de Coulomb Pour résoudre l’équation matricielle, on se sert du fait que la matrice F = T+U est

hermitique. On peut par conséquent trouver des matrices DetV telles que

F=VDV^†. (111)

La matriceDest diagonale et ses éléments sont les valeurs propresd_i deFalors queV est unitaire et contient ses vecteurs propres. Ainsi,

[(i}ωn−µ)I−F]G = Υ, (112)

h

(i}ω_n−µ)I−VDV^†i

G = Υ, (113)

V[(i}ω_n−µ)I−D]V^†G = Υ. (114)

Cette expression peut être inversée pour obtenir les fonctions de Green :

G=V[(i}ω_n−µ)I−D]⁻¹V^†Υ. (115)

En terme des éléments des matrices en jeu, les fonctions de Green s’expriment comme suit : [G]_r,µ(ω_n) =}X

Pour le calcul des paramètres d’ordre ­

ρ_i,j(q)®

, nous n’avons toutefois pas à calculer explicitement les fonctions de Green. En effet, sachant que ­

ρ_i,j(q)®

= G_j,i(q,τ = 0⁻), nous pouvons effectuer à partir de l’équation précédente une somme sur les fréquences de Matsubara pour revenir dans l’espace direct de temps imaginaire :

[hρi]_µ,r = [G]_r,µ¡

Nous sommes maintenant en mesure de décrire la méthode numérique de résolution du problème. Le besoin d’une procédure autocohérente apparaît évident lorsque l’on considère l’équation 117 car celle-ci permet de calculer les paramètres d’ordre ­

ρ_i,j(q)®

à partir des valeurs et vecteurs propres de la matrice F, elle-même obtenue à partir de ces paramètres d’ordre. En effet, rappelons que F est formée des interactions champ moyen Hartree et Fock basées sur ces paramètres d’ordre. Nous avons donc un système non linéaire que nous devons résoudre par un algorithme itératif d’autocohérence illustré par la figure 7.

Nous terminons sur quelques remarques techniques concernant l’algorithme :

• La règle de somme principale est P

i,j,q

¯¯­

ρ_i,j(q)®¯¯²=ν;

• Le germe de la phase recherchée est posé pour un nombre limité d’éléments de {q};

• Pour faciliter la convergence, on a souvent recours pour les premières itérations à l’ajout dansFd’un potentiel externe modulé conformément à la symétrie de la phase recherchée qui se couple à la densité de charge des puits ­

ρ_R,R(q)® et ­

ρ_L,L(q)®

;

• Pour faciliter la convergence, il est possible d’utiliser une stratégie d’amortissement telle que ­

n. Toutefois, les dernières itérations doivent être faites sans cet amortissement si on désire obtenir les paramètres d’ordre correspondant aux valeurs propres du problème.

Dans le document Études expérimentale des excitations topologiques de l'effet Hall quantique dans les hétérostructures semiconductrices à double puits quantiques (Page 29-45)