Modèle σ non linéaire

ρ_i,j(q)®¯¯²=ν;

• Le germe de la phase recherchée est posé pour un nombre limité d’éléments de {q};

• Pour faciliter la convergence, on a souvent recours pour les premières itérations à l’ajout dansFd’un potentiel externe modulé conformément à la symétrie de la phase recherchée qui se couple à la densité de charge des puits ­

ρ_R,R(q)® et ­

ρ_L,L(q)®

;

• Pour faciliter la convergence, il est possible d’utiliser une stratégie d’amortissement telle que ­

n. Toutefois, les dernières itérations doivent être faites sans cet amortissement si on désire obtenir les paramètres d’ordre correspondant aux valeurs propres du problème.

1.2 Modèle σ non linéaire

Avant de présenter les résultats de nos calculs, il convient d’exposer en quelques lignes une approche de type variationnelle dite modèle σ non linéaire (SNL). L’intérêt de cette approche, qui traite le pseudospin comme un champ classique continu, provient du fait qu’elle met en évidence les propriétés topologiques de ce champ. On aura intérêt à consulter les références [3, 4, 7, 24, 25] sur cette question.

Le point de départ du modèle SNL consiste à considérer un champ de pseudospinS(r)dont les variations sont à grande longueur d’onde. Dans ce contexte, on fait le développement en gradient de l’hamiltonien Hartree-Fock dans la représentation du pseudospin (eq. 75).

Formation de la matrice F à partir des <ρ_i,j(q)>_n=1 Calcul des valeurs et vecteurs propres de F Définition du germe de la phase désirée <ρ_i,j(q)>₀

Fin Convergence?

V Convergence? F

V

F Calcul des <ρ_i,j(q)>_n Vérification des règles de somme

Définition de l’espace {q}

Calcul des <n_i,j(r)>

Figure 7 : Algorithme de calcul des phases du GE2D dans l’approximation Hartree-Fock. Cet algorithme itératif autocohérent résoud l’équation du mouvement des fonctions de Green à une particule. Malgré la possibilité d’inclure des critères de convergence, on procède souvent au calcul d’un nombre important d’itérations pour ensuite vérifier la convergence par l’analyse complète de la solution.

Le premier terme de la fonctionnelle d’énergie des excitations¹⁵ deS(r) obtenu est expression est valide pour un hamiltonien de symétrie SU(2), c’est-à-dire isotrope, où l’on ne fait pas de distinction entre les puits (d= 0). Nous avons vu que dans le cas de doubles puits, la distancefinie entre les puits ajoute au système une énergie capacitive qui force le pseudospin à se coucher dans le plan xy. De plus, la présence du terme tunnel t force le pseudospin à s’orienter suivant x. La fonctionnelle d’énergie devient alors anisotrope¹⁶ et prend la forme

oùρ_sest la rigidité de pseudospin dans le planxyalors queρ_Aest la rigidité du pseudospin dans la directionz. La rigidité de pseudospin tire son origine de l’énergie d’échange. En effet, si deux électrons voisins sont dans le même état S(ϕ,θ), le principe d’exclusion de Pauli force leur fonction d’onde spatiale à être antisymétrique sous échange. Ce fait est pris en compte dans l’hamiltonien par le terme d’échange qui réduit l’énergie dans ce cas. Dans le cas où les deux électrons occupent des états différents, la fonction d’onde spatiale n’a plus à être antisymétrique sous échange ce qui mène à une augmentation des interactions entre ces électrons. Ainsi, la présence d’un gradient dans le champ de pseudospin augmente l’énergie du système. C’est ce qu’exprime l’équation 121 par le biais de la rigidité de pseudospin définie comme suit :

Soulignons que la présence d’un biais entre les puits modifie la fonctionnelle d’énergie en

15 Il s’agit de l’énergie du système excité de laquelle on soustrait l’énergie de l’état fondamental (liquide ferromagnétique).

16 Modèleσnon linéaire anisotrope (SNLA). Une interprétation détaillée de cette approche est faite dans [4].

réduisant l’amplitude de la rigidité de spin et du terme tunnel comme suit : ρ_s → ρ_s¡

1−S_z²¢

, (124)

t → tp

1−S_z², (125)

où S_z =ν_R−ν_L 6= 0 est la polarisation totale suivant z qui illustre le fait qu’en présence d’un biais, le pseudospin sort du planxy. On obtient ce résultat en notant que|S|= 1.

Les textures de pseudospin dites mérons font partie des solutions de la fonctionnelle du système (éq. 121). Ces textures sont caractérisées par S_z(0) = ±1, S_x(0) = S_y(0) = 0, Sz(∞) = 0 et un vortex ou antivortex dans le plan xy (figure 8). Pour caractériser le champ de pseudospin, on peut définir la notion de charge topologique qui réfère au fait que la texture ne peut être déformée continûment pour la rendre uniforme :

Q_T = Z

d²rδQ_T (r), (126)

δQT = − 1

8π²ij(∂iS×∂jS)·S, (127) où δQ est la densité locale de charge topologique. Dans le cas des mérons, la charge topologique vaut[7]

Q_T = 1

2[S_z(∞)−S_z(0)]n=±1 2.

où nest le nombre de révolutions du pseudospin autour du coeur du vortex (n >0) ou de l’antivortex (n <0). Ainsi, bien qu’il existe quatresaveursde mérons, la charge topologique de ceux-ci ne prend que deux valeurs.

Il importe maintenant de souligner le fait que la charge topologique et la charge électrostatique sont étroitement reliées.[7] En effet, prenant le point de vue de notre hamiltonien Hartree-Fock, un électron se déplace dans un champ moyen d’échange qui oriente son pseudospin parallèlement à la texture locale. Les variations du champ étant lentes et continues, l’électron qui se propage voit son pseudospin changer adiabatiquement pour suivre le champ local. Si l’électron fait un parcours fermé autour d’une excitation topologique, il acquiert une phase de Berry équivalente à la phase Aharanov-Bohm due à

a) b)

c) d)

Figure 8 : Illustration des quatre saveurs de méron. Les vecteurs représentent le pseudospin et la surface grillagée la charge.a)Sz(0) = +1, vorticité+1, charge−1/2e;b)Sz(0) = +1, vorticité−1, charge+1/2e; c)Sz(0) =−1, vorticité+1, charge+1/2e;d)Sz(0) =−1, vorticité−1, charge−1/2e.

l’ajout d’un quanta deflux magnétique. Or, dans l’EHQ, la charge et leflux magnétique sont reliés parQ_e=eνΦ/Φ_o par l’intermédiaire du quanta deflux et du facteur de remplissage.

Ainsi, la phase de Berry causée par la texture de pseudospin le long d’un parcours fermé implique la présence d’une charge qui lui est proportionnelle. Moon et al. montrent ainsi que δQe = νδQT. Il s’agit là d’une particularité des excitations de l’EHQ. Revenant aux mérons, on conclut que ceux-ci ont une charge électrostatique de±¹₂e.

L’énergie associée à la création d’un seul méron diverge toutefois à cause de la présence du vortex qui ne permet pas au gradient de S de s’annuler à l’infinie. Par conséquent, il est légitime de postuler que l’excitation de plus faible énergie est formée d’une paire de mérons de même charge mais de vorticité opposée[7, 21] En effet, comme le montre la figure 9, on constate que loin de la paire de mérons, le champ de pseudospin reprend son alignement ferromagnétique. On s’attend de ce fait à ce que l’énergie associée à la texture

soitfinie car seule la région immédiate des mérons y contribue par un gradient significatif

du champ S. En réalité, le pseudospin se réorganise entre les deux mérons de telle sorte à produire un soliton qui contribue également à minimiser l’énergie.[8] Cette analyse nous permet de considérer que les mérons forment une paire liée dite biméron. Si d’une part, les charges identiques des mérons se repoussent par interaction de Coulomb, d’autre part, la minimisation de l’énergie de la texture de pseudospin nécessite la minimisation de la distance entre les mérons. Dans cette représentation, l’énergie de la paire à t6= 0est[21]

E= 2ECM + e²

4²R +ToR, (128)

où Rest la distance entre les mérons et E_CM est l’énergie associée à la texture du coeur des mérons. Nous avons dans cette expression exprimé «l’attraction» entre les mérons sous la forme d’une tension

T_o = 8 r

t ρ_s

2πl_⊥² . (129)

Cette compétition entre la répulsion électrostatique et la tension topologique trouve son équilibre pour une distance

Rc= s

e²

4²T_o. (130)

Voyons, en terminant cette section, l’effet d’un champ magnétique parallèle au GE2D sur le champ de pseudospin. [4] Un champ magnétique parallèle se couple au gaz électronique en introduisant une phase dans le terme tunnel¹⁷

t→texp (iQx), Q= d

L²_k etL_k = Φ_o

B_kd. (131)

Ce couplage provient du fait qu’un électron peut évoluer sur un parcours fermé entre les puits tel qu’illustré par la figure 10. La surface de ce parcours ayant une projection non nulle sur le champ parallèle, l’électron acquiert une phase de type Aharanov-Bohm.Cette phase modifie la fonctionnelle d’énergie comme suit :

Z

On peut voir l’effet du champ parallèle sur le pseudospin comme celui d’un champ magnétique fictif tournant h(r) = t(cosQx,sinQx,0). Tant que le champ parallèle est faible, le pseudospin s’aligne sur ce champ fictif et tourne avec lui. Cette phase est dite commensurable. Dans ce cas, il est possible de retrouver la même forme qu’à l’équation 121 pour la fonctionnelle d’énergie en faisant la transformationϕ(r)→ϕ(r) +Qx. À plus fort champ magnétique parallèle, la rigiditéρ_sne permet plus au pseudospin de suivre le champ tournant. Pour réduire son énergie, le système forme un ensemble de solitons entre lesquels le pseudospin tourne avec le champ fictif. La transition vers la phase àréseau de solitons survient à

À mesure que le champ magnétique parallèle augmente, cette phase tend asymptotiquement vers la phase diteincommensurable où le pseudospin est constant. On devine que l’existence des excitations de type biméron n’est possible que dans la phase commensurable.

Dans la phase commensurable, le champ parallèle modifie la « tension topologique » de la

17 La jauge utilisée estA=¡

0, B⊥x,−B_kx¢ .

Figure 9 : Illustration du biméron comme paire de mérons de même charge mais de vorticité opposée. On remarque qu’en s’éloignant des mérons, le pseudospin reprend son alignement ferromagnétique.

d GE2D

GE2D

L_//

Φ

1 2

3 4

Figure 10 : Illustration du trajet fermé qui couple le champ magnétique parallèle au terme tunnel.

L’électron évolue dans le puits du bas de1vers2sur une distanceL_kcorrespondant à la longueur magnétique associée au champ parallèle. Il saute ensuite par effet tunnel vers le puits du haut (2→3), chemine vers4 sur une distanceL_kpuis revient par effet tunnel en1. La surface circonscrite par le parcoursd×L_kenglobe un quantum deflux magnétiqueΦo=h/2e.

façon suivante

T_o →T_o (

1−B_k B_k^ccosα

)

, (134)

où α est l’angle que fait la «corde» (soliton) avec le champ parallèle. Le champ parallèle a donc deux effets : le premier est d’introduire une direction privilégiée dans le planxyet le second est de réduire la tension topologique. Cela a pour conséquence d’augmenter la distance d’équilibreRcentre les mérons. Ultimement, cette distance diverge à la disparition de la phase commensurable (B_k^c). Les mérons ne sont alors plus liés.